5-2拉普拉斯逆变换.
第五章 拉普拉斯变换
w p
2
e
- pt
co s w t
0
w p
+
ò
sin w te
0
- pt
dt
=
-
w p
2 2
L [sin w t ] w
L [sin w t ] =
p + w
2
2
•
⑥
L [co s w t ] =
p p + w
2 2
• 证明：
轾 iw t 1 L [co s w t ] = L 犏 ( e + e 犏 2 臌 1 轾 + ? iwt = 犏 蝌 e e 2 犏0 臌
5.1.定义和性质.
• 5.1.1 定义
• 定义：设函数f(t),当t>0时有定义，而且积分 •
+ - pt
ò
f (t )e
0
dt
（其中p是复参量）
• 在p的某一域内收敛，积分所得为p的函数，记为
+
•
F ( p) =
ò
f (t ) e
0
- pt
dt
（定义式） （5-1）
• 则称式（5-1）为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏 变换），积分式可记为 •
L [ f '( t )] = p F ( p ) f (0 )
• 则有
（5-16）
• 证明：由定义
t?
L [ f '( t ) =
蝌
0
f '( t ) e
- pt + 0
- pt
dt =
0 +
e
- pt
d [ f ( t )] dt
电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
拉普拉斯逆变换
s2
2et3e2t.
解 方法二 利用留数法求解 (1) s1 1,s22为 F(s) 的一阶极点，
R[F e (s)s e st, 1 ]5 s 1e st 2et,
s 2 s 1
R[F e (s)s est,2 ]5 s 1est 3e2t.
s 1 s 2
(2) f ( t ) R [ F ( s e ) e s t , s 1 ] R [ F ( s e ) e s t ,2 s ] 2et3e2t.
P228 例9.17
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)(s2)1(s1)2
s A 1 2sB 11(s C 11)2. (重根)
(2) 由 1[ 1 ] ea t ,
sa
1[
1 (s a)2
] t eat,
有
f(t) 1[F(s)]e2tettet.
解 方法二 利用留数法求解 (1) s12,s21分别为 F(s)的一阶与二阶极点，
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换
解 方法一 利用查表法求解
(1) F(s) 5s1
A2
B3 . (单根)
(s1)(s2) s1 s2
(2) 由 1[ 1 ] ea t , 有
sa
f(t) 1[F(s)]
2 1[ 1 ]3 1[ 1 ]
s1
2πj j
证明 (略)
n
Re[F s(s)ee ss tt , sk], (t 0).
k1
(进入证明?)
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 常用 利用Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace 变换来求逆变换。
拉普拉斯逆变换公式推导过程
拉普拉斯逆变换公式推导过程1. 拉普拉斯变换的基础嘿，大家好！今天我们要聊聊拉普拉斯逆变换公式的推导。
别紧张，这可不是什么高深莫测的黑洞理论，而是数学里挺有趣的一块小知识。
首先，咱们得搞清楚啥是拉普拉斯变换。
简单来说，拉普拉斯变换就像给你的函数“化妆”，把它从时间域转到复频域。
这就像把一张照片从彩色转成黑白，以便更好地分析。
你可能会问，为什么要这么搞呢？因为有时候在频域里分析问题更简单，就像把复杂的餐桌上的菜肴分解成简单的调料和食材。
1.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的公式是这样的： F(s) = int_{0^{infty f(t) e^{st , dt 。
这里，( f(t) ) 是我们要转换的函数，( s ) 是复数变量，( e^{st ) 就像是个神奇的“变换器”，把时间域的函数变成了频域的表现。
看到这个公式，是不是有点眼花缭乱？别担心，理解了这个，你就能更好地推导逆变换啦。
1.2 逆变换的意义那么，逆变换又是啥？简单来说，拉普拉斯逆变换就像是给你刚才那张“黑白照”重新上色，让你看到原来的彩色照片。
逆变换公式长得也很有意思： f(t) = frac{1{2pi iint_{ciinfty^{c+iinfty F(s) e^{st , ds 。
听起来复杂，其实可以把它理解成在复频域里“翻找”原函数的过程，找到它在时间域里的样子。
2. 逆变换的推导接下来，就让我们“揭开面纱”，看看这逆变换是怎么来的。
首先，我们要从拉普拉斯变换的定义出发。
用我们刚才的公式，把 ( f(t) ) 替换成 ( F(s) ) 的逆变换形式。
说白了，就是找到一个“反向操作”，把变换回去。
你可以把这个过程想象成一个数学上的魔术，我们的任务就是找出魔术的秘诀。
2.1 推导步骤第一步，使用拉普拉斯变换的定义。
记住，我们已经把 ( f(t) ) 转换成了 ( F(s) )，现在要做的就是倒过来。
我们用 ( F(s) ) 的定义替代回去，然后进行一些数学上的“清理工作”。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续时间系统的复频域分析)
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台
第 5 章 连续时间系统的复频域分析
5.1 标出下列信号对应于 s 平面中的复频率。
（1） e2t ；（2） te-t ；（3）cos2t；（4） e-t sin（－5t）
答：（1） e2t (t)
s
1
2
，所以
s1＝2
收敛域：
5.4 用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。
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答：（1）部分分式展开
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拉氏逆变换，有
（2）部分分式展开
拉氏逆变换，有
（3）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（4）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（5）部分分式展开
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所以
（3）因为 令 T＝1，则 所以
(1)n (t nT )
（1）设 而
，则
由时间平移特性，可得
图 5-1
（2）
（3）因为 由时间平移特性，可得
（4）设
，因
由复频域微分特性，有
再由时间平移特性，可得
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5.9 用拉普拉斯变换的性质求图 5-2 各波形函数的拉普拉斯变换。
答：（a）由图 5-2（a）可知
图 5-2
而 由拉式变换的时间平移与线性特性，可得
（b）由图 5-2（b）可知
而 所以
（c）由图 5-2（c）可知
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(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉普拉斯反变换讲解
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
如果A(s)的根是各不相同的实数，可将F(s)分解为
An A1 A2 F (s ) = + +鬃 ? = s - p1 s - p2 s - pn
å
n
i= 1
Ai s - pi
pi (i 1,2n) 为 A(s)的n个不相等的单根。
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2.5 拉普拉斯反变换
1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法
K ( s-z1 )( s-z2 )...( s-zm ) B( s ) F (S ) (n m) A(s) (s-p1 )( s-p2 )...( s-pn )
机械工程控制基础
第2章 拉普拉斯变换
---拉氏反变换
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2.5 拉普拉斯反变换
从Laplace变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为Laplace 反变换。Laplace 反变换的符号是 L1 可以通过下列反演 积分，从 F(s) 求得 Laplace 反变换
式中A1﹑A2﹑ 鬃 鬃 ﹑An－待定系数，
A1 = 轾 (s - p1 ) F (s ) s= p1 臌
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2.5 分分式展开
A2 = 轾 (s - p2 ) F (s) s= p2 臌 Ai = 轾 (s - pi ) F (s ) s= pi 臌
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表A-1 拉氏变换的基本性质1 L [ af ( t )] aF ( s )齐次性线性定理L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) 叠加性L [ df ( t )]sF ( s ) f ( 0 )L [ ddt2 f ( t )dt 2] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L d n f ( t ) ndt ns n F ( s ) s n k f ( k 1 ) ( 0 )k 1f ( k 1 ) ( t ) d k 1 fdt( t )k 12 微分定理一般形式初始条件为0 时L [ d n f ( t )dt n] s n F ( s )L[ f (t )dt ]F ( s)s [ f (t )dt ]t 0s[ 2L[ f ( t)( dt ) ] 2 F ( s)s 2f (t) d t ]t 0s[2f (t )(dt ) ]t 0s共n个共n个L[ f (t)(dt )n ] F ( s)s nnk 1 s1n k 1[ f (t)(dt ) n ] t 0一般形式共n个3 积分定理初始条件为0 时L[ f ( t)( dt) n ]F ( s)s nTs4 延迟定理（或称t 域平移定理）L[ f (t T)1(t T )] e F ( s)精品资料精品资料5衰减定理（或称 s 域平移定理）L[ f (t )eat] F ( s a)6终值定理lim f ( t )lim tssF ( s)lim f (t ) lim sF(s)7初值定理t 0 s8卷积定理tL[ f 1( t) f 2 ( ) d ]tL[ f 1( t ) f 2 ( t) d ]F 1 (s) F 2 ( s )2. 表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号拉氏变换 F(s)时间函数 f(t)Z 变 换 F(z)1 1δ(t)11 2 1 eTsT( t)(t nT )zn 0z 1 1 1(t )z sz 11 4 s2tTz ( z 1)21 t 5 s32T 2z(z 1) 2( z 1)1 t n6 n 1lim( 1) z n ( aT ) sn!a 0n!a z e17 s aeatzz e1 atTze 8 ( s a) 2tea at( z e(1 eaT )2aT) z9s(s a)1 e(z 1)( z 2 3n)3 naTaT e aT精品资料2m m 1n 1b aat btz z 10(s11a)(s b)e esin tz eaTz ebTz sin T s2 2z22 z cos T 1scos tz( z cos T )12 s2z 2 2 zcos T 1atzeaTsin T13 (s a)2 2e sin t z22 ze aTcos T e2 aTs a14 22e atcos tz2zeaTcos T( s 15s a)1 (1 / T ) ln aat / Tz22zeaTz z acos T e2 aT3.用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换及其逆变换表
n
F ( s)
L[ f (t )dt ]
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )(dt ) 2 ]
共n个
2 F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) ]t 0 s2 s2 s
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )(dt ) n ]t 0 s k 1 s
B( s ) b s b s b s b F (s ) A(s ) a s a s a s a
m m 1 m m 1 1 n n 1 n n 1 1 0
0
（n m）
式中系数 a
0
, a ,..., a , a ， b , b ,b , b 都是实常数； m, n 是正整数。按
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
拉普拉斯变换及其反变换表表a1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为0时3积分定理一般形式初始条件为0时4延迟定理或称域平移定理5衰减定理或称域平移定理6终值定理7初值定理8卷积定理2
拉普拉斯变换及其反变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
c c t t c t c e c e (r 2)! (r 1)!
5-2拉普拉斯反变换
第五章第2讲
14
例 5.19
已知 F ( s) 1 sa
留数法公式
Re[ s] a ，求 f (t)。
解：用留数法，在ＡＢ以左围线包含的极点的留数为：
j
A
Res k [( s sk ) F (s)e s t ] S Sk
C
0
a
B
f (t )
0
t0
eat
t 0
第五章第2讲
]
2 | K1 | e cos( t 1 ) (t )
第五章第2讲
7
部分分式展开法
复数极点
原函数的形式之二
K1 K2 F ( s) s j s j
K１ A jB
f (t ) K1e( j ) t K 2e( j ) t ( A jB) e( j ) t ( A jB) e( j ) t
1 t 1 1 t f (t ) e cos 2t e sin 2t (t ) 10 5 5
第五章第2讲 12
留数法
m
返回
1 j f (t ) F ( s) e s t ds 2j j
j
Res j[ F ( s)e s t 在AB以右的极点] t 0
e [ A(e
t
j t
e
j t
) jB(e
j t
e
j t
)]
2 e t [ A cos t B sin t ] (t )
第五章第2讲
8
部分分式展开法
复数极点
原函数的形式之三
Ms N M (s ) M N F ( s) 2 2 2 2 (s ) (s ) (s ) 2 2
拉普拉斯的逆变换及其性质
三、进一步的练习
练习1
求下列象函数的逆变换
(1)
F
(
p)
(
1 p3)3
(2)
F(
p)
2
p5 p2
(3)
F(
p)
4 p3 p24
(4)
F( p)
2 p3 p22 p5
解 (1) 由性质2及拉氏变换表得
f
(t)
L1[
(
P
1
3)3
]
e2t
L1[
1 P3
]
e2t 2
L1[
2! p3
]
1 t 2e2t 2
f (t) L1[F ( p)]
拉氏变换具有如下性质： 性质1(线性性质)
L1[a1F1(t) a2F2 (t)] a1 f1( p) a2 f2 (t)
性质2(平移性质)
L1[F ( p a)] eat f (t)
性质3(延滞性质)
L1[eap F ( p)] f (t a)u(t a)
pX ( p) x(0) 2X ( p) 0 将 x(0) 3 代入上式，有
( p 2)X ( p) 3
所以象函数的解为
X ( p) 3 p2
用拉氏逆变换将象函数的解还原为微分方程，
满足初始条件 x(0) 3的解为
x(t) L1[x( p)] L1[ 3 ] 3e2t p2
注：拉氏变换在解微分方程中具有重要作用，应 用拉氏变换可以将常系数微分方程变换为象函数 的代数方程求解，再通过拉氏逆变换，将象函数 的代数方程解还原为微分方程的解．起到化难为 易的作用．
解 设 L[ y(t)] Y ( p) Y , 并对方程两端进行拉氏
变换，则有
化工数学-第5章-拉普拉斯变换
证明：
+?
ò L[u(t)] =
u(t)e- ptdt
0
+?
ò =
e- pt dt
0
+?
= - 1 e- pt p
0
=1 p
8
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
②
1 L[t] = p2
ò 证明： L[t] =
+?
te- ptdt
0
ò =
+?
(-
1 )td (e- pt )
所以 L[m!] = L[ f (m) (t)] = pmL[ f (t)]- pm- 1 f '(0) - - f (m- 1) (0)
即
L[m!] = pmL[t m ]
而
L[m!] = m!L[1] = m! p
所以
L[tm ] = m! p m+ 1
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
0
ò 令 u = pt + ? un e- u 1 du
0 pn
p
ò 1
= pn+1
+?
une- udu
0
G(n + 1) = pn+1
n! = pn+1
10
2019/9/9
化工数学-第五章-拉普拉斯变换
④ L[eat ] = 1 p- a
证明：
+?
ò L[eat ] =
eate- pt dt
+?
f (t)e- ptdt
0
0
= pL[ f (t)]- f (0)
拉氏逆变换
拉氏逆变换拉氏逆变换，又称为拉普拉斯反变换，是数学中的一种重要变换方法，常用于信号与系统、电路分析、控制理论等领域。
拉氏逆变换可以将频域中的函数转换为时域中的函数，从而帮助我们更好地理解信号的时域特性。
拉氏逆变换的基本定义是：给定一个复变量函数F(s)，如果存在一个复变量函数f(t)，使得拉普拉斯变换L[f(t)] = F(s)，那么f(t)就是F(s)的拉普拉斯逆变换，并记作L^(-1)[F(s)] = f(t)。
在实际应用中，我们通常需要通过已知的拉普拉斯变换求解出对应的拉普拉斯逆变换。
具体而言，我们可以利用拉普拉斯逆变换的一些基本性质和公式进行求解。
我们需要了解一些基本的拉普拉斯逆变换公式。
对于常见的拉普拉斯变换函数，如常数函数1、指数函数e^(-at)、正弦函数sin(ωt)和余弦函数cos(ωt)，我们可以通过查表或直接推导得到它们的逆变换函数。
在实际应用中，我们经常会遇到一些复杂的拉普拉斯变换函数，此时可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质、平移性质、频移性质、微分性质和积分性质等进行求解。
对于拉普拉斯变换函数F(s) = G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别是已知的拉普拉斯变换函数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质得到F(s)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F(s-a)，其中a为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的平移性质得到F(s-a)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F(s-b)，其中b为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的频移性质得到F(s-b)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F'(s)，其中F'(s)是F(s)的导数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的微分性质得到F'(s)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数∫F(s)ds，其中∫F(s)ds是F(s)的积分，我们可以利用拉普拉斯逆变换的积分性质得到∫F(s)ds的逆变换函数。
通过灵活地运用这些性质和公式，我们可以将复杂的拉普拉斯变换函数转化为简单的拉普拉斯逆变换函数，从而求解出函数在时域中的表达式。
拉普拉斯变换和逆变换
求f(t)
K1 A jB
1
K 2 A jB K
* 1
K1 K2 f C t L s j s j
e
t
K e
1
t
K e
* t 1
2e t A cost B sint
另一种方法
求下示函数F(s) 的逆变换f(t)： s F s 2 2 解： F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法 t 利用 Le sin t ( s )2
s L e cos t 2 ( s )2 s F s 2 2 s s 2 2
零点 极点
z1 , z2 , z3 zm 是As 0的根, 称为F s 的零点
A( s) 0 F ( s) 0 p1 , p2 , p3 pn 是Bs 0的根, 称为F s 的极点 B( s) 0 F ( s)
按照极点之不同特点，部分分式分解方法 有以下几种情况 （1）极点为实数，无重根； （2）包含共轭复数极点 （3）有多重极点
1.第一种情况：极点为实数，无重根
A( s ) F ( s) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根 (先考虑m n的情况） kn k1 k2 F ( s) s p1 s p2 s pn
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
函数及其图形
拉普拉斯变换的概念 拉氏变换的运算性质 拉氏变换的逆变换 拉氏变换及其逆变换的应用
拉普拉斯逆变换
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的一．由象函数求原函数的三种方法的一般形式s a s m +具有如下的有理分式形天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．拉氏逆变换的过程天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University四．部分分式展开法(m <n )1.第一种情况：单阶实数极点天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点611332++++s s 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点第二种情况：极点为共轭复数](s =第二种情况：极点为共轭复数的逆变换)5+天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical UniversityF 的逆变换f (t )：极点为共轭复数另一种方法天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第三种情况：有重根存在122)1+=s k 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第三种情况：有重根存在天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第三种情况：有重根存在22d d ⎢⎡+s s s 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一种特殊情况天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University1.真分式＋多项式作长除法。
第5章拉普拉斯变换
解：F (s) [ (t) 6 e2tu(t) 6 e3tu(t)]estdt
5
5
(t)estdt 6 e2tu(t)estdt 6 e3tu(t)estdt
5
5
F(s) 1 6[
1
1 ]
s2 s 12 ,
2 3
5 s 2 s 3 (s 2)(s 3)
？
则：
f
(at) L
1 a
F ( s ), a
ROC : Rc aR
？
信号 系统 响应
例：设信号f(t)的拉氏变换为F(s)，收敛域:σ>σ0。 求信号 e3t f (2t 1) 的拉氏变换，并标明收敛域。
解： f (t 1) L esF(s), ROC : 0
尺度变换特性
f (2t 1) L 1 es/2F(s / 2), 2
j
区域Ⅰ 区域Ⅱ
s平面
区域 Ⅲ
3
2
？
信号 系统 响应
(1)若收敛域ROC为为区域Ⅰ，即σ <-3，则 f (t) e3tu(t) e2tu(t)
(2)若收敛域ROC为为区域Ⅲ，即σ>2 ，则
f (t) e3tu(t) e2tu(t)
(3)若收敛域ROC为为区域Ⅱ，即-3<σ<2 ，则
f (t) e3tu(t) e2tu(t)
ROC : 20
s域移位特性
e3t f (2t 1) L 1 e(s3)/2F[(s 3) / 2], 2
ROC : 20 3
5.共轭特性
？
信号 系统 响应
若: f (t)L F(s), ROC: R
则: f (t) L F(s), ROC : Rc R
python 拉普拉斯逆变换
python 拉普拉斯逆变换（最新版）目录1.拉普拉斯变换的概念和基本原理2.拉普拉斯逆变换的定义和性质3.拉普拉斯逆变换的应用举例4.拉普拉斯逆变换与傅里叶变换的区别与联系5.总结正文拉普拉斯变换是一种数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号，帮助我们更好地分析和处理信号。
在拉普拉斯变换的基础上，拉普拉斯逆变换应运而生，它可以将频域信号还原回时域信号。
本文将从拉普拉斯逆变换的定义和性质入手，通过应用举例来详细阐述拉普拉斯逆变换在实际中的使用，并与傅里叶变换进行区别与联系，以帮助读者更好地理解拉普拉斯逆变换。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换的基本概念和原理。
拉普拉斯变换是一种积分变换，它可以将一个时域信号 f(t) 转换为一个频域信号F(s)。
拉普拉斯变换的基本公式为：F(s) = ∫[e^(-st)f(t)]dt，其中积分区间为从 0 到∞。
通过拉普拉斯变换，我们可以将复杂的时域信号简化为简单的频域信号，从而方便我们进行信号分析和处理。
在了解拉普拉斯变换的基础上，我们来看看拉普拉斯逆变换。
拉普拉斯逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，它可以将频域信号 F(s) 还原回时域信号 f(t)。
拉普拉斯逆变换的定义为：f(t) = 1/s ∫[F(s)e^(st)]ds，其中积分区间为从 0 到∞。
通过拉普拉斯逆变换，我们可以将频域信号转换回时域信号，从而方便我们进行实际信号处理。
接下来，我们来看拉普拉斯逆变换的应用举例。
假设我们有一个时域信号 f(t) = e^(-3t) + e^(-t)，我们可以通过拉普拉斯逆变换来求解该信号的频域表示。
首先，我们对 f(t) 进行拉普拉斯变换，得到频域信号F(s) = 1/s[e^(-3s) + e^(-s)]。
然后，我们对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换，得到还原后的时域信号 f(t) = e^(-3t) + e^(-t)。
通过这个例子，我们可以看到拉普拉斯逆变换在信号处理中的实际应用。
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的求法和单实根一样， A , A是共轭复数。
一．部分分式展开法(m<n)
3 2 2 s 8 s 4s 8 例：求 F ( s) s( s 1)( s 2 4s 8)
的逆变换
解：
2s3 8s 2 4s 8 C1 C2 As B F ( s) s(s 1)(s 2 4s 8) s s 1 s 2 4s 8
一．部分分式展开法(m<n)
2. 极点为共轭复数
C1 C2 F ( s) s p1 s p2
其中
A1 A1 A2 A2 s r1 s r1 s r2 s r2
为共轭复根，各个系数
i
pi 为单实根， ri , ri
i
Ci , Ai , Ai
实单根的系数求法同前面一样，这样有
1 2 As B F ( s) 2 s s 1 s 4s 8
可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求系数A和B， 比如设 s 2，1 得到
1 1 1 2 2 A B 2 2 4 11 A B 13 13
的拉氏逆变换
(1)找极点
2s 2 3s 3 F ( s) ( s 1)( s 2)( s 3)
(2)展成部分分式
k3 k1 k2 F ( s) s 1 s 2 s 3源自求系数(3)逆变换
1 5 6 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3 1 t 根据 L e u (t ) sα t 2t 3t 得 : f (t ) e 5e 6e t 0
分解
A( s) am ( s z1 )( s z2 ) F (s) B( s) bn ( s p1 )( s p2 )
( s zm ) ( s pn )
零点
z1 , z2 , z3
极点
zm
是 A( s) 0 的根，称为 F ( s) 的零点 的根，称为
p1 , p2 , p3
一．部分分式展开法(m<n)
例：求 F ( s )
4 拉氏反变换 3 ( s 1)( s 2)
A0 C1 A1 A2 解：展成部分分式 F(s) s 1 ( s 2) 3 ( s 2) 2 s 2
C1 (s 1) F(s) s 1 4 ( s 4) 3 4
用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单
一．部分分式展开法(m<n)
3. 有重根存在
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 C1 C2 k an ( s p1 )( s p2 ) ( s pi ) s p1 s p2 A0 A1 k k 1 ( s pi ) ( s pi ) Ak 1 s pi
pn 是 B(s) 0
F (s) 的极点
一．部分分式展开法
拉氏逆变换的过程 找出F(s)的极点
将F(s)展开成部分分式
查拉氏变换表求f(t)
一．部分分式展开法(m<n)
1.单阶实数极点
A( s) F ( s) ( s p1 )( s p2 )
( s pn )
p1 , p2 , p3
A 3, B 8
一．部分分式展开法(m<n)
用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即
As B 3s 8 3( s 2) 2 3( s 2) 2 2 2 2 2 s 4 s 8 s 4 s 8 ( s 2) 4 ( s 2) 4 ( s 2)2 4
A0 (s pi ) k F(s) s p
i
d A1 [( s pi ) k F ( s)] s pi ds
对于非重根，系数的求法 和前面一样，对于重根则 需用求导的方法求系数
1 d2 k A2 [( s p ) F ( s)] i 2 s pi 2! ds 1 d k-1 k Ak 1 [( s p ) F ( s)] i k 1 s pi k 1 ! ds
k1 k2 F ( s) s p1 s p2
pn 为不同的实数根
kn s pn
ki ( s pi )F ( s ) s p
求出
i
k1 , k2 , k3
kn
即可将 F(s)展开成部分分式
一．部分分式展开法
例：求
2s 2 3s 3 F ( s) 3 s 6s 2 11s 6
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.5 连续时间LTI系统
§5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
s 1
A0 ( s 2) F ( s )
3
s 2
4 ( s 1)
s 2
4
4
d 4 3 A1 [( s 2) F ( s)] s 2 ds ( s 1) 2
3( s 2) 2 t 3 e cos(2t ) (t ) 2 ( s 2) 4
2 2 t e sin(2t ) (t ) 2 ( s 2) 4
所以有： f (t ) u(t ) 2e t u(t ) e 2t [3cos 2t sin 2t ] ( t )
1
一．部分分式展开法
通常F(s) 具有如下的有理分式形式：
A( s) am s m am1s m1 a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0
ai,bi为实数，m,n为正整数。 当 m n , F ( s) 是真分式