上海市高考数学模拟试卷
上海地区高考数学模拟卷(带答案)
2023年上海地区高考数学模拟卷一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共60分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足(1−i)z =2+i 则|z̅|=（ ）A ．√102B ．52C ．√10D ．√52．已知集合 A ={x|x >1} B ={−1,0,1,2} 则 A ∩B = （ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{x|x >−1}3．某工厂有三组员工 第一组有105人 第二组有135人 第三组有150人 工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7 那么从第二组抽取的人数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．114．已知函数f （x ）=5x g （x ）=ax 2﹣x 若f （g （1））=1 则a=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．35．已知F 1 F 2是椭圆和双曲线的公共焦点 P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2= π3 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4√33B ．2√33C ．3D ．26．已知α，β∈[−π2，π2] 且αsinα−βsinβ>0 则下列不等式一定成立的是（ ）A ．α>βB ．α<βC ．α+β>0D ．α2>β27．已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c A =30∘,B =45∘ 则 ab= （ ）A ．√2B ．√22C ．√62D ．238．设 p:ln(2x −1)≤0,q:(x −a)[x −(a +1)]≤0 若 q 是 p 的必要而不充分条件 则实数 a 的取值范围是( ) A ．[0,12]B ．(0,12)C ．(−∞,0]∪[12,+∞)D ．(−∞,0)∪(12,+∞）二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分。
在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求。
上海市(新版)2024高考数学部编版模拟(评估卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学部编版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(2)题设全集，则集合（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换后为（）A．B．C．D．第(5)题已知一组数据：95，105，130，88，118，97，103，则这组数据的上四分位数为（）A．95B．97C．105D．118第(6)题对于两个事件，则事件表示的含义是（）A．A与B同时发生B．A与B有且仅有一个发生C．A与B至少一个发生D．A与B不能同时发生第(7)题已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（）A．B．1C．D．4第(8)题已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某网友随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：1.7，2.3，1.9，2.1，2.2，2.1，1.9，1.7，2.2，1.9．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法正确的是（）附：若随机变量服从正态分布，则，，A．这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0B．这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04C．这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8D．用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135第(2)题在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是C．PQ+QG的最小值为D ．当MA+MB＝4时，三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积为.第(3)题已知抛物线的焦点为F，为C上一点，.过C的准线上一点P，作C的两条切线，其中A､B为切点.则下列判断正确的是（）A．B．抛物线C的准线方程为C．以线段为直径的圆与C的准线相切D．直线恒过焦点F三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，满足约束条件，则的最大值为___________.第(2)题已知复数（其中为虚数单位），则______.第(3)题已知实数满足则的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数在区间上存在两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求证：．第(2)题记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴.(1)求；(2)若在区间上的值域为，求的解析式.第(3)题已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数极值点的个数；（3）若函数有两个极值点，，且，证明：.第(4)题某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：日均收看世界杯时间（时）频率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828第(5)题已知函数，(1)当时，求在区间上的值域；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：.。
上海市(新版)2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，下列说法错误的是（）A ．平面B．C ．异面直线AP与所成的角的最小值为D．三棱锥的体积为定值第(2)题已知函数是定义域为的偶函数,当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(3)题命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）A．B．C．D．第(4)题执行如图所示的程序框图，则输出的（）A ．4B ．5C ．6D ．7第(5)题设是公比不为1的无穷正项等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，对任意的正整数，”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(6)题已知，若为纯虚数，则（ ）A．B ．1C ．2D．第(7)题如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）A．B．C．D．第(8)题设集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（）A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为C．当时，圆锥的外接球表面积为D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动第(2)题已知等比数列满足，公比，则（）A．数列是等比数列B．数列是递减数列C．数列是等差数列D．数列是等比数列第(3)题设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于两点，则（）A．为定值B．可能为直角C．以为直径的圆与y轴有两个交点D．对于确定的直线，在C的准线上存在三个不同的点P，使得为直角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的二项式系数之和为64，则展开式中的系数为______（用数字作答）.第(2)题若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为______.第(3)题在复平面内，已知复数对应的点在曲线上，则最大值是___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)证明：.第(2)题新高考3+3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，决定从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．（1）请完成下面的2×2列联表；选择全理不选择全理合计男生5女生合计（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；（3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．0763．8415．0246．6357．87910．828第(3)题在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，为棱上的点．(1)证明：；(2)是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．第(4)题已知是等差数列，是等比数列．(1)求证：；(2)记的前n项和为，对任意，，求的取值范围．第(5)题在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)线段上一点满足，求的长度．。
上海市(新版)2024高考数学人教版模拟(评估卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题第(2)题已知直线和圆相切，那么a的值是（）A．5B．4C．3D．2第(3)题6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组．当大家同时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有3个人手势一样，或有3个人手势为上述手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是（）A．在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案B．一次游戏共有种手势结果C．一次游戏分不出组的概率为D．两次游戏才分出组的概率为第(4)题2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种第(5)题一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为A．B．C．D．第(6)题球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）A．B．C．D．第(7)题在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 A．B．C．D．第(8)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在棱长为1的正方体中，M是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．存在点M，使得平面B．存在点M，使得三棱锥的体积是C．存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形D．若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为第(2)题已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知复数，下列结论正确的有（）A．若，则B．若，则C．D．若，则的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数在区间上的最大值为___________.第(2)题已知函数，下列说法正确的是___________.①的图像关于点对称②的图象与有无数个交点③的图象与只有一个交点④第(3)题已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）在中，，内角为锐角，且，求周长的最大值．第(2)题设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上单调递增，求.第(3)题某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图．(1)求图中的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适，并简述理由；(2)以频率估计概率，现从学校所有学生中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变量为这18名学生中评分在的人数，请估计这18名学生的评分在最有可能为多少人？第(4)题已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）若函数有两个不同的极值点、，求实数的取值范围；（2）当时，求使不等式对一切实数恒成立的最大正整数.第(5)题已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答(1)若，求的取值范围；(2)设函数的零点为，求的值．。
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(三模)含解析
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合{}{}1,1,1,3,5A xx B =≤=-∣，则A B = __________.【正确答案】{}1,1-【分析】化简A ，根据交集运算得解.【详解】因为{}{}1[1,1],1,1,3,5A xx B =≤=-=-∣，所以{}1,1A B ⋂=-，故答案为.{}1,1-2．复数12i 3iz -=+的模为__________．【正确答案】2【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i ,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故23．不等式301x x +≥-的解集为__________.【正确答案】(](),31,∞∞--⋃+【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或1x >,故答案为.(](),31,∞∞--⋃+4．已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f -=________【正确答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5．已知函数()2sin2f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期是__________．【正确答案】π【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】()2sin2sin22sin 23f x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，故π．6．方程42log 17x x +=的解为_________．【正确答案】4x =【分析】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程42log 17x x +=的解.【详解】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由于函数42,log x y y x ==在()0,x ∈+∞上均为增函数，又()4442log 416117f =+=+=，故方程42log 17x x +=的解为4x =.故答案为.4x =7．81(x的展开式中含x 项的系数为______.【正确答案】28【分析】化简二项式定理展开式通项()()38218C 1k k k T x -+=⋅-⋅，求出k 值，代入即可.【详解】设展开式中第1k +项含x 项，则(()()83821881C C 1k k k k k k k T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令3812k -=，解得6k =，代入得，()6678C 128T x x=⋅-⋅=故28.8．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【正确答案】8.5/172【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有61098740++++=，4040%16⨯=，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是898.52+=，故8.59．若存在实数a，使得1x =是方程2()3x a x b +=+的解，但不是方程x a +则实数b 的取值范围是__________.【正确答案】()3,-+∞【分析】根据1x =是2()3x a x b +=+的解，不是x a +.【详解】由题意知，2(1)3a b +=+，且1a +≠()1a =-+，显然30b +≥，即3b ≥-，若3b =-，此时显然不满足题意，故()3,b ∞∈-+.故()3,-+∞10．随机变量()2N 105,19X，()2N 100,9Y ，若()()P X A P Y A ≤=≤，那么实数A 的值为__________.【正确答案】95.5【分析】由正态分布性质可得()105N 0,119X -，()100N 0,19Y -，由此可利用对称性构造方程求得结果.【详解】()2N 105,19X ，()2N 100,9Y ，()105N 0,119X -∴，()100N 0,19Y -，()()P X A P Y A ≤=≤ ，105100199A A --∴=，解得.95.5A =故答案为.95.511．已知曲线1C ：2y x =+与曲线2C ：22()4x a y -+=恰有两个公共点，则实数a 的取值范围为__________.【正确答案】(){}4,02-⋃【分析】根据2y x =+与22()4x a y -+=的位置关系分析可得.【详解】如图：2y x =+与x 轴焦点为()2,0A -，当点A 在圆2C 外，则2y x =+表示的两条射线与圆相切与2C 相切时恰有两个公共点，联立22()4x a y -+=得()222420x a x a +-+=，由()2242420a a ∆=--⨯⨯=，得2a =-±因2y x =+，所以2x ≥-，故2a =-+当点A 在圆2C 上，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有3个或1个交点不符合题意，当点A 在圆2C 内，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有2个交点符合题意，此时，22(2)04a --+<，得40a -<<综上a 的取值范围为.(){}4,0222-⋃-故答案为.(){}4,0222-⋃12．函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋯满足120n x x x ≤<<< ，且()()()()()()122312023n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为__________.【正确答案】1518.5【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，再利用函数的周期性求解.【详解】解： 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21,f x x =+∴函数的值域为[]3,1-，对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()min ()()4i j max f x f x f x f x -≤-=，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，()()()()()()12122310,2023n nn x x x f x f x f x f x f x f x -≤<<<-+-++-= ，n ∴的最小值估计值为20231506.754+=，故n 的最小值取507，相应的n x 最小值为1011.5，则n n x +的最小值为1518.5.故1518.5二、单选题13．设R λ∈，则“1λ=”是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行，则()()3110λλλ---=，解得1λ=或3λ=-，经检验1λ=或3λ=-时两直线平行．故“1λ=”能得到“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”，但是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”不能得到“1λ=”故选：A14．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．15．已知函数()21f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．∅B ．()()1,00,1-UC ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B 【分析】先求得参数a 的值，再去求不等式()0f x >的解集【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，即2a a a a++=+解之得1a =-，经检验符合题意.则()2f x x x=-+由20x x -+>，可得()()1,00,1x ∈-U 故()20f x x x =-+>的解集为()()1,00,1-U ，故选：B.16．已知*n ∈N ，集合πsin N,0k A k k n n ⎧⎫⎛⎫=∈≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合A 恰有8个子集，则n 的可能值有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n 的取值.【详解】由题意易知，π2ππsin0,sin ,sin ,,sin n n n n ，均是集合A 中的元素，又集合A 恰有8个子集，故集合A 只有三个元素，有πsin0sin sin πn n==，则结合诱导公式易知，n 可取的值是4或5.故选：B三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：22*1()n n n S S S n N ++∈<；【正确答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)证明见解析【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；（2）利用（1）的结论首先求得数列{}n a 的前n 项和，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =，5435()a a a =-得，145=+a d d ，故1d =，于是1(1)n a n n =+-=；由11b =，5434()b b b =-得，4324()q q q =-，又等比数列公比0q ≠，得到2244(2)0q q q -+=-=，故2q =，于是12n n b -=.（2）由（1）得，(1)2n n n S +=，故2(1)(2)(3)4n n n n n n S S ++++=，2221(1)(2)4n n n S +++=，作差可得[]221(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)042n n n n n n n n n n n S S S ++++++=+-++--=<，即221n n n S S S ++<得证.18．如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，,90,222AB CD ADC PD CD AD AB ∠===== ∥.(1)求异面直线AB 与PC 所成角的大小；(2)求二面角B PC D --的余弦值.【正确答案】(1)π433【分析】（1）根据AB DC 可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以点D 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）由AB CD ，则异面直线AB 与PC 所成角即为PCD ∠，由题意知，PD ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，故PD CD ⊥，所以tan 1PD PCD CD ∠==，即π4PCD ∠=，即异面直线AB 与PC 所成角为4π.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又PD DC ⊥，AD DC ⊥，所以以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P ，则()()()()0,2,2,1,1,0,0,0,2,1,0,2PC BC DP PA =-=-==- ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则2200n PC y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，得1,1y z ==，得()1,1,1n = ，取平面PDC 的法向量为()1,0,0DA = ，设二面角B PC D --的大小为θ，由图形知，θ为锐角，所以cos n DA n DAθ⋅== ，所以二面角B PC D --19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①x y ka =0k >1a >，②log b y x =（1b >），③y q =（0p >）可供选择.（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ？（结果保留到整数）【正确答案】(1)答案见解析；(2)至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择x y ka =，并求出解析式；（2）根据题意，4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，求出x 的取值范围，进而得出结果.【详解】（1）因为x y ka =0k >1a >的增长速度越来越快，log b y x =（1b >）和y q =（0p >）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型x y ka =0k >1a >.由题意得234864ka ka ⎧=⎨=⎩，解得4327a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以该函数模型为4273xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（0x ≥）；（2）由题意得4273003x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即410039x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以43100log 9x >，又341001g100221g3220.4779log 8.3684921g2lg320.3010.4771g 3--⨯==≈≈-⨯-.所以至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .20．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B.（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线4x =相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.【正确答案】（1）6；（2）4-；（3）()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求12AF F ∆的周长；（2）设(),0P t ，求出直线AP 方程，解出Q 点坐标，计算OP QP ⋅ ，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：M 到直线AB 距离2d 是O 到直线AB 距离1d 的3倍，求出2d 的值，则点M 的坐标为与直线AB 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点M .【详解】解：（1）由椭圆方程可知.2,1a c ==所以12AF F △的周长为1212226AF AF F F a c =++=+；（2）由椭圆方程得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0P t ，则直线AP 方程为()321y x t t=--，又4x =，所以直线AP 与4x =的交点为344,21t Q t -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭，()22,0344,214(2)44t t t OP QP t t t t -⎛⎫--⋅= ⎪-⎝⎭⋅=⋅-=--≥- ，当2t =时，()min 4OP QP ⋅=- （3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为()314y x =+，所以135d =，295d =.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，求得6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，联立方程：223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得27120y y +=，解得()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当12m =时，直线l 为34120x y -+=，联立方程：2234120143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2724270y y ++=，∆<0此时方程无解.综上所述，M 点坐标为()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.21．记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数.若存在，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“兰亭点”.(1)证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“兰亭点”；(2)若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“兰亭点”，求实数a 的值；(3)已知函数()()2e ,x bf x x ag x x =-+=.对存在实数0a >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，求实数b 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)e2(3)()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题中“兰亭点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“兰亭点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“兰亭点”的定义列两个方程，再由方程组有解即可求得结果.【详解】（1）函数()()2,22f x x g x x x ==+-，则()()1,22f x g x x '='=+.由()()f x g x =且()()f x g x ⅱ=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“兰亭点”.（2）函数()()21,ln f x ax g x x =-=，则()()12,f x ax g x x''==.设0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”，由()0f x =()0g x 且()0f x '=()0g x '，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e 22e a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”.因此，a 的值为e 2.（3）()()()()2e 12,0x b x f x x g x x x -=-='≠'，函数()y f x =与()y g x =在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，记为x t =，所以()22e e 12tt b t a t b t t t ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得()3233121e t t t a t t b t ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，由于0a >，解得01t <<或3t >，而()321e t t b t =-，所以()()2222330(1)1et t t t b t t '-+=>≠-，所以函数()321e t t b t =-在(0,1),(3,)∞+上为增函数，因为0=t 时0b =，1t →时，b →+∞，3t =时，327e b =-，t →+∞时，0b →，所以01t <<时，()0,b ∈+∞；3t >时，327,0e b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上，实数b 的取值范围是()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.方法点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
上海市市辖区2024年数学(高考)统编版测试(巩固卷)模拟试卷
上海市市辖区2024年数学（高考）统编版测试(巩固卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题甲､乙两人组队去参加乒乓球比赛，每轮比赛甲､乙各比赛一场，已知每轮比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，在每轮比赛中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲､乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为（）A．B．C．D．第(2)题在九位数123456789中，任意交换两个数字的位置，则交换后任意两个偶数不相邻的概率为（）A．B．C．D．第(3)题在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（）A．B．C．D．第(4)题直线截圆所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．第(5)题不等式的解集是A．B．C．D．第(6)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(7)题已知，，，则a，b，c的大小关系是（）．A．B．C．D．第(8)题已知向量，，且，则（）A．3B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（）A．直线过定点B．当时，线段长的最小值为C．半径的取值范围是D．当时，有最小值为第(2)题已知函数，若，其中，则（）A．B．C．D．第(3)题已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（）A．d的最大值是6B．C．一定是奇数D．137一定是数列中的项三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知，分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于A，C两点，直线与圆相交于B，D两点，若四边形的面积为，则的离心率为________.第(2)题设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.第(3)题在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB| = 3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若函数的图象（图中未画出）与△OAB的边界至少有2个交点，则实数k的取值范围是_______________．四、解答题（本题包含5小题，共77分。
上海市(新版)2024高考数学部编版模拟(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学部编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题点为双曲线（，）的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点.为原点，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题已知，函数，，，则的最小值为（）A．B．C．D．第(3)题把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(4)题已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（）A．2B．C．D．第(5)题袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题方程的一个根是（）A．B．－1C．2D．第(8)题已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题过抛物线的焦点F的直线与C交于，两点，点为C的准线上一点，则（）A．B．若，则C．的最小值为4D．第(2)题若，，则下列结论中正确的有（）A．B．C．D．第(3)题在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．是等方差数列B．若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C．正项等方差数列的首项，且是等比数列，则D．若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知圆周上等距离的排列着八个点，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为___________．第(2)题某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．第(3)题函数的最小正周期为____四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点．(1)求证平面；(2)求二面角的余弦值．第(2)题设等差数列的前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.第(3)题如图，是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，把沿折起，使到达位置，已知.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.第(4)题已知双曲线：的虚轴长为2，过的右焦点且不与轴垂直的直线与的右支交于，两点，且当直线的倾斜角为时，.(1)求的标准方程；(2)过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若直线，的交点恒在轴上，求的值.第(5)题已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量.（1）求时的概率；（2）求随机变量X的概率分布列及数学期望.。
2023-2024学年上海市徐汇区高三下册高考数学模拟试题(三模)附答案
2023-2024学年上海市徐汇区高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合，，则______．{}1,2,6M ={}2,3N =M N = 2．已知，则______．()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩()1f -=3．已知复数z 满足，则的最小值为______．z i -=z4．已知向量，，则在上的投影向量的模为______．(a = ()b = ab 5．已知，则的最大值为______．2x y +=()y x y -6．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______．2π3π7．在中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ．若，且，则ABC △(222a b =+⋅b c =______．A =8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为______．9．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是2nx ⎛- ⎝314______．10．已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为______．11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．1111ABCD A B C D -3AB =11AA =店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆1111H E E F F G G H H --------扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．12．正实数x ，y 满足：存在和，使得，，[]0,a x ∈[]0,b y ∈222a y +=221b x +=，则的最大值为______．1ax by +=x y +二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．设，则“”是“”的（ ）x R ∈0x <()ln 10x +<A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）()ln 2y x =ln y x =A ．每一点的横坐标变为原米的2倍B ．每一点的纵坐标变为原来的2倍C ．向左平移ln2个单位D ．向上平移ln2个单位15．在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C ()()()13P A P B P C ===互斥，以下说法中，正确的个数是（ ）① ② ③若，则B 与C 互斥()23P A B = ()()2P C A P A C =()()12P C B P C B +=A ．0B ．1C ．2D ．316．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得{}n a ，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数123m n a a a a a =++++ {}n a n b m ={}n b {}n a 列，则（ ）A ．若为等差数列，则为内和数列{}n a {}n aB ．若为等比数列，则为内和数列{}n a {}n a C ．若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列{}n a {}n b {}n a D ．若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列{}n a {}n b 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知向量，，其中，若，且函数()2sin ,cos 2m x x =ωω ),1n x =ω0ω>()f x m n =⋅的最小正周期为π．()y f x =（1）求的单调增区间；()y f x =（2）在中，若，，求的值．ABC △()2f B =-BC =sin B A =BA BC ⋅18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．在四面体中，，．D ABC -2AB BC BD AC ====AD DC ==（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）对角线BD 上是否存在一点E ，使得直线AD 与平面ACE 所成角为30°．若存在求出的值，若不存在说明理由．BEED19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？附：，其中，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -χ=++++n a b c d =+++()2 3.8410.05P χ≥≈（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出2313如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ，求X 的分布及数学期望E[X]．20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆：的左、右焦点分别为、．Γ()222210x y a b a b+=>>1F 2F （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点B ，求椭圆的离心率；2F 1F Γ（2）已知，，设点P 是椭圆上一点，且位于x 轴的上方，若是等腰三5a =4b =Γ12PF F △角形，求点P 的坐标；（3）已知，且倾斜角为的直线与椭圆在x 轴上方的交点记作，2a =b =2F 2πΓA 若动直线l 也过点且与椭圆交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线：2F Γ0l ，使得动直线l 与的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存0x x =0l 在，求常数的值．若不存在，请说明理由．0x 21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数的定义域为D ，对于区间，当且仅当函数满足以()y f x =[](),I a b I D =⊆()y f x =下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是的一个“美好区间”．()y f x =性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．0x I ∈()0f x I ∈0x I ∈()0f x I ∉（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数()22f x x x =-+x R ∈[]0,2[]1,3的“美好区间”，并说明理由；()y f x =（2）已知且，若区间是函数的一个()()3213123f x x x x x R =--+∈0m >[]0,m ()y f x =“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，()y f x =a b <都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不()()f a f b b a ->-()y f x =0x R ∈0x 属于函数的任意一个“美好区间”．()y f x =答案一、填空题1.;2.;;4.;5.;6.;7.; 8.; {}1,2,3,601-012356π169.; 10.； 11.45166616-11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．1111ABCD A B C D -3AB =11AA =店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆1111H E E F F G G H H --------扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．【正确答案】16-对于图（A ），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为对于图（B ），彩绳长度的最小值为16，因为A 比图B 最多节省的彩绳长度．16>16-12．正实数x ，y 满足：存在和，使得，，[]0,a x ∈[]0,b y ∈222a y +=221b x +=，则的最大值为______．1axby +=x y +构造，(,),(,)OP a y OQ x b ==， ，|||1,1OP OQ OP OQ ==⋅= 4POQ π∠=问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动，OPQ O 因为，所以点位于点的左上方，[0,],[0,]a x b y ∈∈P Q 设，则，QOM θ∠=4POM πθ∠=+所以，||cos ,||4xQN y PM πθθ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭所以cos sin 2cos 4x y πθθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭)θϕ=+≤所以x y +二、选择题13.B14.D15.C16.D14.D15.C16.D 15.C 16.D15．在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C ()()()13P A P B P C ===互斥，以下说法中，正确的个数是（ ）① ② ③若，则B 与C 互斥()23P A B = ()()2P C A P A C =()()12P C B P C B +=A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C 对于①, 且与相互独立, 则()()1,3P A P B ==A B ,①错误;()()()()13P A B P A P B P AB ⋃=+-=11153339+-⨯=对于②,()()()(),|3P CAP C A PCA P A ==()()()()()3|1213P CAP CA P A C P CA P C ===-故, 故②正确;()()2|P CA P A C =对于③,则,()()1,||2P C B P C B +=()()()|P CB P C B P B =()()()|,P C B P C B P B=故, 即 (1),()()112233P C B P CB +=()()631P CB P C B +=若互斥,则, 满足(1)式,BC ()()()10,3P BC P C B P C ===故, 即与互斥, 故③正确.故选:C.()0P BC =B C 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得{}n a ，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数123m n a a a a a =++++ {}n a n b m ={}n b {}n a 列，则（ ）A ．若为等差数列，则为内和数列{}n a {}n aB ．若为等比数列，则为内和数列{}n a {}n a C ．若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列{}n a {}n b {}n a D ．若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列{}n a {}n b 【正确答案】D对于选项: 例如, 可知即为等差数列, 也为等比数列,AB 1n a ={}n a 则, 但不存在, 使得所以不为内和数列, 故错误;122a a +=*m N ∈2,m a ={}n a AB 对于选项C: 例如：数列：显然是所有正整数的排列, 可知为内和数列, 2,1,3,4,5,⋯{}n a {}n a 且的伴随数列为递增数列,但不是递增数列, 故C 错误.{}n a {}n a 对于选项D: 因为,对任意, 可知存在,0n a >*1212,,n n N n n ∈<*12,m m N ∈使得,,11123m n a a a a a =+++⋯+22123m n a a a a a =+++⋯+则即,21112120m m n n n a a a a a ++-=++⋯+>21m m a a >所以其伴随数列为递增数列, 故D 正确;故选D.{}n b三．解答题17.（1）（2）,,36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦32-18.（1）证明略（2）BEED=19.（1）否（2），分布列如下()6527E X =20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆：的左、右焦点分别为、．Γ()222210x y a b a b+=>>1F 2F （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点B ，求椭圆的离心率；2F 1F Γ（2）已知，，设点P 是椭圆上一点，且位于x 轴的上方，若是等腰三5a =4b =Γ12PF F △角形，求点P 的坐标；（3）已知，且倾斜角为的直线与椭圆在x 轴上方的交点记作，2a =b =2F 2πΓA 若动直线l 也过点且与椭圆交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线：2F Γ0l ，使得动直线l 与的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存0x x =0l 在，求常数的值．若不存在，请说明理由．0x【正确答案】（1）（2）（3）存在，12e =()504,3,⎛± ⎝04x =（1）由题意可得：,.2c a ==12c e a ∴==（2）,椭圆的方程为:5,4a b ==Γ2212516x y += 3.c ==点是椭圆上一点, 且位于轴的上方,若, 则.P Γx 12PF PF =()04P ,若, 设,212F F PF =()P x,y,,226,12516x y =+=()()55,04x ,y ,∈-∈联立解得,.53x =-53y P ⎛=∴- ⎝若, 设, 根据对称性可得.211F F PF =()P x,y 53P ⎛ ⎝综上可得点的坐标为.P ()504,3,⎛± ⎝(3), 椭圆的方程为,2,a b ==Γ221,143x y c +===()210,F ,∴把代入椭圆方程可得, 解得.1x =211,043y y +=>33,122y A ,⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭设直线的方程为:,, 设,l ()(01,y k x C x =-())01k x -()()1122,M x ,y N x ,y 联立, 化为()221122y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22223484120,k x k x k +-+-=0,Δ>假设存在定直线, 使得动直线与的交点221212228412,,3434k k x x x x k k -∴+==++00:l x x =l 0l 满足直线的斜率总是成等差数列,则,C ,,AM AC AN 2AC AM AN k k k =+,,()01201233312222111k x y y x x x ----∴⨯=+---()()11221,1y k x y k x =-=-代入化为:而012211111x x x =+---()12121212211111x x x x x x x x +-+=---++, 解得.22220228222234313412813434k k x k k k k -+==∴=---+++04x =因此存在定直线, 使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成0:4l x =l 0l C ,,AM AC AN 等差数列.21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数的定义域为D ，对于区间，当且仅当函数满足以()y f x =[](),I a b I D =⊆()y f x =下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是的一个“美好区间”．()y f x =性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．0x I ∈()0f x I ∈0x I ∈()0f x I ∉（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数()22f x x x =-+x R ∈[]0,2[]1,3的“美好区间”，并说明理由；()y f x =（2）已知且，若区间是函数的一个()()3213123f x x x x x R =--+∈0m >[]0,m ()y f x =“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，()y f x =a b <都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不()()f a f b b a ->-()y f x =0x R ∈0x 属于函数的任意一个“美好区间”．()y f x =【正确答案】（1）是（2） （3）见解析03m <≤（1） 函数，当时，，3y x =-[1,2]x ∈[1,2]y ∈因此区间是函数的一个“美好区间”．[1,2]3y x =-（2），2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-由得，所以或()f m m =2(3)(12)0m m --=3m =m =当时，在上严格减，所以，满足题意；03m <≤()f x [0,]m ()[(),12]f x f m ∈当时，，所以且，无解；3m >min ()(3)3f x f ==12m ≥()f m m ≤所以，；03m <≤(3)证明：对于任意区间,[],()I a b a b =< 记由已知得在上单调递减, 故(){}|,S f x x I =∈()f x I ()(),S f b ,f a ⎡⎤=⎣⎦因为, 即的长度大于的长度, 故不满足性质①,()()f a f b b a ->-S I 所以若为的 “美好区间”, 必满足性质②), I ()f x 这只需,即只需或,S I ⋂=∅()f a a <()f b b >由显然不恒成立, 所以存在常数使得,()f x x =c ()f c c ≠如, 取，区间满足性质②；()f c c <a c =[],()I a b a b =<综上，函数一定存在 “美好区间”；()f x 记, 则图象连续不断, 下证明有零点:()()g x f x x =-()g x ()g x因为在上是减函数，所以在上是减函数, 记,()f x R ()g x R ()0f t =若, 则是的零点,0t =00x =()g x 若, 则, 即,,0t >()()0f t f t <=()00g >()0g t <由零点存在性定理, 可知存在, 使得,()00x ,t ∈()00g x =若, 则, 即,,0t <()()0f t f t >=()0g t >()00g <由零点存在性定理, 可知存在, 使得,()00x t ,∈()00g x =综上,有零点, 即,()g x 0x ()00f x x =因为的所有 “美好区间”都满足性质②, 故,（否则, 与性质②()f x I 0x I ∉()00f x x I =∈不符),即不属于的任意一个“美好区间”, 证毕.0x ()f x。
上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213； ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=4．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭5．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51-B ．2C ．3D ．58．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．4010．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．7811．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（一模）一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）1.已知集合{}21,RA y y x x ==-∈，{B x y ==，则A B = ______.【正确答案】⎡-⎣【分析】先求函数21,R y x x =-∈的值域，即可化简集合A，再求函数y =的定义域，即可化简集合B ，最后由集合的交集运算即可得到答案.【详解】因为{}21,R A y y x x ==-∈，所以A 为函数21,R y x x =-∈的值域，因为211y x =-≥-，所以{}1A y y =≥-.因为{B x y ==，所以B为函数y =的定义域，由220x -≥得22x ≤，即x ≤≤，所以{B x x =≤≤，所以{}{1A B y y x x ⎡⋂=≥-⋂≤≤=-⎣.故⎡-⎣2.若复数z 满足32iiz -=（其中i 是虚数单位），则||z =______.【分析】化简复数z ，再求出z ，进而求出||z .【详解】∵32i (32i)i 23i23i i i i 1z --+====--⨯-，∴23i z =-+，∴||z ==3.已知向量()3,6a = ，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【正确答案】3-【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-====-.故答案为.3-4.若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】(1,)+∞【分析】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，即不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，当0a =时，不等式等价与20x ->，不符合题意；则满足2)22(40a a ->⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，即实数a 的取值范围是(1,)+∞.本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是______.【正确答案】24【分析】先由等差数列的通项公式化简18153120a a a ++=得到1724a d +=，再由等差数列的通项公式把9102a a -化为17a d +即可求出答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()1815111173312014535d a a a a a a a d d ++=++++=+=，所以1724a d +=.所以()()9101112224897d a a a a a d d -=++-=+=.故246.过抛物线24x y =的焦点且倾斜角为3π4的直线被抛物线截得的弦长为______.【正确答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，直线l 的倾斜角为3π4，设直线l 与抛物线交于,M N 两点，则直线l 的方程为1y x =-+，代入24x y =得2610y y -+=，则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，126y y +=，则1228MN MF NF y y =+=++=，故8二、单项选择题（每题5分，共50分）7.设:x a α>，1:0x xβ->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.(],0-∞【正确答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥.故选：C8.函数()(1f x x =+）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【正确答案】C【分析】求出()f x 的定义域不关于原点对称，即可判断()f x 为非奇非偶函数.【详解】函数()(1f x x =+的定义域为101x x -≥+，则()()110111x x x x ⎧+-≥⇒-<≤⎨≠-⎩，由于定义域不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数.故选：C .9.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A.)(0P A B ⋂= B.)()()(P A B P A P B ⋂=C.)()(1P A P B =- D.)(1P A B ⋃=【正确答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A 与事件B 是互斥事件，则A B 、不一定是互斥事件，所以()P A B ⋂不一定为0，故选项A 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以A B ⋂=∅，则()0P A B ⋂=，而()()P A P B 不一定为0，故选项B 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，A B ⋃是必然事件，所以()1P A B ⋃=，故选项D 正确.故选：D.10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B ，则()|P A B 的值是（）A.59B.49C.29D.19【正确答案】A【分析】利用条件概率公式求解即可得()P A B到答案.【详解】由题意知，()101202P A ==，()920P B =()P AB 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，()51204P AB ==，根据条件概率的计算公式得()()()1549920P AB P A B P B ===.故选：A11.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A.MC AN⊥ B.平面//DCM 平面ABN C.直线GB 与AM 是异面直线 D.直线GB 与平面AMD 无公共点【正确答案】D【分析】根据给定条件，证明//AN DG 判断A ；利用线面、面面平行的判定推理判断B ；取DM 中点O ，证得四边形ABGO 是梯形判断CD 作答.【详解】因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，则//MD NB ，取,,AB CD AN 的中点,,F E H ，连接,,,EF EG FH GH ，如图，点G 为MC的中点，则//////EG MD NB FH ，且1122EG MD NB FH ===，于是四边形EFHG 是平行四边形，//,GH EF GH EF =，在正方形ABCD 中，//,EF AD EF AD =，则//,GH AD GH AD =，因此四边形ADGH 为平行四边形，//AN DG ，而1MD CD ==，点G 为MC 的中点，有DG MC ⊥，所以MC AN ⊥，A 正确；因为//MD NB ，MD ⊂平面DCM ，NB ⊄平面DCM ，则//NB 平面DCM ，又//AB CD ，CD ⊂平面DCM ，AB ⊄平面DCM ，则//AB 平面DCM ，而,,NB AB B NB AB =⊂ 平面ABN ，所以平面//DCM 平面ABN ，B 正确；取DM 中点O ，连接,GO AO ，则有11////,22GO CD AB GO CD AB ==，即四边形ABGO 为梯形，因此直线,AO BG 必相交，而AO ⊂平面AMD ，于是直线GB 与平面AMD 有公共点，D 错误；显然点A ∈平面ABGO ，点M ∉平面ABGO ，直线BG ⊂平面ABGO ，点A ∉直线BG ，所以直线GB 与AM 是异面直线，C 正确.故选：D结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.12.数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-，*n ∈N ，关于数列{}n a 有以下命题：①{}n a 一定是等比数列，但不可能是等差数列；②{}n a 一定是等差数列，但不可能是等比数列；③{}n a 可能是等比数列，也可能是等差数列；④{}n a 可能既不是等差数列，也不是等比数列；⑤{}n a 可能既是等差数列，又是等比数列；其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】分0a =，1a =，0a ≠且1a ≠三种情况讨论，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．【详解】当0a =时，1n S =-，则111a S ==-，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，即1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列；当1a =时，0n S =，则110a S ==，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，则()0n a n N *=∈，此时，数列{}n a 为等差数列，但不是等比数列；当0a ≠且1a ≠时，111a S a ==-，当2n ≥时，()()()111111nn n n n n a S S a aa a ---=-=---=-，则()21a a a =-，()()1111n n n n a a a a a a a+--∴==-且()2111a a a a a a -==-，则数列{}n a 是以a 为公比的等比数列.由以上分析知，正确的说法为③④．故选：B.本题考查数列通项n a 与n S 的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．13.已知参数方程3342x t ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[]1,1t ∈-，则下列曲线方程符合该方程的是（）A.B.C.D.【正确答案】B【分析】利用特殊值法即可选出答案.【详解】令20y t ==得1,0,1t =-，将其分别代入334x t t =-得1,0,1x =-，所以该方程所表示的曲线恒过点()()()1,0,0,0,1,0-，显然只有B 项满足.故选：B.14.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A.π6B.π2C.7π6D.π【正确答案】B【分析】先求()3[,0]2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()3[,0]2f α∈-.在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈.[]0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,63326m m πππππ-∈∈.故选B.本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.15.若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（）A.(1,)+∞B.(,1]-∞C.(](),11,-∞-⋃+∞ D.[1,0)(1,)-+∞U 【正确答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得.1λ≤-所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C16.已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-；③当[0,1]x ∈时，3()2f x x =；④()(4)g x f x =．若过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A.60,11⎛⎫⎪⎝⎭B.30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(0,1)D.330,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合①②可知()f x 是周期为2的函数，再结合④可知()g x 是周期为12的函数，结合③作出()g x 在[0,2]上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-，所以()(2)()f x f x f x =-=-，从而()(2)f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数，因为()(4)g x f x =，则()g x 图像是()f x 的图像的横坐标缩短为原来的14得到，故()g x 也是偶函数，且周期为11242⨯=，结合当[0,1]x ∈时，3()2f x x =，可作出()g x 在[0,2]的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当74x =时，易知3()2g x =，即73(,)42A ，则直线MA 的斜率362711(1)4MAk -==--，过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则只需6011MA k k <<=，即直线l 斜率k 的取值范围是60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）①22k =；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出224,2a b ==，则椭圆方程可得；（2）①根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出；②根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】22c e a ==，222a c ∴=，代入222a b c =+得b c =.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即1222b c ⨯=，即2bc =，以上各式联立解得224,2a b ==，则椭圆方程为22142x y +=.【小问2详解】①直线()1y k x =-与x 轴交点为()1,0M ，与y 轴交点为()0,N k -，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得:()222124240k x k x k +-+-=，()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412kx x k+=+()()22111,,,,MB x y AN x k y =-=--- 又212241,12k MB AN x x k =+==+ 由得：解得:2k =±.由0k >得22k =;②证明：由①知2122412k x x k +=+212224,12k x x k-=+)()()2112212127777,,114444QA QB x y x y x x k x x ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭ ()()22212127491416k x x k x x k ⎛⎫=++--+++⎪⎝⎭()2222222472449151124121616k k k k k k k -⎛⎫=++--++=- ⎪++⎝⎭，QA QB ∴⋅为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（卷二）一、填空题（每题5分，共20分）18.已知圆22:16C x y +=，直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=（,a b 不同时为0），当,a b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为___________.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=化为(21)(3)0a x yb x y --+-+=2103301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，恒过定点(3,1)，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距离为，圆心到直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=距离，此时直线弦长为最小值=.故答案为.19.若随机变量()3,XB p ，()22,YN σ，若()10.657P X ≥=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=______．【正确答案】0.2【分析】解不等式1﹣（1﹣p ）3＝0.657得到p ＝0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：∵P （X ≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p ）3＝0.657，即（1﹣p ）3＝0.343，解得p ＝0.3，∴P （0＜Y ＜2）＝p ＝0.3，∴P （Y ＞4）＝12(02)2P Y -<<＝120.30.22-⨯=．故0.2．20.已知在R 上的减函数()y f x =，若不等式()()2233f x x f y y -≤---成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0中心对称，则当14x ≤≤时，yx的取值范围是______.【正确答案】12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由对称性得函数()f x 是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，yx表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围．【详解】∵函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)中心对称，∴函数()y f x =的图象关于原点对称，即()f x 是奇函数，不等式()()2233f x x f y y -≤---可化为()()2233f x x f y y -≤+，又()f x 是R 上的减函数，∴2233x x y y -≥+，即()(3)0x y x y +--≥030x y x y +≥⎧⎨--≥⎩或030x y x y +≤⎧⎨--≤⎩，作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，如图阴影部分（含边界），yx表示阴影部分的点与原点连线的斜率，1x =与4x =分别代入30x y --=，可得(1,2)D -，(4,1)B ，2OD k =-，14OB k =，∴124y x -≤≤．故12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n ∈N ，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【正确答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果.【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132([1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1(](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈U 因为13n n S S -在343(,2][,232U 上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故94本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.二、单项选择题（每题5分，共10分）22.在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】B【分析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆.面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为θ=时，轨迹为抛物线，arctan θ≠时，轨迹为椭圆， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以轨迹为椭圆.故选：B.本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.23.若P 在曲线22:14x C y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（）A.曲线C 上所有点都是H 点B.曲线C 上仅有有限多个点是H 点C.曲线C 上所有点都不是H 点D.曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是H 点【正确答案】D【分析】设出22P A x x -≤<≤,利用相似三角形求得P x 和A x 的关系,设出PA 的方程与椭圆方程联立求得A P x x 的表达式,利用判别式大于0求得k 和m 的不等式关系,最后联立①②③求得A x 的范围,进而通过1A x <时,242P A x x =-<-,故此时不存在H 点,进而求得H 点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.【详解】解：由题意，P 、A 的位置关系对称，于是不妨设22,(P A x x -≤<≤此时)PA AB =.由相似三角形，244A P x x -=-即:24P A x x =-⋯①设:PA y kx m =+，与椭圆联立方程组，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22212104k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解得22114A P m x x k -=⋯+②0∆> ，2241k m >-⋯③联立①②③，得2222114A A x x k-<+，而2202114k<<+，即222A A x x -<，即12A x ≤≤，而当1A x <时，242P A x x =-<-，故此时不存在H 点又因为P 的位置可以和A 互换（互换后即)PA PB =，所以H 点的横坐标取值为[2,0][1,2]-⋃.故选:D.本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H 点的横坐标取值范围.属于较难题.三、多项选择题（每题6分，共12分）24.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A.与AB 所成的角是60°的棱共有8条B.AB 与平面BCD 所成的角为30°C.二面角A BC D --的余弦值为33-D.经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积为2π【正确答案】CD【分析】补全该半正多面体得到一正方体.对于A 选项，由正三角形可得60°角，再利用平行关系得结果；B 选项，利用正方体找出线面角为∠ABE=45°；C 选项，先作出二面角的补角∠AFE ，在△AEF 中，求出3cos 3EF AFE AF ∠==即可得结果；D 选项，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，构造三角形，求出球的半径，最后求得经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积.【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a .由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，由半正多面体的表面积为33+，可得223228633422a ⎛⎫⎫⨯⨯+⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =1.对于A ，在与AB 相交的6条棱中，与AB 成60°角的棱有4条，这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是60°的棱共有16条，故A 不正确；对于B ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成角为∠ABE =45°，故B 不正确；对于C ，取BC 中点F ，连接EF ，AF ，则有AF ⊥BC ，EF ⊥BC ，故二面角A -BC -D 的补角为∠AFE .二面角A -BC -D 的余弦值为-cos ∠AFE ，在Rt △AEF 中，1,,24AE EF AE EF ==⊥，∴AF =3cos 3EF AFE AF ∠==，cos 3AFE -∠=-，故C 正确;对于D ，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 的投影为投影点O 1，则有1111,22OO AO ==，∴22AO ==，故经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面的半径为面积为2422S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：CD立体几何中补形是一种常用的方法：(1)一个不规则几何体是由规则几何体经过截取得到的，通常可以用补形，还原为规则几何体，如正方体，长方体等；(2)通常可以用来求①体积（距离），②与外接球（内切球）相关的问题.25.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（）A.若点P 总保持1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为3，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.【正确答案】ABD【分析】由1BD ⊥平面1AB C 且平面1AB C 平面111BCC B B C =，即可判断A ；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B ；作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ，作1PQ CC ⊥.建立空间直角坐标系，由PF PQ =即可求得动点P 的轨迹方程，即可判断C ；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.【详解】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C 平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1BC ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z，则x =，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误.对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得121PC PE =，所以21241PC PE =，代入可得()222141x z z +-=，化简可得221314493z x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）26.对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足||||m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a 符合“()L k 条件”.（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“(2)L 条件”？（2）若首项为1，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“1(2L 条件”.求q 的范围；（3）在（2）的条件下，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.【正确答案】（1）符合（2）1[,1]2（3）证明见解析【分析】(1)将12(1)n a a n =+-代入||||m n a a k m n -≤-即可得证；(2)由“正项等比数列”分成1q =，1q >，01q <<三类，结合数列单调性进行分析求证；(3)1q =时，n S n =，01k ≥即可成立；当112q ≤<时，设m n <，则等价于证明0(1)()m n q q k q n m ---≤即可.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列且公差为2，所以12(1)n a a n =+-，所以对任意m ，*n ∈N ，m n ≠，11|||[2(1)][2(1)]||2()|2m n a a a m a n m n m n -=+--+-=-≤-恒成立，所以数列{}n a 符合“(2)L 条件”.【小问2详解】因为0n a >，所以0q >.若1q =，则1||0||2m n a a m n -=≤-，数列{}n a 符合“1()2L 条件”；若1q >，因为数列{}n a 递增，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122n m a n a m -≤-，(*)设12n n b a n =-，由(*)式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，所以11111()(1)022n n n n n b b a a q q -++-=--=--≤，*n ∈N ，则当[2(1)]41log q n ->-时，11(1)02n q q --->，矛盾.若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122m n a m a n +≤+，(**)设12n n c a n =+，由(**)式中的m ，n 任意性得，数列{}n a 不递减，所以11111()(1)022n n n n n c c a a q q +++-=-+=-+≥，*n ∈N .因为01q <<时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，所以1()(1)(1)02max f n f q ==-+≥，因为01q <<，所以112q ≤<.综上，公比q 的范围为1[,1]2.【小问3详解】由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0||||n m S S k n m -≤-，只要01k ≥即可.当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在00k >，使得011||11n mq q k n m q q---≤---，*n ∈N ，不妨设m n <，则只要证0(1)()m n q q k q n m ---≤，只要证00(1)(1)m m n n q k q q k q ≤+-+-.设0()(1)n n g n q k q =+-，由m ，n 的任意性，只要证00(1)()(1)(1)(1)()0n n g n g n q q k q q k q +-=-+-=--≥，只要证0n k q ≥，*n ∈N ，因为112q ≤<，所以存在0k q ≥，上式对*n ∈N 成立.所以，存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.思路点睛：对于数列中的恒成立或存在性问题，通常结合条件进行分类讨论，构造合适的函数模型，借助函数性质进行判断.。
上海市(新版)2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A．1B．C．D．第(4)题把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A．B．C．D．第(5)题已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的个数为（）（1）若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为圆；（2）若三棱柱的侧面积为定值，则动点所在的轨迹为椭圆；（3）若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线；（4）若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线A．1个B．2个C．3个D．4个第(6)题假如你正在筹办一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（）A．极差B．中位数C．众数D．平均数第(7)题已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象上距离原点最近的对称中心为（）A．B．C．D．第(8)题已知实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．不存在二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于曲线：，下列说法正确的是（）A．曲线围成图形的面积为B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴C．曲线所表示的图形是中心对称图形D．曲线是以为圆心，为半径的圆第(2)题已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．第(3)题已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（）A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B．当的面积为时，C．为钝角三角形D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的图像在点处的切线方程为_________.第(2)题古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．第(3)题三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 _____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：对任意恒成立.第(2)题某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时．每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货的方法增加利润，已知商品每件销售价提高1元，销售量就减少10件，若使得每天所赚利润最大，求每件商品销售价格和最大利润.第(3)题已知为曲线上任意一点，直线与圆相切，且分别与交于两点，为坐标原点.(1)若为定值，求的值，并说明理由；(2)若，求面积的取值范围.第(4)题已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；(2)已知曲线上的两点的极坐标分别为，求面积的最大值.第(5)题如图，已知椭圆的离心率为，直线与圆交于M，N两点，．(1)求椭圆E的方程；(2)A，B为椭圆E的上、下顶点，过点A作直线交圆O于点P，交椭圆E于点Q（P，Q位于y轴的右侧），直线BP，BQ的斜率分别记为，，试用k表示，并求当时，△面积的取值范围．。
上海市市辖区2024年数学(高考)统编版真题(巩固卷)模拟试卷
上海市市辖区2024年数学（高考）统编版真题(巩固卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知，，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（）A．B．C．D．第(3)题设是和的等比中项，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4第(4)题已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(5)题已知三维数组，，且，则实数（）A．-2B．-9C．D．2第(6)题已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（）A．4B．6C．8D．10第(7)题已知函数那么不等式的解集是（）.A．B．C．D．第(8)题已知向量，，且，则（）A．3B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知直线（不同时为0），圆，则（）A．当时，直线与圆相切B．当时，直线与圆不可能相交C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足第(2)题著名的伯努利（Bemoulli）不等式为：，其中实数同号，且均大于－1．特别地，当，且时，有．已知伯努利不等式还可以推广为：设x，，若，且，则．设a，b为实数，则下列结论正确的为（）A．任意，且任意，都有B．任意，存在，使得C．任意，且任意，都有D．任意，存在，且，使得第(3)题分别是正方体的棱的中点，则（）A．平面B．C．直线与直线相交D．与平面所成的角大小是三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知，则______．第(2)题若“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，则a的取值范围是______．第(3)题已知双曲线的方程为，点、分别在的左支和右支上，则直线斜率的取值范围是_______．四、解答题（本题包含5小题，共77分。
上海市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若曲线在点处的切线方程为，则（ ）A ．3B ．C ．0D ．1第(2)题已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ）A．B ．C ．D ．第(3)题一组数据：155，156，156，157，158，160，160，161，162，165的第75百分位数是（ ）A ．161B ．160.5C ．160D ．161.5第(4)题已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(5)题设，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题已知，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A．2B ．C ．D ．1第(7)题设正项等比数列的前n 项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．第(8)题如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某环保局对辖区内甲､乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是（ ）A ．甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75B ．甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65C ．甲地区环境治理达标D ．乙地区环境治理达标第(2)题已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B ．函数在区间上单调递减C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象D．若，则第(3)题已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作不垂直于轴的直线与交于，两点．设为轴上一动点，为的中点，且，则（）A．抛物线的方程为B．的最小值为C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题复数z在复平面内对应的点为，则___________．第(2)题已知集合，则的所有元素之积为__________.第(3)题已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数有三个极值点，，（）．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的最大值．第(2)题已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求a的取值范围．第(3)题设函数.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.第(4)题已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前项和．第(5)题已知函数，.(1)求的单调区间和极小值；(2)证明：当时，.。
上海市市辖区(新版)2024高考数学部编版模拟(评估卷)完整试卷
上海市市辖区（新版）2024高考数学部编版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．B．C．D．第(3)题已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题已知是平面外的两条直线，在的前提下，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题已知函数的定义域为，且，若，则函数（）A．以为周期B．最大值是1C ．在区间上单调递减D．既不是奇函数也不是偶函数第(6)题已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，F为其焦点，P为C上一点，Q是C的准线与x轴的交点，若，，则抛物线C的方程为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，若存在零点，且满足，则( )A．B．C．D．第(8)题已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列不等关系中判断正确的是（）A．B．C．D．第(2)题定义在实数集的函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A．的振幅为B．的频率为C．的单调递增区间为D ．在上只有一个零点第(3)题已知双曲线的左、右顶点分别为A ，B ，M 是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA 被两条渐近线三等分，则（ ）A．B．C．的面积为3abD ．若MA 垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知复数，则___________.第(2)题已知圆，则直线和圆的位置关系为___________.第(3)题函数的单调递增区间为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．第(2)题为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？喜欢不喜欢合计男同学女同学合计附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828第(3)题选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为（为常数）．(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设点是上到轴距离最小的点，当过点时，求．第(4)题某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到某同学的某些成绩数据如下：第一次考试第二次考试第三次考试第四次考试数学总分118119121122总分年纪排名133127121119（1）求总分年级排名关于数学总分的回归方程（必要时用分数表示）；（2）若该同学想在下次测试时考入年级前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分？（取整数）．附：回归方程中，，．第(5)题已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．。
上海市六校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
上海市六校2025届高考仿真模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．222．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．24．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．235．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．76．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④11．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[2]-， C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣12．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市(新版)2024高考数学部编版模拟(提分卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学部编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为（）A．书法、健美操、棋类B．健美操、书法、棋类C．棋类、书法、健美操D．棋类、健美操、书法第(2)题已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．第(3)题某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A．种B．种C．种D．种第(4)题中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（）A．B．C．D．第(5)题如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（）A．2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的B．从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量C．2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆D．2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差第(6)题已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）A．B．C．e D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，则不等式的解集是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于函数，有如下命题，其中正确的有（）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C ．的图象关于直线对称D．在上单调递增第(2)题用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（）A．若，则截口曲线为圆B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分C．若，则截口曲线为抛物线的一部分D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则第(3)题下列关于复数（其中为虚数单位）的说法中，正确的是（）A．B．的虚部为C．为纯虚数D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则，x 的最小值_______第(2)题正项数列满足,又是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最小整数为__________.第(3)题______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等100等级99等级95等级级利润/元210.5(1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；(2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值.第(2)题如图，多面体中，为正三角形，，平面平面平面．(1)求证：；(2)求该多面体的表面积．第(3)题2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（1）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为，，…，，，完成下图的频率分布直方图；（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.附：（）.第(4)题已知函数，．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．第(5)题已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若方程有解，求实数a的取值范围．数学第1页（共6页）数学第2页（共6页）数学第3页（共6页）学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！新高考数学考试标准答题卡答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
上海市2024年数学(高考)部编版模拟(备考卷)模拟试卷
上海市2024年数学（高考）部编版模拟(备考卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是( )A．B．C．D．第(2)题已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，则（）A．2B．3C．D．第(3)题在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（）A．16B．32C．64D．128第(4)题已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A．事件与事件互斥B．事件发生的概率为C．事件与事件相互独立D．事件发生的概率为1第(2)题已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（）A．为奇函数B．为奇函数C．为偶函数D．为偶函数第(3)题如图，在四边形ABCD中，，，，，，F为线段BC的中点，E为线段AD上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（）A．B．的最小值为C．若E为线段AD的中点，则D．n的最大值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
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2009年上海市普通高等学校秋季招生考试数 学 模 拟 试 卷（2009.3）考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟. 3.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何．．．．．．．．．．．．．．．．．．解答都不作评分依据．．．．．．．．．。
一. 填空题 (本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分. 1．已知3(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-＝______________。
2．方程2lg lg(32)0x x --=的解集是 。
3．若Z 为复数，且i z i z i -++-=-1)2()31(，则=z ___________。
4．以椭圆1522=+y x 中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______________。
5．底面边长为2，侧棱长为4的正三棱锥的体积是 ．6．（文）若向量a 与b 的夹角为60，1a b ==，则()a ab •-= ．（理）已知两个非零向量a 与b 的夹角为3π，2a =，3b =，若→→+b t a ()R t ∈的模为3，则实数t 的值是 ．7．工业博览会期间，有6辆不同型号的新型轿车排成2行3列的展出，其中有2辆轿车来自大众汽车集团公司，则此2辆轿车前后或左右相邻的概率为___________。
（用分数表示）8．若数列{}n a 中，*,2122N n n n a n ∈++=，则数列{}n a 中的项的最小值为_________． 9．（文）设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点),(y x P 到直线10=+y x 距离的最大值是 。
（理）设常数42)1(,0xax a +>展开式中3x 的系数为23，则=+++∞→)(lim 2n n a a a __ ___。
10．已知函数2()f x x x =-，若()()3log 1(2)f m f +<，则实数m 的取值范围是 ．11．抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++ (n ∈N *)，交x 轴于,n n A B 两点，则11223320092009||||||||A B A B A B A B ++++值为____ _______二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 12．若sin 0,sin 20θθ<>且，则角θ的终边所在象限是（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限13．条件甲：0a b >>，条件乙：11a b<，则甲是乙成立的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知P 是椭圆13y 4x 22=+上的点,21F ,F 是两个焦点,则21PF PF ⋅的最大值与最小值之差是( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）415．设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“＊”（即对任意的S b ,a ∈，对于有序元素对()b ,a ，在S 中有唯一确定的元素a ＊b 与之对应）。
若对任意的S b ,a ∈， 有a ＊(b ＊a )=b ，则对任意的S b ,a ∈，下列等式中不恒．．成立．．的是 （ ） （A ）b ＊(b ＊b )=b （B ）(a ＊b )＊a =a （C ）[a ＊(b ＊a )]＊(a ＊b )=a （D ）(a ＊b )＊b [＊(a ＊b )]=b 三、解答题（本大题满分79分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16．（本题满分12分）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心．（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）A BCDA 1B 1C 1FED 117．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f (其中2,0πϕω<>),x x g 2sin 2)(=.若函数)(x f y =的图像与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且直线6π=x 是函数)(x f y =图像的一条对称轴.(1)求)(x f y =的表达式.(2)求函数)()()(x g x f x h +=的单调递增区间.18. （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）在4月份，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装仅销售出10件，第二天售出35件，第三天销售60件，然后，每天售出的件数分别递增25件，直到日销售量达到最大后，每天销售的件数分别递减15件，到月底该服装共销售出4335件． （1）问4月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装超过2000件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，并低于150件时，则流行消失，问该款服装在社会上流行是否超过10天？并说明理由。
19. （本题满分16分，第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）双曲线1:2222=-by a x C 上一点)3,2(到左，右两焦点距离的差为2．（1）求双曲线的方程；（2）设21,F F 是双曲线的左右焦点，P 是双曲线上的点，若6||||21=+PF PF ，求21F PF ∆的面积；（3）过()2,0-作直线l 交双曲线C 于B A ,两点，若OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使OAPB 为矩形？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，函数()y f x =的反函数()1y f x -=能确定数列{}n b ，()1n b f n -=，若对于任意*n N ∈，都有n n a b =，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“自反数列”。
(1)若函数()11px f x x +=+确定数列{}n a 的自反数列为{}n b ，求{}n a 的通项公式； (2)在(1)条件下，记nx x x n 11121 ++为正数数列{}n x 的调和平均数，若211n n d a =-+，n S 为数列{}n d 的前n 项和，n H 为数列{}n S 的调和平均数，求nH nn ∞→lim ；(3)已知正数数列{}n C 的前n 项之和12n n n n T C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
求n T 的表达式。
参考答案： 1. 45- 2. {}1,2 3．52 4．x y 42= 5．3112 6．（文）21（理）31-7．157 8． 4 9．（文）24（理）1 10．8(,8)9- 11．2009201012-15. C A A B16. （1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V ． （2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan ． 17. (1)由函数)x (f y =的图像与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π得函数周期为π, 2=∴ω 直线6x π=是函数)x (f y =图像的一条对称轴,1)62sin(±=ϕ+π⋅∴, 6k 2π+π=ϕ或67k 2π+π,)Z k (∈, 2π<ϕ , 6π=ϕ∴. )6x 2sin()x (f π+=∴. (2)1x 2cos )6x 2sin()x (h +-π+=1)6x 2sin(+π-= )Z k (2k 26x 22k 2∈π+π≤π-≤π-π∴, 即函数)x (h 的单调递增区间为)Z k (3k x 6k ∈π+π≤≤π-π. 18. （1）第n 天销售的件数为152525)1(10-=-+n n则4月30日的销售件数为4654025)30()1525(-=---n n n 则：4335]152)29)(30()46540)(30[(]252)1(10[=--+--+-+n n n n n n n 解得12=n ，即4月12日的销售量最大，其最大值为25×12-15=285（件） （2）12=n 时，200017702521112121012<=⨯⨯+⨯=S ，即未流行 13=n 时，200020402701770131213>=+=+=a S S即从4月13日起，社会开始流行．当13>n 时，n n a a n 1546515)13(13-=--=，令150<n a ，解得21>n 即从4月22日起，社会上流行消失，故流行的时间只有9天． 19. （1）122=-y x（2） 妨设P 在第一象限，则⎩⎨⎧==⇒=+=-2||,4||6||||2||||212121PF PF PF PF PF PF7,47sin ,43cos 121=∴=∠∴=∠∴∆S PF F PF F （3）若直线斜率存在，设为)2(+=x k y ，代入122=-y x 得)1(0144)1(2222±≠=----k k x k x k 若平行四边形OAPB 为矩形，则OB OA ⊥02121=+∴y y x x 01122=-+⇒k k 无解 若直线垂直x 轴，则)3,2(),3,2(--B A 不满足． 故不存在直线l ，使OAPB 为矩形． 20. 解：(1)由题意的：f –1(x )=p x x --1= f (x )=11++x px ，所以p = –1，所以a n =11++-n n (2) a n =11++-n n ，d n =112-+n a =n ， S n 为数列{d n }的前n 项和，S n =2)1(+n n ，又H n 为数列{S n }的调和平均数， H n =nS S S n 11121 ++=)1(2322212+++⨯+⨯n n n=2)1(+n n H n n ∞→lim =n n n 21lim +∞→=21(3)因为正数数列{c n }的前n 项之和T n =21(c n +n c n )，所以c 1=21(c 1+11c )，解之得：c 1=1，T 1=1当n ≥2时，c n = T n –T n –1，所以2T n = T n –T n –1 +1--n n T T n，T n +T n –1 =1--n n T T n ，即：212--n n T T = n ，所以，2221---n n T T = n –1，2322---n n T T = n –2，……，2122T T -=2，累加得：212T T n -=2+3+4+……+ n ， 2n T =1+2+3+4+……+ n =2)1(+n n ，T n =2)1(+n n。