平面向量的基本定理及坐标表示
第二节向量基本定理及坐标表示
2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这一 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、 y,使a=xi+yj.把有序数 (x,y) 对叫做向量a的坐标,记作a= , (x,y) 叫a在x轴上的坐标, y x 其中 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的坐标,即若 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). OA=(x,y),则A点坐标为
1 ）b, 3
）=
1 9
,
∴
1 (m+n)=mn,即 3
1 1 m n
=3.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角 (1)定义 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做 已知两个 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°,则a与b垂直,记作 a⊥b .
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量的基本定理及坐标表示课件
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线． → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－ . 2
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → (2)∵CA＝(－2，－4)，BC＝(1,1)， → → → → → ∴MN＝CN－CM＝－2BC－3CA ＝(－2，－2)－(－6，－12)＝(4,10)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → 则CM＝(x1－3，y1－2)，CN＝(x2－3，y2－2)， → → → → ∵CM＝3CA，CN＝－2BC， ∴(x1－3，y1－2)＝(－6，－12)．
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平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → → → 1 解析： ∵2DC＝AB，∴2DC＝e2，∴DC＝ e2. 2 → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， → 1 1 ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝2DA＋AB＋2BC 1 3 1 1 ＝－ e1＋e2＋ e1－2e2＝ e2. 2 2 4
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(x2－3，y2－2)＝(－2，－2)，
x1－3＝－6 x2－3＝－2 ∴ ， ， y1－2＝－12 y2－2＝－2 x1＝－3 x2＝1 ∴ ， ， y1＝－10 y2＝0
平面向量基本定理及坐标运算
答案
D
解析
→ ⊥AB →， →， → 因为AB 分别以AB 1 2 所以以 A 为原点， 1 AB2所
在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设 B1(a,0)，B2(0，b)， O(x，y)， → ＝AB → ＋AB → ＝(a，b)，即 P(a，b)． 则AP 1 2 → |＝|OB → |＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1. 由|OB 1 2 所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0. 1 → 2 2 1 由|OP|<2，得(x－a) ＋(y－b) <4， 1 即 0≤1－x ＋1－y <4.
x2－x12＋y2－y12.
4．向量平行与垂直的条件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
x1x2＋y1y2＝0 . a ± (3)a≠0，则与 a 平行的单位向量为 |a| .
(2)a、b 均不为 0 时，a⊥b⇔
→ ⊥AB → ，|OB → |＝|OB → |＝1，AP →＝ 5．(2013· 重庆)在平面上，AB 1 2 1 2 1 → → → → |的取值范围是( AB1＋AB2.若|OP|<2，则|OA 5 A．(0， 2 ] 5 C．( 2 ， 2] 5 7 B．( 2 ， 2 ] 7 D．( 2 ， 2] )
答案 A
解析
B 中不能是空间向量，C 中 λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α
内，D 中 λ1，λ2 是唯一的．
→ ＝(3,7)，AB → ＝(－2,3)，对称中心为 O， 2．在▱ABCD 中，AD → 等于( 则CO ) 1 B．(－2，－5) 1 D．(2，5)
1 A．(－2，5) 1 C．(2，－5)
8.2 平面向量的分解及向量的坐标表示
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).。
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
平面向量基本定理及向量坐标表示
平面向量基本定理及向量坐标表示一、平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量运算中的重要基石。
基本定理表明，一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
设有平面向量 a 和 b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：a和b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：v = k1a + k2b = k1a + k2b其中，k1 和 k2 是实数，称为 a 和 b 的系数，v 是由 a 和 b 组成的平面向量。
a和b的系数，v是由a和b组成的平面向量。
这一定理的证明较为简单，可根据向量加法和数量乘法的定义进行推导。
二、向量坐标表示向量坐标表示是在向量运算中常用的表示方法。
它将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，便于进行计算和研究。
以平面向量为例，设平面上有向量 v，其起点坐标为 (x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量 v 的坐标表示为：v，其起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量v的坐标表示为：其中，Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
同样，可以进行类似的推导，将三维空间中的向量用坐标表示。
向量坐标表示可以便捷地进行向量的加法、减法和数量乘法等运算，是向量分析的基础。
三、小结本文介绍了平面向量基本定理及向量坐标表示。
平面向量基本定理表明一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
向量坐标表示将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，方便进行运算和研究。
了解和掌握平面向量基本定理和向量坐标表示，对于进一步学习和应用向量运算具有重要意义。
平面向量基本定理及坐标表示知识点
平面向量基本定理及坐标表示知识点一、平面向量基本定理。
1. 定理内容。
- 如果B e_1,B e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量B a，有且只有一对实数λ_1,λ_2，使B a=λ_1B e_1+λ_2B e_2。
其中B e_1,B e_2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2. 基底的要求。
- 不共线：这是基底的重要条件。
若两个向量共线，则不能作为基底来表示平面内的所有向量。
例如，在平面内，如果B e_1与B e_2共线，那么对于与B e_1不共线的向量B a，就无法用B e_1和B e_2的线性组合来表示。
3. 唯一性。
- 对于给定的基底B e_1,B e_2和向量B a，实数对λ_1,λ_2是唯一确定的。
这可以通过反证法来证明，如果存在两组不同的实数对(λ_1,λ_2)和(μ_1,μ_2)使得B a=λ_1B e_1+λ_2B e_2=μ_1B e_1+μ_2B e_2，那么(λ_1-μ_1)B e_1+(λ_2-μ_2)B e_2=B0，由于B e_1,B e_2不共线，所以λ_1=μ_1且λ_2=μ_2。
二、平面向量的坐标表示。
1. 向量的坐标定义。
- 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量B i,B j 作为基底。
对于平面内的一个向量B a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得B a=x B i+y B j，我们把有序数对(x,y)叫做向量B a的坐标，记作B a=(x,y)。
2. 坐标运算。
- 加法运算：若B a=(x_1,y_1)，B b=(x_2,y_2)，则B a+B b=(x_1+x_2,y_1+y_2)。
- 减法运算：若B a=(x_1,y_1)，B b=(x_2,y_2)，则B a-B b=(x_1-x_2,y_1-y_2)。
- 数乘运算：若B a=(x,y)，λ∈ R，则λB a=(λ x,λ y)。
高考数学一轮复习第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e 1，e 201不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a 02λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j 04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i 05(1,0)，j 06(0,1)，0＝07(0,0).3．平面向量的坐标运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b 08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b 09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa 10(λx 1，λy 1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB →11(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|12 错误!. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． 2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 5．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33. 6．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 3－y 1)．1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)答案 D解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2答案 D解析 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又因为a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－34答案 B解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.4．设向量a ＝(－1,2)，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，25 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，－255 答案 B解析 因为向量b 是与a 方向相同的单位向量，所以b ＝a|a|＝错误!(－1,2)＝错误!(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－55，255.故选B. 5．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.考向一 平面向量基本定理的应用例1 (1)如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋2μ＝( )A ．1B ．32C ．43D ．2答案 B解析 设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i ，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j ，∴AB→＝－2i ＋2j ，AC →＝4i ，AP →＝i ＋j ，∵AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，即i ＋j ＝λ(－2i ＋2j )＋μ×4i ，i ＋j ＝(4μ－2λ)i ＋2λj ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－2λ＝1，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，∴λ＋2μ＝32.故选B.(2) 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．(2020·北京市朝阳区一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 满足BC→＝2BD→，CA →＝3CE →.若DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．－12B ．－13C.12 D ．13答案 B解析 △ABC 中，点D ，E 满足BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.DE →＝DC →＋CE →＝12BC →＋13CA→＝12(AC →－AB →)－13AC →＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16，∴x ＋y ＝－12＋16＝－13.故选B.2．(2020·青岛市高三上学期期末)在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋2DE →＝0，若EB→＝x AB →＋y AC →，则( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x C ．x ＝2y D ．x ＝－2y答案 D解析 如图所示，∵AB→＋AC →＝2AD →，∴点D 为边BC 的中点．∵AE →＋2DE →＝0，∴AE →＝－2DE →，∴DE →＝－13AD →＝－16(AB →＋AC →)．又DB →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴EB →＝DB →－DE →＝12(AB →－AC →)＋16(AB →＋AC →)＝23AB →－13AC →.又EB →＝x AB →＋y AC →，∴x ＝23，y ＝－13，即x ＝－2y .故选D.考向二 平面向量的坐标运算例2 (1)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A ．(3,1) B ．(4,2) C ．(5,3)D ．(4,3)答案 B解析 AC→＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1，1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC→＋BC →＝(4,2)．(2)(2020·辽宁省辽南协作校二模)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，83 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－83C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )＝－13(5＋4×2，－2＋2×3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43.故选D. (3)(2020·天津和平区模拟) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B ．85C ．2D ．83答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1,2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.4．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，若点E 满足OC→＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23答案 A解析 解法一：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC→＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )， 由OC →＝3EC →，知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.解法二：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，由OC →＝3EC →得OC →＝3(OC →－OE →)，所以OE→＝23OC→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，所以点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2020·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C．12D．－12答案 D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－12.故选D.(2)(2021·海口市海南中学高三月考)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.答案(－3，－6)解析由题意，设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)，∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x ＝－3，∴B(－3，－6)．利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析 解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)． 又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．6．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案 －2解析 ∵B ，C ，D 三点共线， ∴BD→＝x BC →＝x (BA →＋AC →)， 即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cosα＝xsinα，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.一、单项选择题1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5答案 D解析 因为AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5，所以CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.3. 如图，在梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC→，且AE →＝r AB →＋s AD →，则2r ＋3s ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C解析根据题图，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD→＋14AB→＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝r AB→＋s AD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案 B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm＝5，解得λ＝5，m ＝1，所以λ＋m ＝6.6．(2020·青岛模拟)已知向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则sin x ＝( )A.45B ．35C ．25D ．255答案 A解析 根据题意，向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，若a ∥b ，则2sin x ＝1＋cos x ，变形可得cos x ＝2sin x －1，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，则有sin 2x ＋(2sin x －1)2＝1，变形可得，5sin 2x －4sin x ＝0，解得sin x ＝0或sin x ＝45，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin x ＝45.故选A.7. (2020·黑龙江省大庆一中三模)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB ＝3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA→＝λBE →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－925 B ．725C ．1625D ．1答案 B解析 由题意建立如图所示平面直角坐标系，因为AB ＝3，BC ＝4，则B (0,0)，A (0,3)，C (4,0)，BA→＝(0,3)，AC →＝(4，－3)，设BE →＝(a,3)，因为BE ⊥AC ，所以AC →·BE →＝4a －9＝0，解得a ＝94.由BA →＝λBE →＋μAC →，得(0,3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，3＋μ(4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧94λ＋4μ＝0，3λ－3μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1625，μ＝－925，所以λ＋μ＝725，故选B.8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC ＝150°，点P 在弧BC 上运动，AP →＝λAB →＋μAC→，则3λ－μ的最小值是( )A ．0B ．3C ．2D ．－1答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (cos150°，sin150°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)(0°≤θ≤150°)，因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cos θ＋3sin θ，μ＝2sin θ，那么3λ－μ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋60°)，因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－12，因此3λ－μ的最小值为－1.故选D.二、多项选择题9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B ．DA →与BC → C.CA →与DC →D ．OD→与OB → 答案 AC解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA→与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案 ABD解析 各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB →＝OB →－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，则下列结论正确的是( ) A.AD →＝－12a －bB ．BE →＝a ＋12bC.CF →＝－12a ＋12bD ．EF →＝12a答案 ABC解析如图，在△ABC中，AD→＝AC→＋CD→＝－CA→＋12CB→＝－b－12a，故A正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，故B正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12×(－b－a)＝－12a＋12b，故C正确；EF→＝12CB→＝－12a，故D不正确．故选ABC.12. (2020·山东潍坊高三模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点P，若AP→＝λAB→，OC→＝μOA→＋3μOB→，则()A．P为线段OC的中点时，μ＝1 2B．P为线段OC的中点时，μ＝1 3C．无论μ取何值，恒有λ＝3 4D．存在μ∈R，λ＝1 2答案AC解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋λAB→＝OA→＋λ(OB→－OA→)＝(1－λ)OA→＋λOB→，因为OP→与OC →共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C 正确，D 错误；当P 为OC 的中点时，则OP →＝12OC →，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A 正确，B 错误．故选AC.三、填空题13．(2020·哈尔滨六中二模)已知向量a ＝(log 2x,1)，b ＝(log 23，－1)，若a ∥b ，则x ＝________.答案13解析 因为a ∥b ，所以－log 2x ＝log 23，所以log 2x ＋log 23＝0，所以log 2(3x )＝0，所以3x ＝1，所以x ＝13.14．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析 因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．15. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． 由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.16．(2020·济南市高三上学期期末)平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析 因为M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →， 所以DM →＝12DC →，BN →＝23BC →. 又因为AB→＝λAM →＋μAN →， 所以AB→＝λ(AD →＋DM →)＋μ(AB →＋BN →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12DC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC → ＝λAD →＋λ2DC →＋μAB →＋2μ3BC →.① 又因为在平行四边形ABCD 中，AB→＝DC →，AD →＝BC →， 所以①整理得，AB →＝λAD →＋λ2AB →＋μAB →＋2μ3AD →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2－μAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋2μ3AD →. 又因为AB→，AD →不共线，由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ2－μ＝0，λ＋2μ3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝32，所以λ＋μ＝12.。
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。
2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
3.向量平行的坐标表示: 结论：a ≠01221=-y x y x 二．练习1.在梯形ABCD 中，AB CD CD AB 2=F E ,BA DC ,b AB a AD ==,b a ,EF BC DC ,,知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ∆为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e e 以==为基底，表示向量,,,.4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )A ．－1B ．9C ．－9D ．15．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n 等于( )A. 12 B ．2 C ．－12D ．－2 8.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________.9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－4314.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关系式．16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC u u u r ＝2AB u u u r ，求点C 的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有： （ ）（1）()θθsin ,cos -= （2）()5lg ,2lg =（3）()22,x x c -=（4）()x x d ,1-=个 个 个 个。
平面向量的坐标与基本定理
平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。
一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。
例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。
那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。
2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。
（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。
二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。
即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。
2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。
即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。
设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。
三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。
如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。
2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。
2.3.1平面向量基本定理及坐标表示
ABCD的 M,且 例2:如图， ABCD的两条对角线相交于点M,且 2:如 uu r uu r r r rr uur uu uu uu r r r a， b， MA、 MC MB、 AB = a， = b，用a、表示MA、 、 和MD. AD b MB MC和 D C ABCD中 解：在 ABCD中， r M b uu uu uu r r r r r ∵ AC = AB + AD = a + b r B a uu uu uu r A r r r r DB = AB - AD = a - b r r r r r r r r uur r r r 1 uu a+b a b uu 1 uu a - b a b ∴MA = - AC = = - - , MB = DB = = 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r uu 1 uu r r uur a b uu r r uu r 1 uu a b MC = AC = -MA = + , MD = - DB = -MB = - + 2 2 2 2 2 2
⇔
r r a共 向量b与非零向量a共线,
r r =λ 有且只有一个实数λ，使得b = λ a.
⑵向量的加法：
r b
共起点
r b
O
B
r r a+b
C
r a
r a
r r a + b
A
平行四边形法则 首尾相接
O
r a
r b
A
B
三角形法则
Hale Waihona Puke uu uu r r 思考：一个平面内的两个不共线的向量 e1、 2 与该平面 e r 内的任一向量 a 之间的关系.
M C
ur e1
人教版数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示课件
1
1
A. a＋ b
2
4
2
2
C. a＋ b
3
3
B．
D．
1
a＋
3
1
a＋
2
5
b
6
3
b
4
因为DE＝EC.
所以
1
＝ (
2
1
2
1
＋)＝
3
4
＝ ＋ ＝ a＋ b.
1
)＝ (
2
1
＋
2
＋)
法二
2．已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点
即ቊ
1=6−
=1
解得ቊ
=5
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，
则
1
－
＝________．
2
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
2−
得
4
=
3+2
所以 ＝. 因为DE＝EC，所以
1
2
1
3
a＋ b.
2
4
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
1
1
3
)＝ ＋
2
2
4
＝
1
1
＝ ＝ ，
2
2
1
＋ ( － )＝
2
1
2
＋ (－
法一
跟踪训练
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设 ＝a，
平面向量基本定理及坐标表示考点与提醒归纳
平面向量基本定理及坐标表示考点与提醒归纳一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)， 由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________. 解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)[课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．22 B.2 C ．2 D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D.3解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝ 14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以m n＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0， 所以|b |＝2|a |， 所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2.答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a |＝25，a ＝λb (λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a |＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb (λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4. ∴m －n ＝－6. 答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .。
平面向量的基本定理及坐标表示
∵A，B，C三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
课前·双基落实
答案：A
课·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若 (m＋n)∥(m－n)，则λ＝________． 解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又 (m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得 λ＝0． 答案：0
a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[小题体验] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3 2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝_____．
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3,4)
B．(3,4)
C．(3，－4)
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .
6.3.1平面向量的基本定理及坐标表示
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
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O
A
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
b a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
e2 e1 2e2 B C
O
e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共 点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB 上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平 行四边形？
思考3：如何用解析几何观点得出上述结 论？ 向量a，b（b≠0）共线 x1 y2 x 2 y1
y
D O C B
b
A
a
kA B = kCD
x
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)， a－b＝(5，－3)， 3a＋4b＝(－6，19).
例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、 C(3,4)，试求顶点D的坐标.
B A o y
C D x
D（2，2）
例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y), 且a∥b，求y的值.
y＝3
例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)， C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
y A j
O
a
A(x,y)
i x
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
a
2 AB AC 3
，A、B、C三点共线.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系，它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点，则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
2.3.3 2.3.4
平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
A
AB
y
B
＝ o x ( x 任意一个向量的坐标等于表示该向量 2 的有向线段的终点坐标减去始点坐标. － x
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计 算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 AB 如何计算？
y A a
a x y
2 2
O
AB
B
N O P C
M
A
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
探究（一）：平面向量的坐标运算
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 AB 的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？
5 y
b=(-2,3)
b 2
O
a
2
a=(2,3)
4
－4 －2
c=(-2,-3)
c －2
－5
xபைடு நூலகம்
d
d=(2,-3)
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
2
x
2
(x 2 x1 ) (y 2 y1 )
探究（二）：平面向量共线的坐标表示
思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0）， 那么a，b满足什么关系？ a＝λb. 思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向 量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量 的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ 向量a，b（b≠0）共线 x1 y2 x 2 y1
B P A
a 2 3i 2j
a
j
O i
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝ xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上 的坐标，y叫做a在y轴 y 上的坐标，上式叫做向量 a y 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何？ j x O i x
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
t
1 5730 p 2
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；