高等数学-第5章 5.2.1教学课件
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《高等数学》课件第5章
因为图5-1所示的图形不是规则图形，所以它的面积不能 用学过的规则图形的面积公式直接求解. 该图形的三条边是 直线，其中有两条边垂直于第三条底边，而第四条边是曲线 段，这样的图形我们称为曲边梯形.
观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲 边梯形面积之差. 计算任意曲线所围成的平面图形面积的关 键在于计算曲边梯形的面积. 下面将研究曲边梯形的面积.
的近似值为
n
A f (i )xi
i1
(4) 取极限.当分割无限加细，即小区间的最大长度
max{ x1, x2 ,, xn}
趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积之和趋近于曲边梯形面
积，即
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
2. 引例5-2 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续 函数，且v(t)≥0，计算物体在时间段［T1，T2］内所经过的路 程s. 由于速度v=v(t)连续， 在解题思路上与求曲边梯形的面积 类似：
差一个常数，所以
x
f (t)dt F(x) C (a≤x≤b) a
在上式中，令x=a，解得C=－F(a)， 再代入上式得
x
a f (t)dt F(x) F(a)
再令x=b，并把积分变量t换成x，便得到
b
a f (x)dx F(b) F(a)
为方便表示，通常记 F(b)－F(a) [F(x)]ba
第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的计算方法 5.4 广义积分 5.5 定积分的几何应用 5.6 定积分的物理应用 本章小结
5.1 定积分的概念与性质
5.1.1
引例5-1(校园草坪面积问题) 某学校校园草坪平面图形尺 寸如图5-1所示(单位：m)，其中曲线段部分是抛物线型，试 计算草坪的面积.
观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲 边梯形面积之差. 计算任意曲线所围成的平面图形面积的关 键在于计算曲边梯形的面积. 下面将研究曲边梯形的面积.
的近似值为
n
A f (i )xi
i1
(4) 取极限.当分割无限加细，即小区间的最大长度
max{ x1, x2 ,, xn}
趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积之和趋近于曲边梯形面
积，即
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
2. 引例5-2 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续 函数，且v(t)≥0，计算物体在时间段［T1，T2］内所经过的路 程s. 由于速度v=v(t)连续， 在解题思路上与求曲边梯形的面积 类似：
差一个常数，所以
x
f (t)dt F(x) C (a≤x≤b) a
在上式中，令x=a，解得C=－F(a)， 再代入上式得
x
a f (t)dt F(x) F(a)
再令x=b，并把积分变量t换成x，便得到
b
a f (x)dx F(b) F(a)
为方便表示，通常记 F(b)－F(a) [F(x)]ba
第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的计算方法 5.4 广义积分 5.5 定积分的几何应用 5.6 定积分的物理应用 本章小结
5.1 定积分的概念与性质
5.1.1
引例5-1(校园草坪面积问题) 某学校校园草坪平面图形尺 寸如图5-1所示(单位：m)，其中曲线段部分是抛物线型，试 计算草坪的面积.
高等数学教学课件5.2
第二节
第五章
定积分基本性质
例1. 利用定义计算定积分
1
xdx .
0
解: 被积函数连续， 故将 [0,1] n 等分, 分点为
xi
i n
(i 0,1, , n)
则
xi
1 n
(i 1,2,
, n),
取 i
i n
,
于是
f (i )xi i xi
i 1, nn
n
f (i )xi
i1
1 n2
n i1
i
n(n 1) 2n2
1
xdx
0
n
lim
x 0 i1
f ( i )xi
lim n(n 1)
n 2n2
1 2
例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
lim
n
n
i1
1 i 1 nn
x
x
F(x) f(t)g(t)dt G(x) g(t)dt
a
a
注：当g = 1时就是普通的积分中值定理.
注：积分中值定理对 a b或a b 都成立.
普通的中值定理的几何意义:
1
b
f (x)dx f ( )
ba a
y f (x) y
可理解成 f (x)在[a,b]上的平均值.
因为
Oa b x
例3.
试比较积分
1
e
x
d
x
与
第五章
定积分基本性质
例1. 利用定义计算定积分
1
xdx .
0
解: 被积函数连续， 故将 [0,1] n 等分, 分点为
xi
i n
(i 0,1, , n)
则
xi
1 n
(i 1,2,
, n),
取 i
i n
,
于是
f (i )xi i xi
i 1, nn
n
f (i )xi
i1
1 n2
n i1
i
n(n 1) 2n2
1
xdx
0
n
lim
x 0 i1
f ( i )xi
lim n(n 1)
n 2n2
1 2
例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
lim
n
n
i1
1 i 1 nn
x
x
F(x) f(t)g(t)dt G(x) g(t)dt
a
a
注：当g = 1时就是普通的积分中值定理.
注：积分中值定理对 a b或a b 都成立.
普通的中值定理的几何意义:
1
b
f (x)dx f ( )
ba a
y f (x) y
可理解成 f (x)在[a,b]上的平均值.
因为
Oa b x
例3.
试比较积分
1
e
x
d
x
与
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
高等数学(经管类专业适用)-第5章 5.2.2教学课件-PPT文档资料
*
解：设每天需要鱼粉为 x 千克和碎肉 y 千克，建立数学模型如下：
目标函数： min z 0.65x 0.52 y
0.60 x 0.50 y 1.80 0.5 x 0.11y 0.40 约束条件： 0.18 x 0.05 y 0.30 x, y 0
表 5-6 每千克饲料的蛋白质含量 鱼粉 碎肉 每千克饲料的钙含量 每千克饲料的氨基酸含量
0.60 0.50
0.5 0.11
0.18 0.05
每千克鱼粉的成本为 0.65 美元，而每千克碎肉的成本为 0.52 美元．请确 定最小成本的饲养计划．
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*
1.必做：《习题集》作业5.2.2 2.选做：习题5.2的3
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*
将模型输入 Excel 表格如图 5-17 所示．
图5-17
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*
规划求解结果如图5-18所示：
图5-18
从图 5-18 所示，当 x1 ＝12， x2 ＝0， x3 ＝9， x4 ＝3， x5 ＝0， x6 ＝6， x7 ＝4 时，排 班配备人数最少为 34 人．
大一高数上 PPT课件 第五章.
[a, b] — —积分
.
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
注：
） 积分仅与被积函数及积分区间有关， （1） 积分仅与被积函数及积分区间有关，
与积分变量的字母的选择无关. 而 与积分变量的字母的选择无关 .
b
n
∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du
2
i =1
i =1
exdx 练习 利用定义计算定积分 ∫
0
1
解 f ( x) = e x 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 上连续， 上可积. 上连续 在 上可积 等分， 将 [0,1]n 等分，左侧取点 i −1 i −1 1 ξi = , ∆x i = f (ξ i ) = e n n n 1 2 n −1 n 1 0 ∑ f (ξ i )∆xi = n [e + e n + e n + L + e n ] i =1 1 等比数列求和 1 1 1 − (e n )n = ( e − 1) n = ⋅ 1 1 n en − 1 1 − en 1
∑
i =1 n
n
f (ξ i )∆xi = ∑ ξ i ∆xi = ∑ xi2∆xi ,
2
n
n
1 n 2 1 n( n + 1)(2n + 1) i 1 = i = 3⋅ = ∑ ⋅ 3∑ n 6 n n i =1 i =1 n 1 1 1 = 1 + 2 + , λ → 0 ⇔ n → ∞ 6 n n n 1 1 1 1 1 2 2 ∫0 x dx = lim ∑ ξ i ∆xi = lim 6 1 + n 2 + n = 3 . n→ ∞ λ → 0 i =1
高等数学基础第五章
4x3dx x4 C
(2)因为 (ex C) ex ，故ex C 是e x 的所有原函数，于是有 exdx ex C
(1) 0dx C
(2) 1dx dx x C
(3)
x dx 1 x1 C ( 1) 1
xdx
1 cos2
x
dx
tan
x
C
(10)
csc2
x
1 sin2
x
dx
cot
x
C
(11) sec x tan xdx sec x C
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
(14)
线有无限多条，它们中的任何一条，都可以通过将积分曲线 y F(x)沿y 轴
方向平行移动而得到，所以一个函数f (x) 的不定积分的图形就是其全部积 分曲线所构成的曲线族(如图5-1)。
例2 已知某曲线在任意点处的切线斜率为2x，且曲线过点(0,1)，求该曲线的
1
1 x2
dx arctan x C
二、不定积分的性质和几何意义
1. 不定积分的性质
性质1 ( f (x)dx) f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx 性质2 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质3 （f (x) g(x)）dx f (x)dx g(x)dx
f xdx F x C
其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f xdx 称为被积表达式，x 称为积分
(2)因为 (ex C) ex ，故ex C 是e x 的所有原函数，于是有 exdx ex C
(1) 0dx C
(2) 1dx dx x C
(3)
x dx 1 x1 C ( 1) 1
xdx
1 cos2
x
dx
tan
x
C
(10)
csc2
x
1 sin2
x
dx
cot
x
C
(11) sec x tan xdx sec x C
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
(14)
线有无限多条，它们中的任何一条，都可以通过将积分曲线 y F(x)沿y 轴
方向平行移动而得到，所以一个函数f (x) 的不定积分的图形就是其全部积 分曲线所构成的曲线族(如图5-1)。
例2 已知某曲线在任意点处的切线斜率为2x，且曲线过点(0,1)，求该曲线的
1
1 x2
dx arctan x C
二、不定积分的性质和几何意义
1. 不定积分的性质
性质1 ( f (x)dx) f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx 性质2 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质3 （f (x) g(x)）dx f (x)dx g(x)dx
f xdx F x C
其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f xdx 称为被积表达式，x 称为积分
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
第五章 积分 5-2 原函数与微积分基本定理
f (x) d x.
如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则不定积分 积分变量
积分号 f (x) d x F (x) C
积分常数
被积函数 被积表达式 f (x) 的一个原函数
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 5 求 x d x ( 1).
解 由 1 x 1 是 x 的一个原函数,
《高等数学》课件 (第五章第二节)
若 F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数, 则对任意常数 C, F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的一个原函数.
若 G (x) 是 f (x) 在 I 上的另一原函数, 则在 I 上 (F (x) G (x))' 0,
从而 G (x) F (x) C (C 为常数), 即 f (x) 在 I 上的任何一个原函 数都可以表示成 F (x) C 的形式.
y =F (x) + C
x
《高等数学》课件 (第五章第二节)
性质 1 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数, 则
( f ( x) d x) f ( x)
或
d ( f (x) d x) f (x) d x.
性质 2 若 f (x) 的导函数在区间 I 上可积, 则
f ( x) d x f ( x) C
得到积分中值定理.
又当积分中值定理成立时, 存在 [a, b] 使得
b
F (b) F (a) a f ( x) d x
f ( ) (b a) F ( ) (b a).
得到微分中值定理.
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 cos x 是 sin x 的一个原函数, 所以
0 sin x d x cos cos 0 2.
如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则不定积分 积分变量
积分号 f (x) d x F (x) C
积分常数
被积函数 被积表达式 f (x) 的一个原函数
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 5 求 x d x ( 1).
解 由 1 x 1 是 x 的一个原函数,
《高等数学》课件 (第五章第二节)
若 F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数, 则对任意常数 C, F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的一个原函数.
若 G (x) 是 f (x) 在 I 上的另一原函数, 则在 I 上 (F (x) G (x))' 0,
从而 G (x) F (x) C (C 为常数), 即 f (x) 在 I 上的任何一个原函 数都可以表示成 F (x) C 的形式.
y =F (x) + C
x
《高等数学》课件 (第五章第二节)
性质 1 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数, 则
( f ( x) d x) f ( x)
或
d ( f (x) d x) f (x) d x.
性质 2 若 f (x) 的导函数在区间 I 上可积, 则
f ( x) d x f ( x) C
得到积分中值定理.
又当积分中值定理成立时, 存在 [a, b] 使得
b
F (b) F (a) a f ( x) d x
f ( ) (b a) F ( ) (b a).
得到微分中值定理.
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 cos x 是 sin x 的一个原函数, 所以
0 sin x d x cos cos 0 2.
《高等数学》课件第五章
证:
于是
所以
例6. 若f (x)在[0 , 1] 上连续,证明
解: (1) 记
并由此计算
则
即
例7. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
01
02
周期的周期函数
03
则有
并由此计算
01
定理2.
02
则
二、定积分的分部积分法
例8. 计算
证: 令
01
为正偶数
02
为大于1的正奇数
2.
右端
试证
分部积分
再次分部积分
= 左端
解:
将 [0,1] n 等分, 分点为
可积的必要条件:
定理3.
注
01
注. 当n 较大时, 此值可作为的近似值
02
01
02
03
两端分别相加, 得
得
即
[注] 利用
例2. 用定积分表示下列极限:
解:
2
( k 为常数)
3
证:
1
(设所列定积分都存在)
4
= 右端
四、定积分的性质
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
得
3) 近似和.
取极限.
令
则曲边梯形面积
01
02
03
设某物体作直线运动,
01
且
02
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
03
解决步骤:
04
大化小.
05
将它分成
06
在每个小段上物体经
07
常代变.
08
得
09
已知速度
10
个小段
于是
所以
例6. 若f (x)在[0 , 1] 上连续,证明
解: (1) 记
并由此计算
则
即
例7. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
01
02
周期的周期函数
03
则有
并由此计算
01
定理2.
02
则
二、定积分的分部积分法
例8. 计算
证: 令
01
为正偶数
02
为大于1的正奇数
2.
右端
试证
分部积分
再次分部积分
= 左端
解:
将 [0,1] n 等分, 分点为
可积的必要条件:
定理3.
注
01
注. 当n 较大时, 此值可作为的近似值
02
01
02
03
两端分别相加, 得
得
即
[注] 利用
例2. 用定积分表示下列极限:
解:
2
( k 为常数)
3
证:
1
(设所列定积分都存在)
4
= 右端
四、定积分的性质
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
得
3) 近似和.
取极限.
令
则曲边梯形面积
01
02
03
设某物体作直线运动,
01
且
02
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
03
解决步骤:
04
大化小.
05
将它分成
06
在每个小段上物体经
07
常代变.
08
得
09
已知速度
10
个小段
高等数学英文版课件PPT 05 Integrals
Example 3 Find the area under the cosine curve from 0 to b,
where 0 b / 2.
Solution We choose a regular partition P so that
||P||=b/n
and we choose xi to be the right-hand endpoint of the ith sub-
Chapter 5
Integrals
5.2 Area 5.3 The Definite Integral 5.4 The Fundamental Theorem of Calculus 5.5 The Substitution Rule
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4.2 Area
Area Problem: Find the area of the region S that lies under the curve y=f(x) from a to b.(see Figure 1)
n
n
Ai f (xi)xi
i 1
i 1
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Figure 3
y y=f(x)
S1 S2
Si
Sn
oa
Xi-1
Xi
x b
approximated by
y y=f(x)
Figure 4
R1 R2
o a x1 x2
Ri
Rn
Xi-1
Xi
xi
xn b
x
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Example 2: Find the area under the parabola y=x2+1 from 0 to 2.
高等数学第5章课件-§-5.1 二次型的矩阵表示
2 i
n
i =1
∑≤ n aij xi x j 1≤ i < j
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
i<j 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + ⋯⋯ + a1n x1 xn 2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n x2 x n
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆. C .
§5.1 二次型的矩阵表示
2）合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 ⇒ 秩 ( B ) = 秩 ( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
⇒ B′ = (C ′AC )′ = C ′A′C = C ′AC = B
. 它是非退化的.
cosθ − sinθ = 1. ∵系数行列式 sinθ cosθ
§5.1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示 ⎛ c11 c12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ c21 c22 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 令 X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜c c ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n1 n 2 ... ... ⋯ ...
1 1 1
⎛ 1 52 6⎞ 2. ⎜ 5 2 4 7 ⎟ ⎜ 6 7 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ n−1 n −1 n −1 n ... −1 n ⎞ ⎜ −1 n n−1 n −1 n ... −1 n ⎟ 4. ⎜⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎜ −1 −1 −1 ... n−1 ⎟ n n n⎠ ⎝ n
n
i =1
∑≤ n aij xi x j 1≤ i < j
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
i<j 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + ⋯⋯ + a1n x1 xn 2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n x2 x n
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆. C .
§5.1 二次型的矩阵表示
2）合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 ⇒ 秩 ( B ) = 秩 ( A) 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
⇒ B′ = (C ′AC )′ = C ′A′C = C ′AC = B
. 它是非退化的.
cosθ − sinθ = 1. ∵系数行列式 sinθ cosθ
§5.1 二次型的矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示 ⎛ c11 c12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ c21 c22 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 令 X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ , C = ⎜ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜c c ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n1 n 2 ... ... ⋯ ...
1 1 1
⎛ 1 52 6⎞ 2. ⎜ 5 2 4 7 ⎟ ⎜ 6 7 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ n−1 n −1 n −1 n ... −1 n ⎞ ⎜ −1 n n−1 n −1 n ... −1 n ⎟ 4. ⎜⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎜ −1 −1 −1 ... n−1 ⎟ n n n⎠ ⎝ n
高等数学第五章
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b
x b 所围成.
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
因为 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且 f ( x ) 0
所以ln f ( x ) 在[0,1]上有意义且可积 ,
i 1 1 ln f ( x )dx lim ln f 0 n i 1 n n
n
故 lim n
n
1 f n
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
y
o a
x1
x i 1 i x i
x n 1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
某时刻的速度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
n
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界， [a , b]中任意插入 在
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b
x b 所围成.
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
因为 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且 f ( x ) 0
所以ln f ( x ) 在[0,1]上有意义且可积 ,
i 1 1 ln f ( x )dx lim ln f 0 n i 1 n n
n
故 lim n
n
1 f n
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
y
o a
x1
x i 1 i x i
x n 1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
某时刻的速度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
n
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界， [a , b]中任意插入 在
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解：由题意，设生产 x 把椅子和 y 张桌子,使得收入最大化.建立数学模型
如下： 目标函数： max z 6x 16y 3x 5y 1500 约束条件： 10x 36 y 8000 x, y 0
.将模型输入 Excel 表格如图 5-13 所示：
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Thank you!
Hale Waihona Puke 《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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图5-13 《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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说明：为了保证其结果为整数，其中一种方法可在求解前设置可 变元格和目标单元格为整数，选定该单元格，单击右键，选择设置 单元格格式，在数值选项卡里，修改小数位数为 0．
需要的资源数量≤提供的资源数量
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线性规划问题主要有两类： 第一类是如何统筹安排，才能用最少的人力物力资源去完成一项确定的任 务. 第二类是如何安排已有的人力物力资源，使得完成任务最多． 若按照函数约束分类，线性规则大致分为以下四个问题： （1）资源分配问题（ ，资源约束）； （2）成本收益平衡问题问题（ ，收益约束）； （3）网络配送问题（＝，确定需求约束）； （4）混合问题（包含两种或三种类型的约束函数）．
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在管理决策中有许多方面的问题需要通过线性规划来解决，以下为典型资 源分配的应用.
【例 1】（下料问题）某家具工厂的产品是长椅子和办公用的桌子，在生产 期间最大的可用工时为 1500 小时;公司的可用木材量为 8000 块．每把长椅子需 要 3 个工时和 10 块木料，每张桌子需要 5 个工时和 36 块木料；椅子和桌子的 边际收益分别为 6 美元、16 美元，要求合理使用材料，使得收入最大化．
-5 5.2.1
高
等
教 学
数 学
课第
件章
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线性规划数学模型的一般形式：
目标函数： max(min)z c1x1 c2 x2 cn xn
约束条件 s.t.
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
x1, x2 ,
产品所需的设备台数，A、B 两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下
表 5-3 所示，问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？
表 5-3
I
II
资源限量
设备
1
2
8（台数）
原材料 A
4
0
16（kg）
原材料 B
0
4
12（kg）
单位产品利润（万元） 2
3
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a 1n xn (, )b1 a 2n xn (, )b2
a mn xn (, )bm , xn 0
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资源分配问题是线性规划问题中的一种常见的类型，它 是在某些条件约束下，有限的资源合理地分配到各种活 动中，以实现最优决策．这类问题的所有约束条件都是 资源约束,并且每一种资源的条件约束的形式都可以写成：
按上节规划求解过程所得的求解结果如图 5-14 所示：
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图5-14
从求解结果得出椅子生产241把，桌子生产155张，可以使得收入最大为3931元．
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【例 2】某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
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练习5.2.1
某农场每天至少使用 800 磅特殊饲料，这种特殊饲料由玉米和大豆粉配制而成，含有表 5-4 所 示成份：
表 5-4
特殊饲料的营养要求是至少 30%的蛋白质和 2%的纤维，请确定每天最小成本的饲料配制．
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归纳 总结两个例子的共性：都是资源限量情况下的利益 最大化问题，比较目标函数和约束条件．
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1.必做：《习题集》作业5.2.1 2.选做：习题5.2的1
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解：设 x1, x2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量．由于资源的限制，
所以该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：
目标函数：max z 2 x1 3 x2
约束条件：(s.t .)
x1 2 x2 8
4 x1 16 4 x2 12
x1 0, x2 0
.将模型输入 Excel 表格如图 5-15 所示：
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图5-15 《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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求解结果如图5-16所示:
图5-16 《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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所以当 x=4,y=2 时，获利最多为 14 万元. 以上两个例子都是资源限量情况下的利益最大化问题，通过线性规划能对 资源分配问题的管理决策提供帮助，它能够实现多线性约束条件下的决策最 优．通过 Excel 中的 Solver 宏，可以方便地对线性规划问题进行求解，从而给 决策者提供合理的决策建议．