2015-2016大学数学A1期末试题

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2015-2016高等数学(上)期末试题A卷解答与评分标准

2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分）（6 分）

2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分）（2 分）
解设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解原式 x 2 x arctanx

x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x

由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。

（8 分）

高等数学期末15-16-A1-A卷答案

河南工程学院 2015 至 2016 学年第 1 学期高等数学A1 试卷 A 卷（答案与评分标准）考试方式：闭卷本试卷考试分数占学生总评成绩的 70%一、单选题（本题18分，每小题3分）1. C2. B3. A4. C5. C6. B二、填空题（本题18分，每小题3分）1. 1x =，2x = 或1，22. 2e3. 14. -15. cos x6. 12x x C e C e -+三、计算题（本题48分，每小题6分）1.2222220011sin lim()lim sin sin x x x x x xx x →→--= ....................................2分 224300sin 2sin 2lim lim 4x x x x x x x x →→--==....................................2分 222001(2)1cos 212lim lim 663x x x x x x →→-===....................................2分2.00x x →→=...........2分 0x →=....................................2分 1=......................................................2分3.y''=........................................2分2)x'=-..................................2分=.......................................2分4.2ln ln ln ln()x x x xf x x e e=== ..........................................2分2ln1()2lnxf x e xx'∴=⋅⋅ ........................................2分ln2lnxx xx⋅= ..............................2分或者ln()ln()ln lnxf x x f x x x=⇒= .....................2分两者都对x求导12()ln()f x xf x x'= .......................................2分lnln()2xxf x xx'∴=⋅ ..........................................2分5.2()2sin22cos2f x x x x x'=+ ................................2分22()2(sin22cos2)2(2cos22sin2)(24)sin28cos2f x x x x x x x xx x x x''=++-=-+....................2分()4f x''=-π ...........................2分6.11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ................3分lnln x C=+ .....................................................3分或11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ...........................................2分令ln x t =11ln ln d x dt x t =⎰⎰ln t C =+ ..........................................2分lnln x C =+ ..................................................2分 7.111000arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ .......2分 12041x dx xπ=-+⎰ 122011(1)421d x x π=-++⎰ ......................................2分 1201ln(1)42x π=-+ 1ln 242π=-………………………………………………2分 8.法1 常数变量法设齐次方程为0dy y dx += ...................2分求解得x y Ce -=设非齐次方程的解为()x y C x e -= .........................................2分代入原方程求得()C x x C =+∴原方程的通解为()x y x C e -=+ ..........................................2分法2 公式法()1P x = ()x Q x e -= ...............................2分求()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ ..................................2分 ()x e C x -=+ .......................................2分四、讨论题（本题8分）...............................................................................2分 101p dx x =⎰11011p x p --ln x1p ≠0p =①当10p ->即1p <时10111p dx x p=-⎰ 收敛...............................................2分 ②当10p -= 即1p =时11001ln pdx x x ==∞⎰发散.........................................2分 ③当10p -<即1p >时101p dx x =∞⎰ 发散..........................................2分五、综合题（本题8分）。

历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案

2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。

武汉大学2015-2016第一学期高等数学A1期末试题A解答

武汉大学2015-2016第一学期高等数学A1期末试题A 解答一、计算题（每小题7分，共63分）1、若()f x 在点1x =可导，且(1)1f '=，计算 20151()(1)lim1x f x f x →-- 解 20152014201311()(1)()(1)limlim 1(1)(1)x x f x f f x f x x x x x →→--==--++++120157分或 201520152014111()(1)()(1)111limlim (1)lim 1(1)120152015x x x f x f f x f x f x x x x →→→---'===--- 2、计算极限 11lim().nn n n e →∞+解：7分或 x 0x 011ln()limlim 21x 0lim()xxxe x e x e x x x x e eee →→+++→+=== 所以121lim()nn nn e e →∞+=3、已知()F x 是()f x 的一个原函数，满足()()xF x f x xe =，()0,(0)1F x F >=，求()f x ．解：对()()xF x f x xe =两边积分得()()x F x f x dx xe dx =⎰⎰，即()()x xF x dF x xe e c =-+⎰，()21()2xx F x xe e c =-+，又(0)1F =代入上式得32c = 注意到()0F x >，解得()F x =，所以()()x x xe f x F x ==或()()xf x F x '==分4、设函数(x y y =是由方程2e 22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.解 ()22e e0xyxyx yy y y y xy '''+--+=将点()2,0代入得()403y '=423y x =+ (4360)x y -+=或7分5、计算定积分1dx -⎰解：原式=102⎰12016ln(2016ln(1x ⎡⎤==⎣⎦ 7分 6、设2, 01(), 120, ther x x f x x x o ⎧≤<⎪=≤<⎨⎪⎩，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。

2015-2016(1)高等数学期末试卷(A)答案

诚信应考考出水平考出风格浙江大学城市学院2015—2016学年第一学期期末考试试卷《高等数学》开课单位: 计算分院；考试形式:闭卷；考试时间:_2015_年_1_月_19_日;所需时间: 120 分钟一．单项选择题(（本大题共10小题，每题2分，共20分）1、函数1ln 1xy x+=-为 …………………………………………………（ a. ）.a. 奇函数 b . 偶函数 c .非奇非偶函数 d .既是奇函数，也是偶函数2、下列各式中等于e 的是……………………………………………………………（ c ）.a . 1lim(1)x x x -→∞+b . 11lim(1)x x x →+ c. 10lim(1)x x x →+ d .22lim(1)xx x→∞+3、一元函数()f x 在点0x x =处可导是()f x 在该点处连续的……………………… ( a.).a. 充分条件.b.必要条件.c.充要条件. d.既非充分又非必要条件.4、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x '=……………………………………（ c ）..sin .sin .sin .cos a x cb xc xd x +-5、若()F x =⎰，则()dF x dx= ……………………………………………（ d. ）.a. b d6、设,TTA B 分别是方阵,A B 的转置矩阵，下列命题中必定成立的是……………… (c) a. AB BA = b. TTTTA B B A =c. ()T T T AB B A =d. T TAB B A =7、如果A 是一个n 阶方阵，k 是一个常数，则kA = ……………………………… ( d. )...n a k Ab nk Ac k Ad k A8、000000000000ab c d 的值为…………………………………………………………（ c ）..0...a b ac abcd d abcd -9、一次随机地掷两枚均匀骰子（每个骰子1~6点），则出现两枚骰子点数之和大于9的概率为 ……………………………………………………………………………………（ b ） a .311 b . 16 c. 17 d . 1310、袋中有4个红球，2个绿球，从中任抽一个球，抽后不放回，然后再从袋中随机抽一个球，则抽得的第二个球为绿球的概率是…………………………………………………… ( a. ). a .13 b.16 c. 19 d. 115二．填空（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1、 2221lim 3x x x x →∞-=+___ _23______ . 2、若函数1sin 3, 0() , 0x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，则k =____3______3、函数()f x =dy2 .4、函数3xy e =的n 阶导数为 33n xe .5、1x x +=⎰ 2ln 5x x C + . 6、 2x xe dx =⎰ 212x e C + .7、20cos x xdx π⎰＝12π- .8、 212410139xx =，则x = 2或3 .9、一个口袋中装有6个黑球，4个白球，从中有放回．．．地任取3个球，则取得的3个球恰好有2个是黑球的概率为54125. 10、3封信随机地投入5个邮筒，则至少有一个邮筒有二封或二封以上信的概率为1325.三.计算下列各题(本大题共3 小题,每小题５分，共15 分)1、计算 ln(1)lim x x e x→+∞+解：ln(1)lim lim lim 11x x xx x x x x e e e xe e →+∞→+∞→+∞+===+２、求曲线ln 1xy y +=在点(1,1)处的切线方程.解：两边关于x 求导：10,y xy y y''++⋅= 2,1y y xy '=-+在点(1,1)处斜率：1,2k =-切线方程: 11(1),2y x -=-- 即：230,x y +-=３、在抛物线24y x =上，找出到定点(10,0)P 最近的点.24(,)(10,0)0,8,8(8,y x x y P s ds dx dsx dxx ====⇒==±解：曲线任意点到点的距离令=得由问题实际意义知，是最小点，因此点为四.计算题(本大题共３小题,第１、２小题每题 5 分，第３小题7分共17分)1、求不定积分2(1)xdx x -⎰.解：2221111(1)(1)1(1)1ln 11x x dx dx dxx x x x x Cx -+==+----=--+-⎰⎰⎰ 2、设21,0;1()0;x x f x x ⎧≤⎪+=>，求11()f x dx -⎰.解：10111021013210()()()112arctan (13)91449f x dx f x dx f x dxdx x x x π----=+=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰ 3、设曲线21y x =+在点12（，）处的切线为l ，求：(1) l 的方程；(2)由该曲线、切线l 及y 轴所围成的平面图形的面积。

2015-2016(1)高等数学试题A卷

班级（学生填写）：姓名：学号：命题：李伟勋审题：审批： --------------------------------------------------------------------密----------------------------封--------------------------- 线-----------------------------------------------------------（答题不能超出密封装订线） 2015～2016学年第一学期高等数学考试试题A 卷使用班级（教师填写）：全校15级理工(设计15-1，2除外) 考务电话：2923688一．单项选择题（每小题2分，共20分） 1.若sin 0()001cos 0x x x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩，则0x =是()f x 的（） (A)连续点； (B)可去间断点； (C)跳跃间断点； (D)振荡间断点 2.0sin lim ||x x x →= （） (A) 1； (B) -1； (C) 0； (D) 不存在. 3. 下列计算正确的是( ) (A) (cos 2)sin 2x x '=-; (B) 1()x x x x x -'=⋅; (C) ()ln x x x x x '=; (D) ()x x e e --''=. 4. 函数 ()y f x =在x 处的微分dy =( ) (A) y ∆; (B) ()f x '; (C) ()f x dx ' ; (D) ()f x x x '∆+∆α (当0x ∆→时, α为无穷小). 5. 设)(x f 的n 阶导数存在，且)()(lim )()1(a f a x x f n n a x =--→，则)()()1(=-a f n （A ） 0 ; （B ）a ; （C ） 1 ; （D ）以上都不对. 6. 设'=''='''>f x f x f x ()(),()00000 , 则( ) (A) x 0是'f x ()的极大值点; (B) x 0是f x ()的极大值点; (C) x 0是f x ()的极小值点; (D) (,())x f x 00是f x ()的拐点. 7．若()()f x x ϕ'=，则(3)x dx ϕ=⎰（）(A)()f x c +; (B)1()3f x c +; (C) 1(3)3f x c +; (D) (3)f x c +. 8．下列积分中不等于0的是（） (A)4224cos d ππθθ-⎰; (B)⎰-ππxdx x sin 4; (C)⎰-++55242312sin dx x x x x ; (D)⎰-11cos xdx x .9. 下列反常积分发散的有( ) (A) dx x x ⎰∞+1ln ; (B) dx x ⎰∞++0211; (C) ⎰-1021x dx ; (D)dx e x ⎰∞+-0.10. 半径为R 的圆上任意点的曲率为（）(A) 0 ; (B) 1 ; (C) R ; (D) R1. 二. 填空题(每小题2分，共14分，请把答案填在横线上) 11.01lim sin 0k x x x→=成立的k 为 . 12.已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________a =.13. 物体运动方程为221t t s -+=，当t =_________秒它的速度为0.14.要使点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b . 15. 函数21)(+-=x x f 取最小值时对应x = ．16. 由曲线e y e y x ==,及y 轴所围成平面区域的面积是______________ .17．若反常积分1 0pdx x ⎰发散，则必有p .班级（学生填写）：姓名：学号：------------------------------------------------密 ----------------------------封---------------------------线------------------------------------------------（答题不能超出密封线）三．计算下列极限（每小题5分，共15分） 18. x dt t x x ⎰→020cos lim ； 19. )1(lim 2x x x x -+∞→； 20. 22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++++++⎝⎭.四．计算下列函数的导数或微分（每小题5分，共15分）21. 10310x x y x e e =+++, 求y '及0|=x dy .22. ⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin ,求dx dy .23.求方程 yxe y +=1 所确定隐函数的二阶导数22dx y d班级（学生填写）：姓名：学号：------------------------------------------------密 ----------------------------封---------------------------线------------------------------------------------（答题不能超出密封线）五．计算题（二题选一题，每小题5分，共5分） 24求32)2(3)(--=x x x f 的极值. 25. 求由曲线4=xy , 直线 1=x ,4=x ,0=y 绕x 轴旋转一周而形成的立体体积. 六. 计算下列不定积分(每小题5分，总分10分) 26. 求dx x x ⎰+221 .27.求⎰+dx x x313.七. 计算下列定积分(每小题5分，总分10分)28 计算xdx x sin cos 520⎰π.29 计算⎰e xdx x 1ln .班级（学生填写）：姓名：学号： ------------------------------------------------密 ----------------------------封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）八.应用题（6分）： 30.圆柱体内接于半径为R 的球，试求体积为最大的圆柱体的高. 九. 证明题（共5分） 31.证明：.),(4ln ln 2222e b a e a b e a b ≤<≤-≥-其中。

高数1-2(15-16)(A)答案

2、解： 3、解：
4、解：∵，
而， ∴
5、解：原方程化为：
方程是一阶线性方程，其通解为，
由初始条件，解得 ∴ 特解为
6、解：原方程对应的齐次方程为: ，
特征方程为: ，特征根为: ，
齐次方程的通解为: . 由于是特征方程的二重根，
设特解代入所给方程化简, 得，
求得一个特解为: ，原方程通解为:． 7、解：令则. 设直线段与围成区域. 由格林公式得：
8、解：设曲面所围成的空间区域为，由高斯公式得：
＝ =
贵州大学2015-2016学年第一学期考试试卷A卷高数1-2答案
1、选择题 1、B 2、D 3、 A 4、C
2Байду номын сангаас 填空题
1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、
二、解答题 1、解：（1）
① 函数在处取得极值，所以. 解得（2）将代入①式，并令，得驻点
在点处，，又，所以函数在点处有极小值在点处，，所以点不是极值点.

2015-2016-1《线性代数》期末试卷答案及评分标准

A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】． (A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】． (A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=. ----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

内蒙古科技大学2015-2016年度第一学期《高等数学》A(1)考试试题(A卷)

内蒙古科技大学2015/2016学年第一学期《高等数学》A(1)考试试题（A 卷）课程号：680000101考试方式：闭卷使用专业、年级：2015级任课教师：考试时间：2016-1-11 备注：一、选择题：（共5题，每题3分，共15分）31,11()1,11()()3,1x x f x x x f x x x -<⎧⎪===⎨⎪->⎩.已知：，点是函数的。

(A)连续点；(B)第一类跳跃间断点；(C)第一类可去间断点；(D)第二类间断点。

0000(2)()()3lim()3362x f x x f x f x x∆→+∆-'=-=∆2.已知，则极限。

(A)-；(B)-；(C)-；(D)6。

(,)()()0()0()(,)()a b f x f x f x f x a b '''><3.已知在区间内，函数的一阶导数，二阶导数，则函数在区间内是。

(A)单调递减的凹曲线；(B)单调递增的凹曲线；(C)单调递减的凸曲线；(D)单调递增的凸曲线。

()u v x udv uv vdu uv u vdu uv v du uv uv du ='''----⎰⎰⎰⎰⎰4.已知、都是的可微函数，则。

(A)；(B)；(C)；(D)。

()()()()[,][,][,][,]ba f x dx fb a a b a b a b a b ξξξξξ=-⎰5.定积分的中值定理可表示为，那么。

(A)是内任意一点；(B)是内必定存在的一点；(C)是内唯一的某一点；(D)是的中点。

二、填空题：（共5题，每题3分，共15分）生班级________________学生学号：□□□□□□□□□□□□学生姓名：________________装订线………装订线………装订线…………试卷须与答题纸一并交监考教师…………装订线………装订线………装订线………………01110()1lim sin ()3lim(12)()x x xx e y x x x →→'-==-=.一阶微分方程的通解为。

北京理工大学2015工科数学分析期末试题(答案)

课程编号：MTH17003 北京理工大学2015-2016学年第一学期工科数学分析期末试题(A 卷)评分标准一. 填空题（每小题4分, 共20分） 1、1-； 2、23、24π4、2y x π=-5、11(,())x f x ，(0,(0))f二、解：（1）当1x ≠时，222222(1)22()1(1)x x xf x x x +-⋅'=++ 2222212(1)1|1|(1)x x x x -=+⋅+-+ ………………（2分）当1x >时，2222212(1)()011(1)x f x x x x -'=+⋅=+-+， ………………（3分）当01x <<时，22222212(1)4()11(1)1x f x x x x x -'=+⋅=+-++， ………………（4分）又 (1)0f +'=，214(1)lim 21x f x--→'==+，所以(1)f '不存在。

………………（6分）（2）由（1）知，当1≥x 时，()0f x '=，所以()f x 恒等于常数，………………（7分）又2(1)2arctan1arcsin11f =++π=，所以当1≥x 时，22()2arctan arcsin =1xf x x xπ=++。

………………（8分）三. 解：当10x -≤<时，1()()xF x f t dt -=⎰1(1)xt dt -=+⎰21(1)2x =+， ……………（2分）当01x ≤≤时，1()()x F x f t dt -=⎰01()()xf t dt f t dt -=+⎰⎰10(1)xt dt tdt -=++⎰⎰2122x =+ ………………（6分）即 221(1)102()10122x x F x x x ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，又01lim ()lim ()2x x F x F x +-→→==，故()F x 在[1,1]-上连续。

2015-2016高数(一.二)期末试卷A参考答案

课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页（共 4 页）学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。

交卷时请将答题纸（1-2页）和试卷页、草稿纸分开上交。

写在背面或写错位置的一定要注明。

一、填空题（3分*5=15分）1. 设曲线L 是正方形区域{}(,)|01,01x y x y ≤≤≤≤的边界，则曲线积分4Lds =⎰16.2. 若级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则=∞→n n u lim 1.3. 设0>p ，当p 满足1p >时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛. 4. 微分方程y x y y '=''-'''2)(的通解中含有 3 个相互独立的任意常数. 5. 微分方程212y x ''=满足初始条件00x y ==，01x y ='=的特解为4y x x =+. 二、单项选择题（3分*5=15分）1. 设∑是球面2221x y z ++=，而1∑是∑位于第一卦限部分，则曲面积分d z S ∑=⎰⎰（ A ）．（A ）0；（B ）12d z S ∑⎰⎰；（C ）18d z S ∑⎰⎰；（D ）⎰⎰∑1d 4S z ．2．若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则下列级数中发散的是（ C ）.（A ）1n n u ∞=∑；（B ）1n n u ∞=∑；（C ）11()n n u n ∞=+∑；（D ）11()3n n n u ∞=+∑.3．设2lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径=R （ A ）. （A ）21；（B ）1；（C ）2；（D ）2.4．函数221ec x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的（C ）（A ）通解. (B)特解. (C)解但不是通解、特解. (D)不是解.5．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 对应的特征方程有根2，3，则该微分方程通解为（ D ）.(A)12cos 2sin 3y C x C x =+. (B) 212()x y C C x e =+. (C)32x x y e e =+. (D)3212x x y C e C e =+.三、曲线积分与曲面积分（8分*2=16分）1. 沿曲线L 从点)01(，A 到点)10(，B 计算对坐标的曲线积分⎰++Ly x x xy 1)d (d 22，其中L 为折线AOB （O 是原点）．解：法（1）2P Qx y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关，（2分）选择路径：L x y -=1，则（4分）⎰⎰-++-=++0122d )]1)(1()1(2[1)d (d 2x x x x y x x xy L （6分）=+-=+-=⎰111d )123(12x x x 1．（8分）法（2）OB AO L +=，其中：AO 0=y ；：OB 0=x ，则⎰⎰⎰+++++=++OBAOLy x x xy y x x xy y x x xy 1)d (d 21)d (d 21)d (d 2222（2分）012120d 00(01)d x x x =⋅++++⎰⎰（6分）1=．（8分） 2. 计算曲面积分()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是z =在0,1z z ==部分下侧.解：补面1221:1z x y =⎧∑⎨+≤⎩方向向上，（2分）记22:1xy D x y +≤，100I I dv Ω+==⎰⎰⎰，（5分）所以1()0xyD I I x y dxdy =-=--=⎰⎰.（8分）课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页（共 4 页）学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――四、级数（8分*3=24分） 1. 证明级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛.解：由n nn n n n 2131111)1(2222=+≥+=+- ，及级数∑∞=121n n 发散，得级数∑∞=+-121)1(n n n 发散（3分）；又112+=n u n ，有nn u n n u =+≤++=+111)1(1221，及011limlim 2=+=∞→∞→n u n n n ，由莱布尼茨判别法，得∑∞=+-121)1(n n n 收敛．（6分）因此级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛。

北京师范大学偏微分方程考试试题(2016-2019)

北京师范大学 2017 ～ 2018 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）
课程名称：
偏微分方程
任课老师姓名：
保继光
卷面总分： 100 分院（系）：
考试时长： 120 分钟专业：
考试类别：闭卷开卷年级：
其他
姓名：
学号：
题号一得分
二三 (1) 三 (2) 三 (3) 四 (1) 四 (2) 总分阅卷老师（签字）：
2. 写出三维 Laplace 方程的基本解和它的导函数, 以及上半空间的 Green 函数.
3. 特征值问题 X′′(x) + λX(x) = 0, 0 < x < 1, X(0) = X(1) = 0 的解是什么？.
4. 你做过作业中的选做题吗? 你看过有关偏微分方程的课外书吗? 试举一例.
2
弱极值原理可以直接推出解的 (5) , 而导致解的稳定性的是解的 (6) 估计, 它是通过对辅助函数应用弱极值原理得到的. 在解的存在性方面, 通过引入 (7) , 获得了方程的一个特解, 从而将位势方程的求解归结为调和方程.
对于Laplace方程的Dirichlet问题, 首先在区域具有某些对称性的情形, 如: 半空间、球等, 借助基本解K(x) = (8) , 运用 (9) 方法, 获得了解的表达式—Possion公式. 然后在一般区域情形, 使用 (10) 方法(C0下调和函数的上确界), 获得了解的存在性定理.
以各种现实情境和科学情境为背景的偏微分方程是形式多样的. 我们根据阶数和线
性性将它们分类.
如:
几何分析中的Yamabe方程−∆u
=
n+2
u n−2
(n
≥

2015-2016-1《线性代数》期末试卷A问题详解及评分实用标准

标准文档A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

2015-2016高等数学A(上)期末试卷A卷

上海海洋大学试卷(本答卷不准使用计算器)诚信考试承诺书本人郑重承诺:我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则"和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”,承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理.承诺人签名:日期：考生姓名：学号：专业班名:一、选择题（2143'=⨯'）1．当0→x 时，函数()csc cot f x x x =-是的（ )无穷小 A ．高阶 B.低阶 C 。

同阶但非等价 D 。

等价 2．设()2arcsin(1)x f x x x-=-，则下列说法中错误的是（）A ．0=x ，1=x 都是()x f 的间断点。

B ．1x =是()x f 的第二类间断点。

C ． 0x =是()x f 的第二类间断点.D ．1=x 是()x f 的第一类可去间断点. 3．设函数)(x f 在),(∞+-∞内连续，其导数的图形如图所示,A ．一个极小值点和两个极大值点 B ．两个极小值点和一个极大值点 C ．两个极小值点和两个极大值点 D ．三个极小值点和一个极大值点4。

若()xf x e-=，则(ln )f x dx x=⎰（) 11..ln ..ln A c B x c C c D x cxx++-+-+二、填空题(3618''⨯=）1.微分方程2x y y x =-'在初始条件(1)0y =下的特解为2．若)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得 =-)()(a f b f e e成立3．若是)(x f 的原函数，则(ln )xf x dx ⎰= 4．2212_______x x dx --=⎰5．函数220(1)x t yt e dt =-⎰的极大值点为6。

401xdx x +∞=+⎰三、计算题（必须有解题过程,否则不给分) (本大题共60分）：1.()4x x 012tan x x cosx lim3 ln 13x →++（5分）2. 220ln(1) lim arcsin x x t dtx x-→+⎰（5分)3.1lim(1)tan2x xx π→-(5分） 4．2211lim()sin x x x →-（5分）5．设函数()1sin ,0,0x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，问,αβ分别取何值，有: (1）函数()f x 在0x =处连续；(3分) （2）函数()f x 在0x =处可导;（3分）（3）函数()f x 在0x =处导函数连续.（4分）6．设()⎩⎨⎧=+-=t y t t x arctan 1ln 2，求dy dx ，22dx y d ；（8分)7。

2015-2016-1华北理工大学高数期末试题及答案

华北理工大学2015～2016学年秋季学期考试试卷开课学院：理学院课程号： H19001 课程名称：高等数学A-1 年级： 15 级专业：全校试卷类型： A 卷一、填空题（每题4分，共20分）二、选择题（每题4分，共40分）二、（8分）计算极限)1sin 1(lim 220x x x -→.三、（8分）计算定积分⎰=1d arctan 2x x x I .四、（12分）已知参数方程⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin 确定函数)(x f y =，计算x y d d ，222d d π=t x y.五、（12分）（1）计算曲线2x y =与x y =在第一象限内围成图形的面积A ；（2）计算此图形绕x 轴旋转一周生成立体的体积V .一、填空题（每题4分，共40分）1. 极限=+→xx x sin 10)21(lim2. 方程1=++xy eyx 确定隐函数)(x f y =，则==0x dxdy3. 函数x x x y 3323++=的拐点坐标为 4. 函数)(x f 的一个原函数为)(x F ，=⎰x x f d )(5. =+⎰-x x x x d )sin 3(211二、选择题（每题4分，共40分） 1.当+→0x 时，函数x x ln 是（）)(A 无穷大； )(B 无穷小；)(C 有界，不是无穷小； )(D 无界，不是无穷大.2.若0=x 为函数bx ae xf x --=)(的可去间断点，则常数b a ,满足（）)(A 1=a ，0=b ； )(B e a =，0=b ； )(C e a =，1=b ； )(D 0=a ，e b =.3.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=01sin 1)(x x x x x f 在点0=x 处（）)(A 连续可导； )(B 连续不可导； )(C 可导不连续； )(D 不连续不可导.4.曲线xx y =在)1,1(点处切线的斜率为（）)(A 0； )(B 1-； )(C 1； )(D 2.5.设函数bx ax x x f ++=23)(在点1-=x 处有极值为1，则b a ,之值为（）)(A 3=a ，1=b ；)(B 2=a ，0=b ；)(C 3=a ，2=b ；)(D 1=a ，1-=b .6．曲线)1)(1(1+-=x x y （）)(A 没有渐近线； )(B 仅有铅直渐近线；)(C 仅有水平渐近线； )(D 既有水平渐近线，又有铅直渐近线7. 在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的函数是（）)(A 21x y -=； )(B x y =； )(C 21xy =； )(D 122--=x x y . 8. 下面四个凑微分式子正确的个数是（）⎰⎰=⋅x x x x 2sin 21d d cos sin ，⎰⎰=x x x x 2ln d d ln 2， ⎰⎰=x x x tan d d sec 2，⎰⎰=x x xd d 1)(A 4； )(B 3； )(C 2； )(D 1.9.下列广义积分收敛的是（）)(A ⎰+∞d xx ； )(B ⎰1d xxx ； )(C ⎰+∞2d xxx ； )(D ⎰+∞1d xx .10.设函数)(x f 在区间),0[+∞上连续，若有x x t t f xsin d )(0=⎰，则=)(πf （）)(A π； )(B 1； )(C 0； )(D π-.2015-2016-1高等数学期末试题标准答案及评分标准一、填空题（每题4分，共20分）1.2e 2.1- 3.(1,1)-- 4.C x F +)( 5.2二、选择题（每题4分，共40分）BAACD DABCD 三、（8分）计算极限)1sin 1(lim 220x x x -→. 解：原式x x xx x 22220sin sin lim -=→ （2分）22220sin lim x x x x x -=→ （4分） 304cos sin 22limxxx x x -=→ （7分） 3042sin 2lim x x x x -=→20122cos 22lim x x x -=→ 202cos 1lim61x xx -=→ 31)2(21lim 61220==→x x x （8分）四、（8分）计算定积分⎰=1d arctan 2x x x I .解：⎰=12d arctan x x I （2分）⎰+-=10222d 101arctan x x x x x （6分）⎰+-+-=1022d 11)1(4x xx π（7分）⎰+--=12)d 111(4x x π01)arctan (4x x --=π12-=π（8分）五、（12分）已知参数方程⎩⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin 确定函数)(x f y =，计算，x y d d ，222d d π=t x y.解：ttt t t x y cos 1sin )sin ()cos 1(d d ''-=--=（8分） ''22)sin ()cos 1sin (d d t t t t x y --=3'')cos 1()cos 1(sin ))(sin cos 1(t t t t t ----=3')cos 1(sin sin cos )cos 1(t t t t t ---= 2'3')cos 1(1)cos 1(1cos t t t --=--= （10分） 1d d 222-==πt x y （12分）六、（12分）（1）计算曲线2x y =与x y =在第一象限内围成图形的面积A ；（2）计算此图形绕x 轴旋转一周生成立体的体积V .解：（1）面积元素x x x A d )(d 2-= （4分）面积61d )(21=-=⎰x x x A （6分）（2）体积元素x x x V d ])([d 222-=π （10分）体积ππ152d ])([2221=-=⎰x x x V （12分）。