谈谈微分算子

谈谈算子

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适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：

()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即

E I Δ=−

容易发现()()m

E f x f x m =+，所以

00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=

以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得

1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=

然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样

()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+

可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。实际上还可以进一步挖掘联系。

算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。

考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得

()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子

d D dx =

， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D

= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。

海维塞德将这个思想应用到一般的常系数微分方程中去，考虑方程

(1)()(),(0)'(0)"(0)(0)0n P y D y f x y y y −======L

这里()P x 是一个n 次多项式。于是得到形式解

1()()

y f x P D = 海维塞德按照自己的想法认为如果1()P D /能展开成关于1D /的幂级数，即

11()k

k k a P D D

∞==∑ 则原方程的解即为

1

11()()()k k k y f x a f x P D D ∞=⎛⎞⎟⎜==⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑ 以一个具体的例子来说明上述方法可能更容易些。

考虑微分方程：'1,(0)0y y y −==，写成算子形式(1)1D y −=，这里约定数字1为恒等算子。则按上面的形式算子方法得到形式解（等比级数展开）

1211111111111D y D D D D D

⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟=⋅=⎜=+++⋅⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜−−⎝⎠L 根据定义有

0111x dt x D ⋅==∫，0221111(1)2x x tdt D D D ⋅=⋅==∫， (11)

n n

x D n ⋅= 所以 2011()112x x x t x y x x e e dt e D D

⎛⎞⎟⎜⎟=+++===−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫L 代回原微分方程验证，它确实是一个解。

受过严格数学训练的人难以接受这种魔术般的形式方法，但工程师不受此约束，只要这个方法的结果是对的即可，至于数学上的严格性不在考虑范围之内。实际上对于某些问题，这种形式微分算子方法确实比传统方法效率高。

当然本文的关键的问题不是方法简洁与否，而是如此奇怪的形式算子方法为什么是对的，是巧合吗？如果不是巧合，那么很可能打开一片新的天地。历史确实如此，人们经过深入研究发现，上面的形式算子解法本质是一种积分变换，简称L-变换。

L-变换一般定义为：

0[()]()()pt L f t f t e dt F p +∞−==∫

这和微积分中含参数积分是一类问题，为了保证被积函数的收敛性需要对()f t 和正数p

（实际可以取复数）附加一些控制条件，实际中基本满足。这里避开一些琐碎数学细节方面的讨论（细节请大家查阅大学的《积分变换》教材），而直奔矛盾核心。考虑微分方程：

(1)()(),(0)'(0)"(0)(0)0n P y D y f x y y y −======L

则根据L-变换性质，有[()](),[()](),[()]()m m

L y x Y p L y x p Y p L f x F p === 对原方程两边做L-变换得到：()

()()P p Y p F p =---把微分方程变换成代数方程 （对比下即知道()P p 相当于形式微分算子里的()P D ，这说明海维塞德的形式微分算子

方法本质是L-变换）。（为对比海维塞德的方法，默认可展开成幂级数）

解代数方程得到：11

11()()()()()k k k k k k a Y p F p F p a F p P p p p ∞∞==⎛⎞⎟⎜===⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑∑ L -变换存在逆变换1L −，1L −也是线性变换。则依照定义

1111

111()[()]()[()]k k k k k k y x L Y p L a F p a L F p p p ∞−∞−=−=⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎜⎢⎥===⎟⎟⎜⎜⎢⎥⎟⎟⎜⎜⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑ 根据L-变换的定义，直接验证不难得到

01[()]()x L f t dt F p p

=∫ 反复应用上述结论，得k 重积分对应的L-变换为1()k F p p

，于是求逆变换得到 001

1[()]()x k x L F p dt f t dt p −=∫∫L 这正是海维塞德的形式微分算子法。注意到L-变换的每一个数学性质是有严格的数学证明的（请参考大学《数理方程》或《积分变换》教材），这就揭示了形式微分算子的数学本质。 求逆变换1

L −有一般的数学公式，不过要涉及复平面上的积分这里不细说了。不过比较实用的方法是对常见的函数建立L-变换表，应用时再查表（像求积分中原函数），这很像建立原函数表的方法（本质上导数表）。

另外关于两个变换（像函数）乘积的逆变换，可不是原来两个原像函数的简单乘积了，而是复杂一些的“卷积”，这里不细说了。

这里的L-变换即传说中的Laplace 变换。根据我的了解，英国工程师海维塞德发现形式微分算子法的时候并不知道Laplace 变换，而Laplace 变换是数学家们为研究形式微分算子法的深层含义而“考古”时发现的。因为根据已知数学文献，法国数学家拉普拉斯（此人名声不太好）最早用过此方法（但不系统），故而得名。

最后再补充一个Laplace 例子，求下面n 阶常系数微分方程的一个特解 ()x P D y e λ=

我们利用L-变换求原方程的一个特解。

如果λ不是多项式方程()0P t =的根，则由x k k x D e

e λλλ=，得 ()()x x P D e P e λλλ= 显然()x y e P λλ=/是原方程的一个特解。

如果λ是多项式方程()0P t =的根，就麻烦些了。假设为m 重根，即

()()(),()0m P t Q t t Q λλ=−≠

将()x P D y e λ=化为两个微分方程，如下