第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
留数定理在定积分中的应用
留数定理在定积分中的应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文介绍留数定义和留数定理以及一些改进的留数计算方法，并讨论了留数理论在定积分计算中的应用。
关键词 留数定理；定积分；应用1． 留数定义定理及其他一些定理1．1 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．1．2 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1 []1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．2．留数定理在计算积分中的应用2．1 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
5.3_留数在定积分计算中的应用
K
故，我们得到
R iax R CR
0
iaz
Jordan引理3.1见下页
K
R ( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
k 1
从上面可以看出 本方法可以计算下列形式的积分： ,
R
R
R( x ) cos axdx R( x ) sin axdx ，
于是 1 p2 1 p4 I 2i 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 )
6
(2) 形如 R( x)dx的积分
(有理函数积分)
（1） 被积函数与某一个解析函数相关联.
用z替换 x
要求！！
z n a1 z n 1 a n (1) 设R ( x ) R ( z ) m , m n 2. m 1 z b1 z bm 且 R ( z )在实轴上没有奇点.
用z替换 x
且 R ( z )在实轴上没有奇点.
（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分.
取积分路线如图，则构成了一个 闭路C C R [ R, R ], 使得R ( z )e
iaz
(2)
z2 zK
CR
z1
-R
R
在上半平面内所有的奇点都含于C内.
于是，有
R
R
R( x )e dx R ( z )e dz 2i Re s[ R ( z )e iaz , z k ]
函数R( z )在上半平面内的所有奇点为z ai, 且都为一级极点.
ze iz ea Re s[ R( z )e , ai] lim ( z ai) z ai ( z ai)( z ai) 2 于是，有
留数在定积分计算中的应用
留数在定积分计算中的应用
作者：何裕平
来源：《科技风》2019年第25期
摘要：将留数定理应用在定积分计算中是一種较新的计算方法，能够将实积分转变为复积分，降低计算难度和繁琐程度，保证计算效率。
本文将结合具体立体，对留数定理在定积分计算中的应用进行分析。
关键词：定积分;反常积分;函数
留数定理由柯西积分定理及公式推广而来，可被用于解析函数中，某闭曲线路径积分的计算，也能在实积分的计算中使用。
这一计算过程就被称为围道积分法。
计算过程中，将实积分转变为复积分，根据留数定理，再将其转换为对留数的计算，化简整个过程。
留数在定积分计算中的应用需要满足以下条件：被积函数必须和某个解析函数相关，且该定积分能够被转换成沿闭路的积分。
下面将结合具体例题，分析留数定理的应用。
参考文献：
[1]朱传喜.复变函数与积分变换.江西高校出版社.
[2]钟玉泉.复变函数论.高等教育出版社.
作者简介：何裕平（1965-），男，汉族，硕士，高级讲师，研究方向：数学。
留数在定积分计算上的应用
2
f z dz 2 i Re s f z , z k 其中C为单位圆： z 1 正向.
C k 1
n
zk k 1,2,, n 为包含在C内的f(z)的孤立奇点.
f(z)为z的有理函数,且在C上分母不为零,满足留数定理的条件,而
例1 计算I
为了使积分路线不通过奇点,取图示路线。
按照柯西-古萨基本定理,有
e e e e C R z dz R x dx Cr z dz r x dx 0
r R
iz
ix
iz
ix
从而上式中
r e R ix
ix e R r e r e dx ， 令 x t， 则 R dt r dx R x t x
0
i Re sRz , zk
1 R x dx R x dx 2
应用公式 R x dx 2 i Re sRz , zk 要注意:
(1) R(x)中分母的次数至少比分子的次数高二次.并且R(z)在实轴 上没有孤立奇点. (2)zk是 R(z)所有的在上半平面内的奇点. 2 x dx .a 0, b 0的值。 例2 计算积分 I 2 2 2 2 x a x b [解] 这里 m 4, n 2, m n 2， z2 并且实轴上Rz 2 z a 2 z 2 b 2 没有孤立奇点,因此积分是存在的。
aRsin e d 0
2 ay e ds z
aR
2 2
0
2 1 e aR aR
y 1
2
y
2
第5章 留数
则有Res[f (z),∞]=-C-1
注意
z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)
在z=∞的留数也未必是0，这是同有限点的留
数不一致的地方。
方法2
1 1 Res f ( z ), Res f ( ) 2 ,0 z z
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是 的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表 示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章 留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章 留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。 注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内
那么dz=ieiθdθ,
2 1 i z 1 sin (e e i ) 2i 2iz 2 1 i z 1 cos (e e i ) 2 2z
从而，所设积分化为沿正向单化周围的积
分：
z 2 1 z 2 1 dz R , 2z 2iz iz z 1
(2)f (z)在z0点的某空心邻域 0 z z0 R 内能 表成
五章 留数及其应用
第五章留数及其应用§1. 孤立奇点一.孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义：若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点.一.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.<1） <2）<3）<4）注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.2. 孤立奇点的分类设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.说明: (1>为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数.(2> 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读.3. 孤立奇点的类型的判断(1> 可去奇点的判定方法定理1设在点的某一邻域内解读,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1’设是的孤立奇点,则为的可去奇点的充分必要条件是:在内有界.(2> 极点的判定方法结论：是的m阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读,且.定理2设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m为正整数.(3> 本性奇点的判定方法定理3设在点的某一邻域内解读,则为的本性奇点的充要条件是:极限与均不成立.一.判断下列函数的奇点的类型：<1） <2）<3）二. 函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得,其中在点解读且,则称为的m阶零点.定理4若在点解读,则为的m阶零点的充要条件是:但一.判断函数的零点及其阶数.定理5 若为的m阶极点,则为的m阶零点.反之亦然.一.判断函数的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数在无穷远点的邻域内解读,则称无穷远点为的孤立奇点.设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.定理6设在区域内解读,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷.一.判断下列函数的奇点的类型：<1）<2）<3）<4）例6. 判断函数的孤立奇点的类型.§2. 留数一.留数的概念及留数定理定义：设为解读函数的孤立奇点,其洛朗展式为,称系数为在处的留数,记作Res.例6求在孤立奇点0处的留数.例7求在孤立奇点0处的留数.例8求在孤立奇点0处的留数.定理7(柯西留数定理> 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解读,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题.例9 计算积分.二. 函数在极点的留数法则Ⅰ如果为的简单极点,则Res.例10 求在各孤立奇点处的留数.法则Ⅱ设,其中在点解读,如果为的一阶零点,则为的一阶极点,且例11 求在的留数.法则Ⅲ如果为的m阶极点,则Res.例12求在孤立奇点0处的留数.例13 计算积分例14 计算积分三. 无穷远点的留数定义：设函数在区域内解读,即为函数的孤立奇点,则称为在的留数,记作Res.定理8如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点>,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则Ⅳ(无穷远点的留数> 若为函数的孤立奇点,则Res Res.例15 求在它各有限奇点的留数之和.例16计算积分其中C为正向圆周§3. 留数在定积分计算中的应用一.形如的积分思想方法:把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作:1> 积分区域的转化,2> 被积函数的转化.当从0到时,z沿单位圆的正向绕行一周.例17 计算的值.二. 形如的积分设为复函数的实值形式,其中满足条件:(1> 。
留数在定积分计算中的应用
p]
lim
z p
(
z
p)
1 z4 2iz2(1 pz)(z
p)
因此
1 2ip2 (1
p4 p2
, )
I
2π
i
1 p2 2ip2
1 2ip2 (1
p2 p2 )
2π 1
p2 p2
.
例2
计算
π
0
1
dx sin 2
. x
解
π
0
1
dx sin 2
x
π
0
1
1
dx cos
2x
0π 2
d2 x 1 cos
2
x
2
令 2x t,
02 π
3
dt cos
t
1
z 1
3
(z2
1)
dz 2z 2
6
z
. 1
极点为 : z1 3 2 2
z2 3 2 2
CR Q(z)
0
P(R ei Q( R
)iR ei ei )
d
;
由于分母Q(z)的次数比分子P(z)的次数至少高两次,则
zP(z) 0, 当z 时. 即 Q(z)
P( R ei )R ei Q(R ei )
0,
当z
R 时.
从而
R :
R(z)dz 0 ;
m ema. 4a
注意 以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴
数学物理方法讲义05定积分计算
Chapter 5 定积分计算Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations)1．留数的定义：设0z 是函数)(z f 的孤立奇点(isolated singularity)，即除过0z z =点以外函数)(z f 是解析的，则)(z f 在0z 的留数定义为()01Res ()d 2cf z f z z iπ=⎰，其中c 为绕0z的闭曲线（⎰c积分沿正方向进行）且内部无其它奇点，记号为0)(Res z z z f =或)(Res 0z f .（1）有限远孤立奇点的留数：)(z f 在0z 邻域)0(0r z z <-<内（不含其它奇点）的罗朗级数（Laurent series ）展开的 1-次幂项10)(--z z 的系数1-a 称为)(z f 在奇点0z 的留数。
即()011Res ()d 2cf z f z z aiπ-==⎰.此定义基于如下的事实：()∑∞-∞=-=k kk z z a z f 0)(，其中 101()d 2()k k c f z a z iz z π+=-⎰.令函数)(z f 沿以孤立奇点0z 为中心的一个圆周c 积分()()∑⎰⎰∑⎰∞-∞=∞-∞=-=-=k c kkck kkcz z z a z z z a z z f d d d )(0，而()02 (1)d 0 (1),kc i k z z z k π=-⎧-=⎨≠-⎩⎰ 所以 1()d 2cf z z ia π-=⎰.可见，级数中仅仅()101---z z a 项对积分有贡献，积分后唯有1-a 这个系数留下来，故名之为留数(residue).（2）无穷远点的留数：)(z f 在以00=z 为中心，环∞<<z R 内（不含其它奇点）的罗朗级数展开的1-次幂项10)(--z z 的系数1-a 的反号称为)(z f 在∞点的留数。
留数在定积分计算上的应用
z2 (z2 + a2 )(z2 + b2 )
的一级极点为± , , 在上半平面内. 的一级极点为±ai, ±bi, 其中 ai 与 bi 在上半平面内.
11
z2 Res[R(z), ai] = lim(z − ai) 2 2 2 2 z→ai (z + a )(z + b ) 2 −a a = , 2 2 = 2 2 2ai(b − a ) 2i(a − b )
6
2. 形如 ∫−∞ R( x)d x 的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函 是 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在 在 实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 不失一般性, 不失一般性, 设
2 ∞
在∫
+∞
0
2.∫ sin x d x = ∫
0
∞
0
1 π cos x d x = 2 2
2
17
−∞
R , 如果 ( x)为偶函数
∫
+∞
0
R( x)d x = πi∑Res[R(z), zk ]
10
例计算下列积分： 例计算下列积分：
x2 I =∫ dx(a > 0, b > 0) 2 2 2 2 −∞ ( x + a )( x + b )
+∞
的值. 的值. =4,n=2, =2,并且实轴 没有孤立奇点, [ 解] 这里 m=4, =2, - n=2, 并且实轴上 R(z)没有孤立奇点, =4, =2,m- =2, 并且实轴上 没有孤立奇点 因此积分是存在的. 函数 因此积分是存在的.
第五章 留数
z z0
lim f ( z ) lim F ( z ) F ( z0 ) c0 ,
z z0
5
所以不论f(z)原来在z0是否有定义, 如果令
f(z0)=c0, 则在圆域|z-z0|<d内就有
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,
其中 g(z)在 z0 解析, 且 g(z0)0. 所以当 zz0 时, 有 1 1 m m ( z - z0 ) ( z - z0 ) h( z ) f ( z) g ( z)
15
函数h(z)也在z 解析, 且h(z )不等于 0，z 不 是h(z)的零点， 因此z 是1/f(z) 的m级零点. 逆命题证明过程类似。
17
注意不能一看函数表面形式就急于作结论. 像函
e z -1 数 z 2 , 初看似乎 z=0 是它的 2 级极点, 其实是一
级极点. 因为
ez -1 1 z n 1 1 z 1 2 - 1 j ( z ), 2 z z z n 0 n! z 2! 3!
其中j(z)在 z=0 解析, 并且j(0)0.
18
4. 解析函数在无穷孤立奇点的性质 如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域 R<|z|<内解析, 称点为f(z)的孤立奇点.
1 作变换 t z , 并且规定这个变换把扩充 z 平面上的
无穷远点 z=映射成扩充 t 平面上的点 t=0, 则扩充 平面 z 上每一个向无穷远点收敛的序列{zn}与扩充
3 5 2 n 1
26
§5.2 留数
留数及其应用
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有 1 1 1 1 z , ( 0 | z | ) . f (z) e 1 2 n z 2! z n! z
(含无穷多个负幂次项)
f ( z ) lim 解 z 1 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim z 0 z 0
m (2) 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) , ( z ) 在 z0 处解析且 ( z0 ) 0 ,
则称 z z0为 f ( z ) 的 m 阶零点。
对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。
即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
sin z 1, 解 z 0 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim f ( z ) lim z 0 z 0 z 可知，z 0 是 f ( z ) 的可去奇点。
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有
sin z 1 1 3 1 5 f (z) ( z z z ) z z 3! 5!
z z0
lim f ( z ) c (常数)；
lim f ( z ) ; (该条件只能判断是极点) zz
0
1 f (z) [ a N a N 1 ( z z0 ) ]; N ( z z0 )
z z0
(3) 本性奇点
lim f ( z ) 不存在且不为 .
且 ( z0 ) 0 , 则 z0 为 f ( z ) 的 N 阶极点。
事实上， z0为 f ( z ) 的 N 阶极点的充要条件(即定义)为：
§5.1 孤立奇点 §5.1.5 极点阶数判别方法
第5章2留数定积分计算上的应用
x2
( x2 a2 )( x2 b2 ) d x
解
原式=2
i
{Res[ ( z 2
z2 a2)
(z2
b2 )
, ai ]
z2
Res[ (z2 a2 ) (z2 b2 )
, bi
]}
2
i[
2z
z2 (z2
b2
)
za
i
z 2 (z2 a2)
]
zb i
上半 在
平i(面b内2ai的a奇2 点
aa2ib,i
1
z4 2z2 1 d z 的奇点为 0, 1
4i |z|1 z2 (2z2 5z 2)
2
2
[
(
z4 2z2 2z2 5z
1) 2
z0
z4 z2
令2z
2
z
1e
i
,
(4z 5)
z
z2
则 1 ]
21
( 5 3)
sin 2zi
2 44 4
4
2. 设 Q( x) 与 P( x) 为 互质 多项式， Q( x)的次数 比 P( x) 的次数 至少高二次
d x 11
0x
2
例7
计算
0
x sin 2 x 1 x4
dx
解
x cos 2x ix sin 1 x4
2x
d
x
x ei2 x d x 1 x4
2
i(Res[1ze
i2z
z4
i
,e 4
]Res[
z ei2z 1 z4
i 3
,e 4
])
) 2 i
1 (4z2
ei2z
5-第五章-留数定理
因此
z ez
e e1
C
z2
dz 1
2 π i( 2
) 2 πi ch1 2
： 我们也可以用规则III来求留数
| Res[ f (z),1] z ez e ; 2z z1 2
| Res[ f (z),1] z ez e1 . 2z z1 2
这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。
z
例7
环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分
1
2π i f (z) d z C
称其为f (z)在点的留数，记作
1
Res[ f (z), ]
f (z)d z
2i C
这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然
地可以看作是围绕无穷远点的正向。
将 f (z)在 R<|z|<+∞内的罗朗展式为
f
(z)
z 4z3
1 4z2
,故z1111C源自z4d 1z
2π
i( 4
4
4
4)
0
Ñ 例 8
计算积分
C
ez z(z 1)2
dz,
C
为正向圆周|z|=2.
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
Res[ f (z),0] lim z0
z
ez z(z 1)2
lim z0
ez (z 1)2
1.
一、 留数的定义
定义 若f (z)在去心邻域 0 z z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z z0内 包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z)d
z
53留数在定积分计算中的应用
1 z4 d 2 z (3) 解 Res[ f ( z ) , 0 ] lim 留 z 0 d z 2 i z 2 (1 pz ) ( z p) 数 及 ( z pz 2 p p 2 z ) 4 z 3 (1 z 4 ) (1 2 pz p 2 ) 其 lim 应 z 0 2 i ( z pz 2 p p 2 z ) 2 用 1 p2 , 2 2i p
cos 2
ei 2 e i 2
2
z 2 z 2 , 2
4
§5.3 留数在定积分计算中的应用 第 五 章
Hale Waihona Puke 留 解 (2) I | z | 1 数 及 其 1 z4 应 d z f (z) d z . 2 2 i z (1 pz ) ( z p) 用 | z | 1 | z | 1
π 3 x ei x d x e (1 3i ) (cos 1 i sin 1) . 2 3 x 2 x 10 π 3 x cos x d x e (cos 1 3 sin 1) ; 2 3 x 2 x 10 π 3 x sin x d x e ( 3 cos 1 sin 1) . 2 3 x 2 x 10
12
§5.3 留数在定积分计算中的应用 第 五 章 留 数 及 其 应 用
解 (1) 记 I1 2 I
z2 x2 , d x , 令 R( z ) 4 4 z 1 x 1
π i 4 ,
在上半平面内， z1 e
2
z2 e
3π i 4
为两个一阶极点。
π i 4 ,
2
2
1 1 π 1 5 I I1 2 πi . (实数) 4 i 12 i 2 2 6
第5章：留数理论及其应用
[
]
16
四、本性奇点处留数的计算 对本性奇点或奇性不明的奇点，没有一般的公式， 只能作Laurent展开，然后取负一次幂的系数！当 极点的阶数较高时，也直接作Laurent展开求留数。 例
cos x = ( z + z ) / 2; sin x = ( z − z ) /( 2i ); dx = dz /(iz )
21
−1
−1
原积分变成
z + z −1 z − z −1 dz , I= R iz | z |=1 2 2 i
∫
• 0 y
• 2π
x
z平面 1 o • x
例题：计算积分
I=
∫
2π
0
cos 2ϑ dϑ , (0 < p < 1). 2 1 − 2 p cosϑ + p
分析：因 1-2pcosϑ+p2=(1-p)2+2p(1-cosϑ)，当0<p<1, 在 0≤ϑ ≤2π, 分母大于0， 因而在实轴上无零点。
22
cos 2ϑ = ( e 2iϑ + e −2iϑ ) / 2 = ( z 2 + z −2 ) / 2
1 Resf ( z0 ) ≡ f ( z )dz ∫ 2πi C
为函数f(z)在奇点z0处数f(z)在奇点 z0处作Laurent展开
f ( z) =
n = −∞
∑
∞
an ( z − bk ) n
利用公式
0, (C 不包围z0 ) 1 dz = ∫ 2πi C z − z0 1, (C 包 围 z0 ) 1 n ( z − z ) 0 dz = 0. (n ≠ −1) ∫ 2πi C
留数在定积分计算上的应用.ppt
)
,
I
2
π
i
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2
(1
p2)
2π 1
p2 p2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算 I
dx ,
0 1 cos 2x
0 1的值.
解：令 2x , d 2dx; x :0 , :0 2
z2 z2
1
dz
1 z4
I |z|1
2
1
2
p
z
z 1
p2
iz
|z|1 2iz2 (1 pz)(z p) dz |z|1 f (z)dz
2
z2 z2
1
1
{
2
1 2 p
z z1 p2
iz
2
z4 1
1
z4 1
1
2iz2 z pz2 p p2z 2iz2 z(1 pz) p(1 pz)
z
| 足够大时)
R(z)d z | R(z) | d s M π R M π 0
CR
CR
R2
R
R
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此
R(x)d x 2 πi
Res[R(z), zk ].
如果R( x)为偶函数,
R(x)d x 1
2.
形如 R(x)d x的积分
当被积函数 R(x)是 x 的有理函
数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)
在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
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个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
eiz 例1、求函数f ( z ) 在孤立奇点处的留数. 2 1 z
函数在极点处留数的计算：
（一阶极点的情形） 法则Ⅰ
如果z0为f ( z )的一阶极点，则 Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
设z0是f ( z )的一阶极点，则在去掉中心z0的 1 某一圆盘内有 f ( z ) ( z ), z z0 z z0
Res[ f ( z), z1 ] Res[ f ( z), z2 ] Res[ f ( z), zn ]
即
C
f ( z)dz 2i Res[ f ( z), z ]
k 1 k
n
C
f ( z)dz 2i Res[ f ( z), z ]
k 1 k
n
注1
C1 C2 Cn
C
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
C1 C2 Cn
两边同时除以2得， i
1 1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2i C 2i C1 2i C2 2i Cn
z z0
如果容易求出 ( z )的泰勒展式，那么由此 可得 Res[ f ( z ), z0 ] 0 .
否则，需采用其它方法求留数.
法则Ⅱ
P( z ) 设f ( z ) ，其中P ( z )、Q( z )在z0 Q( z ) 处解析，如果P ( z0 ) 0，z0为Q( z )的 一阶零点，则z0为f ( z )的一阶极点， 且 P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] . Q( z0 )
其中， ( z )在该圆盘内包括z z0处解析， 其泰勒展式是 ( z ) n ( z z0 ) n，
n0
且 0 ( z0 ) 0
显然，在f ( z )的洛朗级数中， ( z z0 )1的系数 等于 ( z0 ).
Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
C2
C
证明:
把在C内的孤立奇点zk
D
zn C n C3 z 3 C2 z1 z2 C1
(k =1,2,...,n)用互不包
含的正向简单闭曲线 Ck围绕起来, 则根据 复合闭路定理有
C
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
z i
1 iz Res[ f ( z ), i] e 2z
z i
（高阶极点的情形）
法则Ⅲ
如果z0为f ( z )的m阶极点，则 Res[ f ( z ), z0 ] 1 d m lim m1 [( z z0 ) f ( z )] (m 1)! z z0 dz
第五章 留数及其应用
正确理解留数概念、留数定理
掌握留数的计算法
掌握留数在定积分计算中的应用
第一节 留数一般理论
正确理解函数在孤立奇点的留数
概念
掌握并能应用留数定理
掌握留数的计算法，特别是极点
处留数的求法
一、留数的概念
设函数f(z)在点z0解析。作圆 C :| z z0 | r 使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析。 根据柯西定理，
解：函数有两个一阶极点z i，
按法则I， e i Res[ f ( z ), i] lim( z i) , 2 z i 1 z 2e e ie Res[ f ( z ), -i] lim( z i) . 2 z i 1 z 2
iz iz
按法则II， 令P( z ) eiz，Q( z ) 1 z 2 . 则P( z )和Q( z )在 i处解析，且此时P( z ) ０， P( z ) 1 iz 而 i为Q( z )的一阶零点.由 e， Q '( z ) 2 z 1 iz 可得 Res[ f ( z ), i] e 2z i , 2e ie . 2