不定积分中的“积不出”问题

n

x
得
k 1 ex (1) j 1 1 dx e x x j k + = x 1e x dx xk (k 1)! j 1 (1 k ) ( j k )
则
ex a k k dx e Pn ( )dx = x k 0
x
n
1 x
= a 0 e + a1
f ( x)dx 不是初等函数，即 f 的原函数不是初
等函数。在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个这样的例子，既不证明，也没有更多 的说明。这难免不使学生感到疑惑和不塌实，也容易使学生误以为积不出的函数很少，同时 也可能会使学生在遇到积不出问题时， 却试图寻求原函数求解而煞费苦心， 浪费时间。 因此， 给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否初等函数的法则是很有必要的， 本文 将在此方面做一些探讨。 研究函数积不出问题的基础之一是以下的刘维尔（J. Liouville）定理[1] 定理 A（刘维尔第三定理） ：设 f ( x) ， g ( x ) 为 x 的代数函数 ，且 g ( x ) 不为常数。若
2 (2k 1)!! e x dx k 2 不是初等函数。不妨设 n 2m ，则
+ ( 1)
k
k x e Pn ( x)dx = P( x) + a2k (1)
2
m
k 0
(2k 1)!! x 2 e dx 2k
这里 P( x ) 是初等函数。因此我们有，
定理 2 当且仅当 3．不定积分
p q

p, q, p q 三个数中至少有一个是整数。
7．不定积分 R( x, Pn ( x) ) dx （ Pn ( x) 是 n 次的多项式）何时为初等函数？我们注意 到当 n 2 时，不定积分 R( x, Pn ( x) ) dx 总是初等函数，这在数学分析教材里有说明；当


n 3 时，不定积分 R( x, Pn ( x) )dx 一般不是初等函数；当 3 n 4 时称为椭圆积分，
不定积分中的“积不出”问题
张春苟 首都师范大学数学科学学院
北京Βιβλιοθήκη 100037摘要：本文利用刘维尔（J. Liouville）定理讨论了几类不定积分是否初等函数的问题，并给 出了相应的判定法则。 关键词：不定积分；原函数；初等函数 中图分类号：O 171 1 引 言 我们说函数 f “积不出”是指不定积分


当 k 为正整数时，不定积分 x 则

2 k 1 ix 2
e dx 、 x 2 k 1e ix dx 是初等函数，因此不妨设 n 2m ，
2
P ( x) sin x
n
2
dx
= P( x )
1 m (2k 1)!! ix 2 1 m (2k 1)!! ix 2 k (1) k a2 k e dx ( 1 ) a e dx 2 k 2i k 0 (2i ) k 2i k 0 (2i ) k
k
[n ] 2
[n]
不定积分 Pn ( x) sin x dx 、 Pn ( x) cos x dx 是初等函数。 5．不定积分

2

2
P ( x ) sin x dx （ P ( x) 是 n 次的非零多项式）何时为初等函数？
n
1
n
对此，类似问题 4 的讨论我们有 定理 5 当且仅当

n ak (i ) k 1 a i k 1 k 0 时，不定积分 k 1 ( k 1)! k 1 ( k 1)! n
①
f ( x )e
g ( x)
dx 是初等函数，则 f ( x)e g ( x ) dx = R( x)e g ( x ) C ，其中 R( x ) 和 C 分别是有理
函数和常数。 定理 B（刘维尔第四定理） ：设 f k ( x) ， g k ( x) （ k 1, 2, , n ）为 x 的代数函数，且
g ( x) ( i j )。若 w( x) f k ( x)e k 中有一项是积不出函数，则 w( x ) 也是积不出函数。 k 1
n
2．主要结果
①
Q0 ( x) Q1 ( x) y Qn ( x) y n 0 ，其中 n 是正整数， Qi ( x) i 0, , n 是多项式， Qn ( x) 0 ．那么函数 y f ( x) 称为 x 的代数函数．
a
k 0
n
t
[n ] 2
2k
(1) k
(2k 1)!! 不定积分 0 时， 2k
e
x2
Pn ( x)dx 是初等函数。
ln x P ( x)dx
1
（ Pn ( x) 是 n 次的非零多项式）何时为初等函数？
令 ln x t ，则 x e 。
1 et t ln x Pn ( x)dx = t Pn (e )dt =
p r q

p , q , r 是有理数）是
初等函数的充分必要条件是 q,
p 1 p 1 , q 三个数中至少有一个是整数。 r r
特别地，取 a 1, b 1，r 1 ，则可得如下推论 推论 设 p, q 是有理数，则不定积分 x (1 x) dx 是初等函数的充分必要条件是
如果函数 满足方程
y f ( x)
文献[2]利用刘维尔第三定理证明了不定积分 e

bx 2
、 dx （ b 0 ）
e bx 、 x dx （ b 0 ）
ln x dx 以及 sin x
难证明不定积分
1
2
dx 、 cos x 2 dx 等不是初等函数。由欧拉公式，用刘维尔第四定理不
n
1
P ( x) sin x
n
2
2
dx （ Pn ( x) 是 n 次的非零多项式）何时为初等函数？
由欧拉公式得 sin x =
2 1 ix 2 e e ix ，则 2i 1 ix 2 ix 2 2 ( P ( x ) e P ( x ) e )dx P ( x ) sin x dx n n n 2i
+
a k [
k 1
x
= a0 e +
a
k 1 k
由于不定积分 x e dx 不是初等函数，因此当且仅当 初等函数。 定理 1 当且仅当

1 x
(k 1)! 0 时， e
k 1
n
ak
x
Pn ( 1 x ) dx 是
(k 1)! 0 时， e
k 1
n
ak
x
Pn ( 1 x ) dx 是初等函数。
2．不定积分
e
x2
Pn ( x)dx （ Pn ( x) 是 n 次的非零多项式）何时为初等函数？
我们注意到：当 k 为正整数时，不定积分 e x

x2
2 k 1
dx 为初等函数，而不定积分
e
x2
x 2 k dx
=
1 2 k 1 x 2 2k 1 2 k 3 x 2 (2k 1)!! 3 x 2 x e x e + + (1) k 1 x e 2 2 2 2 k 1
参考文献
[1] [2] [3] [4] 张从军，数学分析概要二十讲，安徽大学出版社，2000 年。 王建华、周丽萍，呼伦贝尔学院学报 第十三卷第 2 期，2005 年。 В．П．吉米多维奇著，李荣冻译，数学分析习题集，人民教育出版社，１９５８年． 周民强，数学分析（第一册） ，上海科学技术出版社，２００２年．

sin x cos x dx 、 dx 也不是初等函数。利用分部积分、变量替换等手段 x x
由它们可得更多积不出函数。 1．不定积分 e Pn ( 1 n ( x ) 是 n 次非零多项式）何时为初等函数？ x ) dx （ P 设 n 次的多项式 Pn ( x) = a 0 a1 x a n x （ a n 0 ） ．当 k 1 时，由分部积分可
而
e ( k 1)t ak dt t k 0
n
g i (t ) g j (t ) (i 1)t ( j 1)t (i j )t 常数（ i j ）
这样由刘维尔第四定理知 定理 3 对任何非零多项式 Pn ( x) ，不定积分 4．不定积分
ln x P ( x)dx 是非初等函数。
The problem on “beyond element” in indefinite integral
Chungou Zhang ( Mathematical Science college, Capital Normal Uni. Beijing
100037 )
Abstract In this paper, we discuss the problem on “beyond element” in indefinite integral by Liouville’s theorem and give the criterions for several classes of indefinite integral to determine whether or not are “non-element functions” . Keywords the indefinite integral the original function element function
P ( x ) sin x dx 、
n
1
P ( x ) cos x dx （ P ( x) 是 n 次的非零多项式）为初等函数。
n
1
n
6．不定积分 x ( a bx ) dx 何时为初等函数？对此有如下的切彼晓夫（Η.Л.Чeбыш
p r q

в）定理
[ 3]
。
定理 C 不定积分 x ( a bx ) dx （其中 a , b 0 ,
g i ( x) g j ( x) 常数 ( i j ) 。若函数 w( x) f k ( x)e g k ( x ) 的不定积分是初等函数，则
k 1
n
f
k
( x)e g k ( x ) dx (k 1,2, n) 也是初等函数。
换句话说就得下面的推论 推论 设 f k ( x) ， g k ( x) （ k 1, 2, , n ）为 x 的代数函数，且 g i ( x) g j ( x) 常数
2 2 2
这里 P( x ) 是初等函数。既然 g1 ( x) g 2 ( x) ix ( ix ) 2ix 常数，则由刘维尔第四 定理知
(2k 1)!! 2 (2k 1)!! 定理 4 当且仅当 a2 k ( 1) a2 k (1) k 0 时， k (2i ) (2i ) k k 0 k 0
x

k 1 j 1
ex dx x (1) j 1 1 e x x j k x 1e x dx] (1 k ) ( j k ) (k 1)!
k 1 j 1 n ak (1) j 1 x j k e x x 1e x dx (1 k ) ( j k ) k 1 ( k 1)!
文献［４］指出它总可以表示成初等函数与以下三个标准的椭圆积分之和： ①

1 (1 x )(1 k 2 x 2 )
2
dx 、
②

x2 (1 x 2 )(1 k 2 x 2 )
1
dx 、
③
(1 hx )
2
(1 x 2 )(1 k 2 x 2 )
dx 。
而这些椭圆积分，早在１８３３年刘维尔就证明了不是初等函数。