方差分析单因素模板
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在此试验中，除生产电池的工厂这一因子外，其 它因子不变，这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察不同厂家生产的电池平均 寿命是否有显著差异。如果有显著差异，表明生产工 厂这一因子对电池寿命的影响是显著的.
实例2. 为了比较各个工作日进入某一商场的顾客人数，
测得各工作日下午4时~5时进入商场的顾客人数如下表，
响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差
不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、 A3 、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：
因素：肥料
指标：亩产
肥料品种
水平：
A1 A2
品种
A3
A4
四种肥料的亩产量
亩产量（观察值） 981 964 917 669 607 693 506 358 791 642 810 705 901 703 792 883
问各个工作日对顾客人数有无显著影响？
工作日
顾客人数
周一 86 96 78 66 100
Baidu Nhomakorabea
周二 77 102 54 98
周三 69 91 86 74 82 78 84
周四 78 77 90 84 72 74
周五 84 88 94 102 96
在此实例中， 指标：顾客人数；
因子： 工作日；
水平： 周一、周二、周一、周四、周五
零售业
行业
旅游业
航空公司
家电制造业
57
68
31
44
66
39
49
51
49
29
21
65
40
45
34
77
34
56
40
58
53
51
44
（一）图形分析
80
子样平均值的折线
60
被投诉次数
40
20
0
0
零1售业 旅2游业 航3空公司 家4 电制造 5
不同行业被投诉次数的散点图
行业
1、从散点图上可以看出 ＊不同行业被投诉的次数是有明显差异的 ＊即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次
§ 方差分析----单因素方差分析
一、 基本概念 二、 单因素方差分析的数学模型 三、 单因素方差分析的假设检验 四、 参数估计问题
日常生活中经常发现，影响一个事物的 因素很多，希望找到影响最显著的因素
如：某种农作物的收获量 受作物品种、肥料种类及数量等的影响； 选择不同的品种、肥料种类及数量进行试 验， 看哪一个影响大？并需要知道起显著作用 的因素在什么时候起最好的影响作用。
记 X1 为肥料A1下的小麦亩产量， m1为平均亩 产量； X2 为肥料A2下的小麦亩产量， m2为平 均亩产量； X3 为肥料A3下的小麦亩产量， m3 为平均亩产量； X4 为肥料A4下的小麦亩产量，
m4为平均亩产量；问题转化为
H0: m1 = m2 = m3 = m4 H1: m1 m2 m3 m4不全等
2）、什么是方差分析 检验多个母体平均数是否相等
＊手段：分析数据的误差判断各母体均值是否相等
3.方差分析的基本原理
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价 ，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的 企业作为样本。最近一年中消费者对总共23 家企业投诉的次数如下表
观测值
1 2 3 4 5 6 7
消费者对四个行业的投诉次数
方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。
1.起源
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。
2.什么是方差分析(ANOVA)
(analysis of variance)
1）、引例 用上例 ＊研究问题：各肥料品种是否有差异。 ＊问题转化：各肥料品种是否有差异体现为各 肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异。
的条件。用 A，B，C 表示 3、水平：因素所处的状态，一般用A1、A2、 A3、… Ar 。一般将因子控制在几个不同的状态上，每一个
状态称为因素的一个水平.
单因素方差分析：众多因素中仅有一个因素的 的水平有多个，其余因素只有一个水平。
多因素方差分析：多个因素有多个水平。
【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影
假设如下：
1）每个部分总体都服从正态分布，即：
Aj
~
N
(
μ
j
,
σ
2 j
)，
j 1,2, , s
2）部分总体的方差都相等，即：
σ
2 1
σ
2 2
σ
2 s
σ2
3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。
实例1. 对某种型号的电池进行抽查，随机抽取了来自
A,B,C三个工厂的产品，测得其寿命（h )见下表，设各
工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布，
问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？
电池的寿命（h）
A1
A2
A3
37 60 95
69
47 86 98
100
40 67
98
60 92
在此实例中， 指标：电池的寿命； 因素： 生产电池的工厂； 水平： 工厂A1、A2、A3
在此试验中，除工作日这一因子外，其它因子不 变，这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察不同工作日顾客的人数是 否有显著差异。如果有显著差异，表明工作日这一因 子对顾客人数的影响是显著的.
二、单因素方差分析的数学模型
假设前提：
设在单因素试验中， •影响指标的因子A 有 s 个水平A1， A2 ，…，As •将每个水平Aj下要考察的指标作为一个总体称为部 分总体，仍记为Aj ，则共有s个部分总体
现在正是开始本节内容……
方差分析
单因素
两因素
➢已讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较 的假设检验问题 ➢对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的 假设检验问题？？ 方差分析就是解决这类问题的有效方法
一、基本概念
指标、因素、水平 1、指标：试验结果值称为指标，一般表示为
数值，用 X 表示。
2、因素（因子）：试验中需考察的可以控制
数也明显不同 ＊家电制造被投诉的次数较高，航空公司被 投诉的次数较低 2、行业与被投诉次数之间有一定的关系 ＊如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近
方差分析的思想
1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异 ＊这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析 ＊所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 ＊这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同母体的均值是否相等。因此，进行方差分析 时，需要考察数据误差的来源。
试验的目的是为了考察不同厂家生产的电池平均 寿命是否有显著差异。如果有显著差异，表明生产工 厂这一因子对电池寿命的影响是显著的.
实例2. 为了比较各个工作日进入某一商场的顾客人数，
测得各工作日下午4时~5时进入商场的顾客人数如下表，
响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差
不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、 A3 、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：
因素：肥料
指标：亩产
肥料品种
水平：
A1 A2
品种
A3
A4
四种肥料的亩产量
亩产量（观察值） 981 964 917 669 607 693 506 358 791 642 810 705 901 703 792 883
问各个工作日对顾客人数有无显著影响？
工作日
顾客人数
周一 86 96 78 66 100
Baidu Nhomakorabea
周二 77 102 54 98
周三 69 91 86 74 82 78 84
周四 78 77 90 84 72 74
周五 84 88 94 102 96
在此实例中， 指标：顾客人数；
因子： 工作日；
水平： 周一、周二、周一、周四、周五
零售业
行业
旅游业
航空公司
家电制造业
57
68
31
44
66
39
49
51
49
29
21
65
40
45
34
77
34
56
40
58
53
51
44
（一）图形分析
80
子样平均值的折线
60
被投诉次数
40
20
0
0
零1售业 旅2游业 航3空公司 家4 电制造 5
不同行业被投诉次数的散点图
行业
1、从散点图上可以看出 ＊不同行业被投诉的次数是有明显差异的 ＊即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次
§ 方差分析----单因素方差分析
一、 基本概念 二、 单因素方差分析的数学模型 三、 单因素方差分析的假设检验 四、 参数估计问题
日常生活中经常发现，影响一个事物的 因素很多，希望找到影响最显著的因素
如：某种农作物的收获量 受作物品种、肥料种类及数量等的影响； 选择不同的品种、肥料种类及数量进行试 验， 看哪一个影响大？并需要知道起显著作用 的因素在什么时候起最好的影响作用。
记 X1 为肥料A1下的小麦亩产量， m1为平均亩 产量； X2 为肥料A2下的小麦亩产量， m2为平 均亩产量； X3 为肥料A3下的小麦亩产量， m3 为平均亩产量； X4 为肥料A4下的小麦亩产量，
m4为平均亩产量；问题转化为
H0: m1 = m2 = m3 = m4 H1: m1 m2 m3 m4不全等
2）、什么是方差分析 检验多个母体平均数是否相等
＊手段：分析数据的误差判断各母体均值是否相等
3.方差分析的基本原理
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价 ，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的 企业作为样本。最近一年中消费者对总共23 家企业投诉的次数如下表
观测值
1 2 3 4 5 6 7
消费者对四个行业的投诉次数
方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。
1.起源
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。
2.什么是方差分析(ANOVA)
(analysis of variance)
1）、引例 用上例 ＊研究问题：各肥料品种是否有差异。 ＊问题转化：各肥料品种是否有差异体现为各 肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异。
的条件。用 A，B，C 表示 3、水平：因素所处的状态，一般用A1、A2、 A3、… Ar 。一般将因子控制在几个不同的状态上，每一个
状态称为因素的一个水平.
单因素方差分析：众多因素中仅有一个因素的 的水平有多个，其余因素只有一个水平。
多因素方差分析：多个因素有多个水平。
【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影
假设如下：
1）每个部分总体都服从正态分布，即：
Aj
~
N
(
μ
j
,
σ
2 j
)，
j 1,2, , s
2）部分总体的方差都相等，即：
σ
2 1
σ
2 2
σ
2 s
σ2
3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。
实例1. 对某种型号的电池进行抽查，随机抽取了来自
A,B,C三个工厂的产品，测得其寿命（h )见下表，设各
工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布，
问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？
电池的寿命（h）
A1
A2
A3
37 60 95
69
47 86 98
100
40 67
98
60 92
在此实例中， 指标：电池的寿命； 因素： 生产电池的工厂； 水平： 工厂A1、A2、A3
在此试验中，除工作日这一因子外，其它因子不 变，这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察不同工作日顾客的人数是 否有显著差异。如果有显著差异，表明工作日这一因 子对顾客人数的影响是显著的.
二、单因素方差分析的数学模型
假设前提：
设在单因素试验中， •影响指标的因子A 有 s 个水平A1， A2 ，…，As •将每个水平Aj下要考察的指标作为一个总体称为部 分总体，仍记为Aj ，则共有s个部分总体
现在正是开始本节内容……
方差分析
单因素
两因素
➢已讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较 的假设检验问题 ➢对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的 假设检验问题？？ 方差分析就是解决这类问题的有效方法
一、基本概念
指标、因素、水平 1、指标：试验结果值称为指标，一般表示为
数值，用 X 表示。
2、因素（因子）：试验中需考察的可以控制
数也明显不同 ＊家电制造被投诉的次数较高，航空公司被 投诉的次数较低 2、行业与被投诉次数之间有一定的关系 ＊如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近
方差分析的思想
1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异 ＊这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析 ＊所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 ＊这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同母体的均值是否相等。因此，进行方差分析 时，需要考察数据误差的来源。