平面上两点间的距离课件

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高中数学人教A版选择性必修第一册两点间的距离公式课件

追问3 ：你能利用 , ， , 构造直角三角形，再用
勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问4 ：如何求 1 2 ？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问5：如果直线与坐标轴平行，或在坐标轴上，两点间距离是否满足
经典例题
题型一
两条直线的交点问题
跟踪训练1
(1)若两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，则 k＝________；
(2)求经过点 P(1,0)和两直线 l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0 交点的直线方程.
k
k
(1)在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0，得 y＝3，将(0，3)代入 x－ky＋12＝0，解得 k＝±6.
课堂小结
已知平面内两点 , ， , ，能否说出两点间的距离
公式？
y
P2
能否描述这句话对应的几何图形？
2 −1
证明两点间距离公式的基本方法
x
O
P1
2 − 1
A
课堂小结
回归两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈一谈你的感受？
几何
代数
坐标
几何
随堂检测
1.求下列两点间的距离:
跟踪训练2
(1)已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，对角线为 AC 和 BD.求证：|AC|＝|BD|.
解：

优秀老师课件-两点间距离公式

详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径，即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述

2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解：法一因为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二因为所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法总结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是

平面直角坐标系中的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修一

D.2 7
).
解析:易知两直线之间的距离的最大值为 P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公
式得|PQ|= (2+ 1)2 + (-1-3)2=5.故直线 l1 ,l2 之间的距离 d 的取值范围为(0,5],
所以 0<
3 2 1
- 2 - 4
所以当 =
3
,即
2
≤
1
1
,0<S≤
.
4
8
9
m=4时,△ABC 的面积
S 最大.
=
=
-1
,即
4-1
| -3 +2|
,
10
x-3y+2=0.
1.此题要求△ABC面积的最大值,可转化成求点B到直线AC的距离的最大
值.
2.在解题过程中将得到的式子进行转化,利用函数的思想把问题转化成二
|AC|= (4-5)2 + (1-5)2 = 17,
2
2
|BC|= (4-1) + (1-4) = 18,
因为|AB|=|AC|≠|BC|,
所以△ABC 为等腰三角形.
(2)AB 边的中点 M 的坐标为
9
3, 2
,
2
由两点间的距离公式得|CM|= (3-4) +
2
9
-1
2
=
53
.
2
1.对于任意两点,只要给出两点的坐标,就可利用两点间的距离公式求出两
分别对应相等.
2.一般地,与已知直线l的距离为d(d>0)的直线有两条,且都与l平行.求其方
程时,可利用平行直线系方程的设法,设出其方程,再利用两条平行直线间

2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)

求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版选择性必修一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B

-2,0
,C

,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4

151平面上两点间的距离共17张PPT

第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e

2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)

1.求下列两点间的距离 :
(1) A(6, 0), B( 2, 0);
(2)C (0, 4), D(0, 1);
(3) P (6, 0), Q(0, 2);
(4) M (2,1), N (5, 1).
(1) AB ( 2 6) (0 0) 8;
2
2
(2) CD (0 0)2 ( 1 4) 2 3;
段的长度？
追问2 如何求向量1 2 的模长？
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
, ， , 两点间的距离公式
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
特别地，原点O(0，0)与任一点 , 间的距离
=
2 + 2.
上式利用向量法证明！
(3) PQ (0 6) ( 2 0) 2 10;
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(4) MN (5 2) ( 1 1) 13.
2
2
2.已知点A(a, 5)与B(0,10)间的距离是17, 求a的值.
解： AB (0 a ) (10 5) 17,
2
解得a 8.
=
=
+

−

+ −

+ −
+ + ，
=

=
− + .
由 = ，得
+ + = − + .
解得 =1.
所以,所求点为P(1，0)，且
=
+

两点间的距离公式-PPT课件

A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n，则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．

2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册

知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ．平面内的两点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间的距离公式， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2

(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)

5《平面上两点间的距离》课件1.ppt

yห้องสมุดไป่ตู้
A ( 1, 3)
y
D (2,4)
A ( 1,3)
O
B (3, 2)
C (6, 1)
x
O
RtPAB
P ( 1, 2)
x
B (3, 2 ) 所以，2 2 2 2 2 AB PA 在 PB 5 4 41 中， AB 4 1 类似可得 C D 4 1 ，所以A B C D .
平面上两点间的距离
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线，两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２），且 P A 3 ( 2 ) 5, P B 3 ( 1) 4
2 2
2
x2 y1
Q ( x2 , y2 )
2
P1 ( x1 , y1 )
2
x
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 )
(

)
同理有 B C D A ,故四边形ABCD为平行四边形
一般地说，已知两点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )
如何求两点间的距离？
x 如果 x1 x 2 , y 1 y 2 ，过P1 , P2 分别向 y 轴、轴作垂线交于点 Q ，则点 Q 的坐标为 ( x 2 , y 1 ) .
y
y2 x1

2.3.2两点间的距离公式课件(共15张PPT)

.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2

P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)

x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)

x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)

高中数学北师大版必修2《第2章11.5平面直角坐标系中的距离公式》课件

A2＋B2
3
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
A．1
B．2
1 C.2
D．4
29
B [∵36＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋ 4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
30
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
26
[解] 设 P(x，y)为 l 上任一点．则 d1＝|7x＋728＋y＋829|，d2＝|7x＋728＋y－823|. 由dd12＝12，即 d2＝2d1，得 |7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|. ∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9) 或 7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)．化简得 l 的方程为 7x＋8y＋21＝0 或 7x＋8y＋5＝0.
提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．
23
2．已知 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导出 l1 与 l2 的距离公式呢？
24
提示：由 l1 与 l2 的方程可知直线 l1∥l2，设 P0(x0，y0)是直线 Ax ＋By＋C2＝0 上任一点，则点 P0 到直线 Ax＋By＋C1＝0 的距离为 d ＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C1|.又 Ax0＋By0＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，∴d＝ |CA1－2＋CB22| .

平面上两点间的距离公式PPT教学课件

初步感知
• 这是一篇回忆性的记叙
文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园” 为何难忘是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名山先生的教诲，令我终生难忘，迄今对他充满感恩和怀念
作文马虎找我谈话
寄夜幕降临促膝长谈园欣赏书画读书先生评画
➢复习回顾：判断两条直线的位置关系有以下结论：
平行重合相交垂直
L1:y=k1x+b1 L2:y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
K1=K2且b1≠b2
K1=K2且b1=b2
K1≠K2
K1k2=-1
L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
炫耀诗才先生批评
第二课时
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
• 体会先生爱生之心、作者敬师之情
回忆性叙事文的特点
• 选择典型事例 • 挖掘重点词语 • 体悟真挚情感
作文马虎找我谈话
寄夜幕降临促膝长生评画终生受益
炫耀诗才先生批评
y
y1
•P1 x1，y1
x1 o
x2 x
P1P2 =|x2 - x1 |
o
x
y2
•P2 x2，y2
P1P2 =|y2 - y1 |
➢构建数学:
3)x1 ≠ x2 ,y1 ≠ y2
y
P1 x1，y1 •
o
• P2 x2，y2

两点间的距离公式课件

工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
THANKS
感谢观看
实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度，根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
在计算两点之间的直线距离、确定物体运动轨迹、解决实际问题等方面都需要用到该公式。
在地理信息系统、地图绘制、导航等领域，该公式也是不可或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距离。
√：表示开平方运算。
06
公式注意事项