广州市高一上学期期末数学试卷(I)卷
高中数学 2022-2023学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷
2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．{2，3}B ．{1，5}C ．{1，4}D ．{2，3，5}1．（5分）设集合U ={x |0<x <5，x ∈N }，M ={x |x 2-5x +6=0}，则∁U M =（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知i 为虚数单位，则z =1−i 2i在复平面内对应的点位于（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）不等式“log 3x >1”是“(12)x<1”成立的（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-14．（5分）已知随机变量ξ～N （μ，σ2），若函数f （x ）=P （x ≤ξ≤x +2）为偶函数，则μ=（ ）A ．在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100）内的学生有10人B ．这100名学生成绩的众数为85C ．估计全校学生成绩的平均分数为78D ．这100名学生成绩的中位数为805．（5分）某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）6．（5分）如图（1），沿对角线BD 将矩形折叠，连接AC ，所得三棱锥A -BCD 正视图和俯视图如图（2），则三棱锥A -BCD 的侧视图为（ ）A．B．C．D．A．[π4，5π12]B．[π4，π3]C．[π12，π4]D．[π12，5π12]7．（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到y=f（x）的图象．若函数f（x）在区间[π6，π2]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．n2B．n（n-1）C．（n-1）2D．n（n+1）8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求-边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n；第二步：将数列的各项乘以n,得新数列（记为a1，a2，a3，…，a n）．则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n等于（）A．4B．7C．233D．39．（5分）如图，F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）√√√A．（-∞，-1）∪（1，+∞）B．（-∞，-1）∪（0，1）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-1，0）∪（0，1）10．（5分）已知函数f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，若对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2<0成立，且f（1）=2，则不等式f（x）>2x的解集为（）A．15B．25C．35D．4511．（5分）高三（1）班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的5名同学并按顺序排好，每位同学手里均有5张除颜色外无其他区别的卡片，第k（k=1，2，3，4，5）位同学手中有k张红色卡片，5-k张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜．则老师获胜的概率为（）B．1C．e+1D．e12．（5分）若曲线f（x）=e x-x在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=kx+b,则k+b的最大值为（）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应的位置）三.解答题：（本题共5小题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题必考题，每个学生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.A ．e-113．（5分）已知平面向量a=（2，-1），b=（-k ,2），若a ∥b ，则|3a +2b |=．→→→→→→14．（5分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A 、B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为．15．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=1，其前n 项和为S n ，若S n +1=2S n +1，则a 5=．16．（5分）已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形．在等腰四面体A -BCD 中，AB =AC =3，BC =4，则该四面体的内切球表面积为．17．（12分）在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知3bsin (π2+A )=asinB ．（1）求角A 的大小；（2）若b ,a ,c 成等比数列，判断△ABC 的形状．√18．（12分）某公司拟对某种材料进行应用改造，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：x 12345678y1126144.53530.5282524对历史数据对比分析，考虑用函数模型①y =a +b x，②y =ce dx 分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中u =1x上，模型②中w =l ny ,对数据作了初步处理，已计算得到如下数据：uyu28i =1y 2i8i =1u 2i8i =1u i y i0.61×6185.5e -20.34450.11522385.5 1.53183.461.40.135（1）设u 和y 的样本相关系数为r 1，x 和w 的样本相关系数为r 2，已经计算得出r 2=-0.94，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？参考公式：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ）其回归直线̂v =̂a +̂βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：̂β=ni =1u i v i −n u v n i =1u i 2−n u2，̂a =̂v −̂βu ，相关系数r =ni =1u i v i −n u •v(ni =1u i 2−n u 2)•(n i =1v i 2−n v 2)．√√（二）选考题：共10分，请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.19．（12分）已知四棱锥A -BCEF 中，BF ∥CE ，CE ⊥平面ABC ，点M 为AE 三等分点（靠近A 点），AB =BC =CE =3，BF =1，AC =33．（1）求证：FM ∥平面ABC ；（2）求二面角M -FB -A 的余弦值．√20．（12分）若f (x )=12(x −2)2−bx +2alnx ．（1）当a >0，b =a 时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）若b =0，且f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）>1．21．（12分）已知点A (2，3)，点B (−2，−3)，点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足：MA •MB =d 24−1，记点M 的轨迹为曲线W ．（1）求曲线W 的方程；（2）设点P 为x 轴上除原点O 外的一点，过点P 作直线l 1，l 2，l 1交曲线W 于点C ，D ，l 2交曲线W 于点E ，F ，G ，H 分别为CD ，EF 的中点，过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ，设CD ，EF ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3的，求证：k 3（k 1+k 2）为定值．√√→→22．（10分）如图，在极坐标系中，已知点M （4，0），曲线C 1是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线C 2是过极点且与曲线C 1相切于点(4，π2)的圆．（1）求曲线C 1、C 2的极坐标方程；（2）直线θ=α（0<α<π，ρ∈R ）与曲线C 1、C 2分别相交于点A ，B （异于极点），求△ABM 面积的最大值．23．已知函数f （x ）=|x +a |-|x +a 2|．（1）若a =2，求不等式f （x ）<x 的解集；（2）若∃x ∈R ，∃a ∈[0，2]使得f （2x ）>m 能成立，求实数m 的取值范围．。
2020-2021广州市高一数学上期末试题(及答案)
2020-2021广州市高一数学上期末试题(及答案)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．147．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根9．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =10．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣111．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．412．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．15．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.17．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.18．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 19．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数；（2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值． 23．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.24．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.25．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.9．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A10．B解析：B【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.15．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．16．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221xf x ++]＝13， ∴()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x 221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 221++1， ∴f （log 25）＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．17．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解. 【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.18．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-【解析】 【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++， 11x e +>，1011xe∴<<+， 2201xe∴-<-<+， 19195515xe ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.19．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围． 【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++，()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>，则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=-⎪⎝⎭，所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<.所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， 因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 23．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21xx kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x gx f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++成立，所以()()22log 21log 212xxkx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22xkx -=，所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-.24．（1）证明见解析（2）0m =或2m = 【解析】 【分析】（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()22211x m x --=-，计算得到答案. 【详解】（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-， 又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->，即1211221x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()120f x f x ->. 所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. （2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭， 所以()22211x m x --=-，所以()211m -=，0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 25．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）13a -<<-【解析】 【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223xxf x =++=，所以34222x x ++=， 所以4260x x +-=，因此()()23220xx+-=，得22x = 解得1x =， 所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x xa a x +⋅++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩解得13a -<<- 【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。
2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一（上）期末数学试卷1. 已知角α的终边经过点(8,6)，则cosα的值为( ) A. 34B. 43C. 45D. −352. cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=( ) A. −12 B. −√32 C. 12 D. √323. 如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M ∩P)∩SB. (M ∩P)∪SC. (M ∩P)∩C I SD. (M ∩P)∪C I S4. 下列函数既是奇函数又在(−1,1)上是增函数的是( ) A. y =sinx B. y =−2x C. y =2x +2−x D. y =lg(x +1)5. 设a =tan92∘，b =(1π)2，c =log π92，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c >a >b B. c >b >a C. a >b >c D. b >a >c 6. 函数f(x)=cos(x−π2)|x|的部分图像大致是( )A.B.C.D.7. 已知定义在[a−1,2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0,2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x−1)>f(2x−3a)的解集是( )A. (0,23)B. [16,5 6 ]C. (13,2 3 )D. (23,5 6 ]8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度ℎ(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，记ℎ=f(t)，则f(t)+ f(t+1)+f(t+2)=( )A. 0B. 1C. 3D. 49. 已知a ，b ，c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有( ) A. a 2+b 2≥(a+b)22B. 若ab ≠0，则|a||b|+|b||a|≥2 C. 若a <b ，则1a >1bD. 若a <b ，c <0.则ac >bc10. 先将函数f(x)=sinx 的图像向右平移π6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)的图像，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )A. 在(0,π4)上单调递增 B. 图像关于直线x =5π6对称 C. 在(π4,π2)上单调递减D. 最小正周期为π，图像关于点(π12,0)对称11. 已知函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为( )A. 函数f(x)的零点的个数为2B. 实数m 的取值范围为(−∞,32] C. 函数f(x)无最值D. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增12. 已知函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，f(1)=3，若函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，且对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)的图象关于直线x =1对称C. f(2022)−f(2023)=3D. f(−52)<f(54)13. 已知集合M ={x||x −1|≤3}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =______.(用区间作答) 14. 若sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=______.15. 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−12)=1，则f(20212)=______.16. 函数y =sinx +cosx +2sinxcosx +2的值域是______.17. 已知α为第三象限角，且f(α)=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α).(1)化简f(α)； (2)若f(α)=2√65，求cos(π+α)的值． 18. 已知函数f(x)=2(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； (Ⅰ)求函数f(x)在[0,π4]上的最大值与最小值．19. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度vm/s ，其中v 0m/s 是喷流相对速度，mkg 是火箭(除推进剂外)的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718<e <2.719.20. 在①A ={x|2x−2x+1<1}，②A ={x||x −1|<2}，③A ={x|y =log 23−xx+1}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集U =R ，_____，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}.(1)若a =2，求(∁U A)∪(∁U B)；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21. 设函数f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y 轴对称．(1)求ω的值；(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数f(x)在一个周期内的图象；(3)设关于x 的方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0在区间[−7π6,0]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax 2+2(a −2)x +1，其中a ∈R.(1)若对任意实数x 1，x 2∈[2,4]，恒有f(x 1)≥9sin2x 2，求a 的取值范围；(2)是否存在实数x 0，使得ax 0<0且f(x 0)=|2x 0−a|+2？若存在，则求x 0的取值范围；若不存在，则加以证明．答案和解析1.【答案】C【解析】解：角α的终边经过点(8,6)，则cosα=√8+6=45.故选：C.由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=cos17∘cos43∘+sin17∘sin(180∘+43∘)=cos17∘cos43∘−sin17∘sin43∘=cos(17∘+43∘)=cos60∘=1 2.故选：C.利用诱导公式，再利用两角和的余弦公式求解即可．本题考查诱导公式与两角和的余弦公式，属基础题．3.【答案】C【解析】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S故选：C.先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sinx，是正弦函数，既是奇函数又在(−1,1)上是增函数，符合题意，对于B，y=−2x，是反比例函数，其定义域为{x|x≠0}，在(−1,1)上不具有单调性，不符合题意，对于C，y=2x+2−x，不是奇函数，不符合题意，对于D，y=lg(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，不是奇函数，故选：A.根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为92∘是第二象限角， 所以a =tan92∘<0，因为指数函数y =(1π)x 在R 上为减函数，且0<2<3， 所以0<(1π)3<(1π)2<(1π)0=1， 所以0<b <l ，因为y =log πx 为(0,+∞)上的增函数，π<92， 所以c =log π92>1， 所以c >b >a. 故选：B.根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计a ，b ，c 的大小，由此确定它们的大小关系． 本题主要考查了正切函数，指数函数以及对数函数性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为f(x)=cos(x−π2)|x|=sinx|x|，f(−x)=sin(−x)|−x|=−sinx |x|=−f(x).所以f(x)为奇函数，故AB 选项错；x ∈(0,π)，sinx >0，即f(x)>0，故D 选项错； 故选：C.根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可． 本题考查函数基本性质及函数图像特征，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：f(x)是偶函数，则a −1+2a =0，得a =13，即函数的定义域为[−23,23]， 当x ∈[0,23]时，f(x)单调递减，则不等式f(x −1)>f(2x −1)等价为不等式f(|x −1|)>f(|2x −1|)， 则|x −1|<|2x −1|，平方得x 2−2x +1<4x 2−4x +1， 得3x 2−2x >0，得x >23或x <0，又{−23⩽x −1⩽23−23⩽2x −1⩽23x >23或x <0，得{13⩽x ⩽5316⩽x ⩽56x >23或x <0，得，23<x ≤56，即不等式的解集为(23,56], 故选：D.根据函数奇偶性的对称性求出a 的值，然后利用函数单调性进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据进行和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，(−π2<φ<0)，则A =2，k =1， 因为T =3，所以ω=2πT =2π3，所以ℎ=2sin(2π3t +φ)+1， 又因为t =0时，ℎ=0，所以0=2sinφ+1，所以sinφ=−12， 又因为−π2<φ<0，所以φ=−π6， 所以ℎ=f(t)=2sin(2π3t −π6)+1； 所以f(t)=√3sin2π3t −cos 2π3t +1， f(t +1)=2sin(2π3t +π2)+1=2cos 2π3t +1，f(t +2)=2sin(2π3t +7π6)+1=−√3sin 2π3t −cos 2π3t +1， 所以f(t)+f(t +1)+f(t +2)=3. 故选：C.根据题意设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，求出φ、A 、T 和k 、ω的值，写出函数解析式，计算f(t)+f(t +1)+f(t +2)的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，∵a 2+b 2−(a+b)22=(a−b)22≥0，当且仅当a =b 时，等号成立，∴a 2+b 2≥(a+b)22，故A 正确，对于B ，|a||b|+|b||a|≥2√|a||b|⋅|b||a|=2，当且仅当|a|=|b|时，等号成立，故B 正确， 对于C ，令a =−1，b =1，满足a <b ，但1a <1b ，故C 错误， 对于D ，∵a <b ，c <0，∴a c −b c =a−b c>0，即a c >b c，故D 正确．故选：ABD.对于AD ，结合作差法，即可求解，对于B ，结合基本不等式的性质，即可求解，对于C ，结合特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握作差法和特殊值法是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：先将函数f(x)=sinx 的图象向右平移π6个单位后，可得y =sin(x −π6)的图象，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)=sin(2x −π6)的图象， 则当x ∈(0,π4)时，2x −π6∈(−π6,π3)，故g(x)单调递增，故A 正确； 当x =5π6时，g(x)=−1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确； 当x ∈(π4,π2)时，2x −π6∈(π3,5π6)，故g(x)没有单调性，故C 不正确； 由题意可得g(x)的周期为π，当x =π12时，g(x)=0， 故g(x)的图象关于点(π12,0)对称，故D 正确． 故选：ABD.由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，作出f(x)的图象如图所示，由图象可知，f(x)=0有x =−2和x =1两个零点，故选项A 正确；方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根， 令f(x)=a ，f(x)=b ，a ≠b ， 则{a <00<b ≤2或{a =0b >2或{a >2b >2， 因为方程x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，所以{a <00<b ≤2，且ab =−1，所以a =−1b ≤−12， 所以f(x)≤−12或0<f(x)≤2，则m =f 2(x)−1f(x)=f(x)−1f(x)， 令t =f(x)，则m =t −1t ，t ∈(−∞,−12]∪(0,2], 因为函数m =t −1t在(−∞,−12]和(0,2]上单调递增， 当t =−12时，m =32，当t =2时，m =32， 所以m ≤32，故选项B 正确； f(x)无最值，故选项C 正确；f(x)在(0,+∞)上不单调，故选项D 错误． 故选：ABC.利用分段函数的解析式，作出f(x)的图象，由图象即可判断选项A ，C ，D ，将方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，转化为x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，从而得到f(x)的取值范围，利用m 与f(x)的关系，结合不等式求解即可得到m 的取值范围，从而判断选项B.本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：A 选项：由函数f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)为奇函数，故A 不正确； B 选项：由函数f(x)为奇函数可得f(x +2)=−f(x)=f(−x)， 故函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故B 正确；C 选项：由函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．因为f(x)，x ∈R 为奇函数，所以f(0)=0，由f(x +2)=−f(x)得f(0+2)=−f(0)， 故f(2)=0，则f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0，f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−3，所以f(2022)−f(2023)=0−(−3)=3，故C 正确；D 选项：由对任意x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 即对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)(f(x 1)−f(x 2))>0， 可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增．因为f(−52)=f(−52+4)=f(32)=f(2−32)=f(12)，f(54)=f(2−54)=f(34)，且12<34， 所以f(12)<f(34)，即f(−52)<f(54)，故D 正确， 故选：BCD.对于A选项：根据函数f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即可判断；对于B选项：由A选项可知函数f(x)为奇函数，可推得f(x+2)=f(−x)，即可判断图象关于直线x=1对称；对于C选项：由f(x+2)=−f(x)可推出函数f(x)是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得f(2022)=0，f(2023)=−3，即可判断C；对于D选项：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)可得(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0，推出函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，结合函数性质求得f(−52)=f(12)，f(54)=f(34)，即可得f(−52)<f(54).本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】[0,4]【解析】解：∵M={x|−3≤x−1≤3}={x|−2≤x≤4}，N={x|x≥0}，∴M∩N=[0,4].故答案为：[0,4].可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】√33【解析】解：因为sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=sin(π6−α)=√33，故答案为：√33.由已知结合诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】−1【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，又因为f(1+x)=f(−x)，所以f(1+x)=−f(x)，所以f(2+x)=−f(1+x)=f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，所以f(20212)=f(1010+12)=f(12)=−f(−12)=−1.故答案为：−1.先由f(x)的奇偶性与题设条件推得f(1+x)=−f(x)，从而证得f(x)是周期函数，进而利用f(x)的周期性与奇偶性求得f(20212).本题考查函数的周期性，属于中档题．16.【答案】[34,3+√2]【解析】解：令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，t2=1+2sinxcosx，所以y=t+t2−1+2=t2+t+1，t∈[−√2,√2]，对称轴t=−12，所以y∈[34,3+√2]，即函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的值域是[34,3+√2].换元法，令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．17.【答案】解：(1)由已知得f(α)=−cosα⋅sinα⋅tan(−α)cosα⋅tan(−α)=−sinα；(2)由已知得sinα=−2√65，因为α为第三象限角，故cosα=−√1−sin2α=−15，故cos(π+α)=−cosα=15.【解析】(1)利用诱导公式直接化简即可；(2)根据平方关系求出cosα，再利用诱导公式求解．本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求值的问题，属于基础题．18.【答案】解：由题意得，f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x=√3sin2x+cos2x−1=2(√32sin2x+12cos2x)−1=2sin(2x+π6)−1，(Ⅰ)f(x)的最小正周期为：T=2π2=π，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；(Ⅰ)因为0≤x ≤π4，所以π6≤2x +π6≤2π3， 所以12≤sin(2x +π6)≤1，即0≤2sin(2x +π6)−1≤1， 所以0≤f(x)≤1，当且仅当x =0时，f(x)取最小值f(x)min =f(0)=0， 当且仅当2x +π6=π2时，即x =π6时最大值f(x)max =f(π6)=1.【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f(x)， (Ⅰ)由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间； (Ⅰ)由x 的范围求出求出2x +π6的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值． 本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．19.【答案】解：(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，由参考数据得v ≈1000×5.3=5300m/s ，∴当总质比为200时，A 型火箭的最大速度约为5300m/s ；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M 3m， 要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500， 化简，得3ln M 3m −2ln M m ≥1，∴ln(M 3m)3−ln(M m)2≥1，整理得lnM 27m≥1，∴M 27m≥e ，则M m≥27×e ，由参考数据，知2.718<e <2.719， ∴73.386<27×e <73.413，∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.【解析】(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，结合已知数据求解得答案；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M3m ，要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500，求出Mm 的范围，即可求得在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．本题主要考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)选①，A ={x|2x−2x+1<1}={x|x−3x+1<0}={x|−1<x <3}；选②，A ={x||x −1|<2}={x|−2<x −1<2}={x|−1<x <3}； 选③，A ={x|y =log 23−xx+1}={x|3−xx+1>0}={x|−1<x <3}. a =2时，B ={x|x 2+x −2<0}={x|−2<x <1}，所以A ∩B ={x|−1<x <1}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={x|x ≤−1或x ≥1}；(2)因为A ={x|−1<x <3}，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}={x|(x +a)(x +1−a)<0}， 当−a =a −1，即a =12时，B =⌀；当−a >a −1，即a <12时，B ={x|a −1<x <−a}； 当−a <a −1，即a >12时，B ={x|−a <x <a −1}. 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即有A ⫋B ， 所以B ≠⌀，则{a <12a −1≤−1−a ≥3或{a >12−a ≤−1a −1≥3，解得a ≤−3或a ≥4，即a 的取值范围是(−∞,−3]∪[4,+∞).【解析】(1)选①②③，运用对数不等式的解法和绝对值不等式的解法、对数的真数大于0，化简可得集合A ；由a =2，运用二次不等式的解法，可得集合B ，再由交集和补集的性质，可得所求集合；(2)由题意可得A ⫋B ，对a 讨论，化简集合B ，再解a 的不等式组可得所求取值范围． 本题考查不等式的解法和集合的混合运算，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)=sinωxcos π3−coxsin π3+2(cosωxcos π6+sinωxsin π6) =32sinωx +√32cosωx =√3sin(ωx +π6)，所以f(x)=√3sin(ωx +π6)，将该函数的图象向左平移π6个单位后得到函数g(x)， 则g(x)=√3sin[ω(x +π6)+π6]=√3sin(ωx +ωπ6+π6)， 该函数的图象关于 y 轴对称，可知该函数为偶函数， 故ωπ6+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=2+6k ，k ∈Z ， 因为0<ω<3， 所以得到ω=2.(2)由(1)可得函数f(x)=√3sin(2x +π6)， 列表：x −π12 π6 5π12 2π3 11π122x +π6 0 π2π 3π22π y 0√3−√3作图如下：(3)由(1)得到√3msin(x +π6)+√3cos(2x +π3)+√3(m +1)=0， 化简得msin(x +π6)+1−2sin 2(x +π6)+m +1=0， 令t =sin(x +π6)，x ∈[−7π6,0]，则t ∈[−1,12]，关于t 的方程−2t 2+mt +m +2=0，即(t +1)(2t −m −2)=0， 解得t 1=−1，t 2=m+22，当t 1=−1时，由sin(x +π6)=−1，x ∈[−7π6,0]，可得x =−2π3， 要使原方程在[−7π6,0]上有两个不相等的实数根， 则−1<m+22≤0，解得−4<m ≤−2，故实数m 的取值范围为(−4,−2].【解析】(1)化简f(x)解析式，通过三角函数图象变换求得g(x)，结合g(x)关于y 轴对称即可求得ω；(2)利用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象即可得解；(3)化简方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得m 的取值范围．本题考查五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查数形结合思想和学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵x2∈[2,4]，∴2x2∈[4,8]，sin2x2∈[−1,1]，∴[sin2x2]max=1，∴[9sin2x2]max=9，∴原问题⇔f(x)≥9对任意x∈[2,4]成立，即ax2+2(a−2)x+1≥9对任意x∈[2,4]成立，即a≥4x对任意x∈[2,4]成立，∴a≥[4x]max=2.故a的范围是：[2,+∞).(2)①若a>0，∵ax0<0，∴x0<0，2x0−a<0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=a−2x0+2⇔a=2x0+1x02+2x0−1>0，⇒(2x0+1)(x02+2x0−1)>0⇒(2x0+1)[x0−(√2−1)][x0−(−√2−1)]>0，∵x0<0，∴x0−(√2−1)<0，∴不等式变为2(x0+1)[x0−(−√2−1)]<0，∴x0∈(−√2−1,−12)；②若a>0，∵ax0<0，∴x0>0，∴2x0−a>0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=2x0+2−a⇔ax02+2ax0−4x0+1+a=2x0+2⇔a(x02+2x0+1)=6x0+1⇔a=6x0+1x02+2x0+1<0⇒6x0+1<0⇒x0<−16，∵x0>0，∴此时无解．综上所述，存在x0∈(−√2−1,−12)满足题意．【解析】(1)首先求出9sin2x2在x2∈[2,4]上的最大值，问题转化为f(x)≥[9sin2x2]max对任意x∈[2,4]成立，然后化简不等式，参变分离构造a≥[4x]max即可．(2)分a>0和a<0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题．本题考查了分类讨论思想、转化思想及分式不等式的解法，也考查了学生的分析问题、解决问题及计算能力，属于中档题．。
广东省广州市六区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省广州市六区2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}15A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．下列函数为增函数的是（）A ．()f x x=B ．()2xf x =C ．()2f x x=D ．()0.5log f x x=3．设a ，R b ∈，则“0a b <<”是11a b>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知3log 0.3a =，0.33b =，0.50.3c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b c a <<5．已知θ是第四象限角，且()3sin π5θ+=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．17B ．7-C ．17-D ．76．已知0x <，则21x x--的最小值为（）A ．B ．4C ．1D ．17．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3-=αβ，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．59728．已知函数2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩，若方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列函数为奇函数的是（）A ．()21f x x =B ．()3f x x=C ．()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭D ．()1f x x x=+10．下列命题为真命题的是（）A ．任意两个等边三角形都相似B ．所有的素数都是奇数C ．R x ∀∈，0x x +≥D ．R x ∃∈，210x x -+=11．记函数()()sin 2f x x ϕ=+，x ∈R ，其中π2ϕ≤．若π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数12．已知正实数x ，y ，z 满足3515x y z ==，则（）A ．x y z +=B ．xz yz xy +=C ．3515x y z>>D ．24xy z >三、填空题13．若函数()22f x x x a =-+只有一个零点，则实数a 的值为_____________．14．计算01331log log 120.60.24-+-+=_____________．四、双空题15．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出，x 012()f x 121x 012()g x 210则()1f g ⎡⎤⎣⎦=_____________；满足()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣的x 的值是_____________．五、填空题16．已知()221f x x x =--，()log a g x x =（0a >且1a ≠），若对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围是_____________．六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()3,4P -．(1)求tan α的值；(2)求2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++的值．18．已知函数()x b f x x a -=-，且()124f =，()235f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)根据定义证明函数()fx 在()2,-+∞上单调递增．19．已知函数ππ()sin()sin()sin cos 44f x x x x x =+-+．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在ABC 中，若π(1212A f -=，求sin sinBC +的最大值．20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径()100m OP =，圆心角π4POQ ∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记POC α∠=，矩形ABCD 的面积为()2m S ．(1)将面积S 表示为角α的函数；(2)当角α取何值时，S 最大？并求出这个最大值．21．已知函数()cos 22sin 2f x x a x a =++的最大值为12-．(1)求a 的值：(2)当x ∈R 时，求函数()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．22．已知函数()()e R xf x x =∈，其中e 为自然对数的底数，记()()()g x f x f x =+-．(1)解不等式()()26f x f x +≤；(2)若存在(0x ∈，使得()()20021g x k g x =⋅-成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】因为集合{}15A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = .故选：D 2．B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩，函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在定义域R 上不单调，A 不是；对于B ，函数()2x f x =在R 上单调递增，B 是；对于C ，函数2()f x x =在(,0]-∞上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是；对于D ，函数0.5()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，D 不是.故选：B 3．A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为11b aa b ab--=，所以当0a b <<时，0,0ab b a >->，所以110b aa b ab--=>即11a b >，当11a b>时，取1,1a b ==-，得不到0a b <<，所以0a b <<是11a b>充分不必要条件，故选:A.4．B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.【详解】33log 0.3log 10a =<=，0.30331b =>=，0.5000.30.31c <=<=，所以a c b <<.故选：B 5．A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出tan θ，再利用和角的正切计算作答.【详解】由()3sin π5θ+=得：3sin 5θ-=，即3sin 5θ=-，而θ是第四象限角，则有4cos 5θ=，sin 3tan cos 4θθθ==-，所以π3tan tan1π144tan()π3471tan tan 1()144θθθ+-++==---⨯.故选：A 6．D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为0x <，则11x ->，22(1)112111x x x x -=+--≥=--，当且仅当211x x=--，即1x =-所以21x x--的最小值为1.故选：D 7．C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=，两式相加得()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++，()59cos 72αβ∴+=-.故选：C.8．B【分析】分析给定的函数性质，画出函数()y f x =的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出1234x x x x 范围作答.【详解】函数2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩，当1x ≤-时，()ln()f x x =--单调递增，()0f x ≤，当10x -<<时，()ln()f x x =-单调递减，()0f x <，当0x ≥时，2()f x x x =-在1[0,]2上递减，在1[,)2+∞上递增，1()4f x ≥-，作出函数()y f x =的部分图象，如图，方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨令1234x x x x <<<，即直线y a =与函数()y f x =的图象有4个公共点，观察图象知，104a -<<，123411012x x x x <-<<<<<<，显然有12|ln()||ln()|x x --=--，且341x x +=，由12|ln()||ln()|x x --=--得12ln()ln()0x x -+-=，即12ln()0x x =，则有121=x x ，因此21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈，所以1234x x x x 的取值范围为1(0,)4.故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.9．BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答.【详解】对于A ，函数()21f x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，21()()()f x f x x -==-，()f x 是偶函数，A 不是；对于B ，函数()3f x x =的定义域为R ，()f x 是奇函数，B 是；对于C ，函数1()ln()1x f x x +=-中，101xx+>-，解得11x -<<，即()f x 的定义域为(1,1)-，11()ln()ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-，()f x 是奇函数，C 是；对于D ，函数1()f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，1()()f x x f x x-=-+=--，()f x 是奇函数，D 是.故选：BCD 10．AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为60 ，因此任意两个等边三角形都相似，A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误；对于C ，因为R x ∀∈，||x x ≥-，即||0x x +≥，C 正确；对于D ，因为R x ∀∈，221331()0244x x x -+=-+≥>，D 错误.故选：AC 11．BD【分析】由对称性得到π2x =为对称轴，故π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解析式得到π2ϕ=-或π2，求出函数解析式()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分两种情况计算出3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，及判断π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.【详解】A 选项，因为π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ5662πx =+=为()f x 的对称轴，故ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 选项，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z 2k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ≤，所以ππππ222k -≤-+≤，解得：01k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =或1，当0k =时，π2ϕ=-，当1k =时，π2ϕ=，故()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；C 选项，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛，此时不满足1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭，不满足1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，C 错误；D 选项，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的定义域为R ，且()sin 4sin 4x x -=-，为奇函数，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的定义域为R ，且()sin 4sin 4x x --=，即()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，D 正确.故选：BD 12．BCD【分析】令13515x y z t ==>=，利用指数式与对数式互化表示出,,x y z ，再逐项计算、判断作答.【详解】,,x y z 是正实数，令13515x y z t ==>=，则3515log ,log ,log x t y t z t ===，111log 3,log 5,log 15t t t x y z===，对于A，ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2)(224ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+，A 错误；对于B ，因为111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==，则xz yz xy +=，B 正确；对于C ，因为35153515<<，则3515log 3log 5log 15t t t <<，即3log 35log 515log 15t t t <<，因此3515x y z <<，即有3515x y z >>，C 正确；对于D ，2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅==⋅<==，因此24xy z >，D 正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.13．1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数()22f x x x a =-+只有一个零点，所以440a ∆=-=解得1a =.故答案为:1.14．5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案.【详解】0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭.故答案为：5.15．21【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算[()]f g x 、[()]g f x 即可作答.【详解】依题意，()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦；[(0)](2)1f g f ==，[(0)](1)1g f g ==，()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，[(1)](2)0g f g ==，[(2)](0)1f g f ==，[(2)](1)1g f g ==，因此当且仅当1x =时，()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦成立，所以满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是1.故答案为：2；116．(1,2)【分析】求出函数()f x 在[]1,2-上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.【详解】当[]1,2x ∈-时，2()(1)2f x x =--，则max ()(1)2f x f =-=，因为对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，因此函数()f x 在[]1,2-上的最大值小于函数()g x 在[]2,4上的最大值，而当01a <<时，[]2,4x ∈，log 0a x <，不符合题意，于是1a >，函数()log a g x x =在[]2,4上单调递增，则log 42a >，即214a <<，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <.17．(1)43-；(2)11-.【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.（2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答.【详解】（1）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()3,4P -，所以4tan 3α=-.（2）由（1）知，4tan 3α=-，所以42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+.18．(1)()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取122x x >>-，计算判断()()12f x f x -的符号即可证明单调性.【详解】（1）由已知()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，()12x f x x -∴=+；（2）任取122x x >>-，则()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴函数()f x 在()2,-+∞上单调递增.19．(1)π；【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x ，再利用正弦函数性质求出周期作答.（2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.【详解】（1）依题意，πππ1ππ1())sin[()]sin 2)cos()sin 24242442f x x x x x x x=+-++=+++π11πsin(2)sin 2sin 2cos 2sin(2)222223x x x x x =++=+=+，所以函数()f x 的周期为2ππ2T ==.（2）由（1）知，ππππ(sin[2()sin(121221236A A f A -=-+=+=，在ABC 中，0πA <<，有ππ7π666A <+<，于是ππ62A +=，解得π3A =，则2π3B C +=，2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=++=+=+，显然2π03B <<，ππ5π666B <+<，因此当ππ62B +=，即π3B =时，max (sin sin )B C +=所以sin sin B C +20．(1)ππ5000,044S αα=+-<<；(2)π8α=，2max 5000(m )S =.【分析】（1）根据给定的图形，用α的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在Rt OBC △中，π2OBC ∠=，则sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，cos 100cos OB OC POC α=∠=，在Rt OAD △中，ππ,24OAD POQ ∠=∠=，则OA AD =，因此100(cos sin )AB OB OA αα=-=-，100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21))50004αααααα=-=+-=+-，所以面积S 表示为角α的函数是ππ)5000,044S αα=+-<<.（2）由（1）知，当π04α<<时，ππ3π2444α<+<，则当ππ242α+=，即π8α=时，max π[sin(214α+=，所以当π8α=时，2max 5000(m )S =.21．(1)1a =-(2)最小值为-5，x 的取值构成的集合为π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a=++=-++22sin 2sin 21x a x a =-+++，令[]sin 1,1t x =∈-，则2()2221f t t at a =-+++，对称轴02a t =，当012at =≤-即2a ≤-时，2()2221f t t at a =-+++在[]1,1t ∈-单调递减，所以max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-不满足题意；当112a-<<即22a -<<时，2()2221f t t at a =-+++在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增，,12a ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，所以22max1()()21222a a f t f a a ==-+++=-，即2430a a ++=解得1a =-或3a =-（舍）；当012at =≥即2a ≥时，2()2221f t t at a =-+++在[]1,1t ∈-单调递增，所以max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-，解得18a =不满足题意，综上1a =-.（2）由(1)可得2()221f t t t =---在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭单调递增，1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递减，所以当1t =时函数有最小值为(1)2215f =---=-，此时sin 1t x ==，则x 的取值构成的集合为π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.22．(1)(,ln 2]-∞；(2)37(,]49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出0e x 的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.【详解】（1）函数()()e R x f x x =∈，则不等式()()26f x f x +≤化为：2e e 6x x +≤，即2e e 60x x +-≤，(e 3)(e 2)0x x +-≤，而e 0x >，因此0e 2x <≤，解得ln 2x ≤，所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，()e e x x g x -=+，当0x ∈时，0e x ∈，0000002202202))e e )e e 1e e )1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-，则0021)(1e e x x k -=-+，令0e x t =∈，001e e ()x xh t t t-+==+，(1212,,t t t t ∀∈<，1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--，因为121t t <<，则121210,10t t t t -<->，因此12()()0h t h t -<，即12()()h t h t <，则有函数()h t在(上单调递增，于是当t ∈时，122t t <+≤，即002e e 2x x -<+≤，00294(e e )2x x -<+≤，0022119e e )4(x x -≤<+，从而3749k <≤，所以实数k 的取值范围是37(,]49．【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。
广东省广州市高一数学上学期期末模拟试题带答案
广东省广州市高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{}=0,1,2,3,4U ，集合{}=1,2,3A ，{}=2,4B ，则()=U C B A （ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,2,42．若函数()13f x x =-的定义域是（ ） A ．[)1,3-B ．[)1,-+∞C ．[)()1,33,-⋃+∞D ．()3,+∞3．225︒化为弧度是（ ） A ．34π B ．54π C ．43π D ．76π4．已知角θ的终边经过点)P ，则sin θ=（ ）A ．67B C D 5．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,26．碳14是碳的一种具放射性的同位素，1940年被人类首次发现，而后利用其半衰期发明的碳十四测年技术被广泛用于考古研究．其基本原理是，以年为单位，死亡生物机体中原有的碳14按确定的规律衰减．设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14含量为1，1年后残留量为x ，2年后残留量为2x ，3年后残留量为3x ……以此类推，一个生物体内放射性碳14衰变至原来数量的一半所需的时间，叫做碳14的半衰期．已知生物体内碳14的半衰期为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，则推算马王堆古墓的年代约为（ ）（参考数据：lg 0.7670.115,lg 0.50.301,57300.115658.95≈-≈-⨯=） A ．1567年前B ．1857年前C ．2189年前D ．2538年前7．已知函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ）A ．[]1,3-B ．[]1,5-C ．[]3,5-D ．[]3,3-二、填空题9．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()11f -=B ．(0)0f =C ．(4)2f =D ．(10)2f =10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数λ（R λ∈），使得()()0f x f x λλ++=对任意的实数x 恒成立，则称()f x 是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）．A ．函数()f x a =（其中a 0≠）为回旋函数的充要条件是1λ=-．B ．若函数()x f x a =（1a >）为回旋函数，则1λ>．C ．函数()cos f x x π=不是回旋函数．D ．若()f x 是2λ=的回旋函数，则()f x 在[0,2020]上至少有1010个零点． 11．若0a b >>，则（ ） A ．a c b c -<-B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b< 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题有（ ）A ．()D x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()(),r Q D x r D x ∀∈+=C ．()(),D 1x R D x ∀∈=D ．()()(),,x y R D x y D x D y ∃∈+=+三、多选题13．若命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣a ＝0”为假命题，则实数a 的取值范围是_____． 14．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得()()001(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①1()f x x=；②()x f x e =；③()2()lg 2f x x =+；④()cos f x x π=．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是___________；15．已知0x >，0y >，且4x yxy x y +=+，则11x y+的最小值为________. 16．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．四、解答题17．已知函数()223f x x x =--.(Ⅰ)设集合(){|0}A x f x =>,(){|0}B x f x ==,(){|0}C x f x =<,分别指出2,3,4是A ,B ,C 中哪个集合的元素;(Ⅱ)若R a ∃∈,[)12,,x x a ∀∈+∞,当12x x <时,都有()()12f x f x <,求实数a 的取值范围. 18．已知函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象上相邻两个零点的距离为2π． （1）若()y f x =的图象过点(,0)12π，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2x y f g x =-在(0,)2π上的值域．19．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35,07819,7k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，143L =.（1）求k 的值，并将该产品每日的利润L 万元表示为日产量x 吨的函数； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．22．已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数． （1）求实数a 的值；（2）记集合{}{}|(),,1,1,2E y y f x x A A ==∈=-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E的关系；（3）当11,,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，若函数()f x 值域为[]23,23m n --，求,m n 的值.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】先求U C B ，再与A 求交集即可 【详解】∵全集{}=0,1,2,3,4U ，{}=2,4B ∴{}=0,1,3U C B 又{}=1,2,3A ∴()=U C B A {}1,3.故选：B 【点睛】集合的交、并、补运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2)连续型的数集用数轴． 2．C 【分析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可. 【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式1030x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得：1x ≥-且3x ≠，故选：C ． 3．B 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可. 【详解】 52252251804ππ︒=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，属于基础题. 4．A 【分析】由正弦函数的定义即可求出. 【详解】角θ的终边经过点)P，6sin7θ∴==.故选：A.5．C【分析】根据零点存在定理得出()()120f f⋅<，代入可得选项.【详解】由题可知：函数()22xf x ax=--单调递增，若一个零点在区间()1,2内，则需：()()120f f⋅<，即122222012a a⎛⎫⎛⎫--⨯--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0<<3a，故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.6．C【分析】由题设有573012x=，设马王堆古墓的年代约为n年前则0.767nx=，利用对数的运算性质求n即可.【详解】由题意，知：573012x=，即lg0.5log0.55730lgx x==，得lg0.5lg5730x=，设马王堆古墓的年代约为n年前，则0.767nx=，∴lg0.7675730lg0.7672189lg lg0.5nx⨯==≈.故选：C7．A【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()x f x e -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为(1)()f a f a -≥-，所以1a a -≤-，解得12a ≤，即不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：A 8．A 【分析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】 令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.二、填空题9．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =， 因为()12f =，则()()4102f f ==. 故选：CD 10．AD 【分析】对于选项A,B,C 利用回旋函数的定义判断其是否正确；对于选项D ，由回旋函数的定义可得：(2)2()f x f x +=-，由零点存在性定理知在区间[x ，2]x +上至少有一个零点，可令0x =，2，4，6，⋯，10102⨯，即可得到正确选项．【详解】因为函数()f x a =（其中a 0≠）为回旋函数()()(1)01f x a f x a a λλλλλ⇔+==-=-⇔+=⇔=-，所以选项A 正确；若(1)x y a a =>为回旋函数，则0x x a a λλ++=，即0a λλ+=，0λ∴<，结论不成立，故选项B 错误；假设函数()cos f x x π=是回旋函数，所以cos ()cos 0x x πλλπ++=对任意实数x 都成立， 令12x =，则1cos ()0,sin 0,sin 02πλλπλπ+=∴-=∴=；令1x =得cos()0,cos 0,cos =ππλλπλλπλλ+-=∴--=∴-，所以21,1λλ=∴=±，经检验当1λ=±时，cos ()cos 0x x πλλπ++=对任意实数x 都成立，所以函数()cos f x x π=是回旋函数，所以选项C 错误；若()f x 是2λ=的回旋函数，则(2)2()0f x f x ++=，即(2)2()f x f x +=-恒成立，()(2)0f x f x +，∴由零点存在性定理得：函数()f x 在区间[x ，2]x +上至少有一零点，可令0x =，2，4，6，⋯，10102⨯，∴函数()f x 在[0，2020]上至少有1010个零点，故选项D 正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：类似本题的定义题，解答时，首先必须要理解掌握这个新的定义，再利用这个定义来解题.所以要解答本题，首先必须理解回旋函数的定义.11．BD 【分析】A. 取2,1,1a b c ===判断；B. 利用不等式的乘方性质判断；C. 取0c 判断；D.利用 不等式的取倒数性质判断. 【详解】A. 当2,1,1a b c ===时，a c b c ->-，故错误；B. 由不等式的乘方性质得22a b >，故正确；C. 当0c 时，ac bc =，故错误；D. 由不等式的取倒数性质得11a b<，故正确； 故选：BD 12．BCD 【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据x x =判断D 即可得到答案. 【详解】对于A ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==． 当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==． 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=， 所以()D x 不是奇函数，所以A 不是真命题；对于B ，r Q ∀∈，当x 是有理数时， x r +是有理数，()()1D x r D x +==， 当x 是无理数时， x r +是无理数，()()0D x r D x +==，所以B 是真命题； 对于C ，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以C 是真命题；对于D ， 当x =y =x y += 则()0,()()000D x y D x D y +=+=+=，满足()()()D x y D x D y +=+，所以D 是真命题. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三、多选题 13．(),1-∞-【分析】首先根据题意得到x R ∀∈，220x x a --≠，再根据440a ∆=+<求解即可. 【详解】由题知：x R ∀∈，220x x a --≠， 即440a ∆=+<，解得1a <-. 故答案为：(),1-∞- 14．②④ 【分析】判断函数是否为 “1阶马格丁香小花花”，只需判断方程()()1(1)f x f x f +=+是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解. 【详解】 ①1()f x x =，方程()()1(1)f x f x f +=+为1111x x=++， 整理得，210x x ++=无实根，①不是“1阶马格丁香小花花”函数； ②()x f x e =，方程()()1(1)f x f x f +=+为1x x e e e +=+，整理得,1xee e =-解得1ln(1)x e =--，②是“1阶马格丁香小花花”函数； ③()2()lg 2f x x =+，方程()()1(1)f x f x f +=+为22lg[(1)2]lg(2)lg 3x x ++=++，整理得22230x x -+=，方程无实根，③不是“1阶马格丁香小花花”函数； ④()cos f x x π=，方程()()1(1)f x f x f +=+为 cos[(1)]cos cos x x πππ+=+，整理得1cos 2x π=12(),2()33x k k z x k k z πππ∴=±∈∴=±∈， ④是“1阶马格丁香小花花”函数. 故答案为:②④ 【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题. 15．3 【分析】由条件4x y xy x y +=+可知114x y x y +=+，先求()211114x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最小值即可.【详解】由0x >，0y >，4x yxy x y +=+可得114x y x y xy x y++==+，所以()2511114459y x x x x x y y y y +++≥+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，当且仅当4y x x y =，即11,2x y ==等号成立， 所以113x y +≥，即11x y+的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16．=4ω. 【分析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得. 【详解】 由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.四、解答题17．（Ⅰ）2C ，3B ∈，4A ∈；（Ⅱ）{}1a a ≥ 【分析】(Ⅰ)根据题意,求出2230x x -->的解集,即可得集合A ､B ､C ,据此分析可得答案; (Ⅱ)根据题意可知函数()f x 在[a ,)+∞上单调递增,再结合二次函数的单调性分析可得答案. 【详解】(Ⅰ)函数2()23f x x x =--, 若2230x x -->,解得3x >或1x <-,则{|3A x x =>或1}x <-,{|1B x x ==-或3},{|13}C x x =-<<; 所以2C ,3B ∈,4A ∈;(Ⅱ)因为二次函数()223f x x x =--的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是1x =,所以()f x 在()1-∞，上单调递减,在[)1+∞，上单调递增, 因为R a ∃∈,[)12,,x x a ∀∈+∞,当12x x <时,都有()()12f x f x <, 所以函数()f x 在[),a +∞上单调递增,所以[),a +∞⊆[)1+∞，, 所以1a ≥,即a 的取值范围是{}1a a ≥. 【点睛】本题考查集合,考查二次函数的性质应用,涉及一元二次不等式的解法,难度不大.18．（1）5()sin(2?)6f x x π=+；（2）[1-． 【分析】（1）由题意求得函数()f x 的最小正周期，从而由周期公式求得2ω=，再由()012f π=，可求得56πϕ=，由此得出函数()f x 的解析式； （2）根据偶函数的性质求得2ϕπ=，再根据图象的平移可求得函数()g x 的解析式，由三角恒等变换化简函数，根据余弦函数的性质可求得答案. 【详解】解：（1）由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+．由于()012f π=，则6k πϕπ+=，,6k k Z πϕπ=-∈,又0ϕπ<<，则56πϕ=， 故5()sin(2)6f x x π=+． （2）由于()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，则(0)sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin(2)cos 22f x x x π=+=，将()cos 2f x x =的图象向右平移4π个单位长度，得到()cos 2()cos(2)sin 242g x x x x ππ=-=-=的图象，故222[()]()2cos sin 21cos 2sin 21)24x y f g x x x x x x π=-=-=+-=+．因为(0,)2x π∈，52444x πππ<+<，所以1cos(2)4x π-≤+<11)24x π≤+<，所以函数22[()]()2x y f g x =-在(0,)2π上的值域为[1-．19．（1）()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）（﹣∞，﹣13）．【分析】（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据奇函数的性质即可求解x ＜0的解析式，可得f （x ）的解析式；（2）从条件可知()f x 单调递减，由单调性和奇偶性脱去“f ”，转化为求解二次不等式恒成立的问题，从而求解实数k 的取值范围． 【详解】解：（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＜0时，﹣x ＞0，则()11213132xxx x f x --⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵f （x ）是奇函数，∴()1312xxf x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即()1312xx f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．∴f （x ）的解析式为： ()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，且()()100f x f <-<=，则()f x 在R上单调递减，若不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立， 即f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ） ∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2， 即3t 2﹣2t ＞k ，可得3（t ﹣13）2﹣13＞k 对任意的t ∈R ．∴k ＜﹣13．故得实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣13）．【点睛】思路点睛：对于已知函数大小关系解不等式的问题，常应用函数的奇偶性和单调性去掉外层函数，构造内层函数的不等关系，解不等式即可.20．（1）8k ，822(07)816(7)x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩（2）当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元． 【分析】（1）利用每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =，可求k 的值； （2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值． 【详解】解：由题意，每日利润L 与日产量x 的函数关系式为22(07)816(7)k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （1）当2x =时，143L =，即：14222283k ⨯++=- 8k ∴=所以822(07)816(7)x x L x xx ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （2）当7x 时，16L x =-为单调递减函数， 故当7x =时，9max L = 当07x <<时，888222(8)182(8)18888L x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--+-⎣-+⎢⎥-⎦1810≤-= 当且仅当82(8)(07)8x x x-=<<-， 即6x =时，10max L =综合上述情况，当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元． 【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键，属于中档题． 21．（1），；（2）．【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，． （2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2， 即，所以． 所以，．（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以．因为，所以， 所以的取值范围为．（注：的取值范围不考虑开闭） 22．（1）1a =-；（2）E λ∈；（3）3535m n +-==【详解】试题分析：（1）由()()f x f x =-恒成立，可得()210a x +=恒成立，进而得实数a的值；（2）化简集合E =30,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ，34λ=得E λ∈；（3）先判定()f x 的单调性，再求出11.x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的范围，与[]23,23m n --等价即可求出实数,m n 的值. 试题解析：（1）()f x 为偶函数()()2222(1)(1),x a x a x a x af x f x x x +++-++∴=-∴=，()210,0,1a x x R x a ∴+=∈≠∴=-且.（2）由（1）可知：()221x f x x -=，当1x =±时，0f x；当2x =时，()3,0,4f x E ⎧⎫=∴⎨⎬⎩⎭.()211lg 2lg 215lg5lg 2lg 2lg5lg544g λ=++-=++-113lg 2lg5lg10444=+-=-=，E λ∴∈.（3）()()22231121,,'0x f x f x x x x-==-∴=>.()f x ∴在11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，221()23123{,{1123()23f mm m mn n f n n=--=-∴∴-=-=-，,m n ∴为2310x x -+=的两个根，又由题意可知：11m n<，且0,0,.m n m n m n >>∴>∴==考点：1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.。
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题（共4小题）.9．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．10．有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（3）＞B．函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）C．函数有两个零点D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的最小正周期是πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点成中心对称12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则|sinθ﹣cosθ|+cosθ的化简为．14．命题p：∀x≥0，x2﹣ax+3＞0，则￢p为．15．已知tan（α+）＝2，则＝．16．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g（x）+h（x）＝e x+sin x﹣x，则函数g（x）的解析式为；若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|≤≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）若m＝3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围；18．（10分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．19．（12分）因病毒疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n（n∈N+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20．（12分）若函数f（x）满足f（log a x）＝•（x﹣）（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．21．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．（1）求f（x）的解析式；（2）若对任意，[f（x）]2﹣af（x）+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝2﹣f（x），则称“局部中心函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a+1（a∈R），试判断f（x）是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝4x﹣m•2x+1+m2﹣3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴∁U B＝{1，3}，则A∪（∁U B）＝{1，2，3}．故选：C．2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．解：sin（﹣1380°）＝sin（﹣1440°+60°）＝sin（﹣4×360°+60°）＝sin60°＝．故选：D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点．再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间．解：令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．故选：C．4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log45＞log44＝1，∴a＞1，∵＝，∴b＝，∵，∴，即，∴b＜c＜a，故选：A．5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x＝时，f（）＝sin＝＞0，故排除D，故选：A．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出x＝，y＝，r＝＝3，再由＝tanα﹣sinα，求出结果．解：∵角α的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝＝3，∴＝tanα﹣sinα＝＝﹣＝﹣．故选：D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）【分析】由外层函数y＝log0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解．解：∵外层函数y＝log0.5t为减函数，∴要使在（3，+∞）上单调递减，则需要t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，即，解得﹣2≤a＜0．∴a的取值范围为[﹣2，0）．故选：C．8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【分析】根据所给模型求得r＝0.38，令t＝0，求得I，根据条件可得方程e0.38t＝2，然后解出t即可．解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
越秀区高一期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. √4C. πD. 0.1010010001…2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 343. 函数f(x) = 2x - 3在定义域内的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知复数z = 3 + 4i，其共轭复数为（）A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. -3 + 4iD. -4 - 3i5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x⁴ ≥ 0D. 对于任意实数x，x⁵ ≥ 0二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知sinα = 1/2，且α在第二象限，则cosα的值为______。
7. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 80°，则∠ABC的度数为______。
8. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z在复平面内的对应点位于______。
9. 二项式(2x - 3y)³展开式中，x²y的系数为______。
10. 函数y = log₂(x - 1)的图像与x轴的交点坐标为______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知数列{an}满足a₁ = 1，且对于任意正整数n，有an + 1 = 2an - 1。
求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和Sₙ。
12. （15分）在平面直角坐标系中，抛物线y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为（h，k）。
（1）求证：h = -b/2a；（2）若抛物线经过点P（2，3），求a、b、c的值。
13. （15分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 6。
广东省广州市高一上学期期末(线上)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则的真子集个数是（ ）{}21M x x ==M A ． B ． C ． D ．3456【答案】A【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2．命题“”的否定是（ ） 2[0,),0∀∈+∞+≥x x x A ．B ．2[0,),0∀∈+∞+<x x x 2(,0),0∀∈-∞+≥x x x C ．D ．2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 2000[0,),0∃∈+∞+≥x x x 【答案】C【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.∀∃20+≥x x 2000x x +<【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，2[0,),0∀∈+∞+≥x x x 2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 3．在中，，则（ ）ABC A cos A =1tan 3B =()tan A B -=A ． B ． C ． D ．22-12-12【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出tan A tan ,tan A B 的值. ()tan A B-【详解】因为，所以，所以，cos A =()0,A π∈34A π=tan 1A =-所以，()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．已知，，，则（ ） 0.62a =sin 2b =0.3log 1.3c =A ． B ． C ． D ．c<a<b a b c <<b a c <<c b a <<【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把与0和1比较后可得． ,,a b c 【详解】因为，，，所以． 0.621>0sin 21<<0.3log 1.30<c b a <<故选：D ．5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当()f x 3x y =y x =()g x 0x >时，，则（ ） ()()g x f x x =-(9)g -=A ． B ．6 C ． D ．76-7-【答案】D【分析】先求出，再求出即得解.3()log f x x =(9)7g =-【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则． ()y f x =3x y =3()log f x x =由题设，当时，，则． 0x >3()log g x x x =-3(9)log 99297g =-=-=-因为为奇函数，所以. ()g x (9)(9)7g g -=-=故选：D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第sin sin αβ=αβcos 0θ<θ二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误； sin sin αβ=αβy 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误； cos 0θ<θx 综上，其中正确命题是②，只有个. 1故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.7．函数的零点个数为（ ）()23log 1xf x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】函数的零点即的解，即与()23log 1xf x x =-2213log 10log 3xxx x ⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭2log y x =图象的交点，如图所示， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从函数图象可知，与有两个交点.2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭x [)M ⊆+∞ω的取值范围是（ ） A ．B ．14[,234[,2]3C ．D ．11[,]43119[,]412【答案】D【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，()f x 14ω≥()f x [)M ⊆+∞1912ω≤综合二者即可得到的取值范围.ω【详解】定义在上的函数，[]0,π()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭则，由函数有零点，所以，解得； ,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x 04πωπ-≥14ω≥由函数的值域，所以，解得； ()f x M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭443ππωπ-≤1912ω≤综上，的取值范围是．ω119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且<0，则（ ）11x y <A ．x -y >0 B ．sin x -sin y >0C ．>0D ．>2 22x y -y x x y+【答案】ACD【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式0x y >>即可求解.【详解】因为x ，y ∈R ，且<0， 11x y<且，， 110y x x y xy -∴-=<0,0x y <<0y x ∴<<A ，由题意可得，故A 正确；0x y ->B ，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sin x -sin y >0，故B 错误； 0y x <<C ，由，则，即，故C 正确； 0y x <<22y x <220x y ->D ，因为，则，即， 0y x <<0,0y x x y >>2y x x y +≥=当且仅当，即取等号，又因为，x yy x =x y =0y x <<所以，故D 正确. 2y xx y+>故选：ACD10．下列函数中，最小正周期为的有（ ） πA ． B ．C ．D ．|cos |y x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ||y x =【答案】AB【分析】逐项分析即得.【详解】对于A ，的最小正周期为，故A 正确；|cos |y x =π对于B ，的最小正周期为，故B 正确； sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=对于C ，的最小正周期为，故C 错误；tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π对于D ，的最小正周期为2，故D 错误. cos ||cos y x x ==π故选：AB.11．下列各式正确的是（ ） A ．设0a >16a =B ．已知，则31a b +=81333a ba⋅=C ．若，则log 2,log 5a a m n ==220m n a +=D ．114511lg 311log log 93+=【答案】ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，故A 对；1656a a a===对于B ，，故B 对； 43813333333a b a ba b a a+⋅⋅===对于C ，，，，故C 对；2m a =5n a =()2220m n m n a a a +==对于D ，，故D 错．933334511451111log log log log log 11log log log log 4525109933=+=+=+=+故选：ABC ．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M 位于点，经过t 秒后运动到点，点P 的纵坐标满足0=t (03,P -(),P x y （，，），则下列叙述正确的是（ ） ()()sin y f t R t ωϕ==+0t ≥0ω>π2<ϕA ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为 2-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为60P D ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6 (]0,60【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得ω0(3,P -π3ϕ=-，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A 正确； 2ππ=12060ω=对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以， 0=t M 0(3,P -6R ==所以有， (0)6sin sin f ϕϕ==-=因为，所以，π||2ϕ<π3ϕ=-即， ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以B 错误； ππ4π(100)6sin 1006sin 66033f ⎛⎛⎫=⨯-==⨯=-⎪ ⎝⎭⎝对于C,由B 可知：盛水筒的纵坐标为， M -x，63x =⇒=±因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，M 故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C 正确； 3x =-M 0P 3(3)6--=对于D,因为，， πππ50(06032t x -=⇒=∈60]所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D 正确．(060]M x故选：ACD三、填空题13．已知，，且，则的最小值是________．0x >0y >41x y +=11x y+【答案】9【分析】，再根据基本不等式求解. ()4111114511y xx y x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ()1114145111y xx y x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又因为 40,00,0y xx y x y>>∴>>由基本不等式得，当且仅当并且 44y x x y +≥=4y x x y =41x y +=所以，所以，即的最小值为. 110,063y x =>=>459y x x y ++≥11x y +9故答案为：914．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．()y f x =()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩()1f x >x 【答案】{}|2x x >-【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合. 1x ≤1x >()1f x >x 【详解】解：由题意在中，()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当时，， 1x ≤()3f x x =+当时，解得：()1f x >21x -<≤当时，，1x >()2xf x =当时，解得： ()1f x >1x >综上，2x >-∴满足的实数的取值集合是 ()1f x >x {}|2x x >-故答案为：.{}|2x x >-15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为e kt V a -=⋅49a 827a，则需经过的天数为______． 【答案】75【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 1504e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭827a 【详解】由已知，得，504e 9ka a -=⋅∴． 1504e 9k-⎛⎫= ⎪⎝⎭设经过天后，一个新丸体积变为， 1t 827a 则， 18e 27kt a a -=⋅∴， ()115084e 279t t k -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，． 13502t =175t =故答案为：75.16．已知是定义在R 上的奇函数，满足，有下列说法： ()=y f x ()()12f x f x +=-①的图象关于直线对称； ()=y f x 3=2x ②的图象关于点对称；()=y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭③在区间上至少有5个零点；()=y f x []0,6④若上单调递增，则在区间上单调递增． []0,1[]2021,2022其中所有正确说法的序号为_______． 【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()=y f x []0,6判断③；求得在区间上的单调性判断④ ()=y f x []2021,2022【详解】因为，所以，(1)(2)f x f x +=-(3)()f x f x +=故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R 上的奇函数， ()f x =()y f x 则，所以，(3)()()f x f x f x +==--(3)()0f x f x ++-=故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭由题意可知，，因为，(6)(3)(0)0f f f ===()(3)()f x f x f x =+=--令，可得， 即， 32x =-3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，从而，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93022f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； =()y f x [0,6]因为，，202136741=⨯-20223674=⨯且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， ()f x [0,1]()f x [1,0]-故函数在区间上也单调递增，故④正确． ()f x [2021,2022]故答案为：②③④四、解答题17．设 {}{}22,430,0,1,4x U R A x x x B xC x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若，求实数的取值范围B C C = a 【答案】(1)；或 {}23A B x x =<≤ {|3U A B x x ⋃=≤ð}4x ≥(2) ()2,3a ∈【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【详解】（1）解：解不等式可得，{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以，或，或； {}23A B x x =<≤ {2U B x x =≤ð}4x ≥{3U A B x x =≤ ð}4x ≥（2）解：由可得，且，B C C = C B ⊆C ≠∅所以，解得，即.214a a >⎧⎨+<⎩23a <<()2,3a ∈18．在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，点位于角的终边上．α)1P-α(1)求和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．(),αππ∈-()()tan f x x α=-【答案】(1)，1sin 2α=-cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)定义域，单调递增区间 |,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可． α【详解】（1）∵点位于角的终边上，，)1P-α1sin 2α∴=-cos α=1cos cos cos sin sin 4442πππααα⎛⎫∴-=+== ⎪⎝⎭（2），，(),αππ∈- 1sin 2α=-cos α=，所以6πα∴=-()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,62x k k πππ+≠+∈Z ,3x k k ππ∴≠+∈Z 所以函数的定义域为|,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 令，解得 ,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z 2,33k x k k ππππ-+<<+∈Z 所以函数的单调递增区间 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．已知函数（为常数且）的图象经过点， ()x f x b a =⋅,a b 0,1a a >≠(1,8)A (3,32)B （1）试求的值；,a b （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.11(()0x xm a b+-≥(,1]x ∈-∞m 【答案】（1）；（2）.2,4a b ==3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. ,a b （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.m m 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以()f x (1,8)A (3,32)B 3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩2,4a b ==.()2422x x f x +=⋅=（2）原不等式为，即在时恒成立，11(()0x x m a b +-≥11024x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1124x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞而在时单调递减，故在时有最小值为，故1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞1x =1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以实数的取值范围是. 34m ≤m 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20．已知函数. 21()sin()cos cos 64f x x x x π=-+-（1）求函数的最小正周期和单调区间；()f x （2）求函数在上的值域. ()f x [0,]2π【答案】⑴，递增区间为，递减区间 T π=[,36k k k Z ππππ-+∈2[,],63k k k Z ππππ++∈⑵ 11[,]42-【分析】整理函数的解析式可得：. ()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】 ()221111cos cos cos cos cos 2424f x x x x x x x x ⎫=-+-=⋅+-⎪⎪⎭11cos2111cos222422x x x x ⎫+=+⋅-=+⎪⎪⎭. 1sin 226x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1），T π=递增区间满足：， ()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递增区间为， ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间满足：， ()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递减区间为. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2642x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为. ()f x ∴11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元. 21()150600p x x x =++（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）()p x y x=可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本， 21()150600p x x x =++可得每台机器人的平均成本. 21150()11506001600x x p x y x x x x++===++因为. 1150112600y x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立. 150600x x =300x =∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为130m ≤≤2160(60)1609600m m m m -=-+∴当时，日平均分拣量有最大值144000.30m =当时，日平均分拣量为30m >480300144000⨯=∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. 1440001201200=∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.1203090-=【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.()300q m 22．已知函数的图象过点，.()ln()()f x x a a R =+∈()1,02()()2f x g x x e =-（1）求函数的解析式；()f x （2）若函数在区间上有零点，求整数k 的值；()ln(2)y f x x k =+-()1,2（3）设，若对于任意，都有，求m 的取值范围. 0m >1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln(1)g x m <--【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.()ln f x x =k ()1,2【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；ln(1)0a +=a （2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函()2ln 2y x kx =-2210x kx --=2()21h x x kx =--数在上有零点，列出不等式组，即可求解；()y h x =()1,2（3）求得的最大值，得出，得到，设()g x ()g m max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--，结合单调性和最值，即可求解.2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， ()ln()()f x x a a R =+∈()1,0ln(1)0a +=0a =所以函数的解析式为.()f x ()ln f x x =（2）由（1）可知，，()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-(1,2)x ∈令，得，()2ln 20x kx -=2210x kx --=设，则函数在区间上有零点，2()21h x x kx =--()ln(2)y f x x k =+-()1,2等价于函数在上有零点，所以，解得， ()y h x =()1,2(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩712k <<因为，所以的取值为2或3.Z k ∈k （3）因为且，所以且， 0m >1m m >1m >101m<<因为，2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--所以的最大值可能是或， ()g x ()g m 1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为 22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以，2max ()()2g x g m m m ==-只需，即，max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--设，在上单调递增，2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m (1,)+∞又，∴，即，所以，(2)0h =22ln(1)0m m m -+-<()(2)h m h <12m <<所以m 的取值范围是.()1,2【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，()f x 从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
2020-2021学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若扇形的弧长为2cm ，半径为1cm ，则其圆心角的大小为（ ） A.2π B.4π C.2 D.42. 设集合A ={x ∈N|−2≤x ≤4}，B ={x|y =ln (x 2−3x)}，则集合A ∩B 中元素的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.34. 周期为π的函数y =cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（ ）A.−π3B.2π3C.π6D.5π65. 已知函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x =1对称，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c6. 研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n ∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n 的最小值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.127. 已知向量a →=(m −3,n ) ，b →=(2,−1)（其中m >0,n >0） ，若a →与b →共线，则4m+12n的最小值为（ ）A.94B.3C.4615D.98. 已知函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（ ）A.(12,23)∪[89,76] B.(12,1724]∪[1718,2924] C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）若0<a <1，则（ ）A.log a (1−a)<log a (1+a)B.log a (1+a)<0C.(1−a)13<(1−a)12D.a 1−a <1将函数f(x)=2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1设a →，b →是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A.若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ使得a →=λb →B.若a →⊥b →，则|a →+b →|=|a →|−|b →| C.若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →=b →D.若a →与b →的方向相反，则|a →+b →|=|a →|−|b →|已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A.函数f(sin x)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数 B.函数sin （f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数 C.函数f(cos x)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数 D.函数cos （f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）已知向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0)，则|a →+3b →|=________.若函数f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．已知命题p ：(x −m)2<9，命题q:log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件．则实数m 的取值范围是________．设函数f (x )={|ln x|,0<x <2，f (4−x ),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 解答.(1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)； (2)求cos 17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3)的值．已知函数已知函数f (x )=sin ωx +√3cos ωx (ω>0) f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2 (1)求ω的值；(2)若f (α)=23，求sin (5π6−4α)的值．已知向量a →=(cos x, sin x)，b →=(sin x, sin x),x ∈[0,π4].(1)若x =π6，向量c →=(−1,1)，求c →在a →上投影；(2)若函数f (x )=λ(a →⋅b →−12)的最大值为12，求实数λ的值．已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围；(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．已知函数f(x)=ln(√1+x2+x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选C.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选A.3.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的正弦公式【解析】由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcosθ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选A．4.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6.故选C.5.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)，又由函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增， 则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c .故选D . 6.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论． 【解答】解：根据题意，(12)n <11000， 即2n>1000，n ∈N ； 所以n 的最小值是10． 故选B ． 7.【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n ＝3，再利用基本不等式求出的最小值． 【解答】解：由a →， b →共线得： 2n +m −3=0， ∴ m +2n =3，4m +12n =13(4m +12n )(m +2n ) =13(5+8n m +m 2n) ≥1×(5+2√4) =3. 当且仅当8n m=m 2n即m =4n 时“=”成立．故选B ． 8.【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数的图象 【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，分类讨论k ，求得ω的具体范围． 【解答】解：AB ．函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12 ，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB 错误；CD ．由f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6,且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k ∈Z ，解得3k+29≤ω≤3k+512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23，符合题意， 当k =2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）【答案】B,D【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，loga (1−a)>loga (1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则loga(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0＝1，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f(x)=2sin x的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选BCD.【答案】A,B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的概念与向量的模命题的真假判断与应用【解析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．【解答】解：|a→+b→|=|a→|−|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2所以a→⋅b→=−|a→||b→|，而a→⋅b→=|a→||b→|cos⟨a→,b→⟩所以−|a→||b→|=|a→||b→|cos⟨a→，b→⟩，所以cos⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘所以a→=b→共线且反向，所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；对|a →+b →|=|a →|+|b →|两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2+2|a →||b →|+|b →|2 所以cos ⟨a →,b →⟩=1，即<a →,b →>=0∘所以a →=b →同向，但a →不一定等于b ，故C 错误； 由A 选项可知，只有当λ<0，|a →|≥|b →|时，才有|a →+b →|=|a →|−|b →|，故D 不正确． 故选AB ． 【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的性质与判断 复合函数的单调性 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：f (−x )=−x|−x|=−x|x|=−f (x )，∴ f (x )是奇函数， y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，∴ f (sin x )和sin (f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos (f (x ))是偶函数， f (x )=x|x|={x 2,x ≥0，−x 2,x <0，∴ f (x )在R 上是增函数，∴ y =sin x 在(−12,12)上是增函数，y =cos x 在(0,1)上是减函数， ∴ f (sin x )在(−12,12)上是增函数，f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误；C 正确； 当x ∈(−12,12)时，f (x )∈(−14,14)， ．y =sin x 在（ −14,14) 上单调速增，∴ sin (f (x ))在（ −12,12）上单调递增，故B 正确； 当x ∈(−1,0)时，f (x )∈(−1,0)， y =cos x 在(−1,0)上单调递增，∴ cos (f (x ))在(−1,0)上单调递增，故D 正确．故选BCD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 【答案】√7【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可． 【解答】解：向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0) 则a →+3b →=(−2,√3)， 所以(a →+3b →)2=4+3=7， 所以|a →+3b →|=√7.故答案为：√7. 【答案】 2【考点】三角函数的周期性 【解析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值． 【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)， ∴ f(x)=cos ωx ⋅sin ωx =12sin 2ωx ，∴ 最小正周期T =2π2ω=π2，∴ 解得ω=2． 故答案为：2. 【答案】 (−2, 0) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．【解答】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3，因为命题q:log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以{m −3<−3,m +3>1,解得−2<m <0，所以实数m 的取值范围是(−2, 0)． 故答案为：(−2, 0)． 【答案】 (20, 20.5) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】不防令x 1<x 2<x 3<x 4，由题意f(x)的图象是关于x ＝2对称的，可得x 1+x 4＝x 2+x 3＝4．助于|ln x|的图象可以得到x 1，x 2之间的关系，最终将x 12+x 22+x 32+x 42表示成x 2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：函数f(x)={|ln x|，0<x ≤2，f(4−x)，2<x <4，的图象如图所示：由题意得x 1x 2=1, x 1+x 4=x 2+x 3=4， ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=8, x 1=1x 2.则x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+(4−x 1)2+x 22+(4−x 2)2 =2(x 1+x 2)2−8(x 1+x 2)2+28=2(x 1+x 2−2)2+20=2(x 2+1x 2−2)2+20.∵ x 2+1x 2在(1, 2)上单调递增，∴x 12+x 22+x 32+x 42∈(20, 412).故答案为：(20,20.5).四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π+sin (−16π)−tan (−4π) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3.【考点】对数的运算性质 【解析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解． （2）利用诱导公式直接求解． 【解答】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3. 【答案】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T 2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可． （2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可． 【解答】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【答案】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4] 又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的投影三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．【解答】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)， 因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4]又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ， 可得m ≤(32)2x −2(32)x ， 令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]． 【考点】函数恒成立问题 函数单调性的性质【解析】（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0， 即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值， 由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵ 二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8， ∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0． 即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0， 解得−20≤q ≤12．∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20, 12]. (2)当{t <8,8−t ≥10−8,t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【考点】二次函数的性质函数的零点【解析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：(1)∵二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，解得−20≤q≤12．∴使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].(2)当{t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【答案】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√1+x12>√1+x22，所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．【解答】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√112>√1+x22所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．。
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．命题“”，则为（ ） :p ()2,240x x a x ∃∈+-+≤R p ⌝A ．B ．()2,240x x a x ∀∈+-+>R ()2,240x x a x ∀∈+-+≤R C ． D ．()2,240x x a x ∃∈+-+≥R ()2,240x x a x ∃∈+-+>R 【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.【详解】的否定为：，()2,240x x a x ∃∈+-+≤R ()2,240x x a x ∀∈+-+>R 故选：A.2．函数的零点所在区间为（ ） ()4ln 1f x x x=-+A ． B ． (0,1)(1,2)C ． D ．(2,3)(3,4)【答案】C【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, ()f x (0,)+∞又，，(2)ln221ln210f =-+=-<()413ln31ln3033f =-+=->由零点存在定理可知,零点所在区间为. (2,3)故选:.C 3．已知集合，则（ ） {}{N2},4A x x B x x =∈>-=≤∣∣A B = A ． B ． {}1,0,1,2,3,4-{24}xx -<<∣C ． D ． {}0,1,2,3,4{24}xx -<≤∣【答案】C【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合， {}{N2},4A x x B x x =∈>-=≤∣∣所以， A B = {}{N24}0,1,2,3,4x x ∈-<≤=∣故选：C.4．已知，则（ ）tan 2α=2sin cos cos sin αααα-=-A ．B ．C ．2D ．33-2-【答案】A【分析】进行弦化切，代入求解. 【详解】因为，所以.tan 2α=cos 0α≠所以. sin cos 22sin cos 2tan 1221cos cos 3cos sin cos sin 1tan 12cos cos αααααααααααααα---⨯-====-----故选：A5．二次不等式的解集为，则的值为（ ）210ax bx ++>1{|1}3x x -<<ab A ． B ．5 C ． D ．65-6-【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可. 【详解】不等式的解集为，210ax bx ++>1{|1}3x x -<<，<0a ∴原不等式等价于，∴210ax bx ---<由韦达定理知，，113ba -+=-1113a -⨯=，，3a ∴=-2b =-． 6ab ∴=故选：D ． 6．（ ）2cos26sin4sin86︒-︒=︒A．B ．1 CD ．2【答案】C【分析】利用两角差的余弦和诱导公式可求三角函数式的值.【详解】()124sin 4sin 4222cos 304sin42cos26sin4sin86cos 4cos 4⎫︒+︒-︒⎪︒-︒-︒︒-︒⎝⎭===︒︒︒故选：C.7．已知函数f (x )=是R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是（ ） ()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，…A ．B ．C ．D ．23a ≤-38a ≤-2a ≤-1a ≤-【答案】C【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a 的范围. 【详解】因为在上单调递减，且最小值为-1. 1y x=(],1-∞-所以要使函数f (x )=是R 上的递减函数， ()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，…只需，解得：.04141a a a a <⎧⎨-++≤-⎩2a ≤-故选：C8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设()1f x +121x x <<()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)b f =(3)c f =A ． B ． C ． D ．c b a <<b a c <<b<c<a a b c <<【答案】B【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过121x x <<()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()f x (1,)+∞是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案()1f x +()f x 1x =【详解】解：∵当时，恒成立， 121x x <<()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦∴当时，，即， 121x x <<()()210f x f x ->()()21f x f x >∴函数在上为单调增函数， ()f x (1,)+∞∵函数是偶函数，即，(1)f x +()()11f x f x +=-∴函数的图象关于直线对称，∴，()f x 1x =1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数在上为单调增函数，∴，()f x (1,)+∞5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即，∴，1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭b ac <<故选：B ．二、多选题9．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．1,1y x y x =+=+B ．2(0),2(0)y x x y x x =>=-<C ． ()110,1y y x x x+=-≠=D ．()()221,1f x x g t t =-=-【答案】CD【分析】从定义域和解析式两个方面判断，一一验证.【详解】对于A ：.两个函数的定义域相同，但是解析式不同，不是同一个函数.1,1y x y x =+=+故A 错误；对于B ：.两个函数的定义域不同，解析式不同，不是同一个函数.故B 2(0),2(0)y x x y x x =>=-<错误；对于C ：.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故C 正确； ()110,1y y x x x+=-≠=对于D ：.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故D 正确.()()221,1f x x g t t =-=-故选：CD10．下列关于函数的说法正确的是（ ）sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．最小正周期是 πC ．图象关于点中心对称 ,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．图象关于直线轴对称 65x π=-【答案】AD【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当时，，此时函数为增函数，所5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =以函数在区间上单调递增，故A 选项正确； sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于B 选项，由函数周期公式，故B 选项错误； 2221T ωππ===π对于C 选项，当时，，由于是的对称轴，故不是函数6x π=32x ππ+=2x π=sin y x =,06π⎛⎫⎪⎝⎭的中心对称，故错误；sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于D 选项，当时，，由于是的对称轴，故直线是函65x π=-32x ππ+=-2x π=-sin y x =65x π=-数的对称轴，故D 选项正确.sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：AD11．下列命题正确的是（ ） A ．“”是“”的充分不必要条件 1a >11a<B ．命题“”的否定是“”21,1x x ∀<<21,1x x ∃<≥C ．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥D ．设，则“”是“”的必要而不充分条件 ,a b ∈R 0a ≠0ab ≠【答案】ABD【分析】对于ACD ，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B ，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误. 【详解】对于A ，即为或， 11a<a<01a >因为可得推出或，或推不出， 1a >a<01a >a<01a >1a >故“”是“”的充分不必要条件，故A 正确. 1a >11a<对于B ，命题“”的否定是“”，故B 正确. 21,1x x ∀<<21,1x x ∃<≥对于C ，当且时，有，2x ≥2y ≥2284x y +≥≥取，但且不成立， x y ==224x y +≥2x ≥2y ≥故“且”是“”的充分而不必要条件，故C 错误. 2x ≥2y ≥224x y +≥对于D ，取，，此时，故不成立， 10a =≠0b =0ab =0ab ≠当时，必有，0ab ≠0a ≠故“”是“”的必要而不充分条件，故D 正确. 0a ≠0ab ≠故选：ABD.12．已知函数，，则（ ）()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭A ．B ．tan 6πω⎛⎫=⎪⎝⎭3a =C ． D ．在上单调递增1ω≥()f x 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【分析】化简函数解析式，由条件可得在处取得最大值，根据正弦函数的性质可得()f x 6x π=，与条件，由同角关系求，由此判断A ，B ，再结合正弦1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭a 函数的性质判断C ，D.【详解】，，因为在()sin cos)f x x a x x ωωωϕ=++sin ϕcos ϕ=()f x 6x π=处取得最大值，所以，，即，，所以262k πωπϕπ+=+k ∈Z 226k ππωϕπ=+-k ∈Z ，所以，因为1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，所以3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sin cos166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得，又，所以，A 正确，B 错误；所23a =0a >a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭tan 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭以，，解得，，又，所以，故C 正确；当266k πωππ=+k ∈Z 121k ω=+k ∈Z 0ω>1ω≥13ω=时，因为，所以，所以在上不单调，故D 错误， 06x π<<13136πφx φφ<+<+()f x 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭故选：AC.三、填空题13．若集合与满足，则实数__________.{}1,2,3,A m ={}22,3,B m =A B A ⋃=m =【答案】0或1-【分析】结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】∵，A B A ⋃=∴或 22,1m m m ⎧≠⎨=⎩221,m m m ⎧≠⎨=⎩解得，或 1m =-0m =故答案为：0或1-14．函数的定义域为__________. ()12f x x =-【答案】[)()1,22,⋃+∞【分析】直接列不等式，求出定义域.【详解】要使函数有意义， ()12f x x =-只需解得：且.22020x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x ≥2x ≠所以函数的定义域为. ()f x [)()1,22,⋃+∞故答案为：[)()1,22,⋃+∞15．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.()22f x x x a =-+[]1,(1)b b >a b -【答案】0【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到1x =()()11f b bf ⎧=⎪⎨=⎪⎩方程组，解得即可.【详解】解：因为，对称轴为，开口向上， ()()22211f x x x a x a =-+=-+-1x =所以函数在上单调递增， []1,(1)b b >又因为定义域和值域均为，()[1,1]b b >所以，即，解得（舍去）或，()()11fb b f⎧=⎪⎨=⎪⎩22111b b a b a b ⎧-+=⎪-=⎨⎪>⎩21a b =⎧⎨=⎩22a b =⎧⎨=⎩所以. 0a b -=故答案为：016．已知的值域为，则实数__________.()()()32233ln f x x a a x a =---⋅-[)0,∞+=a 【答案】1【分析】根据值域为可得，且， [)0,∞+1x a >+322330x a a ---≥1a x a <<+322330x a a ---≤，因此为的实数解，从而可求.1x a =+322330x a a ---=1a =【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取.()f x [)0,∞+()()32233ln 0x a a x a ---⋅-≥若，则，1x a >+322330x a a ---≥若，则， 1a x a <<+322330x a a ---≤故为的实数解，1x a =+322330x a a ---=故，整理得到：，()3212330a a a +---=3220a a +-=故即，解得. ()322210a a a -+-=()()21220a a a -++=1a =当时，，1a =()()()38ln 1f x x x =-⋅-当时，，2x ≥()()380,ln 10,0x x f x -≥-≥∴≥对于任意给定的正数，当，M ()13max 8,1x ⎧⎪>+⎨⎪⎪⎩⎭有，故，()381x x ->->()f x M >而当时，，12x <<()()380,ln 10,0x x f x -<-<∴>综上，时，的值域为. 1a =()f x [)0,∞+故答案为：1.四、解答题17．集合. {14},{13510}A xx B x x =≤<=<-<∣∣(1)求； A B ⋃(2)求. ()A B ⋂R ð【答案】(1) {}|15x x ≤<(2) [)4,5【分析】（1）根据并集的定义可求. A B ⋃（2）根据补集和交集的定义可求.()A B ⋂R ð【详解】（1），故. {25}B x x =<<∣{}|15A B x x =≤< （2），故.()[)R ,14,A =-∞+∞ ð()[)4,5A B =R ð18．已知.()()()πcos πcos 2sin πf θθθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+(1)若，求的值； ()f θ=cos2θ(2)若，且，求的值.π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭263θππ<<sin θ【答案】(1)；34-【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用倍角公式可求三角函数式的值； ()cos f θθ=（2）利用两角和的正弦可求的值. sin θ【详解】（1），()cos sin cos sin f θθθθθ-==-因为，故.()f θ=cos θ=213cos22cos 12184θθ=-=⨯-=-（2）因为，所以，而，π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 3π6θ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝263θππ<<所以，故 062πθπ<-<sin π6θ⎛⎫-⎪= ⎝⎭所以6s πin c s s in πππππsin os co sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭=⎝⎣⎦1132=⨯=19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为m x ，宽为.m y(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？ 2162m ,x y (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.60m 12x y+【答案】(1)长为18m,宽为9m ； x y (2). 320【分析】（1）利用基本不等式即可求得； （2）利用“1”的妙用即可求得.【详解】（1）由已知可得,而篱笆总长为.162xy =2x y +又,当且仅当,即时等号成立 236x y +≥==2x y =18,9x y ==所以菜园的长为18m,宽为9m 时,可使所用篱笆总长最小. x y （2）由已知.260x y +=因为()12122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 2142x x y y=+++5≥+5229=+⨯=（当且仅当时等号成立）.x y =所以（当且仅当时等号成立）12936020x y +≥=20x y ==所以的最小值为. 12x y +32020．已知函数.())2πcos sin R 3f x x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期及对称中心；()f x (2)求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为()f x πππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)，此时对应的的值为；，此时对应的为. ()max 14f x =x π4()min 12f x =-x π12-【分析】（1）利用三角变换公式可得，利用公式和正弦函数的性质可求最小正()1πsin(223f x x =-周期和对称中心；（2）利用整体法可求函数的最值及对应的自变量的值.【详解】（1） ()11cos 2cos sin 22x f x x x x ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2cos sin 22x x x +=+， 11πsin 22sin(2)423x x x ==-故的最小正周期为， ()f x 2ππ2=令，故， ππ,Z x k k -=∈23ππ,Z 62k x k =+∈故对称中心为：. ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）当时，，故， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5πππ2636x -≤-≤π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以， 11π1sin 22234x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭故，此时对应的的值为； ()max 14f x =x π4，此时对应的的满足即； ()min 12f x =-x ππ232x -=-π12x =-21．已知函数是奇函数，且. 21()x f x ax b+=+()12f =(1)求a ，b 的值；(2)证明函数在上是增函数.()f x (),1-∞-【答案】(1)，1a =0b =(2)证明见解析【分析】（1）由奇函数的性质可知，可求出b 的值，再利用可求出a 的值. ()()f x f x -=-()12f =（2）利用定义法证明函数的单调性即可.()f x 【详解】（1）∵函数是奇函数，∴， 21()x f x ax b+=+()()f x f x -=-∴， 2211x x ax b ax b++=--++∴，ax b ax b -+=--∴，0b =又∵，∴， ()12f =22a b=+∴. 1a =（2）由（1）得， 211()x f x x x x+==+任取，，且，1x ()2,1x ∈-∞-12x x <∴， ()()()()()121221121212121212111x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫--=+-+=-+= ⎪⎝⎭∵，∴，，，121x x <<-120x x -<121x x >1210x x ->∴，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <∴函数在上是增函数.()f x (),1-∞-22．已知函数且经过定点，函数且的图像经过点41(0x y m m -=+>1)m ≠A ()log (0a f x x a =>1)a ≠.A (1)求函数的定义域与值域； ()42x y f a =-(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围. ()()()224k g x f x f x =⋅-1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 【答案】(1)定义域为，值域为.(),3-∞(),3-∞(2).[1,)+∞【分析】（1）先由函数且经过定点，求出，即可求出，直接41(0x y m m -=+>1)m ≠A ()4,2A 2a =求出函数的定义域与值域； ()42x y f a =-（2）设,把题意转化为函数在上有两个零点，分类讨论：①2log t x =()2224h t kt t =+-[]22-,0k =,②③列不等式组，求出的取值范围.0k >0k <k 【详解】（1）由函数且经过定点，令，解得：，所以当41(0x y m m -=+>1)m ≠A 40x -=4x =4x =时，.4412y m -=+=故()4,2A 因为函数且的图像经过点，所以，解得：.()log (0a f x x a =>1)a ≠()4,2A log 42a =2a =所以. ()()242log 82x x y f a =-=-要使函数有意义，只需，解得：.所以的定义域为()2log 82x y =-820x ->3x <()2log 82x y =-.(),3-∞因为，所以，所以的值域为. 0828x <-<()2log 823x y =-<()2log 82x y =-(),3-∞（2）由（1）可知, . ()()222222log (2)log 42log 2log 4k g x x x k x x =⋅-=+-设,则,因为为关于的单调递增函数,所以在上有两个零点,等价于函2log t x =[]2,2t ∈-t x ()g x 1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦数在上有两个零点()2224h t kt t =+-[]22-,当时,由,得.有一个零点,则不合题意.0k =()240h t t =-=2t =()h t 0k =当时, 解得：.0k >()()Δ4320,122,22880,280,k k h k h k =+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-≥⎪=≤⎪⎩1k ≥当时, 不等式组无解.0k <()()Δ4320,122,22880,280,k k h k h k =+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-≤⎪=≤⎪⎩综上所述, 的取值范围是. k [1,)+∞。
广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题02
上学期高一数学期末模拟试题02一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1． {}{}|1,|3A x x B x x =≥-=<，则A B ． 2． 函数31()log (2)4f x x x =+--的定义域为 ． 3． 函数()sin(2)4f x x π=+的最小正周期为 ．4． 已知幂函数()f x 过点1(2,)4，则()f x = ．5． 已知角α终边经过点(2,3),P -则α的正弦值为 ．6． 若(2)()()x x m f x x++=为奇函数,则实数m = ． 7． 已知点D 是ABC ∆的边BC 的中点，若记,AB a AC b ==，则用,a b 表示AD 为 ．8． 设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f α=，则实数α= ． 9． 方程cos x x =在(),-∞+∞内解的个数是 ．10． 把函数cos 2y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,得到的函数解析式是y = ．11． 下列计算正确的．．．是 .（把你认为正确的序号全部写上） ①1221[(2)]2--=- ②822log (log 16)3= ③3sin 600=④0AB BD AC CD +--= 12． 设,,a b c 都是单位向量，且a 与b 的夹角为23π，则()()c a c b -⋅-的最小值 为 ．13． 已知(2,0)A ，(sin(260),cos(260))P t t --，当t 由20变到40时，P 点从1P 按顺时针运动至2P 的曲线轨迹与线段12,AP AP 所围成的图形面积是 ．14． 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2x f x =。
若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式3()()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6题计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）（1）化简：tan α，其中α是第二象限角；（2）已知3tan 3,,2παπα=<<求cos sin αα-的值.16．（本小题满分14分）设(2,1),(3,0),(,3)OA OB OC m =-==．⑴当8m =时，将OC 用OA 和OB 表示；⑵若A 、B 、C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．17．（本小题满分15分） 函数()sin()3f x A x πω=+（其中0,0A ω>>）的振幅为2，周期为π．⑴求()f x 的解析式；⑵求()f x 的单调增区间；⑶求()f x 在[,0]2π-的值域．18．（本小题满分15分）设02απβπ<<<<，向量(1,2),(2cos ,sin ),a b αα=-=.(sin ,2cos ),(cos ,2sin )c d ββββ==-⑴若a b ⊥，求α；⑵若||3c d +=，求sin cos ββ+的值；⑶若tan tan 4αβ=，求证：//b c .19．（本小题满分16分）将51名学生分成,A B 两组参加城市绿化活动，其中A 组布置400盆盆景，B 组种植300棵树苗.根据历年统计，每名学生每小时能够布置6盆盆景或者种植3棵树苗.设布置盆景的学生有x 人，布置完盆景所需要的时间为()g x ，其余学生种植树苗所需要的时间为()h x （单位：小时，可不为整数）.⑴写出()g x 、()h x 的解析式；⑵比较()g x 、()h x 的大小，并写出这51名学生完成总任务的时间()f x 的解析式； ⑶应怎样分配学生，才能使得完成总任务的时间最少？20．（本小题满分16分）已知22(log )21f x ax x a =-+-，a R ∈.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的值域；（3）设()2()x h x f x -=，0a >时，对任意12,[1,1]x x ∈-总有121()()2a h x h x +-≤成立，求a 的取值范围.参考答案一、填空题1. R 2．{}|2x x < 3. π 4. 2x -2- 7. 2a b + 8. 2或4- 9. 2 10. cos(1)x + 11. ②④ 12. 12-13. 9π 14. (,2]-∞- 二、解答题15. 解：（1）原式=tan tan αα==cos tan sin ααα⋅ ┄┄┄┄4分 又∵α是第二象限角，所以上式=sin cos ()1cos sin αααα⋅-=- ┄┄┄┄7分 （2）∵tan 3,α= ∴sin 3cos αα=又22sin cos 1αα+=， ∴21cos 10α=， ┄┄┄┄9分 而3,2ππα<<∴cos 10α=-，∴sin 10α=-┄┄┄┄13分∴cos sin 10αα-= ┄┄┄┄14分 16．解：⑴当8m =时，(8,3)OC =，设OC xOA yOB =+则(8,3)(2,1)(3,0)(23,)x y x y x =-+=+-32381433x x y x y =-⎧+=⎧⎪∴∴⎨⎨-==⎩⎪⎩； ┄┄┄┄7分 ⑵A 、B 、C 三点能构成三角形,AB AC ∴不共线又(1,1),(2,4)AB AC m ==-141(2)0,6m m ∴⨯-⨯-≠∴≠. ┄┄┄┄14分17．解：⑴由题可知：2A =且244T T ππω=∴=∴= ()2sin(2)3f x x π∴=+；┄┄┄┄5分 ⑵令52222321212k x k k x k πππππππππ-+≤+≤+∴-+≤≤+ (k Z ∈) ()f x ∴的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-++ (k Z ∈)； ┄┄┄┄┄10分 ⑶2[,0]2[,]2333x xππππ∈-∴+∈-()f x ∴的值域为[-. ┄┄┄┄15分18．解：⑴由题2cos 2sin 0a b αα⋅=-=即tan 1α=，又0απ<<， 所以4πα=；┄┄┄5分⑵22222||sin 2sin cos cos 4cos 8sin cos 4sin 3c d ββββββββ+=+++-+=即56sin cos 3ββ-=，1sin cos 3ββ=，则sin ,cos ββ同号 又2225(sin cos )sin 2sin cos cos 3ββββββ+=++= 因为2πβπ<<，所以sin cos ββ+= ┄┄┄┄┄10分 ⑶由tan tan 4αβ=，得sin sin 4cos cos αβαβ=即4cos cos sin sin 0αβαβ-=，所以//b c . ┄┄┄┄┄15分19．解：⑴由题意布置盆景的学生有x 人，种植树苗的学生有51x -人，所以400200()63g x x x==， 300100()(51)351h x x x==-⋅-，*(051,)x x N <<∈； (答对一个给2分)┄┄┄┄4分 ⑵200100100(1025)()()3513(51)x g x h x x x x x --=-=--，因为051x <<所以3(51)0x x -> 当020x <≤时，10250,()()0,()()x g x h x g x h x ->->>当2151x ≤<时，10250,()()0,()()x g x h x g x h x -<-<< ┄┄┄┄8分 所以**200,020,3()100,2151,51x x N x f x x x N x ⎧<≤∈⎪⎪=⎨⎪≤<∈⎪-⎩； ┄┄┄┄┄10分 ⑶完成总任务所用时间最少即求()f x 的最小值当020x <≤时，()f x 递减，则10()(20)3f x f ≥=. 故()f x 的最小值为(20)f ，此时5131x -=人 ┄┄┄┄┄12分 当2151x ≤<时，()f x 递增，则10()(21)3f x f ≥= 故()f x 的最小值为(21)f ，此时5130x -=人 ┄┄┄┄┄14分所以布置盆景和种植树苗的学生分别有20,31人或21,30人. ┄┄┄┄┄16分20．解：⑴设2log x t =，则2t x =2()(2)221t t f t a a ∴=-⋅+-2()(2)221x x f x a a ∴=-⋅+-； ┄┄┄┄┄3分 ⑵设2(0)t m m =>，则2()21(0)g m am m a m =-⋅+->当 0a <时，10a<，∴()g m 的值域为(,1)a -∞- 当 0a =时，()21g m m =-+，∴()g m 的值域为(,1)-∞当 0a >时，10a >，()g m 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增 ∴()g m 的值域为1[1,)a a--+∞ ┄┄┄┄┄6分 综上，当0a ≤时()f x 的值域为(,1)a -∞-当0a >时()f x 的值域为1[1,)a a--+∞； ┄┄┄┄┄7分 ⑶由题()22(1)2x x h x a a -=⋅-+-⋅对任意12,[1,1]x x ∈-总有121()()2a h x h x +-≤ ∴()h x 在[0,1]满足max min 1()()2a h x h x +-≤ ┄┄┄┄┄9分 设12([,2])2x s s =∈，则1()()2a h x r s as s -==+-，1[,2]2s ∈ 当10a -<即1a >时()r s 在区间1[,2]2单调递增 ∴ 11(2)()22a r r +-≤33312222a a a +∴-+≤ ∴45a ≤（舍去） 当1a =时，不合题意 ┄┄┄┄┄11分 当01a <<时，12≤即415a ≤<时，()r s 在区间1[,2]2单调递增 ∴11(2)()22a r r +-≤33312222a a a +∴-+≤ ∴45a ≤ ∴45a =若122<<即1455a <<时()r s 在1[2递减，在2]递增∴1(2)211()22a r r a r r ⎧+-≤⎪⎪⎨+⎪-≤⎪⎩∴5485a -≤< ┄┄┄┄┄14分2≥即105a <≤时()r s 在区间1[,2]2单调递减 ∴11()(2)22a r r +-≤3331()2222a a a +∴---≤∴27a ≥（舍去） ┄┄┄15分综上所述：4]5a ∈ ┄┄┄┄┄16分。
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。
广东省第一中学2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.4.本卷命题范围：人教版必修1，必修2第一、二章.一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合12,0,,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，{|2}B x x =≥-，则AB =( )A. 10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 12,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 13,2,0,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭D. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，直接求A B 即可得答案.【详解】12,0,,32A ⎧⎫⎨⎭=-⎩-⎬，{}|2B x x =≥-，12,0,2A B ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭.故选B ．【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2.函数()lg 1f x x =-的定义域是( )A. [3,)+∞B. (10,)+∞C. ()(3,101)0,⋃+∞D. [3,10)(10,)⋃+∞【答案】D【解析】【分析】解析式中的被开方数大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0，从而列出关于x的不等式组.【详解】据题意，得30lg10xxx-≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩，3x∴≥，且10x≠．故选D．【点睛】本题考查具体函数的定义域求法，考查基本运算求解能力，注意函数的定义域是集合或区间的形式.3.下列说法正确的是（）A. 多面体至少有3个面B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D. 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据多面体的结构，多面体至少有4个面，故选项A错误；对于满足选项B条件的多面体延长各侧棱不一定相交一点，故错误；选项C底面可能为菱形，故错误；选项D，分析六棱柱结构特征，可判断正确.【详解】一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4革面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面的全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确.故选D.【点睛】本题考查多面体的定义，结构特征，属于基础题.4.如图，在三棱锥P-ABQ 中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则AB 与GH 的关系是 ( )A. 平行B. 垂直C. 异面D. 平行或垂直 【答案】A 【解析】因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF∥平面PCD ，又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ∩平面PCD=GH ，所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH,故选A.点睛:本题考查线面平行的判定定理和线面平行的性质定理的综合应用,属于中档题. 线面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内的一条直线互相平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．5.已知函数()248f x x kx =--在区间[5,20]上单调递增，则实数k 的取值范围是( )A. {}40B. [40,160]C. (,40]-∞D.[160,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的图象特征，其开口向上，所以对称轴需在区间的左边，即可得答案. 【详解】函数图象的对称轴方程为24kx -=-⨯，且开口向上， 又函数()f x 在区间[5,20]上单调递增， 所以524k--≤⨯，所以40k ≤． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象特征，考查数形结合思想的运用，求解时要注意考虑二次函数的开口方向，对称轴与区间位置关系，考查基本运算求解能力.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，1BB 的中点，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则（ ）A. //MF NEB. 四边形MNEF 为梯形C. 四边形MNEF 为平行四边形D. 11//A B NE 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件及线面平行的性质可得MN EF ∥且EF MN ≠，可得四边形MNEF 为梯形，可得答案.【详解】解：∵在11AA B B 中，1AM MA =，1BN NB =，AM BN ∴∥，MN AB ∴∥.又MN ⊄平面ABC ，AB平面ABC ，MN ∴平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF平面ABC EF =，MN EF ∴∥，EF AB ∴∥.显然在ABC ∆中，EF AB ≠，EF MN ∴≠， ∴四边形MNEF 为梯形.故选：B.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型. 7.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）． A. 若αβ⊥，m α⊂，n β，则m n ⊥ B. 若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m nC. 若m n ⊥，m α，n β⊂，则αβ⊥D. 若m α⊥，m n ，n β，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】通过举例说明A ，B ，C 选项是错误的.D 选项满足由线面垂直推导面面垂直的条件，正确. 【详解】A 中，若αβ⊥，m α⊂，n β，则m ，n 也有可能平行，故A 错；B 中，若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m β，n α，但m ，n 可能异面、平行，故B 错；C 中，若m n ⊥，m α，n β⊂，则α，β可能平行或相交，故C 错；D 中，若m α⊥，m n ，则n α⊥，又n β，所以αβ⊥，即D 正确．故选D ．【点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.属于容易题. 8.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，则满足不等式()0f x x>的x 的取值范围为（ ） A. (0,2) B. (2,)+∞ C. (,2)(0,2)-∞-⋃D.(,2)(2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求出f （-2）=0，由条件并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【详解】偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，得()f x 在(,0)-∞上时为单调增函数，由(2)0f =得(2)0f -=，则当(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <；当(2,0)(0,2)x ∈-⋃时，()0f x >，所以0,()0()0,x f x f x x >⎧>⇔⎨>⎩或0,()0,x f x <⎧⎨<⎩解集为(,2)(0,2)-∞-⋃. 故选C.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ）A. 在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 平行B. 在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直C. 平面1//AB C 平面EFGD. 直线1AB 与EF 所成角为45︒ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及平面与平面平行的判定定理、异面直线所成的角等相关知识分别判断各选项，可得答案.【详解】解:由线面平行判定定理可得，当O 为BD 的中点时，1B O ∥平面EFG ， 由线面垂直判定定理可得，1BD ⊥平面EFG ，选项A ，B 都对.因为1EG AB ∥，1FG B C ∥，所以平面EFG ∥平面1AB C ，选项C 正确， 易得：EFAC ,1AB C ∆为等边三角形，故直线1AB 与AC 所成角为60︒,即直线1AB 与EF所成角为60︒，故D 不正确，【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及平面与平面平行的判定定理、异面直线所成的角等，考查空间想象能力和运算求解能力.10.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知集合{}11A x Z x =∈-≤≤，则集合A 真子集个数是______. 【答案】7.【分析】计算出集合A 中元素的个数，可得集合A 真子集个数. 【详解】解：{}{}111,0,1A x x =∈-≤≤=-Z ,共三个元素，故集合A 真子集个数为32-1=7个， 故答案为：7.【点睛】本题主要考查集合的子集、真子集的个数，得出集合A 中元素的个数是解题的关键.12.已知函数()(]()22,,1,ln ,1,,x x f x x x ⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩则()()f f e 的值为______.【答案】3 【解析】 【分析】由分段函数的性质，先求出()e f 的值，可得()()f f e 的值.【详解】解：据题意，得()e lne 1f ==，()()()2e 1123f f f ∴==+=,故答案为：3.【点睛】本题主要考查分段函数的定义与性质，相对不难，注意运算的准确性. 13.若幂函数()af x x =的图象经过点()3,81，则实数a 的值为______.【答案】4. 【解析】 【分析】将点()3,81代入()f x ，可得a 的值. 【详解】解：据题意，得381a =，4a ∴=， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查幂函数的定义，相对简单.14.某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______.【答案】23.【解析】【分析】将三视图还原几何体，可得该几何体为直三棱柱，由三棱柱体积计算公式可得答案. 【详解】解：将三视图还原几何体如图：可知该几何体为直三棱柱，其体积1232232V=⨯=,故答案为：23【点睛】本主要考查由三视图还原为几何图及空间几何体体积的计算，相对简单.15.某停车场规定：停车第一个小时6元，以后每个小时4元；超过5个小时，每个小时5元；不足一小时按一小时计算，一天内60元封顶.小林与小曾在该停车场当天分别停车4.5小时，13小时，则他们两人在该停车场共需交停车费________元.【答案】82【解析】【分析】根据条件，结合分段函数的收费标准进行求解即可．【详解】小林停车4.5小时，按5小时计算，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，停车费为6+4×4＝22元，小曾停车13小时，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，超过5小时的时间为8小时，此时每小时收费5元，停车费为6+4×4+5×8＝62元，由于一天内60元封顶，故小曾只需要交60元，两人合计22+60＝82元， 故答案为82【点睛】本题考查函数的应用问题，结合分段函数解析式进行计算计算是解决本题的关键．涉及函数值的计算，属于基础题．16.已知三棱锥P ABC -的各顶点均在半径为2的球面上，且3,3,23AB BC AC ===，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______. 【答案】332【解析】 【分析】根据条件，确定三棱锥P ABC -外接球的球心，求出球心到底面ABC 距离，结合图形，可求出体积的最大值.【详解】设O 为球心，则2OA OB OC ===， 可得O 在底面ABC 的射影为ABC ∆的外心. 由3,3,23AB BC AC ===，可得ABC ∆是以AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，则()2222231OM OC CM =-=-=.当P ，O ，M 三点共线时，三棱锥P ABC -的体积最大， 此时体积()1133332132V =⨯⨯⨯⨯+=. 故答案为:332【点睛】本题考查多面体外接球问题以及体积的最大值，确定球心是解题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1）计算：130.25632716(23)8-⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭；（2）解不等式()2log 23x +<． 【答案】（1）169；（2）()2,6 【解析】 【分析】（1）利用指数幂运算法则，对式子直接进行运算求值；（2）将不等式的右边化成以2为底的对数，再利用对数函数的单调性解不等式. 【详解】（1）113()1330.25666334322716(23)16(2)(3)8-⨯-⎛⎫⎛⎫+-÷=+-÷ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭28239=+- 6188169999=+-=． （2）2log (2)3x +<，即22log (2)log 8x +<，所以2028x x +>⎧⎨+<⎩，解得26x -<<．故原不等式的解集为()2,6-．【点睛】本题考查指数幂运算、对数不等式，考查基本运算求解能力，在解不等式时，注意两边化成同底再利用对数函数的单调性进行求解，同时要注意真数大于0这一隐含条件. 18.如图是一个搭建在空地上的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO ，正六棱锥的高为1PO ，且13PO PO =，11124m A B PO ==.（1）求帐篷的表面积（不包括底面）；（2）求帐篷的容积（材料厚度忽略不计）. 【答案】（1）()2144m ；（2）()31123m . 【解析】 【分析】（1）连接11O A ，11O B ，分别计算正六棱锥的测面积及正六棱柱的侧面积与底面积，相加可得答案；（2）分别计算出正六棱锥的体积与正六棱柱的体积，相加可得答案. 【详解】解：（1）连接11O A ，11O B .由正六边形111111A B C D E F ，可得111O A B ∆为正三角形，所以11114m O B A B ==. 取11A B 的中点为Q ，连接1O Q ，PQ ， 易得11PQ A B ⊥.所以)222211114223m O Q O B B Q =-=-=，()()2222112234m PQ PO O Q =+=+=.设帐篷上部的侧面积为1S ，下部的侧面积为2S ， 则()21111648m 2S A B PQ =⨯⋅=， ()22111696m S A B OO =⋅=，所以搭建帐篷的表面积为()2124896144m S S +=+=.（2）由（1）得111O A B ∆的面积)11121111142343m 22O A B S A B O Q ∆=⨯⋅=⨯⨯=. 所以)11111111126243m O A B A B C D E F S S ∆==六边形，上部正六棱锥的体积)3112432163m 3V =⨯=；下部正六棱柱的体积()322434963m V =⨯=，所求帐篷容积为()3121123mV V +=.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积及体积的计算，需牢记公式，运算准确. 19.已知函数()21ax f x x =-（a R ∈，且0a ≠）的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）当0a >时，求证：()f x 在定义域内单调递减. 【答案】（1）()f x 为奇函数；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）计算()f x 与()f x -的关系，可得()f x 的奇偶性； （2）当0a >时，利用函数单调性的定义进行证明可得答案. 【详解】解：（1）解：()()21axf x f x x --==--，()f x ∴为奇函数. （2）证明：设121122x x -≤<≤，()()()()()()211212122222121211111a x x x x ax ax f x f x x x x x -+-=-=----. 若0a >，则由于2110x -<，2210x -<，210x x ->，1210x x +>. ()()120f x f x ∴->.()()12f x f x ∴>.即()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性判断，属于基础题型.20.如图，在多面体ABCDEF 中，AF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为菱形，四边形ABCD 为梯形，且AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =，M 为线段BD 的中点.（1）求证：//CE 平面AMF ；（2）求平面AFM 将多面体ABCDEF 分成的两个部分的体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）延长AM 交BC 于点G ，连接FG ,易证BGM DAM ∆∆≌,可得1BG AD ==， 可得四边形GCEF 为平行四边形，可得CE GF ∥，//CE 平面AMF ； （2）分别计算出三棱柱CDE GAF-的体积与三棱锥F ABG -的体积，可得体积之比.【详解】证明：延长AM 交BC 于点G ，连接FG ,.由AD BC ∥，M 为BD 中点，易证BGM DAM ∆∆≌， 所以1BG AD ==. 因为2BC =，所以1GC =.由已知1FE AD ==，且FE AD ∥，又AD GC ∥， 所以FE GC ∥，且FE GC =，所以四边形GCEF 为平行四边形，所以CE GF ∥. 因CE ⊄平面AMF ，GF ⊂平面AMF ， 所以CE平面AMF .（2）解：由（1）可得，多面体ABCDEF 被平面分成两个部分是三棱锥F ABG -和三棱柱CDE GAF -.因为AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以AF BD ⊥. 又易得BD AG ⊥，所以BD ⊥平面AFG . 所以DM 即为三棱柱CDE GAF -的高. 所以三棱柱CDE GAF -的体积11212122V ==， 又易得三棱锥F ABG-体积2111111326V =⨯⨯⨯⨯=，所以多面体ABCDEF 被分成的两个部分体积比为13. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及空间几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.21.已知函数2()log (2)f x x =+，2()2g x x x a =--+.（1）解不等式()4f x <；（2）设函数()()()h x f x g x =-，若()h x 在[2,6]上有零点，求a 的取值范围. 【答案】(1) (2,14)- (2) [10,51] 【解析】 【分析】(1)根据对数函数的单调性及真数大于0即可求解 (2)()h x 在[]2,6上有零点等价于()0h x =在[]2,6上有解，转化为方程()22log 22x x x a +++=在[]2,6上有解，只需求()()()22log 2226F x x x x x =+++≤≤的值域即可,可根据函数的单调性求出其值域得到a的取值范围. 【详解】（1）因()4f x <，所以()2log 24x +<，即0216x <+<，解得214x -<<.故不等式()4f x <的解集为()2,14-.（2）()h x 在[]2,6上有零点等价于()0h x =在[]2,6上有解， 即()22log 22x x x a +++=在[]2,6上有解，设()()()22log 2226F x x x x x =+++≤≤.∵()2log 2y x =+与22y x x =+在[]2,6上均为增函数，∴()F x 在[]2,6上为增函数，则()()22min log 2222210F x =+++⨯=，()()22max log 6262651F x =+++⨯=，从而()1051F x ≤≤，故a 的取值范围为[]10,51.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，二次函数的单调性，函数的最值，零点，属于难题.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，AD 2=，AB 1=，BAD 60︒∠=，平面PCD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 上一点．（1）若PA ∥平面MBD ，求证：点M 为PC 中点； （2）求证：平面MBD ⊥平面PCD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，由PA∥平面MBD 证明PA∥OM，利用平行四边形证明M 是PC 的中点；（2）△ABD 中利用余弦定理求出BD 的值，判断△ABD 是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD ，平面MBD⊥平面PCD ． 【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，如图所示； 因为PA∥平面MBD ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC∩平面MBD ＝OM ， 所以PA∥OM；因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以O 是AC 的中点， 所以M 是PC 的中点；（2）△ABD 中，AD ＝2，AB ＝1，∠BAD＝60°， 所以BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB•ADcos∠BAD＝3， 所以AD 2＝AB 2+BD 2，所以AB⊥BD；因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD；因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查了线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，是中档题．。
广东省广州市学年高一数学上学期期末教学质量监测试题(扫描版)
广东省广州市2013-2014学年学年高一数学上学期期末教学质量监测试题（扫描版）高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11. 2 12. 9 13. 060 14. ④三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．(本小题满分12分)解: (1)当5m =时, {}53≤≤-=x x A ，{}7B x x =<, …………2分 A B ∴= {}35x x -≤≤, …………4分 U Að{}35x x x =<->或， …………6分 ∴=U C A B R . …………8分(2){}53≤≤-=x x A ，A B ⊆， ∴523m <-, …………10分 即4m >. 实数的取值范围为()4,+?. …………12分16．(本小题满分12分)解: (1) ∵()()0(4,1),6,3,0,A B C y ，且CA CB =,CA =…………2分CB =…………4分=…………5分∴07y =. …………6分(2) ∵AC AB ^, ∴1AB AC k k ⋅=-, …………8分∴013116404y --⨯=---, …………9分 解得05y =. …………10分351603BC k -==--, …………11分 ∴直线BC 的方程为()1503y x -=--，即3150x y +-=. …………12分17.解:证明: (1)设BD 与AC 的交点为F .连接F E ,.F E ,分别为1DD ,DB 的中点 …………1分 ∴1//BD EF …………2分 又 1BD ⊄平面AEC , EF ⊂平面AEC , …………3分 ∴1BD //平面AEC . …………4分(2)在正方体1111D C B A ABCD -中,四边形ABCD 是正方形, AC BD ∴⊥ …………5分 又在正方体1111D C B A ABCD -中,∴1DD ⊥平面ABCD , …………6分 又AC ⊂平面ABCD ,1DD AC ∴⊥, …………7分 1DD ⊂平面1D DB ,BD ⊂平面1D DB , 1BD DD D ⋂=, …………8分 ∴AC ⊥平面1D DB …………9分 AC ⊂平面AEC ,∴平面1D DB ⊥平面AEC …………10分(3) 以点D 为坐标原点,以DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴，1DD 方向为z 轴，建立空间直角坐标系， …………11分 由正方体的棱长为2，知()10,0,2D ，()2,2,0B ,()0,2,0C ，则1D B 的中点()111P ，，, ()0,2,Q z ………12分∴PQ ==, …………13分 ∴当1z =时（此时Q 为棱1C C 的中点）,PQ …………14分18.解（1）由题意可知，当月产量为x 台时，总成本()g x 为202x +万元。
广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题10(new)
一．选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、设集合 ，集合 ， ，则 等于（)
A． B． C． D．
2、函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
3、用二分法研究函数 的零点时，第一次经计算 ，可得其中一个零点 ，第二次应计算.以上横线上应填的内容为（)
角,且 的大小分别为1和2,则有（）
A． 成 角B． 成 角C． 成 角D． 成 角
8、设函数，则满足的x的取值范围是(）
A．[-1，2]B．[0,+）C．［1，+）D．[0，2]
9、函数 图象如右图，则 的解析式与 的值分别为（)
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10、在股票买卖过程中,经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x），一种是平均价格曲线y＝g(x）（如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元;g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）。下面所给出的四个图象中,实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x),其中可能正确的是（）
A．（0.5,1）, B．（0，0。5）， C．(0,0。5), D．（0，1）,
4、已知向量 ，则 （）
A。 B. C. D。
5、sin570°的值是（)
A． B．－ C． D． －
6、若角α的终边落在直线x—y=0上,则 的值等于(）
A B C 或 D
7、一质点受到平面上的三个力 (单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 成
∴y= －2nb+n2在b∈[－1，1]恒大于等于0……………9分
∴ ，∴
∴n的取值范围是 ……12分
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广州市高一上学期期末数学试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D.在映射T:的作用下，区域D内的点（x,y)对应的象为点（u,v)，则由点（u,v)所形成的平面区域的面积为（）
A . 2
B . 4
C . 8
D . 16
2. （2分）设全集R，若集合，则为（）
A .
B . 或
C . 或
D .
3. （2分）下列函数f（x）与g（x）相等的一组是（）
A . f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1
B . f（x）=x2 ， g（x）=（） 4
C . f（x）=log2x2 ， g（x）=2log2x
D . f（x）=tanx，g（x）=
4. （2分）已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增．若实数a满足
,则a的取值范围是（）
A .
B . (0,2]
C . [1,2]
D .
5. （2分）已知幂函数f（x）=xa的图象过点（，），则（）
A . f（）＜f（）
B . f（）=f（）
C . f（）＞f（）
D . f（），f（）的大小不能确定
6. （2分） (2017高二下·福州期末) 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f （x）=2x（1﹣x），则f（﹣）+f（1）=（）
A . ﹣
B . ﹣
C .
D .
7. （2分）(2018·榆林模拟) 对于函数和，设，，若存在，
使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) 函数的图象是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）已知，且，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高三上·深州月考) 设，，，则（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高一上·嘉善月考) 已知，则满足下列关系式（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）设定义在R上的连续函数f（x）满足：
对任意的实数x，都有f（﹣x）﹣f（x）=0；
对任意的实数x，都有f（x+π）+f（x）=1；
当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1；
当x∈（0，）∪（，π）时，有（x﹣）f′（x）＞0（其中f′（x）为函数f（x）的导函数）．
则方程f（x）=|sinx|在[﹣2π，2π]上的根的个数为（）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 10
二、填空题 (共5题；共6分)
13. （1分）(2016·静宁模拟) 若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为________．
14. （2分）某种病毒每经30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x（小时）的函数关系式为________ 经过5小时，1个病毒能分裂成________个
15. （1分） (2017高一上·上海期中) 我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+ }，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是________．
16. （1分）(2017·北京) 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
17. （1分） (2016高一上·惠城期中) 设f（x）= ，则f（f（2））等于________．
三、解答题 (共6题；共36分)
18. （5分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2＞0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．
19. （5分）已知m∈R，设命题P：﹣3≤m﹣5≤3；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+ 有两个不同的零点．求使命题“P或Q”为真命题的实数m的取值范围．
20. （1分） (2016高三上·晋江期中) 设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的________条件．
21. （10分） (2019高二上·德惠期中) 命题：方程有实数解，命题：方程
表示焦点在轴上的椭圆．
（1）若命题为真，求的取值范围；
（2）若命题为真，求的取值范围．
22. （10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+ |．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+3m2＜5m，求实数m的取值范围．
23. （5分） (2019高一上·西城期中) 已知关于x的不等式的解集为A，且 .
（I）求实数a的取值范围；
（II）求集合A．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共5题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共6题；共36分) 18-1、
19-1、20-1、21-1、
21-2、
22-1、22-2、23-1、。