第五章 留数 留数在定积分计算中的应用

其中， ( z )在该圆盘内包括z z0处解析， 其泰勒展式是 ( z ) n ( z z0 ) n，
n0
且 0 ( z0 ) 0
显然，在f ( z )的洛朗级数中， ( z z0 )1的系数 等于 ( z0 ).
Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
函数在极点处留数的计算：
（一阶极点的情形） 法则Ⅰ
如果z0为f ( z )的一阶极点，则 Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
设z0是f ( z )的一阶极点，则在去掉中心z0的 1 某一圆盘内有 f ( z ) ( z ), z z0 z z0
z z0
如果容易求出 ( z )的泰勒展式，那么由此 可得 Res[ f ( z ), z0 ] 0 .
否则，需采用其它方法求留数.
法则Ⅱ
P( z ) 设f ( z ) ，其中P ( z )、Q( z )在z0 Q( z ) 处解析，如果P ( z0 ) 0，z0为Q( z )的 一阶零点，则z0为f ( z )的一阶极点， 且 P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] . Q( z0 )
解：函数有两个一阶极点z i，
按法则I， e i Res[ f ( z ), i] lim( z i) , 2 z i 1 z 2e e ie Res[ f ( z ), -i] lim( z i) . 2 z i 1 z 2
iz iz
按法则II， 令P( z ) eiz，Q( z ) 1 z 2 . 则P( z )和Q( z )在 i处解析，且此时P( z ) ０， P( z ) 1 iz 而 i为Q( z )的一阶零点.由 e， Q '( z ) 2 z 1 iz 可得 Res[ f ( z ), i] e 2z i , 2e ie . 2
C1 C2 Cn
C
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
C1 C2 Cn
两边同时除以2得， i
1 1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2i C 2i C1 2i C2 2i Cn
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一Fra Baidu bibliotek
第五章 留数及其应用
正确理解留数概念、留数定理
掌握留数的计算法
掌握留数在定积分计算中的应用
第一节 留数一般理论
正确理解函数在孤立奇点的留数
概念
掌握并能应用留数定理
掌握留数的计算法，特别是极点
处留数的求法
一、留数的概念
设函数f(z)在点z0解析。作圆 C :| z z0 | r 使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析。 根据柯西定理，
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[ f ( z), z1 ] Res[ f ( z), z2 ] Res[ f ( z), zn ]
即
C
f ( z)dz 2i Res[ f ( z), z ]
k 1 k
n
C
f ( z)dz 2i Res[ f ( z), z ]
k 1 k
n
注1
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
eiz 例1、求函数f ( z ) 在孤立奇点处的留数. 2 1 z
z i
1 iz Res[ f ( z ), i] e 2z
z i
（高阶极点的情形）
法则Ⅲ
如果z0为f ( z )的m阶极点，则 Res[ f ( z ), z0 ] 1 d m lim m1 [( z z0 ) f ( z )] (m 1)! z z0 dz

C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n

C
f ( z )dz 2i Res[ f ( z ), zk ]
k 1
留数定理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
C2
C
证明:
把在C内的孤立奇点zk
D
zn C n C3 z 3 C2 z1 z2 C1
(k =1,2,...,n)用互不包
含的正向简单闭曲线 Ck围绕起来, 则根据 复合闭路定理有
C
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz