微积分第五章练习参考答案

第五章练习参考答案

5.1-5.2

三、提示：先用描点作图法画出星形的图像 0

3

3

2

2

4

2

2

46

20

2

2

2

44sin (cos )

43sin cos 12(sin sin )31531312(

)42

64228

a

A ydx a td a t a t tdt a

t t dt a a

ππ

πππ===-=-⨯⨯⨯=-

=⨯⨯⨯⎰⎰⎰⎰

5.3-5.4

一、求两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积（如图：为所求立体的八分之一图像）

.

解: 上图为所求立体的八分之一图像,先求它的体积.

可见在x 轴上取任意点x ,[]0,x R ∈,过点x 垂直于x 轴的截面均为正方形 其中，阴影部分为在任意点x

则(

)2

22

A x R x ==-

()0

R V A x dx =

⎰

()2

2

R

R

x

dx =

-⎰

2

313R R x x o

⎛⎫=- ⎪⎝⎭323R =

所以 两个半径为R 的正交圆柱体公共部分的体积为3

1683

V R =

将上题中的R 换成a ,就可以得到第一题的解答过程.

这道题还可以用二重积分来解.

三. 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=a

x dx y V ππ202⎰-⋅-=π

π2022)c o s 1()c o s 1(dt t a t a ⎰-+-=ππ20323)c o s c o s 3c o s 31(dt t t t a =5π 2a 3.

所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则

⎰⎰-=a

a

y dy y x dy y x V 20

2

12022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=π

ππππ022222s i n )s i n (s i n )s i n (t d t a t t a t d t a t t a

⎰--=π

π20

23s i n )s i n (t d t t t a =6π 3a 3 .

第四、五章综合测试题参考答案

一、5、 ()(

)

(

)

[][]0

2

2

00(cos cos sin sin )cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos 1cos x

x

x

x

x

x

x

f

x t x t x dt

x tdt x tdt

x tdt x x tdt x x t x t x

'

=+'

=+=-+++=-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰

三、

sin []

2,2,

cos 1.sin cos 1

(sin cos )(cos sin )

2

sin cos x t

t

dt

t t t t t t dt

t t

ππ

=∈-

=

+++-=+⎰⎰⎰(

)11

1

11sin cos ln sin cos 22sin cos 2

2

11arcsin ln 2

2t d t t t t t C

t t

x x C

=+

+=+

+++=

++

+⎰

x y 五、2此题中的旋转轴不是轴,也不是轴,因此不能用教材上旋转体体积的计算公式计算,但能用已知截面面积立体体积的计算方法:

先画出题中曲边三角边的图象，在区间11,2⎡⎤

⎢⎥⎣⎦上任取一点x ，过点x 作与x 轴

（或直线

1

y =）垂直的的平面，得截面面积为：

(

)(

(

()

2

2

111212

A x dx x dx ππππ=-

-

=-+=

⎰⎰11

220

所求旋转体体积:V=

()()()()()()()0

cos ,

1,C,C cos C cos ,C

2

2

f

x x f

x xdx x f x f

x x f

x xdx x xdx f

x x π

π

π

=

-

'=∴=

+∴=-=-+=∴=

+⎰

⎰⎰

七. 将上式两边同时对求导得:解得