自考04184线性代数经管类讲义
4月自学考试04184线性代数(经管类)试卷(重点)及答案教育文稿
2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出地四个备选项中只有一个选项为符合题目要求地， 地括号内；错选、多选或未选均无分； 请将其代码填写在题后a 1 a 2b 1b 2a 1 a 2 2b 1 2b 2 3a 13a 2， D 2 =，则 D 2=1、设行列式 【 】D 1=A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 11 2 0 1 x 12 4 0 2 2 y， B =，且 2A=B ，则 【 】2、若 A=A.x=1 ， y=2 C.x=1 ， y=1B.x=2 ， y=1 D.x=2 ， y=2A 等价地为3、已知 A 为 3 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与【】1 A. 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 00 1 C. 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 0 01B. D. 4、设 2 阶实对称矩阵 A 地全部特征值味 1， -1， -1，则齐次线性方程组（ E+A ）x=0 地基础解系所含解向量地个数为 【】A.0B.1C.2D.33 11 3有一个特征值为【】5、矩阵A.-3二、填空题（本大题共B.-2 10 小题，每小题C.12 分，共 D.220 分）请在每小题地空格中填上正确答案；错填、不填均无分； 1A 为 3 阶矩阵，且A =3，则 3A =6、设 .2 3 1 5A * =，则7、设 A=.1 2 0 11 1 1 1， B=，若矩阵 X 满足 AX =B ，则 X= .8、已知 A=1 2T ，T线性相关，则数 k=.9、若向量组(1， 2， 1) (k-1 ， 4， 2) 12x 12x 1 3x 12 x 2 x 2 x 2ax 3 x 3 x 30 0a = 有非零解，则数 .10、若齐次线性方程组T ，T，则内积（1,11、设向量(1， -2， 2) (2， 0， -1) 2 ）= .12 V ={x=(x 1，x 2， 0)T|x 1， x 2 R } 地维数为12、向量空间 13、与向量（1 .1， 0，1） T 与（1， 1， 0） T 均正交地一个单位向量为 .2 3地两个特征值之积为 .14、矩阵2 22 2 2x1ax2a x32 x 1 x 2 正定，则数 a 地取值范围为15、若实二次型 f(x1 ， x 2，x3)= .7 小题，每小题 三、计算题（本大题共9 分，共 63 分）2 1 1 1 13 1 1 1 14 1 11 1 5地值 .16、计算行列式 D=1 21*A( 2A)2A 地值 .17、设 2 阶矩阵 A 地行列式，求行列式0 1 111111251，B= ，矩阵X 满足X =AX +B，求0X.18、设矩阵 A =3T T T T(1,2,1) , (2,5,1) , (1,3, 6) , (3, 1,10)19、求向量组地秩与一个极1234大线性无关组，并将向量组中地其余向量由该极大线性无关组线性表出.22x 1 x 1 x 1 ax 2bx 2cx 2 a x 3 b x 3c x 33a 223b ，其中 a, b, c 两两互不相同 . 20、利用克拉默法则解线性方程组2 23c1 a 1 a 3 1 11 10 0 0 0 1 0 00 b相似，求数 a, b 地值. 21、已知矩阵 AB 与 f ( x 1 , x 2 ) 5x 1 5x 2 4 x 1x 2 为标准型， 22、用正交变换化二次型并写出所作地正交变换 .四、证明题（本题 7 分）23、设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A=B+E ，B 2=B ，证明 A 可逆 .2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3.D 2 分类，共 10 分）4.C1.C2.A 5.B二、填空题（本大题共 小题，每小题 2 分，共 20 分）10 5 31 26. 97.1 1 1 31 08.9. 3 10. -2 11. 0 1 31 3TT或1,1,1 1,1,112. 213.15. a ＞ 163 分）1 1 0 414. -1三、计算题（本大题共7 小题，每小题 9 分，共 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 11 1 5 1 0 0 03 5 2 21 1 3 016.解 （ 5 分）D=5= 221 3 01 0 474（ 9 分）12*1AA 可逆，于为 AA A17.解 由于 ，所以 （ 3 分）1 21*11(2 A ) 2 AA2 A A故 （6 分）21 23 23 29 21111AAAA（ 9 分）=由 X AX B ，化为 E A XB ，18.解 （ 4 分）11 11 0 01 20 3 02 2 1 1 1 11 31而 E AE A可逆，且 （ 7 分）0 3 02 21 1 1 1 1 251 0 3 32 1 1 0 11 3故 X（ 9 分）12 1 11 5 53 7 71 0 0 0 1 011 5 017 7 0由于1,2,3,0 019.解 （ 5 分） 41,所以向量组地秩为 2， 2 为一个极大线性无关组，并且有115 2 ,177（9 分）31412注：极大线性无关组不唯一；方程组地系数行列式20. 解 a21 D= 1 1 ab c 2b cb ac a c b2D 0 ，故方程有唯一解；因为 a,b,c 两两互不相同，所以（4 分）3a 2a 23a2 a 2a b c 1 1 1 2 222 又 D 13b 3cb 0 ， D 23b3cb c0 ，2222c2 1 1 1 a b c 3a 3b 2D 33D（ 7 分）3c2由克拉默法则得到方程组地解D D D 3 D D3 1 2 x 0, x 0, x 3（9 分）123DDD21.解 因为矩阵 A 与 B 相似，故trA trB 且 AB ,（6 分）1 3 a 1 10 21 0b即所以 （9 分）a=1,b=4. 5 2 2 5A22. 解 二次型地矩阵3,7，所以 A 地特征值由于 （ 4 分）E A37 123 ，由方程组 3E A x 0 得到 3 地一个单位对于特征值A 属于特征值11112 2特征向量17, 由方程组 对于特征值7 E A x 0 得到 7 地一个单位特征向量A 属于特征值22112 2 .21 1 112 2得正交矩阵Q1,，作正交变换 x Qy ，22 23 7 .二次型化为标准形 fy 1y 2（ 9 分）四、证明题（本题 7 分） 2因为 AB E ,所以 A EB ,又 BB ,23.证 2A EA E , 故 (3 分）1 2 2A3 A2E, 于为 AA 3EE ,故 化简得 可逆；（ 7 分）A。
自考《线性代数》(经管类)教学大纲
自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。
该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。
本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。
内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。
通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。
通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。
另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。
二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。
三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。
重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。
教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。
2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。
3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。
4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。
第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。
自考线性代数(04184)经管类复习提纲内含经典例题分类讲解
线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
自考04184线性代数经管类讲解矩阵
阵矩第二章2.1矩阵的概念n2.1.1m×由定义个数ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ij mn 数表一个列的行用大小括号表示mn列矩阵。
称为一个行nm×这矩阵的含义是：个数排成一个矩形阵列。
aij列元素称为矩阵的第其中行第ij i=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。
第行与第ij 。
，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。
有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA 或））或（（nm ×nm×ijnm×ijm=nA=a n阶为时，称）（当nijn×2n nn阶方阵是由矩阵，或者称为。
阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。
只有一阶方阵才是一个数。
nA中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。
的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。
在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
用OO（大写字）表示。
或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12a n1×n 矩阵。
它是）为维行向量n m n=1维列向量为时，。
称当1 m×它是矩阵。
向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。
abc3维行向量，）是，，（例如，3维列向量。
是几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵或简写形如A）念为（那不是“尖”，，的矩阵，称为对角矩阵是一个三阶对角矩阵，例如，。
也可简写为2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当有如下形式：素都相同时，称它为数量矩阵。
或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特n EI，单位记为它为或阶nn别，矩阵。
即或E或在不会引起混淆时，也可以用I 表示单位矩阵。
【讲义】04184线性代数
学习本课程，要求考生具备高中数学的基础知识.本课程是经济管理类（本科）各专业 的公共基础课程，学习本课程又为经济管理类的各专业的后继课程（如经济学等）奠定必要 的数学基础.
四、课程的重点和难点
本课程的重点和难点内容如下： （1）行列式的性质，计算行列式； （2）矩阵的各种运算； （3）判定向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系； （4）线性方程组解的结构和求解方法； （5）实方阵的特征值和特征向量，方阵对角化的条件，方阵对角化的计算方法； （6）实二次型的概念和正定二次型的判别方法.
第五章 特征值与特征向量 ------------------------------------------------------------------------------ 50 第一节 特征值与特征向量 ------------------------------------------------------------------------ 51 第二节 方阵的相似变换 --------------------------------------------------------------------------- 53 第三节 向量内积与正交矩阵 --------------------------------------------------------------------- 57 第四节 实对称矩阵的相似标准形 --------------------------------------------------------------- 58
第二章 矩阵------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 第一节 线性方程组与矩阵的定义 --------------------------------------------------------------- 10 第二节 矩阵运算------------------------------------------------------------------------------------ 11 第四节 分块矩阵------------------------------------------------------------------------------------ 18 第五节 矩阵的初等变换与初等方阵------------------------------------------------------------- 21 第六节 矩阵的秩------------------------------------------------------------------------------------ 25 第七节 矩阵与线性方程组 ------------------------------------------------------------------------ 27
04184线性代数
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a 21 a 22 a 23 = a11 A11 + a 21 A21 + a31 A31 a31 a32 a33
我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 =
∑a
i =1
3
i1
Ai1 =∑ ( −1) i +1 ai1 M i1
= a11a22 L ann
对角行列式
L L L L ann
= a11a22 L ann
（二）行列式的性质
性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 D = D
T
性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数. ，行列式的值改变符号. 性质 3 互换行列式的任意两行（列） 推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元 素上去，所得的行列式仍为 D.
2 1 4 1
例 1 计算行列式 D4 =
3 −1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一 列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2 1 4 1 D4 = 3 −1 2பைடு நூலகம்1
2 1 4 1 2行 + 1×1行 5 0 6 2
第一章 行列式
（一）行列式的定义
04184 线性代数(经管类)
13、已知
A
相似与
=
-1 0
0 2 ，则 A-E =-2
11 1 14、 3 5 6 =6。
9 25 36
15、设 A 为正交阵，则 A 1
16、 ( AB)T BT AT
17、设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=2，则|2A|= 16
18、设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解， 则|A|= 0。
解： 设 A 和 A 分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵．对 A 施以初等行变换： 1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1
A 2 2 2 2 2 1 0 0 4 2 0 1 5 5 9 8 4 5 0 0 6 2 1 0
1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 2 0 1 1 ． 0 0 2 0 1 1 0 0 0 2 2 3
2
7、设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为 AT 8、向量空间V {(x, y, 0)T R3, x, y R} 的维数等于 2。 9、向量空间V 的一组基就是向量组V 的一个极大线性无关组 10、二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 +6x22 +4x32 是正定二次型 11、设1 ， 2 ，…， n 为 n 阶矩阵 A 的行（列）向量组，则向量组1 ， 2 ，…， n 线 性相关的充分必要条件是 A 0 12、若行列式 D 中有两行（列）元素对应相等，则 D 的值为 0
1 1 23
0 1 3
22、设 A 0 1
0 2
2
，B
0
6
1
1 23
1
04184线性代数(经管类)基础知识
第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。
自考04184线性代数(经管类)讲义-自考高数线性代数课堂笔记
自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；符号叫二阶行列式，其大小规定为：例如号叫为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。
自考04184线性代数(经管类)讲义
自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
全国高等教育自学考试线性代数(经管类)(04184)2019年4月历年真题及答案讲课讲稿
全国高等教育自学考试线性代数(经管类)(04184)2019年4月历年真题及答案2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题2.应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效3.涂写部分，画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字表说明：在本卷中，表示矩阵么的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出。
1.行列式，则A.-2B.-1C.1D.22.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到矩阵C，则满足PA=C的可逆矩阵P=3.设向量可由向量组线性表出，则数a,b满足关系式A.a-b=4B.a-b=0C.a+b=4D. a+b=04.设齐次线性方程组有非零解，则数k=A.-2B.-1C.1D.25.设3阶实对称矩阵A的秩为2，则A的特征值λ=0的重数为A.0B.1C.2D.3第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
6.设某3阶行列式第2行元素分别为1，-2,3，对应的余子式为3,2，-2，则该行列式的值为7.已知行列式8.9.设n阶矩阵A满足10.设向量组的秩为2，则数a=11.与向量正交的单位向量12.设4元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为若该线性方程组有惟一解，，则数a的取值应满足13.设A为n阶矩阵，若非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解，则14.设A为n阶矩阵，且满足则A必有一个特征值为15.二次型的矩阵A=三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分16.计算4阶行列式17.设向量18.设矩阵A，B满足关系式X=XA+B，其中，求矩阵X19.求矩阵的秩和列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量由该极大无关组线性表出20.设线性方程组确定数a,b为何值时，方程组有无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）21.设矩阵判定A是否可对角化，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵A，22.求正交换x=Qy，将二次型化为标准形四、证明题：本题7分23.已知向量β可由向量组线性表出，证明：如果表示法惟一，则线性无关24.25.。
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自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9 =0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。
所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。
为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。
n阶行列式通常也简记作。
n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。
（1）在n阶行列式中，划去它的第i 行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作例如，在三阶行列式中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。
所以例1若，求：（1）[答疑编号10010103：针对该题提问]（2）[答疑编号10010104：针对该题提问]（3）[答疑编号10010105：针对该题提问]（4）[答疑编号10010106：针对该题提问]解（1）（2）（3）（4）（2）符号叫元素的代数余子式定义：（系数其实是个正负符号）例2求例1中的代数余子式（1）[答疑编号10010107：针对该题提问]（2）[答疑编号10010108：针对该题提问]（3）[答疑编号10010109：针对该题提问]（4）[答疑编号10010110：针对该题提问]解：（1）（2）（3）（4）（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）例3若计算（以上两组数相等）[答疑编号10010111：针对该题提问]解：由于与例3的结果比较，发现这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。
定义：n阶行列式即规定n阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为所以有特别情形例4计算下列行列式（1）[答疑编号10010112：针对该题提问]由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积（2）[答疑编号10010113：针对该题提问]可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积一般地可推得即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积同理有1.2行列式按行（列）展开在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值。
实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。
现在给出下面的重要定理，其证明从略。
定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即（i=1,2,…,n）（1.8）或（j=1,2,…,n）（1.9）其中，是元素在D中的代数余子式。
定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即（i=1,2,…,n）（1.8）或（j=1,2,…,n）（1.9）其中，是元素在D中的代数余子式。
（1.9）（1.8）式称为D按第i行的展开式，式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2,…上述展开定理也可以表示成（i=1,2,…,n）（j=1,2,…,n）这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号以及它后面的余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素（特别是）抄写下来。
根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。
特别情形（1）（2）例5计算[答疑编号10010201：针对该题提问]解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积例5的结果可推广为我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。
例6计算[答疑编号10010202：针对该题提问]解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开例7计算[答疑编号10010203：针对该题提问]解：将按第6行展开得例8计算（1）[答疑编号10010204：针对该题提问]解：按第4行展开（2）[答疑编号10010205：针对该题提问]解：将D按第一行展开（重新分组后得出）1.3行列式的性质与计算因为n阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800。
所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。
下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。
1.3.1行列式的性质将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n列，仍得到一个n阶行列式，这个新的行列式称为D 的转置行列式，记为或。
即如果则性质1行列式和它的转置行列式相等，即或根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。
凡是对“行”成立的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。
所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。
（运用最多）性质2用数k乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。
这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：证将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k，即得右边的值：注意如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。
例1计算行列式：[答疑编号10010206：针对该题提问]解=30（4+6+5-2-4-15）=30（-6）=-180在例1的计算过程中，我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3，得到第一个等号右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公因数5，把行列式中各元素的绝对值化小以后，再求出原行列式的值。
例2[答疑编号10010207：针对该题提问]因为所以原式=4abcdef这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f，第二个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e，化简后再求出其值。
例3计算行列式：在行列式D的每一行中都提出公因数（-1）并用行列式性质1可以得到[答疑编号10010208：针对该题提问]因为行列式D是一个数，所以由D= -D，可知行列式D=0。
用这种方法可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。
即若是反对称行列式，则它满足条件（运用最多）性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。
即对于如下两个行列式有根据这个性质可以得到下面的重要推论：推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。
因为互换行列式D中的两个相同的行（列），其结果仍是D，但由性质3可知其结果为-D，因此D=-D，所以D=0。
性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。
证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到的，则由于将行列式D中第j行的比例系数k 提到行列式的外面来以后，余下的行列式有两行对应元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零。
行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证明。
例4验算x=3是否是方程的根。
[答疑编号10010209：针对该题提问]解：因为（第二行与第四行成倍数）∴x=3是方程f(x)=0的根。
性质5行列式可以按行（列）拆开，即证将左边的行列式按其第i行展开即得这就是右边两个行列式之和。
（运用最多）性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D。
即：例5证明：的充要条件是k=1或k=±2[答疑编号10010301：针对该题提问]证因为（第一行的数乘与（-1）加到第二行上去）所以，D=0的充要条件是k=1或k=±2。
此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换），即第一步中的②+（-1）×①表示将第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。
根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：定理1.3.1n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即，（1.10），（1.11）1.3.2行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法。
（1）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。
此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k。