电磁场与电磁波(第6章正弦电磁波传播)
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定义复矢量
Em a x E xm a y E ym a z E zm
E ( x, y , z , t ) E m
二、复数形式的麦氏方程 电场强度复矢量对时间的微分和积分可表示为
E Re(Em e jt ) Re ( Em e jt ) Re( jEm e jt ) t t t
式中
k 2 2
◇ ◇
用复数形式研究时谐场称为频域问题。
称为正弦电磁波的波数
复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。
例 在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为
3 E ( z, t ) a y 10 sin(t z )
求波的磁场分量 H ( z, t )
所以电场分量满足方程。
（2）画波形
6.2
理想介质中的均匀平面波
平面波——等相位面为平面的电磁波；理想介质的概念 ◇ 均匀平面波——平面等相位面上，场强大小、方向、相位处处相等的电磁波。 ◇ 均匀平面波是一种理想情况。 一、均匀平面波的波动方程及其解 在正弦稳态下，均匀各向同性理想
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 x 2 y 2 z 2 k E x 0 介质中的无源区域内，亥姆霍兹方程 2 2 2 E E Ey y y 2 2 E k E 0 2 2 2 k 2Ey 0 y z x 2E 2E 2E 2 2 z 2z 2 z k E z 0 y z x
磁场、电场与波传播方向的矢量关系
1 H az E
坡印廷矢量为
电场能量密度为 磁场能量密度为
* k 1 2 2 S E H az ( Em ) a z ( Em )
we
wm
E
H
2
2
22
电场能量密度与磁场能量密度满足关系
2 E 2 wm E we 2 2 2 H 2
得
1 E x H j z y
ay y 0
az j(a x H x a y H y a z H z ) z 0
1 H az E
将 E E e
x jkz m
k
jkz 1 E e Ex m
6.1 正弦电磁场 6.2 理想介质中的均匀平面波 6.3 电磁波的极化 6.4 6.5 媒质的损耗及分类 波在有耗媒质中的传播
6.6 电磁波的群速与色散失真
6.1
一、时谐量的复数表示
正弦电磁场
电磁场随时间作正弦变化时，电场强度分量可表示为
E( x, y, z, t ) ax Exm ( x, y, z) cos[t x ( x, y, z)] a y E ym ( x, y, z) cos[t y ( x, y, z)] a z Ezm ( x, y, z) cos[t z ( x, y, z)]
解：
四、复数形式的坡印廷矢量
坡印廷矢量
S E H ——坡印廷矢量的瞬时值
对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值——平均坡印廷矢量
' '' 介质的复特性：介电常数为： c j
导磁率为： c ' j ''
按照前面相同的方法可得
1 * 1 1 1 1 1 E H ds ( E 2 '' E 2 '' H 2 )d j ( ' H 2 ' E 2 )d s2 2 2 2 2 2 S ds (Pm Pe PT )d j 2 (wm平均 we平均 )d
s
复数的坡印廷矢量 S
与磁介质有关的项 与电介质有关的项
1 1 1 S av E H * Re( E H * ) j Im( E H * ) 2 2 2 1 1 1 1 j c H H * j ( ' '' ) H H '' '' H 2 j ' H 2 2 2 2 2
Bm 0
Dm
H J j D
结论：对于正弦电磁场的求解，我们可根据
E j B
B 0
给出的源写出其复矢量和复数，然后利用麦 克斯韦方程组的复数形式求出场的复矢量，
D
再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达
沿+z方向传播的波 （3） 传播特性 将第一项写为瞬时值形式
jkz j t E x z, t Re E e e E cos t kz m m
沿-z方向传播的波
均匀平面波的瞬时表示
在研究该均匀平面波 的时空变量时有两种方式。时间观察方式是在固定 的空间位置观察变量随时间的变化。空间观察方式是在不同的确定时刻观 察变量随空间坐标的变化，就象多次拍照。 采用时间观察方式，将注意力集中到空间的一固定点上，如 z 0 。这 cost 。 时电场可表示为 Ex z, t Em 波形每隔 2m 重复一次，因 Ex 此定义时间周期
2 106 rad / s
，再画出在 t 0 和 t t1时的波形。
解（1）要证明电场分量是亥姆霍兹方程式的解，可将电场分量的波函数代 入亥姆霍兹方程
2 Ek E 0
2
由于电场分量只有y方向的分量
而
Ey
2
2 Ey z
2
k 2 Ey 0
z
2
k 210sin(t z ) k 2 E y
而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。 例 在自由空间中，验证正弦电磁波的电场分量
E a y 10sin(kz t )
是亥姆霍兹方程式的解，其中 k 0 0 ；若正弦电磁波的角频率为 106 rad / s ，当波用时间 t1 前进 / 8 时，画出在 t 0 和 t t1 时的波形；若波的角频率变为
设电场平行于x轴，向z方向传播即
2 Ex k 2 Ex 0 得 2 z jkz jkz Ex Em e Em e 其解
E ax Ex ( z, t )
二、波的传播特性讨论： （1） Em , Em 由激励此波的源决定。 （2）
jkz jkz Ex Em e Em e
jkz Em e
将 k
磁场分量的时域表示 1 H a y Emx cos(t z )
Ex Hy
——媒质的本征阻抗
Hx H z 0
对于自由空间 磁场分量的频域表示 jkz 1 jkz 1 0 0 120 377 H ay Eme a y Eme az E 0
这是一个沿+z方向匀速前进的正弦波
z
0
可看作固定于波形上的某
一点，在数学上该点对应于
t kz const
不同时刻 Ex 的波形
此点以匀速沿+z方向传播，波的传播 速度称为相速度。由下式决定
dz v dt k
将 k
k
v
1
1 F /m 0 36109 自由空间 4107 H / m 0
第 6 章
正弦平面电磁波
◇ 麦氏方程及由它导出的波动方程对任意方式随时间变的电磁场都适用。 ◇ 随时间作正弦变化的电磁场称为时谐场。 ◇ 在一定条件下任意方式随时间变化的电磁场可展为时谐正弦分量的傅里 叶级数。 ◇ 波动无界空间中方程解之一——均匀平面波。 ◇ 该电磁波在无界空间无耗媒质中的传播特性。 ◇ 该电磁波在无界空间有耗媒质中的传播特性。
T 2
s
O
2
3
t
每一秒钟时间波形变化的 周期数即是频率
f 1 T 2
Hz
称为角频率
采用空间观察方式，可令 t 0 。这时电场可表示为
Ex cos kz Em cos kz z, t Em
Ex
波形每隔 2m 重复一次，因 此定义空间周期，又称波长
正弦源和也可表为
D t
jt E Re( Em e ) Re( Em e jt )
H J
J Re( J m e jt )
e jt ) Re(
H m J m jDm E m j B m
8 得自由空间中电磁波的相速度 v c 3 10 m / s
jkz 对于 Ex Em e ，它表示以相同速度v 沿（-z）方向传播的正弦波。
（4） 平面波电场和磁场的关系
与E 相伴的磁场H 可由 E j H 求得
ax E x Ex
欧拉公式
e jt ) Ex Re(Exme j (t x ) ) Re(E xm
E y Re(E yme
j (t y )
e jt ) ) Re(E ym
e jt ) Ez Re(Ezm e j (t z ) ) Re(E zm
jt E ( x, y, z, t ) Re[(ax E a E a ] xm y ym z Ezm )e
结论：沿方向传播的均匀平面波，若电场在方向，则磁场在方向，电场与 磁场总相互垂直，并垂直于波的传播方向，电场、磁场、波的传播方向三 者满足右手螺旋关系。电场与磁场处处同相，在传播过程中波的振幅不变，
电场与磁场的振幅之比取决于媒质特性，空间中电场能量密度等于磁场能量
密度。
理想介质中的均匀平面波的传播特性： ◇ 电场与磁场的振幅比为
2 k
m
O
2
3
kz
每 2 空间距离波形变化的 周期数即是波数
k 2
1/m
cos t kz 可知，其时空特性分别 由均匀平面波的表示式 Ex z, t Em k 依赖于角频率 和波数 。
相速度
Ex
t 0
பைடு நூலகம்t
4
t
2
式。
三、复数形式的波动方程——亥姆霍兹方程
波动方程
2 E E 2 0 t
2
得
设为时谐场 2 2 jt Em jt E 2 Re 2 e Re Em e 2 t t
2 E k 2 E 0 亥姆霍兹方程 同理 2 H k 2 H 0
导电媒质的焦耳损耗
1 * * 1 1 1 j c E E j ( ' '' ) E E '' '' E 2 j ' H 2 2 2 2 2 1 PT E 2 2
结论：流进闭合面内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；
jt 1 jt jt E dt Re( E e ) dt Re E e dt Re m m j Eme
电场强度复矢量的散度和旋度可表示为
jt E Re( Em e ) Re( Em e jt )
Em a x E xm a y E ym a z E zm
E ( x, y , z , t ) E m
二、复数形式的麦氏方程 电场强度复矢量对时间的微分和积分可表示为
E Re(Em e jt ) Re ( Em e jt ) Re( jEm e jt ) t t t
式中
k 2 2
◇ ◇
用复数形式研究时谐场称为频域问题。
称为正弦电磁波的波数
复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。
例 在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为
3 E ( z, t ) a y 10 sin(t z )
求波的磁场分量 H ( z, t )
所以电场分量满足方程。
（2）画波形
6.2
理想介质中的均匀平面波
平面波——等相位面为平面的电磁波；理想介质的概念 ◇ 均匀平面波——平面等相位面上，场强大小、方向、相位处处相等的电磁波。 ◇ 均匀平面波是一种理想情况。 一、均匀平面波的波动方程及其解 在正弦稳态下，均匀各向同性理想
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 x 2 y 2 z 2 k E x 0 介质中的无源区域内，亥姆霍兹方程 2 2 2 E E Ey y y 2 2 E k E 0 2 2 2 k 2Ey 0 y z x 2E 2E 2E 2 2 z 2z 2 z k E z 0 y z x
磁场、电场与波传播方向的矢量关系
1 H az E
坡印廷矢量为
电场能量密度为 磁场能量密度为
* k 1 2 2 S E H az ( Em ) a z ( Em )
we
wm
E
H
2
2
22
电场能量密度与磁场能量密度满足关系
2 E 2 wm E we 2 2 2 H 2
得
1 E x H j z y
ay y 0
az j(a x H x a y H y a z H z ) z 0
1 H az E
将 E E e
x jkz m
k
jkz 1 E e Ex m
6.1 正弦电磁场 6.2 理想介质中的均匀平面波 6.3 电磁波的极化 6.4 6.5 媒质的损耗及分类 波在有耗媒质中的传播
6.6 电磁波的群速与色散失真
6.1
一、时谐量的复数表示
正弦电磁场
电磁场随时间作正弦变化时，电场强度分量可表示为
E( x, y, z, t ) ax Exm ( x, y, z) cos[t x ( x, y, z)] a y E ym ( x, y, z) cos[t y ( x, y, z)] a z Ezm ( x, y, z) cos[t z ( x, y, z)]
解：
四、复数形式的坡印廷矢量
坡印廷矢量
S E H ——坡印廷矢量的瞬时值
对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值——平均坡印廷矢量
' '' 介质的复特性：介电常数为： c j
导磁率为： c ' j ''
按照前面相同的方法可得
1 * 1 1 1 1 1 E H ds ( E 2 '' E 2 '' H 2 )d j ( ' H 2 ' E 2 )d s2 2 2 2 2 2 S ds (Pm Pe PT )d j 2 (wm平均 we平均 )d
s
复数的坡印廷矢量 S
与磁介质有关的项 与电介质有关的项
1 1 1 S av E H * Re( E H * ) j Im( E H * ) 2 2 2 1 1 1 1 j c H H * j ( ' '' ) H H '' '' H 2 j ' H 2 2 2 2 2
Bm 0
Dm
H J j D
结论：对于正弦电磁场的求解，我们可根据
E j B
B 0
给出的源写出其复矢量和复数，然后利用麦 克斯韦方程组的复数形式求出场的复矢量，
D
再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达
沿+z方向传播的波 （3） 传播特性 将第一项写为瞬时值形式
jkz j t E x z, t Re E e e E cos t kz m m
沿-z方向传播的波
均匀平面波的瞬时表示
在研究该均匀平面波 的时空变量时有两种方式。时间观察方式是在固定 的空间位置观察变量随时间的变化。空间观察方式是在不同的确定时刻观 察变量随空间坐标的变化，就象多次拍照。 采用时间观察方式，将注意力集中到空间的一固定点上，如 z 0 。这 cost 。 时电场可表示为 Ex z, t Em 波形每隔 2m 重复一次，因 Ex 此定义时间周期
2 106 rad / s
，再画出在 t 0 和 t t1时的波形。
解（1）要证明电场分量是亥姆霍兹方程式的解，可将电场分量的波函数代 入亥姆霍兹方程
2 Ek E 0
2
由于电场分量只有y方向的分量
而
Ey
2
2 Ey z
2
k 2 Ey 0
z
2
k 210sin(t z ) k 2 E y
而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。 例 在自由空间中，验证正弦电磁波的电场分量
E a y 10sin(kz t )
是亥姆霍兹方程式的解，其中 k 0 0 ；若正弦电磁波的角频率为 106 rad / s ，当波用时间 t1 前进 / 8 时，画出在 t 0 和 t t1 时的波形；若波的角频率变为
设电场平行于x轴，向z方向传播即
2 Ex k 2 Ex 0 得 2 z jkz jkz Ex Em e Em e 其解
E ax Ex ( z, t )
二、波的传播特性讨论： （1） Em , Em 由激励此波的源决定。 （2）
jkz jkz Ex Em e Em e
jkz Em e
将 k
磁场分量的时域表示 1 H a y Emx cos(t z )
Ex Hy
——媒质的本征阻抗
Hx H z 0
对于自由空间 磁场分量的频域表示 jkz 1 jkz 1 0 0 120 377 H ay Eme a y Eme az E 0
这是一个沿+z方向匀速前进的正弦波
z
0
可看作固定于波形上的某
一点，在数学上该点对应于
t kz const
不同时刻 Ex 的波形
此点以匀速沿+z方向传播，波的传播 速度称为相速度。由下式决定
dz v dt k
将 k
k
v
1
1 F /m 0 36109 自由空间 4107 H / m 0
第 6 章
正弦平面电磁波
◇ 麦氏方程及由它导出的波动方程对任意方式随时间变的电磁场都适用。 ◇ 随时间作正弦变化的电磁场称为时谐场。 ◇ 在一定条件下任意方式随时间变化的电磁场可展为时谐正弦分量的傅里 叶级数。 ◇ 波动无界空间中方程解之一——均匀平面波。 ◇ 该电磁波在无界空间无耗媒质中的传播特性。 ◇ 该电磁波在无界空间有耗媒质中的传播特性。
T 2
s
O
2
3
t
每一秒钟时间波形变化的 周期数即是频率
f 1 T 2
Hz
称为角频率
采用空间观察方式，可令 t 0 。这时电场可表示为
Ex cos kz Em cos kz z, t Em
Ex
波形每隔 2m 重复一次，因 此定义空间周期，又称波长
正弦源和也可表为
D t
jt E Re( Em e ) Re( Em e jt )
H J
J Re( J m e jt )
e jt ) Re(
H m J m jDm E m j B m
8 得自由空间中电磁波的相速度 v c 3 10 m / s
jkz 对于 Ex Em e ，它表示以相同速度v 沿（-z）方向传播的正弦波。
（4） 平面波电场和磁场的关系
与E 相伴的磁场H 可由 E j H 求得
ax E x Ex
欧拉公式
e jt ) Ex Re(Exme j (t x ) ) Re(E xm
E y Re(E yme
j (t y )
e jt ) ) Re(E ym
e jt ) Ez Re(Ezm e j (t z ) ) Re(E zm
jt E ( x, y, z, t ) Re[(ax E a E a ] xm y ym z Ezm )e
结论：沿方向传播的均匀平面波，若电场在方向，则磁场在方向，电场与 磁场总相互垂直，并垂直于波的传播方向，电场、磁场、波的传播方向三 者满足右手螺旋关系。电场与磁场处处同相，在传播过程中波的振幅不变，
电场与磁场的振幅之比取决于媒质特性，空间中电场能量密度等于磁场能量
密度。
理想介质中的均匀平面波的传播特性： ◇ 电场与磁场的振幅比为
2 k
m
O
2
3
kz
每 2 空间距离波形变化的 周期数即是波数
k 2
1/m
cos t kz 可知，其时空特性分别 由均匀平面波的表示式 Ex z, t Em k 依赖于角频率 和波数 。
相速度
Ex
t 0
பைடு நூலகம்t
4
t
2
式。
三、复数形式的波动方程——亥姆霍兹方程
波动方程
2 E E 2 0 t
2
得
设为时谐场 2 2 jt Em jt E 2 Re 2 e Re Em e 2 t t
2 E k 2 E 0 亥姆霍兹方程 同理 2 H k 2 H 0
导电媒质的焦耳损耗
1 * * 1 1 1 j c E E j ( ' '' ) E E '' '' E 2 j ' H 2 2 2 2 2 1 PT E 2 2
结论：流进闭合面内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；
jt 1 jt jt E dt Re( E e ) dt Re E e dt Re m m j Eme
电场强度复矢量的散度和旋度可表示为
jt E Re( Em e ) Re( Em e jt )