结构分析中的叠加原理应用

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引言
目前我们所接触的结构力学分析都是基于以下三种假设： （1）结构体是连续的，而且在外力作用下仍保持连续。 （ 2 ）满足胡克定律：处于静力平衡状态下的结构体上任意点的位移 u 可表示为
u a1 FP1 a2 FP 2 a3 FP3 an FPn
（3）若将所有外部作用撤销，则结构回复到原先的无应力状态。 符合以上三条假设的结构体系称为线弹性体。 线弹性体系的解是唯一确定的。 解得唯一 性定理在线性体系的受力分析中具有重要地位， 此种受力分析即称为线性分析。 将以上三条 基本假设相结合，即得到了一条很重要的原理——叠加原理。 叠加原理也可以这样理解：即将结构先化整为零，简化成各个基本结构并进行求解，再 将各部分得到的内力相互叠加化零为整。 叠加原理的应用无处不在， 小到简单结构的静力平 衡，大到力法位移法中的应用。叠加原理使结构内力的求解得到大大简化。本文主要针对叠 加原理在对称、杆件替代、力法、位移法及影响线上的应用进行更深入的讨论，以使我们能 对叠加原理有更好的了解。
1 正文
1.1 叠加原理在对称性上的应用 在进行结构分析计算时， 我们常常会利用结构的对称性来简化分析， 根据结构形式和受 力特点， 将结构转化为对称结构对称荷载和对称结构反对称荷载两种形式， 于是每一种简化 的形式很容易求解，最后根据叠加原理，将两种形式得到结果相互叠加，还原为原来的结构 受力形式。 且原结构无论在内力还是变形上皆是这两种结构形式内力和变形结果的叠加。 下 面通过一个例题来验证这个结论的正确性。 如下图 1.1.1（a）所示结构，求桁架中各杆件内力。
这里通过列弯矩平衡方程和剪力平衡方程来求解， 而内力平衡方程实质上仍然是叠加原 理。如
M
C
0 M CA M CD 0 ，C 点弯矩是 CA 杆 C 点处弯矩 M CA 与 CD 杆 C 点处
弯矩 M CD 叠加。
M
A
0 Q CA l M CA M AC 1 ql 2 0 ，A 点弯矩是取 AC 杆为 2
取隔离体 BD,
M
B
0 Q DB l M BD 0 ，得 QDB = 3 16
CD, 列 剪 力 平 衡 方 程 :
取 隔 离 体
Q 0 Q
CA
QDB 0,
15 3 30 =0，② 16 2 C
联立①②，解得
=73.846 ， C =26.154
图 1.1.1（a） （结构计算简图） （b） （对称力作用下计算简图） （ c） （反对称力作用下计算简图） 分析：本例如果直接用截面法，或取某一节点显然不易直接求出，但支座反力易求得， 于是根据本结构受力特点，将其分解为（b）对称结构对称力和（c）对称结构反对称力。最 后将结果叠加即: 结构 a=结构 b+结构 c 于是问题就简化成求结构（b）和结构（c）的内力了。 对于结构（b） ： 在对称力作用下取节点 B
X 2 ，…… X n ，力法的基本体系是从原结构中去掉 n 个多余约束，而代之以相应的 n 个多
余未知力后所得到的静定结构，力法的基本方程是在 n 个多余约束处的 n 个变形条件。
即力法方程： Δ i 结构内力： M

j
ij
X j Δ iP =0
M
j j
j
Xj Mp
FQ FQ j X j FQ p FN FN j X j FN p
FNAE 2.24KN
其它杆件内力均为零。 。通过结构力学求解器可以进行验证。如下图所
示Baidu Nhomakorabea结构的内力图：
图 2.2.5 (原结构的轴力图)
以上杆件替代法求解的基本思路，也可以继续扩展到桁架中 N 个杆件被替代的情况。其 实质就是将杆件拆分、安装，最后叠加的叠加原理。由以上例题可以看出，利用叠加原理可 以使结构计算得到大大简化。
图 1.2.2 (改变后结构计算简图)
通过结构力学求解器得到结果如下图示（图 A） ：
图 1.2.3 （改变后结构的轴力图）
FNBE 1.41KN
知 FNAE 2.24 KN
FNEF 0
为使杆件替代后，所得桁架的内力与原结构相符，可在支座 C 处作用未知反力 X，此时可以 求得 FNEF X / 2 （如图 2.2.4（b） ）
X
0 X/2
0
X
2X
图 2.2.4（b） (在 C 支座处加未知反力后结构示意图)
因实际结构中并不存在 EF 杆，所以 C 杆支座真实的反应使得图 A、B 所示受力状态叠 加后，EF 杆内力为零。即： 0+X/2=O ,得 X=0
故 C 支座反力为零。 通过以上杆件替代求得 C 支座反力之后，桁架的内力便迎刃而解， FNBE 1.41KN
图 1.2.1(计算简图) 分析：图示桁架 可以应用上例所述对称性简化解决，但当结构不对称时怎么办呢？如 何简化呢？下面采用一种新的方法——杆件替代法。 具体思路如下：拆掉 C 处支座，结构变成几何可变；再补上一根连杆 EF 或 DA，使结构 几何不变。此例我们以加上 EF 杆为例。改变后结构图示如下：
图 13.3 （均布荷载 q 单独作用下的计算简图）
图 1.3.4 （虚设力 X 1 单独作用下的计算简图） 3、 求系数 11 、 Δ1P 并解方程，解得基本未知量 X 1 作弯矩图 M 1 、 M p ，利用图乘法求解 11 、 Δ1P 。 4、 作内力图 由叠加原理，即原结构的内力图实际上就是均布荷载 q 作用下的内力图和多余约束力
FNDB
F F 2 FP , FNDA P , FNAB P 2 2 2
于是，可按照内力反对称的原则标出桁架各杆的内力。 将图相应杆件的内力叠加，即可得到原桁架的各杆最终轴力如下图所示。
图 1.1.4 （各杆轴力大小示意图） 从上面的示例中可以清楚地看到， 之所以我们能够利用对称性来进行结构分析， 其实质 就是满足线弹性体系的叠加原理，也就是叠加原理应用的一种具体表现形式。 1.2 叠加原理在杆件替代法中的应用 对于某些比较复杂的桁架， 通过单个节点或仅作一个截面均无法突破求解时， 运用杆件 替代法不失为一种颇为有效的解题方法。 这一方法的解题思路是： 通过杆件 （包括支座链杆）
1.3 叠加原理在力法中的应用 先从简单的一次超静定结构解题出发，回顾力法的解题思路，如下图。
图 1.3.1 （计算简图） 1、 找基本体系
图 1.3.2 （基本体系） 2、 列力法基本方程 这里，列力法的基本方程时，遵照的就是位移协调条件，利用叠加原理，均布荷载 q 单独作用下引起 B 点的竖向位移与 X 1 单独作用下引起 B 点的竖向位移之和， 等于基本体系 在均布荷载 q 与虚设力 X 1 共同作用时 B 点的竖向位移。由于题中 B 点受到链杆约束，所以 竖向位移等于 0。 即 11 X 1 Δ1P 0 将基本体系荷载拆分如图。
图 1.1.2（B 节点示意图） 在对称力作用下铰 B 属于侧杆倾角相同的 K 形节点，可判定杆 BD、BF 都为零杆，则 D、 F 节点处未知力仅剩两个，所以很容易求得内力。 取节点 D 为隔离体
F
X
0 和 FY 0 得
2 FP , FNDA FNDG sin 450 FP 2 2
M CD 3i C =3 C
M BD 3i = 3 l 4
求各杆端弯矩时， 就是利用叠加原理， 未知量引起的形常数与外荷载引起的窄常数叠加 得到。例如， M AC 2iC 6i 1
l
12
ql 2 中， 2i C 为未知位移 C 引起的形常数，
6i 为为止位移 引起的形常数， 1 ql 2 为均布荷载 q 引起的形常数。 12 l
3、 位移法方程 列弯矩平衡方程: 求剪力: 取隔离体 AC,
M
C
0 M CA M CD 0, 5C 3 30 0 ， ① 2
M
A
0 Q CA l M CA M AC 1 ql 2 0 ，得 QCA = 3 3 C 30 2 4 2
之间的替代， 简化桁架的几何构造， 然后再根据叠加原理使简化后的桁架杆件内力恢复到原 结构的状态。 在杆件替代这一过程中，首先是拆除某一杆件，结构变为几何可变体系，于是再添上一根 杆件在适当的位置，结构又变为几何不变的简单桁架体系。为使杆件替代之后，所得桁架的 内力与原结构相符，必须进行还原，还原的本身就是两种不同结构体系之间内力、位移的相 互叠加， 既是应用叠加原理进行还原。 当然杆件之所以能够拆分替代也是以叠加原理的存在 为前提的。 求图 1.2.1 所示桁架支座 C 反力及各杆内力(取 P1=P2=1,a=1 便于计算)
FNAE sin 45
FP 2 0, FNAE FP （压力） 2 2
再由
F
x
0得
FNAB FNAE cos 45
FP 0, FNAB FP 2
最后取结点 G 为隔离体，由
F
y
0得
FNGE 2
2 FP sin 45 FP (压力) 2
于是，可按照内力对称的原则标出桁架各杆的内力。 在图中反对称外力作用下，根据桁架内力也应该满足反对称的特点，可以判定 EG 杆的 内力（属反对称内力）必定为零，然后可进一步判定杆件 AE,CE,DG 和 FG 均为零杆。依次取 结点 D 和 A 为隔离体，由结点平衡条件得
结构分析中的叠加原理应用
摘 要：叠加原理是力学中常用的一个原理。在利用对称性、杆件替代法进行结构分析、力法、位移法、影 响线等解题中，叠加原理均起着非常重要的作用。叠加原理可表述为：多种因素同时作用时的总影响归结 为先求单个因素孤立作用时的影响，然后求其总和。 关 键 词：叠加原理 对称 力法 位移法 影响线
下面以具有两个未知量（ 、 ）的结构来说明位移法的解法。
图 1.4.1 （计算简图） 已知条件：q= 15 kN 1、 基本未知量
m
, l =4m，各杆 i 值相等且 i=1。
CH DH , C ,共两个。
2、 杆端弯矩
M AC 2iC 6i 1 ql 2 = 4 C 3 20 l 12 2 M CA 4iC 6i 1 ql 2 = 2C 3 20 l 12 2
X
FNDG cos 450 FP 2 , FNDG
然后取节点 A 为隔离体，由
F
0 和 FY 0 得，
图 1.1.3(a)（对称力作用下 D 节点受力图）
(b)（对称力作用下 D 节点受力图）
(c)（对称力作用下 G 节点受力图）
(d) （反对称力作用下 D 节点受力图）
(e) （反对称力作用下 A 节点受力图）
i （i=1，2，……,n）
2、杆端弯矩 由叠加原理，对某一节点 A，该节点处各个位移引起的杆端弯矩，以及荷载引起的固端 弯矩，叠加后等于原结构 A 点处弯矩。 3、列位移法方程求解 根据力的平衡条件列方程，求解
i （i=1，2，……,n）
5、 求杆端弯矩 将求得的位移带入各杆端弯矩公式，即得。
X 1 作用下的内力图叠加。
M M1 X 1 M p
由上述步骤可知，叠加原理在力法解题中的是非常重要的。在列力法方程时，用到的位 移协调原理实际上就是指， 基本结构上每个力分别作用时结构所产生的位移， 其和等于它们 共同作用时所产生的位移。 在求内力做内力图时， 原结构的内力图实际上就是各个荷载分别 单独作用下的内力图叠加。 推广到 n 次超静定结构求解， ，这时力法的基本未知量是 n 个多余约束未知力 X 1 ，
j
若结构中还存在温度改变和支座移动， 力法基本方程还应考虑温度变化和支座移动对结 构位移的影响，将它们所产生的影响也叠加到上述方程中去，则力法基本方程可写为：
Δ i ij X j Δ iP it ic
j
1.4 叠加原理在位移法中的应用 有了叠加原理在力法中的成功应用， 位移法的解题思路也不难理解， 也是将多种因素分 解为单个因素，分别求其效应然后叠加，即得原结构效应。 位移法解题思路概括如下： 1、写出基本未知量