微积分第五章练习参考答案

第五章练习参考答案
5.1-5.2
三、提示：先用描点作图法画出星形的图像 0
3
3
2
2
4
2
2
46
20
2
2
2
44sin (cos )
43sin cos 12(sin sin )31531312(
)42
64228
a
A ydx a td a t a t tdt a
t t dt a a
ππ
πππ===-=-⨯⨯⨯=-
=⨯⨯⨯⎰⎰⎰⎰
5.3-5.4
一、求两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积（如图：为所求立体的八分之一图像）
.
解: 上图为所求立体的八分之一图像,先求它的体积.
可见在x 轴上取任意点x ,[]0,x R ∈,过点x 垂直于x 轴的截面均为正方形 其中，阴影部分为在任意点x
则(
)2
22
A x R x ==-
()0
R V A x dx =
⎰
()2
2
R
R
x
dx =
-⎰
2
313R R x x o
⎛⎫=- ⎪⎝⎭323R =
所以 两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积为3
1683
V R =
将上题中的R 换成a ,就可以得到第一题的解答过程.
这道题还可以用二重积分来解.
三. 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=a
x dx y V ππ202⎰-⋅-=π
π2022)c o s 1()c o s 1(dt t a t a ⎰-+-=ππ20323)c o s c o s 3c o s 31(dt t t t a =5π 2a 3.
所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则
⎰⎰-=a
a
y dy y x dy y x V 20
2
12022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=π
ππππ022222s i n )s i n (s i n )s i n (t d t a t t a t d t a t t a
⎰--=π
π20
23s i n )s i n (t d t t t a =6π 3a 3 .
第四、五章综合测试题参考答案
一、5、 ()(
)
(
)
[][]0
2
2
00(cos cos sin sin )cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos 1cos x
x
x
x
x
x
x
f
x t x t x dt
x tdt x tdt
x tdt x x tdt x x t x t x
'
=+'
=+=-+++=-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰
三、
sin []
2,2,
cos 1.sin cos 1
(sin cos )(cos sin )
2
sin cos x t
t
dt
t t t t t t dt
t t
ππ
=∈-
=
+++-=+⎰⎰⎰(
)11
1
11sin cos ln sin cos 22sin cos 2
2
11arcsin ln 2
2t d t t t t t C
t t
x x C
=+
+=+
+++=
++
+⎰
x y 五、2此题中的旋转轴不是轴,也不是轴,因此不能用教材上旋转体体积的计算公式计算,但能用已知截面面积立体体积的计算方法:
先画出题中曲边三角边的图象，在区间11,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上任取一点x ，过点x 作与x 轴
（或直线
1
y =）垂直的的平面，得截面面积为：
(
)(
(
()
2
2
111212
A x dx x dx ππππ=-
-
=-+=
⎰⎰11
220
所求旋转体体积:V=
()()()()()()()0
cos ,
1,C,C cos C cos ,C
2
2
f
x x f
x xdx x f x f
x x f
x xdx x xdx f
x x π
π
π
=
-
'=∴=
+∴=-=-+=∴=
+⎰
⎰⎰
七. 将上式两边同时对求导得:解得。