2019学年重庆巴蜀中学高二(下)数学(理科)月考试卷

【答案】 【解析】 【分析】 三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.
【详解】如图，几何体 为 三棱锥
， 将三棱锥
补形为直三棱柱
，
其中底面 为等腰直角三角形，其外接圆的半径为 ，侧棱
，
故外接球的半径为
，故三棱锥
外接球的表面积为
.
【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．
10.平行四边形 的四个顶点均在双曲线
曲线的渐近线方程为（ ）
A.
B.
C.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用点差法可求
，从而可得渐近线方程.
上，直线
的斜率分别为 ，1，则该双
D.
【详解】因为双曲线
是中心对称的，
故平行四边形 的顶点 关于原点对称，
（3）利用给出的公式计算出 的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过 的前提下认为成绩优
秀与教学方式有关.
【详解】（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于
分之间，而乙班数学成绩集中于
分之间，所以
乙班的平均分高.
（2）根据题意得 （3）根据题意得到
列联表为
优秀 不优秀 合计
甲班 3 17 20
乙班 10 10 20
【点睛】本题考查组合的计数，为基础题，解题时注意合理分类.
8.下表是某厂 月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知原来根据该数据
由最小二乘法求得回归直线方程为
，则表中模糊不清的数据为（ ）
月份
1
2
3
4
用水量
4.5
3
2.5
A. 2.5
B. 4.5
C. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故 C 错误．
若， ，
，则由直线与平面平行的性质知 ，故 D 正确．
故选 D.
【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档
题.
5.某地气象台预计，7 月 1 日该地区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，设 表 示下雨， 表示刮风，则
两边求导后可得
，
令
，则有
，
因 ，故
即
，填 .
【点睛】二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合 适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结 合多项式的乘法来讨论．
16.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为 1），则该几何体外接球的表面积__________．
C. 021
D. 2021
【答案】B 【解析】 【分析】 把 分解为 【详解】因为
后可得其三进制数的表示. ，
所以
，故
，故选 B.
【点睛】本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键.
12.定义在 （）
上的函数 满足
（其中 为 的导函数），则下列各式成立的是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知学号为 3 号、16 号、42 号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________．
【答案】 【解析】 【分析】 依据系统抽样可知学号是公差为 的等差数列，从而可求余下一个同学的学号. 【详解】因为该班总共 52 人，样本容量为 4，故抽取的学号是公差为 的等差数列，故余下一个同学的学 号为 .填 . 【点睛】本题考查系统抽样的性质，属于基础题.
少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（ ）
A. 8 【答案】B
B. 12
C. 18
D. 19
【解析】
【分析】
就甲选择物理或历史分类计数即可.
【详解】如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有
选考方法种数；
如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有
选考方法种数，
综上，选考方法种数共有 12 种，选 B.
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ， ，则
D. 若 ， ，
，则
【答案】D
【解析】
【分析】
对于 A，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于 C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线
面平行性质定理可得 D 正确.
【详解】若 ， ，则有可能 在面 内，故 A 错误；
若 ， ， 有可能 在 面 内，故 B 错误；
合计 13 27 40
因此在犯错误的概率不超过 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关. 【点睛】本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.
19.如图，已知多面体
的底面是边长为 2 的菱形， 底面 ，
，且
.
（1）证明： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 【答案】（1）详见解析；（2） .
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
解：因为 5 月 1 日浔阳区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，设 A 为下雨，B 为
刮风，则
6.
展开式中 项的系数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑
的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.
【详解】
的通项公式为
17.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为
（其中 为参数），以直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，点 ，求
的值.
【答案】（1）
；（2） .
【解析】
【分析】
（1）曲线 的极坐标方程可以化为
，利用
可得其直角坐标方程.
A. 1080 【答案】A
B. 540
C. 180
D. 90
【解析】
【分析】
先把 6 人分组（按 2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数.
【详解】不同的方案有
，故选 A.
【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；
（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，
甲班
乙班
2
9 01568
66432 1 8322 32211 9877
优秀 不优秀 合计
8 01256689 7 368 6 5799 5 4
甲班
乙班
20
20
合计 40
（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ （2）现从甲班所抽数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取三名同学，事件 表示“抽到成绩为 86 分的同学 至少 1 名”，求 . （3）学校规定：成绩不低于 85 分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的 列联表，并判断“能否在犯 错误的概率不超过 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 下面临界值表仅供参考：
即为直线 与平面 所成的角，
故
，
中,
，
又底面 是边长为 2 的菱形，
，
取 中点 ，连 ，则
，
以 为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为
,
,
,
,
,
底面 ,
，又底面 是菱形，
,
平面 ， 平面 的法向量取
,
设平面 的法向量
，则：
,
，令 得
,
பைடு நூலகம்
二面角
, 的大小为 .
【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投 影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平
，则抛物线上的点
D. 6 到焦点 的距离为 .
3.圆形铜钱中间有一个边长为 4 毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为 16 毫米，现向该铜钱上随机地投入 一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.
，
故
的二项展开式中的常数项为
，
一次项系数为 ，二次项的系数为
，
展开式中 的系数为
，故选 C.
【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式
的乘法来求．
7.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、
生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至
14.已知随机变量 满足
,
【答案】 【解析】 【分析】 利用公式直接计算即可.
【详解】因为
，所以
所以
，填 .
【点睛】一般地，如果
，
.
，
__________．
，
，那么
，
15.设
，若
，
则非零实数 __________． 【答案】 【解析】 【分析】
对题设中的等式两边求导后再令
可得
，从而求得 的值.
【详解】对等式
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10．828
（参考公式：
，其中
）
【答案】（1）乙班；（2） ；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高.
（2）利用古典概型的概率计算公式计算即可.
设
，
，则
所以
，故
，
，
，整理得到：
即
，故
即
，
所以渐近线方程为
即
，选 A.
【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.
11.观察：
，
，
从而得到 47 的二进制数为
，记作：
则，则 A. 202
（） B. 1202
，
，
，
，
，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原
（2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于 的一元二次方程，利用参数 的几何意义可求
的值.
【详解】（1）曲线 的极坐标方程可化为
，因为
，
所以直角坐标方程为
；
（2）设直线 上 两点的参数分别为 ， ，
则
，
，
将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得
，
化简得
，则
，
所以
.
【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是
【详解】设 为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为 平方毫米，铜钱的面积为 平方毫米，
故
，故选 A.
【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体
积等．
4.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
利用线性回归方程对应的直线过 计算可得缺失的值.
【详解】因为回归直线方程
，当
时，
，
设 2 月份用水量为 ，则
，故 ，
故选 D.
【点睛】本题考查线性回归方程对应的直线过 ，属于基础题.
D. 4
9.某学期某大学数学专业的 6 名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数 2,2,1，1 安排到不同的四个
年级的方案共有（ ）
的大小.
【解析】
【分析】
（1）可证平面
平面 ，从而可证 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的
大小.
【详解】（1） 底面 是菱形，
，
因 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理， 平面 ，
，平面
平面 ，
又 平面 ，所以 平面 .
（2）
底面 ，
【解析】
【分析】
构建新函数
，根据题设条件有 在
上为增函数，从而得到
，化简后
可得
.
【详解】 令
，则 在
，即 上为增函数，
，即
，亦即
，亦即
，故选 .
【点睛】如果题设中有关于函数 及其导数 的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数
的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.
【详解】因命题 为“ 故其否定为：
，
”，它是存在性命题，
，选 B.
【点睛】全称命题的一般形式是：
， ，其否定为
.存在性命题的一般形式是
，
，其否定为
.
2.抛物线
上的点
到其焦点 的距离为（ ）
A. 3
B. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用焦半径公式可得 的 长度.
C. 5
【详解】
，故选 C.
【点睛】如果抛物线的方程为
，必要时须在给定方程中构造
．直
线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为
（其中 为参数），注意 表示直线上的点
到
的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．
18.我校某数学老师这学期分别用 两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，入学数学平均 分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各 20 名学生的数学 期末考试成绩，并作出茎叶图如下:
2019 学年重庆巴蜀中学高二（下）数学（理科）月考试卷
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1.命题
，
的否定 是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
按存在性命题的否定的规则写出 即可.