15集合中元素的个数
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a 2
解得： 2 a 4 3
3a -4
0 a 2 3 3a
-2 a 0
阅读材料 集合中元素的个数
例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个 班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参 赛？ 分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B 为球类运动会参赛的学生的集合。那么A∩B就 是两次运动会都参赛的学生的集合。 试分析 A∪B、 A、B、A∩B中元素个数的关系.
解： ax2 bx c 0的解集为{x | 2 x 3}.
a 0，且2 、3是方程ax2 bx c 0的两根.
2
3
b a
，且2
3
c a
.
即b a
5
，c a
6
a0
cx 2
bx
a
0
c a
x2
b a
x
1
0
即6x2 5x 1 0
解得x
1 3
或x
1 2
原不等式的解集为
{x
|
x
1 3
或x
12}
解法二：
cx2 bx a 0 a( 1 )2 b( 1 ) c 0
x
x
且ax2 bx c 0的解集为{x | 2 x 3}
ax2 bx c 0的解集为{x | x 2或x 3}
CU A {x | x 2或x 3}，CU B {x | 4 x 2}
-4 -2
23
-4 -2
23
A B {x | 2 x 3} (CU A) (CU B) {x | 4 x 2}
C {x | (x a)(x 3a) 0}
最多63人，最少38人.
问题的提出：
无限集中元素的个数？！
Z 1,2,3,4,5,...中元素有多少个？ 集合A 2,3,4,5,...中元素的个数？
R中元素有多少个？ 是不是所有的无限集都有相同的个数呢？
1.无限 （1）初识无限 （2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？
理解无限的关键——一一对应 （3）无限集中元素的个数——基数 与此相关的一个定义：
a 0,C x a x 3a
a
0,
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 0,C {x | 3a x a}
a 0
(1)当C A B时，则有 a 2
解得：1 a 2.
3a 3
（2）当C （CU A）（CU B）时，
a 0 则有3a 4
a b
a b
5 6
bx2 ax 1 0 6x2 5x 1 0 1 x 1
2
3
不等式bx2 ax 1 0的解集为{x | 1 x 1}
2
3
例3变式、已知不等式ax2 bx c 0的解集为 {x | 2 x 3}，求不等式cx2 bx a 0的解集.
a(
1 x
)
2
b(
1 x
)
c
0的解为
1 x
2或
1 x
3.
即cx 2
bx
a
0的解为 x
1 3
或x
1 2
.
原不等式的解集为
{x
|
x
1 3
或x
12}.
例4.已知全集U R，A {x | x2 x 6 0}， B {x | x2 2x 8 0},C {x | x2 4ax 3a2 0}. （1）求使C （A B）的实数a的取值范围； （2）求使C （CU A）（CU B）的实数a的取值范围. 解：由题意知 A {x | 2 x 3}，B {x | x 4或x 2},
即 25=2x+x-5
x=10
参加数学小组20人，参加物理小组10人.
card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） 能否推广？试写出三个集合类似公式.
例3. 某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的 人数及科目如下表;
科目数
单科
两科
三科
科目 语 数 外 语数 数外 语外 语数外
人数 131 117 152 61 79 62
53
表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科 优秀者里也包括两科以上的优秀者。 有人说上面的统计表有误，你认为呢？
由统计表计算高三年级共有 131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.
例4. 在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐 爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术 和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？
若在一个集合与全体正整数集合之间
存在一一对应，则称这个集合是可数的。
（4）几个令人吃惊的例子 Z 1,2,3,4,5,...与2,3,4,5,...的基数相同吗？
全体正整数和全体整数一样多吗？ 全体正整数和全体有理数一样多吗？
部分＝整体？！
（5）问题的提出
解：设A={田径运动会参赛的学生}， B={球类运动会参赛的学生}，那么，
A∩B={两次运动会都参赛的学生}， A∪B={参赛的学生}。 ∴ card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） =8+12－3=17。 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。
用图来求解 ：
A
AB B
(5)
(3) (9)
例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加 物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外 小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组 的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的 人数各是多少？
card（A∪B）
= card（A）+ card（B）－card（A∩B）
一元二次不等式的解法（3）
例3.若x2 ax b 0的解集是x 2 x 3,
求不等式bx2 ax 1 0的解集.
解： x2 ax b 0的解集为{x | 2 x 3}
方程x2 ax b 0的根为x1 2, x2 3
由韦达定理得：22 33
解得： 2 a 4 3
3a -4
0 a 2 3 3a
-2 a 0
阅读材料 集合中元素的个数
例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个 班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参 赛？ 分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B 为球类运动会参赛的学生的集合。那么A∩B就 是两次运动会都参赛的学生的集合。 试分析 A∪B、 A、B、A∩B中元素个数的关系.
解： ax2 bx c 0的解集为{x | 2 x 3}.
a 0，且2 、3是方程ax2 bx c 0的两根.
2
3
b a
，且2
3
c a
.
即b a
5
，c a
6
a0
cx 2
bx
a
0
c a
x2
b a
x
1
0
即6x2 5x 1 0
解得x
1 3
或x
1 2
原不等式的解集为
{x
|
x
1 3
或x
12}
解法二：
cx2 bx a 0 a( 1 )2 b( 1 ) c 0
x
x
且ax2 bx c 0的解集为{x | 2 x 3}
ax2 bx c 0的解集为{x | x 2或x 3}
CU A {x | x 2或x 3}，CU B {x | 4 x 2}
-4 -2
23
-4 -2
23
A B {x | 2 x 3} (CU A) (CU B) {x | 4 x 2}
C {x | (x a)(x 3a) 0}
最多63人，最少38人.
问题的提出：
无限集中元素的个数？！
Z 1,2,3,4,5,...中元素有多少个？ 集合A 2,3,4,5,...中元素的个数？
R中元素有多少个？ 是不是所有的无限集都有相同的个数呢？
1.无限 （1）初识无限 （2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？
理解无限的关键——一一对应 （3）无限集中元素的个数——基数 与此相关的一个定义：
a 0,C x a x 3a
a
0,
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 0,C {x | 3a x a}
a 0
(1)当C A B时，则有 a 2
解得：1 a 2.
3a 3
（2）当C （CU A）（CU B）时，
a 0 则有3a 4
a b
a b
5 6
bx2 ax 1 0 6x2 5x 1 0 1 x 1
2
3
不等式bx2 ax 1 0的解集为{x | 1 x 1}
2
3
例3变式、已知不等式ax2 bx c 0的解集为 {x | 2 x 3}，求不等式cx2 bx a 0的解集.
a(
1 x
)
2
b(
1 x
)
c
0的解为
1 x
2或
1 x
3.
即cx 2
bx
a
0的解为 x
1 3
或x
1 2
.
原不等式的解集为
{x
|
x
1 3
或x
12}.
例4.已知全集U R，A {x | x2 x 6 0}， B {x | x2 2x 8 0},C {x | x2 4ax 3a2 0}. （1）求使C （A B）的实数a的取值范围； （2）求使C （CU A）（CU B）的实数a的取值范围. 解：由题意知 A {x | 2 x 3}，B {x | x 4或x 2},
即 25=2x+x-5
x=10
参加数学小组20人，参加物理小组10人.
card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） 能否推广？试写出三个集合类似公式.
例3. 某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的 人数及科目如下表;
科目数
单科
两科
三科
科目 语 数 外 语数 数外 语外 语数外
人数 131 117 152 61 79 62
53
表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科 优秀者里也包括两科以上的优秀者。 有人说上面的统计表有误，你认为呢？
由统计表计算高三年级共有 131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.
例4. 在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐 爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术 和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？
若在一个集合与全体正整数集合之间
存在一一对应，则称这个集合是可数的。
（4）几个令人吃惊的例子 Z 1,2,3,4,5,...与2,3,4,5,...的基数相同吗？
全体正整数和全体整数一样多吗？ 全体正整数和全体有理数一样多吗？
部分＝整体？！
（5）问题的提出
解：设A={田径运动会参赛的学生}， B={球类运动会参赛的学生}，那么，
A∩B={两次运动会都参赛的学生}， A∪B={参赛的学生}。 ∴ card（A∪B） = card（A）+ card（B）－card（A∩B） =8+12－3=17。 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。
用图来求解 ：
A
AB B
(5)
(3) (9)
例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加 物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外 小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组 的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的 人数各是多少？
card（A∪B）
= card（A）+ card（B）－card（A∩B）
一元二次不等式的解法（3）
例3.若x2 ax b 0的解集是x 2 x 3,
求不等式bx2 ax 1 0的解集.
解： x2 ax b 0的解集为{x | 2 x 3}
方程x2 ax b 0的根为x1 2, x2 3
由韦达定理得：22 33