数值计算方法第一章 误差

2
又若 x* 1452.0 是具有5位有效数字的近似值，
则其误差限为 1 101 。
2
下面的定理给出了相对误差限与有效数 字的关系。
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绝对误差、相对误差和有效数字
定理1.1 若x的近似值 x* 0.a1a2 L an L 10m,
(a1 0) 有n位有效数字，则 1 10 n1 为其相对
2a1
数值分析 (54学时)
主 讲： 董 亚 丽
理学院 数学系
教材：《数值计算方法》， 第2版， 丁丽娟 程杞元 编著 北京理工大学 出版社
参考书目： 1、《数值分析原理》，封建湖等 科学出版社
2、《数值计算方法》，吕同富等，清华大学出版社
3、《数值计算方法》，合肥工业大学出版社
误差的来源
第一章 误差
x x*
9
绝对误差、相对误差和有效数字
容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定 不超过被保留的最后数位上的半个单位， 即 最后数位上的半个单位为其误差限。
例如若取 的近似值为3.14，则
3.14 0.0016 1 102
2
若取 3.142 , 则 3.142 0.00041 1 103
定义1 设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称
e( x* ) x x*
(1-1)
为近似值 x* 的绝对误差，简称误差。
当 e(x* ) 0 时 ,称 x* 为弱近似值或亏近似值.
当 e(x* ) 0 时 ,称 x* 为强近似值或盈近似值. 一般情况下 准确值 x 难以求出，从而也不
能算出绝对误差 e(x*) 的准确值，但可以根据测量 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
i1
xi
f
xi* x1*, , xn*
er
xi*
特别地，由式（1－9）及（1－10）可得和、 差、积、商之误差公式。
27
数值计算中误差的传播
e( er
x1 x2 )
x1 x2
e(x1)
x1
x1
x2
e(x2 )
er x1
x1
x2 x2
er
x2
(1-11)
e
x1
x2
x2e
的高阶无穷小，可以忽略不计。
所以，取绝对误差与近似值之比为相对误 差是合理的。
12
绝对误差、相对误差和有效数字
同样，相对误差也只能估计其上限。 如果存在正
数
，
r
使得
e x* er x* x* r
(1-4)
则称 r为 x*的相对误差限。
显然，误差限与近似值绝对值之比 x* 为 x*的 一
0.1
4107
c* 2.997925105
所以，4 107 是 c* 的一个相对误差限。
14
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.2 有效数字 有效数字是近似值的一种表示法。它既能表
示近似值的大小，又能表示其精度程度。 在计算过程中，常常按四舍五入的原则取数
x 的前几位数 x* 为其近似值。
例如，x 2 1.414213562 L ,取前四位数得 x* 1.414. 取前八位数得近似值 x* 1.4142136
2
10
绝对误差、相对误差和有效数字
误差限的大小不能完全反映近似值的精确程度。 要刻画近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的 大小，还必须考虑所测量本身的大小， 由此引出 了相对误差的概念。
定义2 设 x*为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比为近似值 x* 的相对误差，记为 er (x* )
24
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器
字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。
本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有Leabharlann Baidu数字
1.2.1 绝对误差与相对误差
§1.1 误差的来源
数值计算方法是应用数学研究的一个重要分 支(又称数值分析或计算方法)， 是研究科学与 工程技术中数学问题的数值解及其理论的,
或者说是“研究用于求得数学问题近似解的 方法和过程”。
用数学方法解决实际问题，常按以下过程 进行：
实际问题 抽象、简化 数学模型 数值计算 问题近似解
3
误差的来源
一般地，如果近似值 x* 的规格化形式为
x* 0.a1a2 an 10 m (1-5) 其中m为整数，a1 0, ai i 1,2, 为0到9之间
的整数。
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x* 0.a1a2 an 10 m
(1-5)
如果
x x* 1 10mn 2
(1-6)
则称近似值 x* 有n位有效数字。 例到如小数x 点0后.00第34050位 ,12有130位5 表有示效近数似字值。0.003400准确
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数值计算中误差的传播
其相对误差为
e y* y y*
n f
i 1
x1*, x2*,L xi
, xn*
e
xi*
er
y*
e y* y*
d ln f
n f x1*, , xn*
e xi*
i1
xi
f x1*, , xn*
(1-10)
n f x1*, , xn*
定理1.1表明，由有效数字位数可以求出相对误
差限。如 x* 2.72 是x e 的具有3位有效数字的
近似值, 故其相对误差限为
r
1 1031 22
0.25102
22
数值计算中误差的传播
例: 要使 20 的近似值的相对误差小于1%,应取
几位有效数字？
解: 4 20 5,
20 的首位非零数是4, a1 4
x1
x1e
x2
er x1x2 er x1 er x2
(1-12)
e
x1 x2
1 x2
e
x1
x1 x22
e x2
er
x1 x2
er
x1
er
x2
(1-13)
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数值计算中误差的传播
式(1-11)～式(1-13)表明，和、差之误差为误 差之和、差; 积、商之相对误差为相对误差之 和、差。
个相对误差限。
例 取3.14作为 的四舍五入的近似值,试求其
相对误差限.
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绝对误差、相对误差和有效数字
解:
3.14 0.0016 1 102
2
相对误差限 又如
x*
1 102
2
0.159 %
3.14
由实验测得光速近似值为 c* 2.997925105 km/s，
其误差限为 0.1 km/s， 于是
x1, x2, xn 有关， 记为
y f x1, x2, , xn
参量的误差必定引起解的误差。设 的近似值分别为 x1*, x2*,L , xn*
相应的解为
(1-7)
x1, x2 ,L , xn
y* f (x1*, x2*,L , xn*)
(1-8)
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数值计算中误差的传播
假定 f 在点 (x1*, x2*,L , xn*) 可微， 则当数据误差 较小时，解的绝对误差为
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
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绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
由于实际问题建立起来的数学模型,在很多情况 下得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的 近似解.
例如,常用有限过程逼近无限过程,
用能计算的问题代替不能计算的问题. 这种数学模型的精确解与由数值方法求出的
近似解之间的误差称为截断误差。
由于截断误差是数值方法固有的, 故又称方法误差.
如求一个收敛的无穷级数之和， 总是用它
的部分和作为近似值，也就是截去该级数后面
的无穷多项。
5
误差的来源
例如
x2 x4 x6
1 n x2n
cos x 1 L 2 4! 6!
2 n !
L
当 x 很小时，可以用 1 x2 作为 cos x 近似值。
2
由交错级数判断的莱布尼兹（Leibniz）准则， 它的截断误差的绝对值不超过 x4
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
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数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
e y* y y* f x1, x2 ,L , xn f (x1*, x2*,L , xn*)
df (x1*, x2*, xn*) n f i 1
x1*, x2*,L , xn* xi
xi xi*
n f i1
x1* , x2* , xi
, xn*
e
xi*
(1-9)
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
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数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
例1：设 y xn，求 y的相对误差与 x 相对误
差 之间的关系。 解: 由式（1－10）得
er y d ln xn ndln x ner x
所以 xn 的相对误差是x 的相对误差的n倍。 特别地， x 的相对误差是x 的相对误差的一半。
30
数值计算中误差的传播
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e(x* ) x x*
(1-2)
通常称 为近似值 x*的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。
有了误差限及近似值，就可以得到准确值
的范围
x* x x*
即准确值 x 必定在区间 x* , x* 内，
也常记作:
即
er x*
ex*
x
x
x* x
(1-3)
relative error
11
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x总是未知的，
故一般取相对误差为
er
x*
e x* x*
x
x* x*
可以证明当 er x*
e x*
很小时， x
e x* x*
是 er x*
误差限。反之，若 x* 的相对误差 r 满足
r
1
2a1
1
10n1
则 x* 至少具有n位有效数字。
20
绝对误差、相对误差和有效数字
证明: 若 x* 具有 n 位有效数字, 则
由式（1-6）
e x* x x* 1 10mn 2
从而有
e x*
er x* x*
1 10mn 2
0.a1a2 L an L 10m
15
绝对误差、相对误差和有效数字
前面已经提到,通过四舍五入得到的数,其绝对 误差均不超过末位数字的半个单位，
2 1.414 1 103 2
3.1416 1 104
2
如果近似值 x*
的误差限是
1 10n , 2
则称
x*
准
确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这
一位的所有数字均称为有效数字。
设近似数 x* 有n位有效数字,只须取n使
1 10n1 1% 2a1
即
10n1 8%,
10n 10 ,
8%
1 10n1 1% 24
n lg 10 2.097 8%
取n=3, 即取3位有效数字, 近似值的相对误差
小于1%. 即 20 4.47
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数值计算中误差的传播
§1.3 数值计算中误差的传播
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
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绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
1.4142136作为 2 的近似值精确到小 数点后第7位，有8位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。
形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
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绝对误差、相对误差和有效数字
例如若 x* 1452.046 是具有7位有效数字的 近似值，则它的误差限为
x x* 1 103 1 1047 , m 4, n 7
2
因此，在计算过程中，误差是不可避免的。 在此过程中，引起误差的因素很多，主要有以 下几种：
1.模型误差 实际问题的解与数学模型的解之差称为
“模型误差”。 2.观测误差
数学问题中总包含一些参量，它们的值往 往是由观测得到的, 而观测不可能绝对准确， 由此产生的误差称为“观测误差”。
4
误差的来源
3.截断误差