平面直角坐标系中的图形面积解题技巧.doc
专题10 坐标系中的面积与规律探究问题 专项提升(精讲
专题10 坐标系中的面积与规律探究问题专项提升（精讲）高频考点1. 平面直角坐标系的面积：知坐标，求面积解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法：“割补法”。
原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。
①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。
②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。
过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。
例1．（2022•汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】作AC⊥x轴、BD⊥x轴，根据A、B坐标得出AC、BD及CD的长，根据S△AOB＝S梯形ABDC ﹣S△AOC﹣S△BOD可得答案．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，∵A（﹣5，6）、B（3，2），∴AC＝6、OC＝5，BD＝2、OD＝3，则CD＝OC+OD＝8，∴S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△AOC﹣S△BOD=12⨯（2+6）×8-12⨯5×6-12⨯2×3＝32﹣15﹣3＝14，故选：B．变式1．（2022•市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P （x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．即y＝﹣x+4，∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为1442⨯⨯=8．故选：D．变式2．（2022春•嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C （1，3），则△ABC的面积为（）A．7.5 B．10 C．15 D．20【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点C向AB作垂线，垂足为D，根据S△ABC=12⨯AB×CD，即可得到答案．【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为D，如下图所示：则AB＝2﹣（﹣3）＝5，CD＝3+1＝4，S△ABC=12⨯AB×CD=12⨯5×4＝10，故选：B．高频考点2. 平面直角坐标系的面积：知面积，求坐标（方程思想）解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。
初中直角坐标面积问题教案
初中直角坐标面积问题教案【教学目标】1. 理解平面直角坐标系中图形的面积概念。
2. 学会使用分割法、填减法等方法求解平面直角坐标系中不规则图形的面积。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学内容】1. 平面直角坐标系的基本概念。
2. 图形的面积概念及求解方法。
3. 分割法、填减法在求解面积问题中的应用。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、象限等。
2. 提问：同学们，你们知道图形的面积是什么意思吗？面积如何计算呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解图形的面积概念，引导学生理解面积的意义。
2. 介绍分割法、填减法两种求解面积的方法。
3. 举例讲解如何使用分割法、填减法求解平面直角坐标系中的不规则图形面积。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选几位同学上台演示解题过程，并讲解解题思路。
四、巩固提高（15分钟）1. 引导学生总结本节课所学的知识点，巩固记忆。
2. 提问：同学们，你们能运用分割法、填减法解决实际问题吗？请大家举例说明。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的知识点，强调重点。
2. 提醒学生在日常生活中注意观察和运用平面直角坐标系中的面积问题。
【教学反思】本节课通过讲解平面直角坐标系中的面积问题，使学生掌握了图形的面积概念以及求解方法。
在教学过程中，注重引导学生主动思考、积极参与，提高了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和巩固提高环节，使学生能够将所学知识点运用到实际问题中。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对平面直角坐标系中的面积问题有了更深入的理解。
在今后的教学中，要继续加强对学生思维能力的培养，鼓励学生主动探索、勇于创新。
此外，要注意调整教学节奏，保证课堂信息的充足和学生的积极参与。
通过不断改进教学方法，提高学生的数学素养，为后续学习打下坚实基础。
北师大版八年级数学上册类比归纳专题平面直角坐标系中图形面积的求法测试卷
北师大版八年级数学测试卷（考试题）类比归纳专题：平面直角坐标系中图形面积的求法——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积1．如图，平面直角坐标系中△ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．62．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC的面积为________．◆类型二利用补形法或分割法求图形的面积【方法10】3．如图，四边形ABCD的面积为()A．16.5 B．21 C．17 D．184．(2016－2017·安陆市期中)如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．◆类型三与图形面积相关的点的存在性问题6．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A，C的坐标分别为(－4，2)，(1，－4)，且AD∥x轴交y轴于M点，AB∥y轴交x轴于N点．(1)求B，D两点的坐标和长方形ABCD 的面积；(2)一动点P从A点出发，以12个单位/秒的速度沿AB向B点运动，是否存在某一时刻t，使△AMP的面积等于长方形ABCD面积的13？若存在，求出t 的值，并求此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O (0，0)，A (2，0)，B (4，2)，C (2，3)，过点C 与x 轴平行的直线EF 与过点B 与y 轴平行的直线EH 交于点E .(1)求四边形OABC 的面积；(2)在线段EH 上是否存在点P ，使四边形OAPC 的面积为7？若不存在，说明理由；若存在，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．B 2.7.53．B 解析：由图可知，四边形ABCD 的面积为1个长方形加3个三角形的面积，即S四边形ABCD ＝3×4＋12×1×3＋12×1×3＋12×3×4＝21.4．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，则S四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝12×(4＋2)×3＋12×1×4＝9＋2＝11.5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)；(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF －S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.6．解：(1)∵点A ，C 的坐标分别为(－4，2)，(1，－4)，而四边形ABCD 为长方形，AB ∥y 轴，AD ∥x 轴，∴点B 的坐标为(－4，－4)，点D 的坐标为(1，2)，∴S 长方形ABCD ＝(1＋4)×(2＋4)＝30；(2)存在．∵AM ＝4，AP ＝12t ，∴S △AMP＝12×4×12t ＝t .∵S △AMP ＝13S 长方形ABCD，∴t ＝30×13＝10，∴AP ＝12×10＝5.∵AN ＝2，∴P点坐标为(－4，－3)．7．解：(1)由题意，得OF ＝EH ＝3，OH ＝EF ＝4，CF ＝OA ＝2，BH ＝2，则CE ＝AH ＝2，BE ＝1.∴S 四边形ABCO ＝S 长方形OHEF －S三角形ABH－S三角形CBE－S三角形OCF＝4×3－12×2×2－12×2×1－12×3×2＝6；(2)不存在．理由如下：若点P 在EH 上，设PH ＝x ，则PE ＝3－x ，S 四边形OAPC ＝S 长方形OHEF －S 三角形APH －S 三角形CPE －S 三角形OCF ＝4×3－12×2×x －12×2×(3－x )－12×3×2＝6.此时四边形OAPC 的面积为一定值6，不为7，故不存在．附赠材料：怎样提高答题效率 直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
七下数学《平面直角坐标系》——【面积问题】
七下数学《平面直角坐标系》——【面积问题】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，,A B 坐标分别是(0,),(,)A a B b a ，且,a b 满足()23|5|0a b -+-=，现同时将点,A B 分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点,A B 的对应点,C D ，连接,,AC BD AB ．（1）求点,C D 的坐标及四边形ACDB 的面积ACDB S ； （2）在y 轴上是否存在一点M ，连接,MC MD ，使13MCD ACDB S S ∆=？若存在这样的点，求出点M 的坐标，若不存在，试说明理由．2．如图10，在平面直角坐标系中，点A B ，的坐标分别为(),0A a ，(),0Bb ，且a b 、满足2(1)0a ++=.现同时将点A B ，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A B ，的对应点C D ，，连接AC BD ，得ACBD ．（1）直接写出点C D ，的坐标和四边形ABDC 的面积；（2）若在坐标轴上存在点M ，使MAC S S =△四边形ABDC ，求出点M 的坐标；（3）若点P 在直线BD 上运动，连接PC PO ，.请画出图形，写出CPO DCP BOP ∠∠∠、、的数量关系并证明．3．如图，在长方形ABCD 中，AB =8cm ，BC =6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE =2cm ，动点P 从A 点出发，以2c m/s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E ．设点P 运动的时间为t 秒．（1）请以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，1cm 为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t 表示出点P 在不同线段上的坐标．（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P 点使△APE 的面积等于20cm 2时，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （−1，2），且|32a b +=0， （1）求a 、b 的值；（2）在y 轴上是否存在一点M ，使△COM 的面积为△ABC 面积的13，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S△设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．△当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），其中a ，b 满足|a ﹣2|+（b ﹣3）2＝0． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）如果在第二象限内有一点M （m ，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积； （3）在（2）条件下，当m ＝﹣32时，在坐标轴的负半轴上求点N （的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是()0,0O ，()0,12A ，()10,8B -，()14,0C -，求四边形OABC 的面积．8．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB△x轴于B，AC△y轴于C，A（4m，3m），且四边形ABOC的面积为48．（1）如图△，求A点的坐标；（2）如图△，点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，同时点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于F，设运动的时间为t，当S△AEF＜S△CDF时，求t的取值范围．9．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2,0),点B在x轴负半轴上，C在y轴正半轴上，△ACB=90°，△ABC=30°.(1)求点B坐标；(2)如图2，点P从B出发，沿线段BC运动,点P运动速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t秒，用含t的式子表示三角形△OBP的面积S.10．在平面直角坐标系内，点()0,5A ，点()29,32M x x --在第三象限，（1）求x 的取值范围；（2）点M 到y 轴的距离是到x 轴的2倍，请求出M 点坐标；（3）在（2）的基础上，若y 轴上存在一点P 使得AMP 的面积为10，请求出P 点坐标．11．已知坐标平面内的三个点A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)． （1）求三角形AOB 的面积；（2）点P 是x 轴上的一个动点，当三角形AOP 的面积与三角形AOB 的面积相等时，求点P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足|1|0a +=．（1）填空：a =______，b =______．（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．（1）求四边形ABCD 的面积（2）点P 为y 轴上一点，且ABP △的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，求点P 的坐标．14．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，4），且满足(a+5)2，过C 作CB△x 轴于B ．（1）a = ，b = ，三角形ABC 的面积= ；（2）若过B 作BD //AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分△CAB ，△ODB ，如图2，求△AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）是x 轴正半轴上一点，C 是第四象限一点，CB △y 轴，交y 轴负半轴于B （0，b ），且（a ﹣3）2+|b +4|＝0，S 四边形AOBC ＝16．（1）求C 点坐标；（2）如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD △AC 时，△ODA 的角平分线与△CAE 的角平分线的反向延长线交于点P ，求△APD 的度数．（3）如图3，当D 点在线段OB 上运动时，作DM △AD 交BC 于M 点，△BMD 、△DAO 的平分线交于N 点，则D 点在运动过程中，△N 的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （b ，0），C （﹣1，2），且221(24)0a b a b ++++-=． （1）求a ，b 的值；（2）y 轴上是否存在一点M ，使△COM 的面积是△ABC 的面积的一半，求点M 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A a ，(,)B b b ，(0,)C b ，且满足2(8)0a +=，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ，AO 和BC 位置关系是 ； （2）在P 、Q 的运动过程中，连接PB ，QB ，使S △PAB ＝4S △QBC ，求出点P 的坐标；（3）在P 、Q 的运动过程中，当△CBQ ＝30°时，请探究△OPQ 和△PQB 的数量关系，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b ，0)，C(b ，c)三点，其中a ，b ，c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果在第二象限内有一点P(m ，12)，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．19．已知点()30A -,，点()0,3C ，且点B 的坐标为()1,4-，计算ABC 的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)(2，0)(2，1.5)， (1)求三角形ABC 的面积．(2)如果在第二象限内有一点P (a )，试用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．。
中考复习题面积问题(解析版)
专题04 面积问题求解平面直角坐标系中由动点生成的图形的面积问题，是初中数学一种重要的题型，它主要结合函数图形的相关知识点，在平面直角坐标中的框架中构建图形求面积，求图形面积常常转化为三角形、特殊的四边形，求面积常用的方法有以下几种：方法1：直接法，求出三角形底边和底边上的高，进而求出其面积；方法2：补形法，将三角形面积转化为若干个特殊的四边形和三角形的和或差；方法3：分割法，选择一种恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算的面积的三角形。
一、填空题1．在平面直角坐标系中，，，若的面积为，且点在坐标轴上，则符合条件的点的坐标为__________．【答案】或或或【解析】解：①如图所示，若点C在x轴上，且在点A的左侧时，∵∴OB=3∴S△ABC=AC·OB=6 解得：AC=4∵，∴此时点C的坐标为：；②如图所示，若点C在x轴上，且在点A的右侧时，同理可得：AC=4 ∴此时点C的坐标为：；图①图②③如图所示，若点C在y轴上，且在点B的下方时，∵∴AO=2 ∴S△ABC=BC·AO=6 解得：BC=6∵∴此时点C的坐标为：；④如图所示，若点C在y轴上，且在点B的上方时，同理可得：BC=6 ∴此时点C的坐标为：. 故答案为：或或或.图③图④【点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标，根据C点的位置分类讨论是解决此题的关键.2．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，则的面积是________.【答案】9.【解析】如图，.【点拨】利用网格特点，将所求的的面积转化为规则图形面积的差即可.本题考查了坐标系中三角形面积的计算，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.二、解答题3．如图，在平面直角坐标系中，、．求的面积．【答案】【解析】如图，过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值，然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD．解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．∵A（3，4），B（5，1），∴OC=3，AC=4，OD=5，BD=1.∴S△AOC=×OC•AC=×3×4=6，S△BOD=OD•BD=×5×1=，S梯形ACDB=( BD+AC)•CD=×(1+4)×2=5，∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-=.【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质．通常采用“割补法”解答此类题目．4．在平面直角坐标系中描出点A（﹣2，0）、B（3，1）、C（2，3），将各点用线段依次连接起来，并解答如下问题：（1）在平面直角坐标系中画出△ A′B′C′，使它与△ ABC 关于x 轴对称，并直接写出△ A′B′C′三个顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】(1)作图见解析；A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；（2）5.5【解析】（1）在坐标系内画出△ABC，再作出各点关于x轴的对称点，顺次连接各点即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）如图所示，由图可知A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；2）由图可知，S△ABC=5×3-×5×1-×3×4-×2×1，=15--6-1=5.5．【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）B（2，0）C（4，3），（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系——面积专题 学案
课题： 平面直角坐标系——面积专题【学习目标】1、复习平面直角坐标系中的坐标平移的相关知识2、在平面直角坐标系中如何求图形的面积【重 点】巧妙利用点的坐标求图形的面积【难 点】巧妙利用点的坐标求图形的面积【学习过程】一复习导入：1、平面直角坐标系中点左右平移，点的坐标如何变化？2、平面直角坐标系中点上下平移，点的坐标如何变化？二.例题研究：探究题1．如图，△ABC 在直角坐标系中，（1）请写出ABC ∆各点的坐标；（2）若把△ABC 向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到'''A B C ∆，在图中画出三角形ABC 变化后的位置，写出A ′、B ′、C ′的坐标；（3）求出△ABC 的面积．【分析】解：观察平面直角坐标系得：（1）A （-2，-2），B （3，1），C （0，2）；（2）△A′B′C′如图所示，A′（-3，0）、B′（2，3），C′（-1，4）；（3）△ABC 的面积=5×4-12×2×4-12×5×3-12×1×3， =20-4-7.5-1.5，=20-13，=7．三、训练提升2．在平面直角坐标系中，ABC V 经过平移得到三角形A B C '''V ，位置如图所示： （1）分别写出点A 、A '的坐标：A ______________，A '_____________；（2）若点(),M m n 是ABC V 内部一点，则平移后对应点M '的坐标为_____________；（3）求ABC V 的面积．四、课堂小结在平面直角坐标系中利用点的坐标求图形的面积五.课后作业3．在如图所示的平面直角坐标系中．（1）描出(00)A ，，(36)B ，，(148)C ，，(160)D ，．并连接AB BC CD ，，． （2）求出四边形ABCD 的面积．学案答案:三、训练提升： 2．（1）()1,0A ；()'4,4A -；（2）()'5,4M m n -+；（3）7 解：（1）()1,0A ；()'4,4A - （2）()'5,4M m n -+（3）111442441237222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ 3．(1)四边形ABCD 如图所示．（2）94。
人教版七年级数学下册《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计
人教版七年级第二册第七章《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计一、教学内容：平面直角坐标系中面积的计算问题。
二、设计理念：课堂中应该充分发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识。
七年级学生的思维比较活跃，具有了一定的自主探究、分析问题和解决问题的能力，应培养学生的逻辑分析能力和准确语言表达能力，让学生通过操作、探究、讨论、总结得到平面直角坐标系中面积的计算方法。
教学中，教师是教学情景的设计着，是学生学习的引导者和促进者，应培养学生自主学习和探究学习的能力，培养学生良好的学习习惯和品质，培养学生的积极性、主动性、独立性和创造性。
三、教学目标：1.进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；2.通过对数学图形规律探究的过程中培养学生的数学思维；四、学情分析：本节课是一节复习课，在此之前，学生已经学习了平面直角坐标系的有关概念，了解了点的坐标意义以及学习了坐标的平移与应用，并且会计算三角形、正方形、长方形等简单图形的面积，本节课通过教师的引导，学生独立思考，将前面所学习的这些知识综合起来，逐步展开知识点，由简到难，让学生学会利用平面直角坐标系求解图形面积，进一步让学生体会数形结合、转化数学思想。
五、重、难点：学习重点：建立平面直角坐标系求解图形面积以及根据图形面积求点的坐标；学习难点：运用割补法求解平面直角坐标系中图形面积；六、教学课时：1课时七、教学准备：多媒体，PPT ，学案，三角板；八、教学过程：1.知识回顾：（1）平面直角坐标系中坐标点与线段之间的关系：①A （1x ,y ）,B(2x ,y ) 纵坐标相等的两个点所形成的线段长度为： ②A （x ,1y ）,B( x ,2y ) 横坐标相等的两个点所形成的线段长度为： 例1：1.若A(3,2)，B(-1,2)，则线段AB=2.若A(-2,-3)，B(-2,-1),则线段AB=【设计意图：回顾平面直角坐标系中面积的计算问题中相关知识，结合坐标图形让学生更加直观明白平面直角坐标系中点坐标与线段长度之间联系】（2）平面直角坐标系中坐标点到坐标轴距离：①点A （x,y ）到X 轴距离表示为：②点A （x,y ）到Y 轴距离表示为：例2：若A(-3,2)，则到X 轴的距离为： 到Y 轴的距离为：【设计意图：通过复习点到坐标轴的距离，进而为后面点到直线距离的理解铺垫，同时也让学生明白平面直角坐标中三角形的高是什么，高为多少】（3）思考：平面直角坐标系内的点与图形面积之间有何联系？【设计意图：进一步认识平面直角坐标系中坐标点、线段、图形面积之间对应关系，为在具体问题中应该如何规范解题提供依据】2.课堂探究：例3：在平面直角坐标系中，原点O(0,0),已知点A(0,3),B(4,0)，求三角形OAB的面积；【设计意图：通过例题，引导学生利用数形结合思想解决此类问题，让学生感受求解三角形面积需要找到三角形的“底”和“高”对应线段，应用“底×高÷2”直接计算面积，同时规范学生作答，板书时紧扣思考3中平面直角坐标系内的点与图形面积联系】变式1：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(4,0)，C(-2,0),求三角形CAB的面积；【设计意图：通过变式，让学生经历求平面直角直角坐标系中有关三角形面积问题，对此类问题的解决方案有一个系统的方法】练习1：在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(4,0)，C(-2,4),求三角形CAB的面积；【设计意图：由图形的差异，让学生明白三角形的底不一定在“下面”，引导学生去找钝角三角形的高，使学生更加熟练的掌握由点到线段再到三角形面积的求解过程】例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？思考1：此时△ABC的面积可以采用“底×高÷2”吗？为什么？思考2：那如何计算△ABC的面积？【设计意图：让学生明白平面直角坐标系内的三角形不是所有面积都可以用“底×高÷2”，让学生明白为什么此类三角形不能用直接法，进而让学生学会判断哪类图形不可以直接法求三角形面积，同时引出间接法“割补法”，将三角形问题转化为四边形问题进行解决。
巧用坐标求图形的面积的四种方法
专项训练2巧用坐标求图形的面积的四种方法方法总结：1.规则图形的面积可用几何图形的面积公式求解，对于不规则图形的面积，通常可采用补形法或分割法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差求解．2．求几何图形的面积时，底和高往往通过计算某些点的横坐标之差的绝对值或纵坐标之差的绝对值去实现．方法1：直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求△ABC的面积．(第1题)方法2：利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．(第3题)方法3：利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．(第4题)方法4：已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若△AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－3，0)，B(5，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，求点C的坐标，并求△ABC的面积；(2)若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C 点的坐标为(－4，4)，所以△ABC 的AB 边上的高为4.因为点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(4，0)，所以AB ＝6.所以S △ABC ＝12×6×4＝12. 2．解：如图．过D 点作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． 又由题意知DE ＝2，AB ＝6，BE ＝3，EC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S △CDE＝12×(2＋6)×3－12×1×2 ＝11.(第2题)3．解：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18. (第3题)(第4题)4．解：如图，过A 点作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过B 点作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知OD ＝4，AD ＝10，DE ＝8，BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝100.方法指导：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法不是唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法．5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·|m|＝12， 即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限．当点C 在第一象限时，m ＞0，则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，所以点C 的坐标为(－3，3)，S △ABC ＝12×[5－(－3)]×3＝12. (2)由题意可知AB ＝8.因为点C 在第四象限内，|x|＝4，所以x ＝4.因为△ABC 的面积为8，所以S △ABC ＝12×8×|y|＝8. 所以|y|＝2.又因为点C 在第四象限内，所以y ＝－2.所以点C 的坐标为(4，－2)．。
平面直角坐标系知识梳理及经典题型(教师版)
平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。
记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；a,）一一对应；其1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；2、点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零； （四）在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1、点P 到x 轴的距离为b ； 2、点P 到y 轴的距离为a ；3、点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2、在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；（六）对称点的坐标特征：1、点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；象限 横坐标x纵坐标y第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限正负P （b a ,）abxy OXYA BmXYC Dn2、点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；2、若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
平面直角坐标系求解题技巧
平面直角坐标系求解题技巧平面直角坐标系是二维坐标系的一种，由两个互相垂直的轴组成，分别为x轴和y轴，通常以原点O为起点，x 轴正方向为右侧，y轴正方向为上方。
这个坐标系在解决各种几何和代数问题时非常有用，以下是一些求解题的技巧：1. 明确问题：在使用直角坐标系求解问题之前，首先需要明确问题中所给出的信息和需要求解的未知量。
通常可以使用字母来代表未知量，并利用已知信息建立方程或关系。
2. 绘制坐标系：在明确问题后，可以根据问题中的条件和已知信息绘制出对应的直角坐标系图。
通过将已知点或线段标记在坐标系中，并与坐标轴进行对应，有助于理清问题的几何关系。
3. 利用距离和斜率：直角坐标系中，两点之间的距离可以根据勾股定理求解。
设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则两点间的距离d为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) 。
斜率可以用来判断两条直线是否平行、垂直或相交。
设直线L1上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，直线L2上两点的坐标分别为(x3, y3)和(x4, y4)，则两条直线的斜率分别为：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) 和 m2 = (y4 - y3) / (x4 - x3)。
当两条直线平行时，斜率相等；当两条直线垂直时，斜率乘积为-1。
4. 利用方程和代数关系：通过建立方程或代数关系，可以解决一些几何问题。
例如，已知一条直线上的两点坐标，可以利用点斜式或一般式建立直线的方程。
点斜式方程为：y - y1 = m(x - x1)，其中m为斜率，(x1, y1)为已知点的坐标。
一般式方程为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，直线的斜率可表示为m = -A/B。
通过将已知信息转化为方程或代数形式，可以运用代数求解的方法来求解问题。
5. 利用图形的对称性：在直角坐标系中，图形可能具有各种对称性，如关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
三角形在平面直角坐标系中的面积公式
三角形在平面直角坐标系中的面积公式1. 三角形的魅力说到三角形，大家可能会想，这小东西有什么好说的？但其实，三角形在我们生活中可真是随处可见，像一块披萨，一片蛋糕，甚至是你最爱的屋顶形状。
想象一下，坐在家里的阳台，喝着冰镇饮料，看着三角形的屋顶，心里是不是美滋滋的？可别小看这几条边，它们可是数学的超级明星。
今天我们就来聊聊三角形在平面直角坐标系中的面积公式，绝对让你感叹“原来如此”！2. 面积公式的来历2.1 从基础开始首先，大家得知道，三角形的面积公式其实是个简单的公式：( S = frac{1{2 times 底 times 高 )。
这个公式就像煮方便面一样简单，底和高的乘积，再除以二，哎呀，方便得很！不过，想要在坐标系中找到这两个值，那可得动动脑筋。
2.2 坐标系中的三角形在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点可以是任意的坐标，比如说 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
为了计算面积，我们得想办法找到底和高。
底可以是任意两点之间的距离，而高则是从第三个点到底边的垂直距离。
听起来复杂，其实就是在玩一场拼图游戏，找对了位置，面积自然就出来了。
3. 用公式计算面积3.1 计算过程来，咱们用一个公式吧，面积 S 的计算可以用如下公式来表达：。
S = frac{1{2 | x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) | 。
看，数学的魅力在于它的简洁和优雅！你只需要把点的坐标代进去，算一算，就能得到最终的面积。
感觉就像是在做一场魔术，把数据变成美丽的数字。
3.2 举个例子假如我们有三角形的顶点 A(1, 2)，B(4, 6)，C(5, 1)，让我们来计算一下面积。
把这些坐标代入上面的公式，算一算：。
S = frac{1{2 | 1(6 1) + 4(1 2) + 5(2 6) | 。
经过一番计算，我们就能知道这个三角形的面积是多少，简直就像是找到了隐藏在沙滩里的贝壳，特别有成就感！4. 实际应用4.1 生活中的应用那么，三角形的面积公式到底有什么用呢？实际上，它在建筑、设计、甚至在我们的日常生活中都大有用处。
平面直角坐标系中的面积
(建议用时45分钟)基础巩固1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()A．2B．4C．8 D．6B解析：由图可知A(0,2)，B(－1,0)，C(3,0)，∴OA＝2，BC＝3－(－1)＝4．∴S△ABC ＝12BC·OA＝12×4×2＝4．故选B．2．如图，直角坐标系中四边形的面积是()A．4B．5.5C．4.5 D．5C解析：过A点作x轴的垂线，垂足为E．直角坐标系中四边形的面积为：1×1÷2＋1×2÷2＋(1＋2)×2÷2＝0.5＋1＋3＝4.5．故选C．3．如图，平行四边形ABCD的面积为_____________．9 解析：由图可知，平行四边形ABCD 的底为3，高为3，∴ S 平行四边形ABCD ＝3×3＝9．故答案为9．4．如图，在三角形AOB 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,4)和(6,2)，求三角形AOB 的面积．答案：10解析：如图，过A 作水平线l 交y 轴于点E ，过B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C ，交x 轴于点D ．则S 矩形ECDO ＝6×4＝24， S Rt △AEO ＝12×4×2＝4， S Rt △ABC ＝12×2×4＝4， S Rt △OBD ＝12×6×2＝6，∴ S △OAB ＝S 矩形ECDO －S Rt △ABC －S Rt △AEO －S Rt △OBD ＝10．∴ 三角形AOB 的面积是10．5．如图，将△ABC 沿x 轴正方向平移2个单位长度，再沿y 轴负方向平移1个单位长度得到△EFG ．(1)画出△EFG ，并写出△EFG 的三个顶点坐标； (2)求△EFG 的面积．答案：(1)见解析 (2)9解析：(1)图中△EFG 即为所求，E (3,1)，F (0，－2)，G (5，－3)． (2)过点E 作水平线l 1交y 轴于点Q ，过点G 作水平线l 2交y 轴于点R ，过点G 作l 3∥y 轴交l 1于点P ．∴ S △EFG ＝S 矩形PQRG －S △EFQ －S △FRG －S △GPE ＝4×5－12×3×3－12×5×1－12×2×4＝9．能力提升6．如图在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A (2,3)，B (5,0)，C (4,1)，则△AOC 的面积是( )A．5B．10C．75D．15A解析：过点A作AD垂直于x轴，垂足为D，则D(2,0)．过点C作CE 垂直于x轴，垂足为E，则E(4,0)．∵O(0,0)，A(2,3)，C(4,1)，B(5,0)，∴AD＝3，OB＝5，CE＝1．∴△ABO的面积＝12×OB×AD＝12×5×3＝152，△OCB的面积＝12·OB·CE＝12×5×1＝5 2．∵△AOC的面积＝△ABO的面积－△OCB的面积，∴△AOC的面积＝15 2－52＝5．故选A．7．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答下面的问题．(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)求多边形ABCDEF的面积．答案：(1)见解析(2)见解析(3)27解析：(1)A(－2,0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4,0)，E(3,3)，F(0,3)．(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．(3)S 多边形ABCDEF ＝S 三角形ABF ＋S 矩形BCEF ＋S 三角形CDE＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A (0,1)，B (5,1)，C (7,3)，D (2,5)．(1)填空：四边形ABCD 内(边界点除外)一共有________个整点(即横坐标和纵坐标都是整数的点)；(2)求四边形ABCD 的面积． 答案：(1)13 (2)17解析：(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点B 作BG ⊥CF 于点G ，如图所示．∵ S 四边形ABCD ＝S 三角形ADE ＋S 三角形DFC ＋S 四边形BEFG ＋S 三角形BCG ，S 三角形ADE ＝12×2×4＝4，S 三角形DFC ＝12×2×5＝5，S四边形BEFG＝2×3＝6，S三角形＝BCG 12×2×2＝2，∴S四边形ABCD＝4＋5＋6＋2＝17．拓展训练9．平面直角坐标系中，O为原点，点A(0,2)，B(－2,0)，C(4,0)．(1)如图1，则△ABC的面积为________．(2)如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求△ACD的面积；②点P(m,3)是一动点，若△P AO的面积等于△CAO的面积，请直接写出点P 的坐标．答案：(1)6(2)①9②P(－4,3)或(4,3)解析：(2)①∵点B(－2,0)向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，∴D(5,4)．连接OD．S△ACD＝S△AOD＋S△COD－S△AOC＝12×2×5＋12×4×4－12×2×4＝9．②∵△P AO的面积等于△CAO的面积，∴12×2×||m＝12×2×4．解得m＝±4．∴ P (－4,3)或(4,3)．10．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A (0,10)，B (15,0)，AC ∥x 轴，点D 是AO 上的一点，点P 以每秒2个单位长度的速度在射线AC 上运动，连接DP ，DB ，设点P 的运动的时间为t 秒．(1)求△OBP 的面积；(2)当S △OAP ＝12S 四边形OBP A 时，求点P 运动的时间是多少． 答案：(1)75 (2)152 秒解析：(1)∵ AC ∥x 轴，点P 在射线AC 上运动，且A 点纵坐标为10， ∴ y P ＝10．∵ B (15,0)，∴ OB ＝15．∴ S △OBP ＝12OB ·y P ＝12×15×10＝75．(2)根据题意可知：四边形OBP A 为直角梯形，OA ＝10，AP ＝2t ， ∴ S △OAP ＝12OA ·AP ＝12×10×2t ＝10t ，S 梯形OBP A ＝12(AP ＋OB )·OA ＝12×(2t ＋15)×10＝10t ＋75． ∵ S △OAP ＝12S 梯形OBP A ， ∴ 10t ＝12(10t ＋75)． 解得t ＝152．故点P 运动的时间为 152 秒．。
专题11 平面直角坐标系(归纳与讲解)(解析版)
专题11平面直角坐标系【专题目录】技巧1：点的坐标变化规律探究问题技巧2：巧用坐标求图形的面积技巧3：活用有序数对表示点的位置技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【题型】一、用有序数对表示位置【题型】二、求点的坐标【题型】三、距离与点坐标的关系【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征【题型】六、点的坐标的规律探索【题型】七、函数图象的应用【考纲要求】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【考点总结】一、平面直角坐标系【考点总结】二、函数有关的概念及图象【注意】1、坐标轴上的点不属于任何象限点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法 （1）整式：取全体实数 （2）有分母：取值使分母不为零（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0 （4）有很多情况：取它们的公共部分 （5）在实际问题中：取值要符合实际意义 【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2 019秒时，点P 的坐标是( )(第1题)A ．(2 018，0)B ．(2 019，－1)C ．(2 019，1)D ．(2 020，0)2．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P 的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P 的坐标是________．3．如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x 轴或y 轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，其中x ，y 均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A ．(16，22)B ．(－15，－22)C ．(15，－22)D ．(16，－22) 【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 018的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则点A 4的坐标是________，点B 4的坐标是________；(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB 进行n(n 为正整数)次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________． 参考答案1．B 点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为12×2π×1＝π，因为点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，所以点P 1秒走12个半圆．当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，－1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)； ….因为2 019÷4＝504……3，所以第2 019秒时，点P 的坐标是(2 019，－1)． 2．(2 017，1)；(2 018，0) 3．(1)6分钟 (2)(44，7)4．C 点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：正方形在第四象限的顶点 因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以数2 025对应的坐标为(22，－22)． 所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．5．D 点拨：设P 1(x ，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，所以x2＝1，y ＋22＝－1，解得x ＝2，y ＝－4，所以P 1(2，－4)．同理可得P 2(－4，2)，P 3(4，0)，P 4(－2，－2)，P 5(0，0)，P 6(0，2)，P 7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P 2 018的坐标是(－4，2)．故选D . 6．(1)(16，3)；(32，0)(2)(2n ，3)；(2n ＋1，0) 技巧2：巧用坐标求图形的面积 【类型】一、直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC 的面积．【类型】二、利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD 的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C点坐标为(－4，4)，所以三角形ABC 的AB 边上的高为4. 又由题易知AB ＝6， 所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.2．解：如图所示．过点D 作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S 三角形C DE ＝12×(2＋6)×3－12×1×2＝11.3．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12·AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18.方法二：如图，过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别为点E ，F.易知AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6，所以S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE·BE －12BF·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：如图，过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D ，E. 易知AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，所以S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S 三角形ABE －S 三角形ADC＝12(BE ＋CD)·DE －12AE·BE －12AD·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.4．解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，且BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法． 5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限． 当点C 在第一象限时，m ＞0， 则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点C 的坐标为(－4，4)． 又易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.(2)由题意可知AB ＝6.因为点C 在第四象限，|x|＝3，所以x ＝3.因为S 三角形ABC ＝12×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y ＝－3.所以点C 的坐标为(3，－3)． 技巧3：活用有序数对表示点的位置 【类型】一、利用有序数对表示座位号1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【类型】三、利用有序数对表示地理位置3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？【类型】四、利用有序数对表示运动路径4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)参考答案1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，石玲同学的座位可以表示为(4，5)．2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．(2)答案不唯一，如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．【类型】二、坐标轴上的点的坐标3．若点M的坐标为(－a2，|b|＋1)，则下列说法中正确的是()A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的角平分线上？(2)点P在第一、三象限的角平分线上？6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为() A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．【类型】五、关于坐标轴对称的点9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是()A．(－4，3)B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．【类型】六、关于特殊直线对称的点12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为()A．(3，5)，(5，3)B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3) 13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．参考答案1．B2．m＞2点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．C点拨：由－a2可确定a＝0，所以－a2＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(－a2，|b|＋1)在y轴正半轴上．4．(0，－8)5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．7．C点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．9．C10.－611.－2；312．B点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．13．(9，4－m)；17点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．【题型讲解】【题型】一、用有序数对表示位置例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．【题型】二、求点的坐标例2、如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：①O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，①OD ＝6，①四边形OBCD 是正方形，①OB ①BC ，OB =BC =6 ①C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．【题型】三、距离与点坐标的关系例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C 【解析】 由题意，得 x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标例4、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．(－2，2)或(2，－2)【答案】C 【解析】已知点M 在第一、三象限的角平分线上，点M 到x 轴的距离为2，所以点M 到y 轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M 的坐标为（2，2）；点M 在第三象限时，点M 的坐标为（-2，-2）．所以，点M 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C ． 【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征例5、已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ①y 轴，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3C ．﹣1D ．5【答案】B 【详解】 解：①AB①y 轴，①点A 横坐标与点A 横坐标相同，为1， 可得：a -2=1，a=3 故选：B ．【题型】六、点的坐标的规律探索例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．【题型】七、函数图象的应用例7、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．【答案】C【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题． 【详解】本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．平面直角坐标系（达标训练）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A (a ，2)在第二象限内，则a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．-3C ．4D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可； 【详解】解：①点A (a ，2)在第二象限内， ①a ＜0， A ．不符合题意；B ．符合题意；C ．不符合题意；D ．不符合题意； 故选： B ．【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键． 2．若点(),1A a a -在x 轴上，则点()1,2B a a +-在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由点A 在x 轴上求得a 的值，进而求得点B 坐标，进而得到答案． 【详解】解：点(),1A a a -在x 轴上， 10a ∴-=，即1a =，则点B 坐标为()2,1-， ∴点B 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋①的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋①的位置可用有序数对表示为（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋①的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋①的坐标为（-2，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD①AC，①①1=①A=40°①港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（）A ．修车花了25分钟B ．小明家距离学校1000米C ．修好车后骑行的速度是200米/分钟D ．修好车后花了15分钟到达学校【答案】C【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．【详解】解：A ．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B ．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；C ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；D ．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．二、填空题6．已知点()29,62A m m --在第三象限．则m 的取值范围是______． 【答案】3<m <4.5【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可． 【详解】解：①点A （2m −9,6−2m ）在第三象限， ①2m −9＜0且6−2m ＜0， ①3＜m ＜4.5， 故答案为： 3＜m ＜4.5【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M （－2，2）、N （1，－1）， 则A 、B 、C 三个点中为坐标系原点的是____．【答案】A【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.【详解】解：①M（－2，2）,①A是坐标原点.故答案为A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.三、解答题8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析(2)在同一直线上．函数表达式为：66y x =+ (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．（3）根据（2）中的表达式可求出当9x =时，精密电子秤的读数．（4）根据（2）中的表达式可求出当72y =时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． （1） 解：如图所示（2）解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为：y kx b =+将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得6218b k b =⎧⎨+=⎩解得66a b =⎧⎨=⎩∴函数表达式为：66y x =+（3）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当9x =时，60y =∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．（4）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当72y =时，11x =起始时间是上午7:30∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．平面直角坐标系（提升测评）一、单选题1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(1,1)-，点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(1,2)--D ．(1,1)-【答案】A【分析】利用已知点A 、B 的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， ①点C 的坐标为（1，﹣2）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键． 2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（ ）A ．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B ．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C ．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D ．以上都不对 【答案】A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A ． 【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走， 故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d ，存活率为h ．如图，在平面直角坐标系中画出点（d ，h ），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A （d 1，h 1）、B （d 2，h 2）、C （d 3，h 3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）A ．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种B ．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种C ．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种D ．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种 【答案】B【分析】根据图象，比较A 、B 、C 三点的存活率和树冠直径即可得出答案． 【详解】根据题意和图象可得，213h h h >>，231d d d >>， ①乙树种是最优的，①甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径， ①丙树种优于甲树种，①乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种， 故选：B ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．4．点A 在第二象限，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点A 的坐标为（ ） A ．()5,3- B ．()3,5-C ．()5,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：①点A 在第二象限， ①点的横坐标为负数，纵坐标为正数，①点距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度， ①点的坐标为（-5，3）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．5．如图，雷达探测器发现了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个目标．目标C ，F 的位置分别表示为C （6，120°），F （5，210°），按照此方法表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示正确的是（ ）A ．A （4，30°）B ．B （1，90°）C ．D （ 4，240°） D ．E （3，60°）【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A （5，30°），B （2，90°），D （4，240°），E （3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知A 、B 、D 、E 的坐标可表示为：A （5，30°），故A 不正确；B （2，90°），故B 不正确；D （4，240°），故C 正确；E （3，300°），故D 不正确．故选择：C ．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C 、F 两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，。
专题 在平面直角坐标系中求图形的面积(四大题型)(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第5章 平面直角坐标系》专题训练 在平面直角坐标系中求图形的面积【例题1】（2023春•青龙县期中）如图，已知三角形ABC 如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C （﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）A．4B．6C．8D．1【变式1-1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）A．4B．6C．12D．24【变式1-2】（2023•岳麓区校级开学）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（0，3），C（0，﹣1），则△ABC的面积为（ ）A．4B．6C．4.5D．5【变式1-3】（2023春•思明区校级期中）已知点A（1，2a+1），B（﹣a，a﹣3），若线段AB∥x轴，则三角形AOB的面积为（ ）A．21B．28C．14D．10.5【变式1-4】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；（2）求三角形ABC的面积．【变式1-5】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【变式2-3】（2023春•双柏县期中）在直角坐标系中，已知A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），画出三角形并求三角形AOB的面积．【变式2-4】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，（1）请写出△ABC各点的坐标；．（2）求出S△ABC【变式2-5】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；（3）求三角形ABC的面积．【变式2-6】（2023秋•浏阳市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（﹣1，2）．（1）请面出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）直接写出A 1，B 1，C 1三点的坐标；（3）求△ABC 的面积．【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A （4，0），B （3，4），C （0，2），则四边形ABCO 的面积为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为A （﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．（1）确定这个四边形的面积（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积．【变式3-3】如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（1，7），C（5，5），D（7，0）．试求这个四边形的面积．【变式3-4】如图，面积为12cm 2的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应的坐标如图所示（a ，b 为常数），（1）求点D 、E 的坐标；（2）求四边形ACED 的面积．【变式3-5】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （2，4），B （6，6），C （8，2），求四边形OABC 的面积．【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O （0，0），点A （﹣3，2），点B 在y 轴上，若△AOB 的面积为12，则点B 的坐标为（ ）A ．（0，8）B ．（0，4）C ．（8，0）D ．（0，﹣8）或（0，8）【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．（1）求S；四边形ABCO；（2）连接AC，求S△ABC＝8？若存在，请求点P坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-5】（2022秋•渭滨区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C （4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．【变式4-6】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝ ，b＝ ；（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m=−32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标；（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．专题难点突破练3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2022秋•竞秀区期末）已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为（﹣4，1），点B坐标为（1，1）．（1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为 ；（2）依次连接A，B，C，A，得到△ABC，请判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点C关于直线AB的对称点为点D．则点D的坐标为 ；（4）在y轴上找一点F，使△ABF的面积等于△ABD的面积，点F的坐标为 ．6．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，△ABC的面积为 ；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求△ACD的面积；②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．7．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．8．（2023春•涵江区期中）如图1，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足（a﹣4）2=0．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图2，点C（m，n）在线段AB上，且满足n﹣m＝5，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且S△MBC ＝S△MOD，求点D的坐标；（3）平移直线AB，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线EF上且位于第三象限内的一个点，过点P作PG⊥x轴于点G，若S△PAB＝20，且GE＝12，求点P的坐标．9．（2023春•武汉期中）在平面直角坐标系中，点A 、B 分别是x 轴和y 轴的正半轴上的点，C 点在第一象限，它们的坐标分别是A （a ，0），B （0，b ），C （a ﹣1，2b ），且满足|a−4|+=0．（1）直接写出四边形AOBC 的面积 ；（2）点P 是x 轴上一个动点，当△APC 的面积等于8时，求点P 的坐标；（3）将线段AC 平移至线段MN （点A 的对应点为M ，点C 的对应点为N ），且点M 在线段OB 上，当△MAC 的面积为152时，求点N 的坐标．。
《平面直角坐标系》考点解析
七年级数学下册第七章《平面直角坐标系》考点分析考点一 坐标系的理解例1、平面内点的坐标是（ ）A 一个点B 一个图形C 一个数D 一个有序数对1．在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ）A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平面内 考点二、确定字母的取值范围【例2】若点P(a ，a-2)在第四象限，则a 的取值范围是( )A.-2＜a ＜0B.0＜a ＜2C.a ＞2D.a ＜0【分析】根据每个象限内的点的坐标特征列不等式(组)求解.四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-). 【解答】根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，得0,20,a a >-<⎧⎨⎩解得0<a<2.故选B.【方法归纳】解答此类题的关键是根据平面直角坐标系内点的特征，列出一次不等式(组)或者方程(组)，解所列出的不等式(组)或者方程(组)，得到问题的解.1.如果m 是任意实数，那么点P(m-4,m+1)一定不在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.点P(2a ，1-3a)是第二象限内的一个点，且点P 到两坐标轴的距离之和为4，则点P 的坐标是__________.考点三 用坐标表示地理位置【例3】2008年奥运火炬在我省传递(传递路线：昆明—丽江—香格里拉),某校学生小明在我省地图上设定临沧位置点的坐标为(-1,0),火炬传递起点昆明位置点的坐标为(1,1).如图,请帮助小明确定出火炬传递终点香格里拉位置点的坐标__________.【分析】因为设定临沧位置点的横坐标为-1,昆明位置点的横坐标为1,所以可以得到每个小方格的边长为1,且y 轴在这两座城市之间的竖直直线上;同理得到x 轴在临沧所在的水平线上,从而得到如右图的平面直角坐标系，利用平面直角坐标系得出香格里拉所在位置点的坐标.【解答】(-1,4)【方法归纳】在平面内如果已知两点的坐标求第三个点的坐标时,通常根据已知两点的横坐标和纵坐标分别确定y 轴和x 轴的位置,从而建立平面直角坐标系,然后求出第三个点的坐标.3.如图,如果用(0,0)表示梅花的中心O,用(3,1)表示梅花上一点A,请用这种方式表示梅花上点B 为( )A.(1,-3)B.(-3,1)C.(3,-1)D.(-1,3)4.如图是小刚画的一张脸,他对妹妹说“如果我用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼”,那么嘴的位置可以表示成( )A.(1,0)B.(-1,0)C.(-1,1)D.(1,-1)3题 4题 5题5.中国象棋的走棋规则中有“象飞田字”的说法,如图,象在点P 处,走一步可到达的点的坐标记作__________.考点四 图形的平移与坐标变换【例4】已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC 向下平移5个单位,再向左平移2个单位,则平移后C 点的坐标是( )A.(5,-2)B.(1,-2)C.(2,-1)D.(2,-2)【解析】由△ABC 在平面直角坐标系中的位置可知点C 的坐标为(3,3),将△ABC 向下平移5个单位,再向左平移2个单位后,点C 的横坐标减2,纵坐标减5,所以平移后C 点的坐标是(1,-2).故选B.【方法归纳】在平面直角坐标系中点P(x,y)向右(或左)平移a 个单位后的坐标为P(x+a,y)［或P(x-a,y)］;点P(x,y)向上(或下)平移b 个单位后的坐标为P(x,y+b)［或P(x,y-b)］.6.如图,在边长为1的正方形网格中,将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移三个单位长度得到△A ′B ′C ′,则点B ′的坐标是( )A.(0,-1)B.(1,2)C.(2,-1)D.(1,-1)7.如图，A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB 平移至A 1B 1，A 1，B 1的坐标分别为(2，a)，(b ，3)，则a+b=__________.6题7题8题考点五直角坐标系内图形的面积【例5】在平面直角坐标系xOy中,若A点坐标为(-3,3),B点坐标为(2,0),则△ABO的面积为( ) A.15 B.7.5 C.6 D.3【解析】∵点A到x轴的距离为3,而OB=2,∴S△ABO=12×2×3=3.故选D.【方法归纳】求平面直角坐标系中平面图形的面积时,常常利用平行于坐标轴的线段当底,点的横或者纵坐标的绝对值当高.不规则图形的面积常常通过割补法转化为几个规则图形的面积求解.8.已知：点A、点B在平面直角坐标系中的位置如图所示，则：(1)写出这两点坐标：A__________，B__________；(2)求△AOB的面积.考点六规律探索型【例6】如图，已知A1(1，0)、A2(1，1)、A3(-1，1)、A4(-1，-1)、A5(2，-1)、….则点A2 015的坐标为__________.【解析】要求A2 015的坐标，可先从简单的点的坐标开始探究，发现其中的规律.从各点的位置可以发现：A1(1,0)，A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)；A5(2,-1)，A6(2,2)，A7(-2,2)，A8(-2,-2)；A9(3,-2)，A10(3,3)，A11(-3,3)，A12(-3,-3)；….因为A3(-1，1)，A7(-2，2)，观察坐标系可知：A11(-3，3)，A15(-4，4)，其横、纵坐标互为相反数.把A3、A7、A11、A15右下角的数字提出来，可整理为：3＝3+4×0；A3(-1，1)7＝3+4×1；A7(-2，2)11＝3+4×2；A11(-3，3)15＝3+4×3 A15(-4，4)…………因为2 015＝3+4×503，所以A2 015(-504，504).【方法归纳】规律探究题往往是从个例、特殊情况入手，发现其中的规律，从而推广到一般情况，用适当的式子表示出来即可，这是近几年来考试的一个热点.9.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )A.(4，0)B.(5，0)C.(0，5)D.(5，5)考点七点的对称问题【例7】平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（）A．（－3，2） B．（3，－2） C．（－2，3） D．（2，3）10.李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的队员线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A B、重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角新，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0,2），PM与x轴交于点(,0)N n，如图3.当m=n的值.你解答这个题目得到的n值为（）A.4-B.4C.3-D.3Ax11.如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中(0,0),B(8,0),C(0,4,) 若将△ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处,则E点的坐标是__________.一、选择题(每小题3分,共30分)1.把点A(-2，1)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点B ，点B 的坐标是( ) A.(-5，3) B.(1，3) C.(1，-3) D.(-5，-1)2.在平面直角坐标系中，点(-1，m 2+1)一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比( )A.向右平移了3个单位B.向左平移了3个单位C.向上平移了3个单位D.向下平移了3个单位4.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别是A(4，5)，B(1，2)，C(4，2)，将△ABC 向左平移5个单位后，A 点的对应点A ′的坐标是( )A.(0，5)B.(-1，5)C.(9，5)D.(-1，0) 5.如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，0)表示“帅”的位置，用(3，9)表示“将”的位置，那么“炮”的位置应表示为( )A.(8，7)B.(7，8)C.(8，9)D.(8，8) 6.已知A(-4，3)，B(0，0)，C(-2，-1)，则三角形ABC 的面积为( ) A.3 B.4 C.5 D.67.如图,与①中的三角形相比,②中的三角形发生的变化是( ) A.向左平移3个单位 B.向左平移1个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位8.(2013·东营)若定义：f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如f(1,2)=(-1,2)，g(-4,-5)=(-4,5)，则g ［f(2,-3)］=( )A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)9.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，…，那么点A 4n+1(n 是自然数)的坐标为()A.(1，2n)B.(2n ，1)C.(n ，1)D.(2n-1，1)10.如图,点A 1,A 2,A 3,A 4是某市正方形道路网的部分交汇点.某人从点A 1出发,规定向右或向下行走,那么到达点A 3的走法共有( )A.4种B.6种C.8种D.10种 二、填空题(每小题4分,共20分) 11.若点P(x ，y)的坐标满足x+y ＝xy ，则称点P 为“和谐点”.请写出一个“和谐点”的坐标为________. 12.若点A(x,y)的坐标满足(y-1)2+|x+2|=0，则点A 在第__________象限.13.在平面直角坐标系中，已知线段MN 的两个端点的坐标分别是M(-4，-1)、N(0，1)，将线段MN 平移后得到线段M ′N ′(点M 、N 分别平移到点M ′、N ′的位置)，若点M ′的坐标为(-2，2)，则点N ′的坐标为__________.14.如图是一组密码的一部分.为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”.若“今”所处的位置为(x ，y)，你找到的密码钥匙是__________，破译“正做数学”的真实意思是__________.15.如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 015次运动后，动点P 的坐标是__________.三、解答题(共50分)16.(8分)如图,是某学校的平面示意图.A,B,C,Ｄ,Ｅ,Ｆ分别表示学校的第1,2,3,4,5,6号楼.(1)写出A,B,C,Ｄ,Ｅ的坐标;(2)位于原点北偏东45°的是哪座楼,它的坐标是多少？17.(8分)如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度),如果以O 为原点建立平面直角坐标系,用(2,2.5)表示金凤广场的位置,用(11,7)表示动物园的位置. 根据此规定:(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11,7)和(7,11)是同一个位置吗？为什么？18.(8分)某地为了城市发展,在现有的四个城市A，B，C，D附近新建机场E.试建立适当的直角坐标系,写出点A，B，C，D，E的坐标.19.(12分)如图，三角形ABC三个顶点坐标分别为A(3，-2)，B(0，2)，C(0，-5)，将三角形ABC沿y 轴正方向平移2个单位，再沿x轴负方向平移1个单位，得到三角形A1B1C1.(1)画出三角形A1B1C1，并分别写出三个顶点的坐标；(2)求三角形的面积A1B1C1.20.(14分)如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2,8)，B(-11,6)，C(-14,0),D(0,0).(1)确定这个四边形的面积,你是怎么做的？(2)如果把原来四边形ABCD各个顶点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积又是多少？参考答案变式练习？B1.D 2.(-65,145) 3.B 4.A 5.(0,2)，(4,2) 6.D 7.28.(1)(-1，2) (3，-2)(2)S△AOB=12×1×1+12×1×3=2.9.B复习测试1.B2.B3.D4.B5.A6.C7.A8.B9.B 10.B11.答案不唯一，如：(2，2)或(0，0) 12.二13.(2，4) 14.(x+1，y+2) “祝你成功”15.(2 015，2)16.(1)A(2,3)、B(5,2)、C(3,9)、D(7,5)、E(6,11)；(2)在原点北偏东45°的点是点F,其坐标为(12,12).17.(1)湖心岛(2.5,5)、光岳楼(4,4)、山陕会馆(7,3).(2)不是,因为根据题目中点的位置确定可知水平数轴上的点对应的数在前,竖直数轴上的点对应的数在后,是有序数对.18.答案不唯一.如以点A作为坐标原点,经过点A的水平线作为x轴,经过点A的竖直线作为y轴,每个小方格的边长作为1单位长,建立平面直角坐标系，图略,A(0,0)、B(8,2)、C(8,7)、D(5,6)、E(1,8).19.(1)图略，△A1B1C1即为所求，三个顶点的坐标A1(2，0)，B1(-1，4)，C1(-1，-3).(2)由题意可得出：三角形的面积A1B1C1与△ABC面积相等，则三角形A1B1C1的面积为：12×3×7=21 2.20.(1)将四边形分割成长方形、直角三角形，图略,可求出各自的面积：S长方形①=9×6=54,S直角三角形②=12×2×8=8,S直角三角形③=12×2×9=9,S直角三角形④=12×3×6=9.所以四边形的面积为80.(2)如果把原来四边形ABCD各个顶点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形就是将原来的四边形向右平移两个单位长度形成的,所以其面积不变,还是80.。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
1.面积公式：（1）三角形的面积：S三角形＝1/2×底×高（2）梯形的面积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×高2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三角形面积的求法题型1 三角形有一边在坐标轴上【例1】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三角形有一边与坐标轴平行【例2】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三角形ABC 的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边与坐标轴平行时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平行于坐标轴的一边作为底边.题型3 三角形三边均不与坐标轴平行【例3】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.（1）写出图中所示各顶点的坐标；（2）求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边的三边均不与坐标轴平行时：（1）将原三角形围在一个梯形或长方形中，用长方形或梯形的面积，减去长方形或梯形边缘的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积，这种方法叫做补形法；（2）若三角形内一割线长度已知，并且它平行于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三角形拆分为两个三角形，则两高的长度可得，面积即可求得，这种方法叫做分割法.以上两种方法就是数学几何图形运算中常用的割补法.例题讲授视频三角形面积的求法同学们，例题看明白了吗？方法掌握了吧！快来试试下面的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为．。
坐标与图形面积(解析版)
坐标与图形面积1、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（-3,4），B（-1,-2），则△AOB的面积为（）．A. 5B. 6C. 4D. 32、△ABC三个顶点的坐标分别为A（4,1），B（4,5），C（-1,2），则△ABC的面积为（）．A. 10B. 20C.D.3、如图，已知A（3,2），B（5,0），E（4,1），则△AOE的面积是______．4、求A（4,-1）,B（0,-3）,C（-2,2）三点围成的三角形面积是______．5、在平面直角坐标系中，A（-2,1），B（1,1），C在y轴上，S△ABC=6，求点C的坐标为______．6、平面直角坐标系中，已知A（2,1）、B（5,1）两点，点C在直线x=3上，△ABC的面积是6，则点C的坐标是______．7、如图，平面直角坐标系中，已知A（0,-1）、B（3,0）两点，点C在y轴上，△ABC的面积是6，则点C的坐标是______．8、如图，平面直角坐标系中，已知A（-1,0）、B（3,0）两点，点C在y轴上，△ABC的面积是4，则点C的坐标是______．9、如图，A（1,1）、B（4,2）、C（6,5）______，求△ABC的面积．10、如图，在Rt△AOB中，∠AOB为直角，A（-3,a）、B（3,b），a+b-12=0，则△AOB的面积为______．11、如图，直角坐标系中，已知A（-1,0），B（3,0），C（0,-2）三点，则△ABC的面积是______．12、已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0,-7），B（0,1），C（5,-4），那么△ABC的面积是______．13、已知点A（4,0）和点B（0,a）两点，过A、B两点作直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为6，则点B的坐标是______．14、如图，在直角坐标系中A（-1,3），B（3,-2）．（1）求△AOB的面积；（2）设AB交y轴于点C，求点C的坐标．15、求三角形ABC的面积．（1）如图，A（-4,-5），B（-2,0），C（4,0）．（2）如图，A（-5,4），B（-2,-2），C（0,2）．16、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1,0），B（-3,-3），若BC//OA，且BC=4OA. （1）点C的坐标为______．（2）△ABC的面积等于______．17、在平面直角坐标系中，△ABC是由△A1B1C1平移后得到的，已知点A的坐标为（-3,0），点B的坐标为（1,0），点C的坐标为（-4,-3），若点A1的坐标为（0,3）．（1）请在平面直角坐标系中画出△A1B1C1．（2）点C到x轴的距离是______．（3）求△ABC的面积．18、已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3,4），B（3,-1），C（-3,-2）．（1）在图上画出△ABC，并求△ABC的面积．（2）将△ABC向左移动2个单位长度，再向下移动3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出A1、B1、C1三个点的坐标．19、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．（1）在网格中建立适当的坐标系，点O是坐标原点，点A的坐标为（-1,2），点B坐标为（-2,1），画出△OAB.（2）求S△OAB=______．（直接写出结论）（3）将△OAB沿x轴向右平移2个单位后，得到△O1A1B1，画出平移后的△O1A1B1，并写出其三个顶点的坐标．20、如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，OA=4，OB=4，点C的坐标为，（-2，-3），AC交x轴于点N，BC交y轴于点M．（1）写出点A、点B的坐标．（2）求ΔABC面积．（3）求AM和BN的长．21、已知：A（4,0），B（3,y），点C在x轴上，AC=5．（1）直接写出点C的坐标．（2）若S△ABC=10，求点B的坐标．22、在平面直角坐标系中，点A（0,1），B（2,0），C（4,3）．（1）画出示意图，并求△ABC的面积．（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．23、如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，AO=8，OC=5．（1）若点P在y轴上且S△P AD=S△POC，求点P的坐标．（2）若点P在梯形内且S△P AD=S△POC，S△P AO=S△PCD，求点P的坐标．24、在平面直角坐标系中已知点A（1,0），B（0,2），点P在x轴上，且△P AB的面积为5，求点P的坐标．25、已知以点A（1,1），B（1,3），C（2m+1,5-m）为顶点的三角形的面积为6，求C点的坐标．26、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（-4,5），（-1,3）．（1）请在网格平面内作出平面直角坐标系．（2）将△ABC平移得△A’B’C’，已知A’（2,3），请在网格中作出△A’B’C’，并写出点B’和C’的坐标：B’和C’．（3）△ABC的面积为______．27、如图，在平面直角坐标系内，试写出△ABC各顶点的坐标，并求△ABC的面积．28、△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）试求△ABC的面积．（2）将△ABC向右平移4个单位，再向下平移5个单位，作出平移后的△A1B1C1，并写出各顶点的坐标．29、如图，直角坐标平面内点的A（a,0），B（0,b），C（a,c）的坐标满足|a-c|+（12a-2）2=0，|b-2|≤0，P是线段OC上一动点．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当△CBP的面积等于△OAP的面积时，求P点的坐标．参考答案1、答案：A解答：S△AOB=12×（3+1）×6-12×2×1-12×3×4=5．2、答案：A解答：如图，∵A（4,1），B（4,5），C（-1,2），∴AB=5-1=4，AB//y轴，点C到AB的距离为4-（-1）=5，∴△ABC的面积=12×4×5=10．选A.3、答案：5 2解答：由A、B点坐标，可得E点为线段AB中点，则S△AOE=12S△AOB=12×12×5×2=52．故答案为：52．4、答案：12解答：由A（4,-1），C（-2,2）易得直线AC解析式为y=-12x+1令x=0则y=1即直线AC与y轴交于点D（0,1）∴BD=4如图，分别过点C、A向y轴作垂线∵C（-2,2），A（4,-1）∴△CBD中BD上的高为2，△ABD中BD上的高为4∴S△ABC=S△ABD+S△DBC=12×4×4+12×4×2=8+4=125、答案：（0,5）或（0,-3）；（0,-3）或（0,5）解答：设C（0,n），S△ABC=12×AB×|n-1|，∴6=12×3×|n-1|，|n-1|=4，∴n=5或-3，∴C（0,5）或（0,-3）．6、答案：（3,5）或（3,-3）解答：（3,5）或（3,-3）．7、答案：（0,-5）或（0,3）解答：（0,-5）或（0,3）．8、答案：（0,2）或（0,-2）解答：（0,2）或（0,-2）．9、答案：72．解答：72（采用补的方法求面积）．10、答案：18解答：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∵A（-3,a）、B（3,b），∴AC=a，OC=3，OD=3，BD=b，∴梯形S△AOB=S梯形ACDB-S△AOC-S△BOD=12（a+b）×6-12×3×a-12×3×b=3（a+b）-32（a+b）=32（a+b），而a+b=12，∴S△AOB=32×12=18．故答案为18．11、答案：4解答：△ABC的面积为12×4×2=4．12、答案：20解答：∵A（0,-7），B（0,1），∴AB=1-（-7）=8，∵C（5,-4），∴△ABC的面积是8×5÷2=20．故答案为：20．13、答案：（0,3）或（0,-3）解答：由题意可得S△AOB=12×4×OB=6，∴OB=3，∴点B的坐标是（0,3）或（0,-3）．故答案为：（0,3）或（0,-3）．14、答案：（1）72（2）C（0，74）解答：（1）由A（-1，3），B（3，-2）设直线AB：y=ax+b将A、B坐标代入得y=-54x+74故：AB与x轴交点为（75，0）所以S△AOB=12×75×3+12×75×2=72（2）由①可知AB：y=-54x+74令x=0，得:y=7 4所以C（0，74）15、答案：（1）15（2）12解答：（1）直接用公式法，S=12BC·h=12×6×5=15．（2）割补法，过A向y轴做垂线交y轴于点M，过B向y轴做垂线交y轴于点N．S△ABC=S ABNM-S△AMC-S△NBC=12（2+5）×6-12×5×2-12×4×2=21-5-4=12．16、答案：（1）（1,-3）或（-7,-3）；（2）6解答：（1）∵BC//OA，且BC=4OA，如图所示：∴把点B的横坐标向左平移4个单位即-3-4=-7，纵坐标不变，∴点C（-7,-3）．把点B的横坐标向右平移4个单位即-3+4=1，纵坐标不变，∴点C（1,-3）．（2）如图所示：△ABC的面积等于=12×4×3=6．17、答案：（1）画图见解答．（2）3（3）△ABC的面积为6．解答：（1）△A1B1C1如图所示．（2）点C到x轴的距离为点C纵坐标的绝对值，也就是|y C-3|=3．（3）△ABC以AB为底，则高为点C到直线AB的距离，∵AB与x轴共线，∴点C到直线AB的距离和点C到x轴的距离相等，∴△ABC以AB为底，高为3，AB=1-（-3）=4，∴△ABC的面积为：S=12AB·h=12×4×3=6．18、答案：（1）画图见解答，S△ABC=15．（2）画图见解答，A1（1,1），B1（1,-4），C1（-5,-5）．解答：（1）△ABC如图所示，S△ABC=12×AB×h=12×5×6=15，∴△ABC的面积为15．（2）平移后的图形如图所示．A1（1,1），B1（1,-4），C1（-5,-5）．19、答案：（1）作图见解答．（2）3 2（3）A1（1,2）、B1（0,1）、O1（2,0）．解答：（1）如图：（2）S△AOB=2×2-12×2×1-12×2×1-12×2×1，=4-12-1-1，=32．（3）20、答案：（1）点A的坐标为：（0，4），点B的坐标为：（4，0）．（2）18．（3）AM=6，BN=367．解答：（1）∵OA=4，OB=4，∴点A的坐标为：（0，4），点B的坐标为：（4，0）．（2）∵点B的坐标为：（4，0），点C的坐标为（-2，-3），∴设直线BC解析式为：y=kx+b，∴0=4k+b且-3=-2k+b解得：k=12；b=-2∴y=12x-2当x=0，y=-2，∴OM=2，∴△ABC的面积为：S△ABM+S△ACM=1 2×AM×OB+12×AM×CD，=12×（4+2）×4+1/2×（4+2）×2=18．（3）根据②得出AM=AO+OM=4+2=6，∵点A的坐标为：（0，4）；点C的坐标为（-2，-3），∴设直线AC解析式为：y=kx+b，∴b=4；-3=-2k+b，解得：y=3.5x+4Y=0时x=-8 7∴BN=367．21、答案：（1）点C的坐标是（-1,0）或（9,0）．（2）点B坐标是（3,-4）或（3,4）．解答：（1）∵A（4,0），点C在x轴上，AC=5，∴点C的坐标是（-1,0）或（9,0）．（2）S△ABC=12×5×|y|=10，解得y=4或-4，∴点B坐标是（3,-4）或（3,4）．22、答案：（1）4，画图见解答．（2）存在，P（0,5）或（0,-3）或（10,0）或（-6,0）．解答：（1）4，（2）存在，P（0,5）或（0,-3）或（10,0）或（-6,0）．23、答案：（1）P（0,3）或P（0,-12）．（2）P点的坐标是（178,3）．解答：（1）设点P坐标为（0,t），∵S△P AD=32|t-8|，S△POC=52|t|，又∵S△P AD=S△POC，∴3|t-8|=5|t|，∴3（t-8）=5t或3（t-8）=-5t，解得t=-12或t=3，∴点P坐标为P（0,3）或P（0,-12）．（2）过点P作PE⊥y轴于E，如图所示，梯形S梯形AOCD=12（3+5）×8=32．∵S△P AD=S△POC，∴3AE=5OE，即3×（8-OE）=5OE，得OE=3．∴S△P AD=S△POC=7.5，S△P AO=S△PCD=（32-2×7.5）÷2=8.5．∴12×8×PE=8.5，∴PE=178．∴P点的坐标是（178,3）．24、答案：（-4,0），（6,0）．解答：∵S△P AB=12AP·2=5，解得AP=5，若点P在点A的左边，则OP=5-1=4，此时，点P的坐标为（-4,0），若点P在点A的右边，则OP=1+5=6，此时，点P的坐标为（6,0）．25、答案：（7,2）或（-5,8）．解答：∵6×2÷2=6，∴点C的横坐标为7或-5，即2m+1=7或-5，∴点C的坐标为（7,2）或（-5,8）．26、答案：（1）画图见解答．（2）（4,-1）；（5,1）（3）4解答：（1）（2）如图，△A’B’C’为所作，B’（4,-1），C’（5,1）．（3）△ABC的面积=3×4-12×2×1-12×2×3-12×2×4=4．27、答案：1312．解答：由图可知：A点的坐标是（6,6），B（0,3），C（3,0）．所以，正方形S△ABC=S正方形AEOD-S△AEB-S△OBC-S△ACD=6×6-12×3×6-12×3×3-12×3×6=36-9-9 2 -9=1312．28、答案：（1）412．（2）A1（2,0），B1（-1,-7），C1（7,-2）．解答：（1）S△ABC=7×8-12×7×3-12×8×3-12×8×5-12×2×5=56-212-20-5=412．（2）如图，A1（2,0），B1（-1,-7），C1（7,-2）．29、答案：（1）A（4,0）、B（0,2）、C（4,4）．（2），（43，43）．解答：（1）（2）设，P（x，x），则S△OAP=12×4×x=2x，S△CBP=S△OBC-S△OBP=12×2×4-12×2×x=4-x，S△OAP=S△CBP，即2x=4-x得x=43，P点的坐标，（43，43）．。
平面直角坐标系找规律技巧(一)
平面直角坐标系找规律技巧(一)平面直角坐标系找规律技巧介绍平面直角坐标系是数学中常用的工具，可以帮助我们描述平面上的各种图形和现象。
在解决问题时，我们经常需要找出规律来简化计算或推导过程。
本文将介绍一些在平面直角坐标系中找规律的常用技巧。
技巧一：观察坐标轴上的点•观察点在坐标轴上的位置，可以帮助我们找出两个量之间的关系。
例如，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，则它在坐标系中呈现出对称的特点。
•另外，当点的横坐标或纵坐标为0时，它们通常代表特殊的情况。
我们可以通过观察这些点来找到一些特殊的规律。
技巧二：观察图形的对称性•当图形呈现出对称的形态时，我们可以利用对称性来简化问题。
例如，如果一个图形在横轴或纵轴上对称，则它的性质可能也在对称轴上相同。
•另外，如果一个图形在原点对称，则它的性质通常也在原点附近具有一些特殊的规律。
技巧三：利用直角三角形的性质•平面直角坐标系中的直角三角形具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来找规律。
例如，两条边分别与横轴和纵轴平行的直角三角形可能呈现出相似的形状。
•此外，直角三角形中的角度关系也可以帮助我们找到一些规律。
例如，当两条线段之间的夹角为90度时，它们可能具有一些特殊的性质。
技巧四：利用平移和旋转的性质•在平面直角坐标系中，我们可以通过平移和旋转来改变图形的位置和方向。
利用平移和旋转的性质，我们可以找到一些规律。
例如，当一个图形经过平移后仍具有相似的性质时，我们可以猜测这个性质与平移无关。
•此外，有时候我们可以通过适当的旋转来简化问题。
例如，当一个图形经过旋转后具有一些特殊的性质时，我们可以利用这个性质找规律。
技巧五：利用数学工具辅助分析•平面直角坐标系中的问题通常涉及到数学知识，例如代数和几何。
我们可以利用这些数学工具来辅助分析，找到问题的规律。
例如，利用代数中的方程和函数可以帮助我们推导出一些特殊的关系式。
•此外，几何中的一些定理和性质也可以用来分析图形和推导规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
◆类型一直接利用面积公式求图形的面积
1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．
◆类型二利用分割法求图形的面积
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．
4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】
(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；
(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？
(3)求多边形ABCDEF的面积．
◆类型三利用补形法求图形的面积
5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积．
◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题
6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)求点B的坐标；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，
请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.152
3．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D.∵A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，∴OC ＝2，BD ＝
4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO ＝S 梯形OCBD ＋S 三角形ABD ＝12
×(4＋2)×3＋12
×1×4＝9＋2＝11. 4．解：(1)A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)．
(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．
(3)S 多边形ABCDEF ＝S 三角形ABF ＋S 长方形BCEF ＋S 三角形CDE ＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12
×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.
5．解：(1)A(3，3)，B(－2，－2)，C(4，－3)．
(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F.S 三角形ABC ＝S 正方形
DECF －S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352
.
6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．
(2)S 三角形ABC ＝12
×3×4＝6. (3)存在这样的点P.设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203
.点P 在y 轴正半轴时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－203，综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，203或⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－203.。