拉氏变换表(包含计算公式)

1
拉氏变换及反变换公式
1. 拉氏变换的基本性质 1
线性定理
齐次性
)()]([s aF t af L =
叠加性
)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±
2
微分定理
一般形式
=
-=][ '- -=-=----=-∑
1
1
)
1()
1(1
2
2
2
)
()()
0()()
(0)0()(])
([)
0()(])([k k k k n
k k
n n
n
n
dt
t f d
t f
f
s
s F s dt
t f d
L f sf s F s dt t f d
L f s sF dt t df L ）
（
初始条件为0时
)(])
([
s F s dt
t f d
L n
n
n
=
3 积分定理
一般形式
∑
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+
+
=
+
=
n
k t n
n k n n
n
n t t t dt t f s
s
s F dt t f L s
dt t f s
dt t f s
s F dt t f L s dt t f s
s F dt t f L 1
1
2
2
2
2
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个
共个
共
初始条件为0时
n
n
n s
s F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个
共
4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts
-=--
5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-
6 终值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t →∞
→=
7 初值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
8 卷积定理
)()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =-=-⎰⎰τττττ
2
2． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) Z 变换E(z)
1 1
δ(t)
1
2 Ts
e
--11
∑∞
=-=
)()(n T nT t t δδ
1
-z z 3 s
1 )(1t
1
-z z 4 2
1s
t
2
)
1(-z Tz
5 3
1s
2
2
t
3
2
)
1(2)
1(-+z z z T
6 1
1+n s
!
n t
n
)(
!
)1(lim
aT
n
n n
a e
z z
a
n -→-∂∂
-
7 a
s +1 at
e
- aT
e
z z -- 8 2
)
(1a s + at
te
- 2
)
(aT
aT e
z Tze --- 9 )(a s s a + at
e
--1 )
)(1()1(aT
aT
e
z z z
e
-----
10 )
)((b s a s a
b ++- bt
at
e
e
---
bT
aT
e
z z e
z z ----
- 11 2
2
ω
ω
+s t
ωsin 1
cos 2sin 2
+-T z z T z ωω
12 2
2
ω
+s s t
ωcos
1
cos 2)cos (2
+--T z z T z z ωω
13 2
2)(ω
ω
++a s t e
at
ωsin - aT
aT aT
e
T ze
z T ze
22cos 2sin ---+-ωω 14 2
2
)(ω
+++a s a s
t e
at
ωcos -
aT
aT
aT
e
T ze z
T
ze
z 22
2
cos 2cos ---+--ωω
15
a
T s ln )/1(1-
T
t a
/
a
z z
-
3
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式
11
10111)
()()(a s a s
a s a
b s b s
b s
b s A s B s F n n n
n m m m m ++++++++==
---- （m n >）
式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑
=-=
-+
+-+
+-+
-=
n
i i
i n
n i
i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1
2
21
1)(
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：
)()(lim s F s s c i s s i i
-=→
或
i
s s i s A s B c ='=
)
()(
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n
i i i
e c -=∑1
② 0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=+
=n
n i
i r r r r r
r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+
+-+
+-+
-+
+-+
-++-- 1
1111111)
()
()
(
式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
4
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r
s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d c r
s s r -=→-
)()(lim
!11)
()(1s F s s ds
d
j c r
j j s s j r -=
→- (F-5)
)()(lim
)!1(1
1)
1()1(11s F s s ds
d
r c r
r r s s --=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11111
1111
)()()
( t
s n
r i i
t s r r r r i e
c e c t c t r c t r c ∑+=---+
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=1
122
111
)!2()!1( （F-6）。