3.5 长波近似-a

M
u
..
2n
1 u 2 n 1 u 2 n 2 u 2 n u 2 n 1
1 (
B B iqa 1)u 2 n 2 (1 e )u 2 n A A
B [ ( 1 2 e iqa ) ( 1 2 )]u 2 n A
wa 1 2 vA a q (m M )( 1 2 )
两种原子的位移振幅的关系
1 2 q a A (m M )( 1 2 )
2 2 2
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0
(1 2eiqa ) A (1 2 m 2 ) B 0
2 M B 1 2 A 1 2e iqa
2 A 1 2 m B 1 2 eiqa
原子运动方程
u2 n Ae
i qnat
i qnat iqa
u2 n 1 Be
e B iqa e u2 n A
i qnat

(15)
这里的c相当于杨氏模量，恢复力： F c du
dx
把上式应用于一维复式格子，应变是
所以
um 1 um F c ,(16) a
du um 1 um dx a
而第m+1个原子的位移而引起的对第m个原子产生的恢复力
F um 1 um ,(17)
一维连续介质波动方程
设有一维连续介质，x点的位移为u(x)，(x+dx)点的位移 为u(x+dx)，因此连续介质因位移而引起的形变（应变）为：
x 设介质的弹性模量为c，则因形变而产生的恢复力
u( x dx ) u( x ) dx
u( x )
u( x dx )
x dx
u ( x dx) u ( x) du ( x) F ( x) c c dx dx
2 A 1 2 m B 1 2 eiqa
l
u
..
2n
1 2 q 2 a 2 u2 n (m M )( 1 2 )
lim
q 0
2 2 q a 2 1 2 A (m M )( 1 2 )
1 2 m 2 A lim [ ] 1 iqa B q 0 1 2e
d 2 u( x , t ) dx F ( x ) F ( x dx ) 2 dt
d 2 u( x , t ) du( x , t ) du( x dx, t ) dx c 2 dt dx dx
d 2 u( x , t ) d 2 u( x , t ) dx c 2 2 dt dx
纵波的传播形式
横波的传播形式
长声学波
一维双原子链的声学支：
1 ( 1 2 ) 16mM1 2 2 2 qa 2 sin ( )] (m M ) [( m M ) 2 2mM ( 1 2 ) 2
A
2
长波近似
2 2 q a 1 2 q 0, 2 A (m M )( 1 2 )
..
不同原子振动的关系
l为奇数： u2 nl u2 n1e u2 n 1 u2 n 1
l iq a 2
iq
l 1 a 2
e
iq
l 1 a 2
1 2 q 2 a 2 u 2n1 (m M )( 1 2 ) u2n1
..
u2 n l u2 n e A iq 2 a e l为偶数： B u2 n 1 B u2 n A
3.5 长波近似
研究长波近似的目的：揭示固体宏观性质的微观本质
对长声学格波，其长波极限就是弹性波，即弹性波与声 学波在长波条件下，它们是必然的统一； 晶体出现宏观极化，是长光学纵波振动模中离子的相对 位移引起。 离子晶体的光频模频率相当于红外光频的光波频率。离 子晶体中长波光频模对电磁波的传播产生重要影响。
B M u 2 n [ ( 1 2e iqa ) ( 1 2 )]u2 n A
..
2 M B 1 2 A 1 2e iqa
1 2 q 2 a 2 A (m M )( 1 2 )
2
u
..
2n
1 2 q 2 a 2 u2 n (m M )( 1 2 )
同时，在(x-dx)点，因形变将有恢复力
du( x dx ) F ( x dx ) c dx
考虑介质中x与(x-dx)间长度为dx的一段： 设一维介质的线密度为ρ，则长度为dx的一段介质质量为
ρdx；而作用在长度为dx的介质上有两个方向相反的恢复
力F(x)及F(x-dx)，因此这段介质的运动方程为：
因此当l为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都有
上式说明：
u2 n l 1(10) lim q 0 u2 n 1
在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程实 际可视为一个方程，它们的一般表达式：
1 2 q 2 a 2 u 2n1 (m M )( 1 2 ) u2n1
u2 n 1 Be
2 ( [
B u2 n A
2 n 1 2 u 2 n 2 u 2 n 1 1 u 2 n 1 u 2 n mu A iqa A e 1)u 2 n 1 1 (1 )u 2 n 1 B B
A ( 2 e iqa 1 ) ( 1 2 )]u 2 n 1 B
长声学波
在§3.1 中，以一维双原子链为例，当q很小时，即对于
长波极限，得到声学波色散关系为
Amin 1 2 a q....(1) (m M )( 1 2 )
☆长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的 波速为
vp q
1 2 a (2) m M（1 2）
改用偏微商的符号，则有
2 u( x , t ) c 2 u( x , t ) (13) 2 2 t x
上式是标准的波动方程，其解为
u( x , t ) u0 e
把上式代入波运动方程，得 弹性波的相速度
i qx t

2
c
vq

q

q (14)
c
2

1 2
与一维复式格子的长声学波相速度相比较： 弹性波和长声学波速度完全相等，即长声学波和弹性波
完全一样。
所以对于长声学波，晶格可以看作是连续介质。
..
邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位 相集体运动。
微观到宏观的转换
u2 n 1 u Ae
2 2
i ( qxt )
u 1 2 a u 2 u vA 2 2 2 t (m M )( 1 2 ) x x
2 2
长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质
A m u 2 n1 [ ( 2eiqa 1 ) ( 1 2 )]u2 n1 B
..
2 m A 1 2 B 1 2 eiqa
1 2 q 2 a 2 A (m M )( 1 2 )
2
1 2 q 2 a 2 u 2n1 (m M )( 1 2 ) u2n1
其中 所以
d 2U dr 2 a
c a ,(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
一维复式格子，质量线密度为
m M ,(19) 2a
将（18），（19）代入（15），得弹性波的相速度
m M vq a 2a
12
2 a;( 20) m M
12
β ：恢复力常数 2a：晶格常数
d 2U dr 2 a
☆长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波
完全一致。
介质弹性波
弹性波是什么？
当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在 弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用 开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用 开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式 用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。