二项分布与Poisson分布
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
Poisson分布
• Poisson分布是描述当试验中成功的概率很小 (如0.05)，而试验的次数n很大的小概率事件
出现规律性的一种离散型随机分布。 • 用于描述在单位时间(空间)内稀有事件的发生数。
医学卫生领域中服从Poisson分布指标
恶性肿瘤的死亡率 ; 放射性物质在单位时间内的放射次数； 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 野外单位空间中的某种昆虫数等。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 012 345
(b)
0.18 0.16 0.14
n =30 π =0.3
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(d)
•由数理统计学的中心极限定理可知，当n较大、 不接近0也不接 近1时，二项分布B( n , )近似正态分布：
正态近似法
当n较大， p 和 1 p 均不太小，如 np 和 n(1 p) 均
大于5时，利用正态近似的原理，可作样本率p与已 知总体率的比较，检验统计量为：
Z p0 0 (1 0 ) n
例10.6 一项调查结果表明某市一般人群的艾滋病知识 知晓率为65%。现对该市吸毒人群进行调查，在150名 吸毒人员中有130人回答正确。问该市吸毒人群的艾滋 病知识知晓率是否高于一般?
X ~ N(n , n (1 ))
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 – 查表法 – 正态近似法
• 单个样本率与总体率比较 – 直接计算概率法
– 正态近似法 • 两样本率的比较
总体率的区间估计
• 查表法：当n≤50时可查表求总体率的95%或 99%可信区间(附表7)。
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
如何快速识别“二项分布”与“泊松分布”
如何快速识别“二项分布”与“泊松分布”介绍在概率论与统计学中，二项分布和泊松分布是两种常见的离散概率分布。
虽然它们都描述了随机事件的发生次数，但在应用中需要快速识别二者，以选择适当的概率模型和进行相应的分析。
二项分布二项分布描述了n次独立重复试验中成功事件发生的次数。
它具有以下特点：- 试验结果只有两种可能的结果，成功和失败。
- 每次试验的成功概率是固定且相同的。
- 各次试验是相互独立的。
识别二项分布的主要特征：- 试验结果只有两种可能的结果。
- 试验次数是固定的，并且试验之间是独立的。
- 每次试验的成功概率是固定的。
泊松分布泊松分布描述了在一个固定时间段内，某个事件发生的次数。
它具有以下特点：- 事件在给定时间段内以固定的平均速率发生，且事件之间是独立的。
- 事件发生的次数没有上限，可以是0次、1次、2次等等。
识别泊松分布的主要特征：- 事件在给定时间段内以平均速率发生。
- 事件发生次数没有上限。
- 事件之间是独立的。
区别与应用区别二项分布和泊松分布的关键在于事件的发生次数是否有上限。
- 如果事件发生次数有上限，如抛硬币的正反面次数，可使用二项分布进行建模和分析。
- 如果事件发生次数没有上限，如单位时间内接收到的电子邮件数量，可使用泊松分布进行建模和分析。
在应用中，要根据具体情况的特点选择适当的分布：- 如果试验次数和成功概率都固定且有限，使用二项分布更合适。
- 如果事件发生次数是连续的、无上限的，使用泊松分布更合适。
结论通过快速识别二项分布与泊松分布的特征，我们可以根据实际问题选择合适的概率模型进行分析和预测。
在实际应用中，合理选择概率分布可以提高问题解决的准确性和效率。
希望本文对您有所帮助！参考资料：- 统计学教学辅助网站。
二项分布与Poisson分布
px 7 1 px 8 1 p(x 8) x 9
1 C180 0.868 0.142 0.58 0.155
因此，10例患者中至少9例有效的概率为0.581，至多7例有效的概率 为0.155。
n
P( X K ) P(K ) P(K 1) P(K 2) P(n) P( X )
K
（3）至多有k例阳性的概率：
k
P( X K ) P(0) P(1) P(2) P(k) P( X )
X= 0, 1, 2, … k…n
0式
生存数 （X）
3
死亡数 （n-X)
0
2
1
1
2
0
3
甲乙 丙
生生 生 生生 死 生死 生 死生 生 生死 死 死生 死 死死 生 死死 死
每种组 每种排列的概率 合的概
px nx1 nx, x 率
0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.8×0.2×0.2=0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512
他观察单位的结果。 6
三. 概率的计算：
从一个阳性率为π的总体中，随机抽取含量为n的样本，则 样本中阳性数X或阳性率p服从二项分布B （ n、π）。
（1）恰有k例阳性的概率：
P(X k) (nk ) k 1 nk
(
n k
)
n! k!(n
k )!
（2）至少有k例阳性的概率：
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
二项分布、poisson分布和正态分布的关系
二项分布、poisson分布和正态分布的关系二项分布、Poisson分布和正态分布是概率论中常见的三种分布，它们之间有着密切的关系。
首先，二项分布和Poisson分布都属于离散型分布，而正态分布则是连续型分布。
二项分布指的是在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布，而Poisson分布则是描述在一段时间内某事件发生的次数的概率分布。
当n很大时，二项分布逐渐逼近Poisson分布。
其次，当n很大而p很小时，二项分布可以近似看作正态分布。
这是由于当n很大时，二项分布的均值和方差均趋近于无穷大，而正态分布的均值和方差也是无穷大的，因此两者可以近似看作相同的分布。
这种近似在统计学中被广泛使用，例如在假设检验和置信区间中的应用。
最后，Poisson分布和正态分布之间也有一定的关系。
当Poisson 分布的参数λ很大时，它也可以近似看作正态分布。
这是由于当λ很大时，Poisson分布的均值和方差趋近于相等，而正态分布的均值和方差也是相等的，因此两者可以近似看作相同的分布。
综上所述，二项分布、Poisson分布和正态分布之间有着密切的关系，在实际应用中它们经常会相互转化和近似。
这些分布的理解和掌握对于进行概率统计分析具有重要的意义。
- 1 -。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
SPSS-二项分布与poisson分布
例：设一般人群食管癌患病率为30/10万， 某研究者随机抽查当地500人，问至少6 人患食管癌的概率为多少？ =500×30/10万=0.15，X=6 至少6人患食管癌的概率为： P（X≥6）= 1－ P（X≤5）
= 1－ CDF.POISSON（5，0.15 ）
笃 学
CDF.BINOM（X，n，p）－ CDF.BINOM（X － 1 ，n，p）。
笃 学 精 业 修 德 厚 生
1. SPSS数据录入： 随便录入一个数据 2. 采用函数计算发生阳性数为不同值时的概率大小： Transform →Compute ，弹出对话框，设置一个新变量为 概率px，然后在数学表达式空白栏中输入 CDF.BINOM（X，10，0.8）－ CDF.BINOM（X －1 ， 10，0.二、Poisson分布
在二项分布中，若某事件的发生率非常小，且 样本例数非常大时，则二项分布逼近Poisson分 布。常用于研究单位时间、面积、容积内某事 件的发生数。
Poisson分布累计分布函数为：CDF.POISSON （X，）。 为单位时间、面积、容积内某事 件的平均发生数，X为试验观察的发生数。
二项分布与Poisson分布
笃 学
精 业
修 德
厚 生
一、二项分布
（一）二项分布资料 满足三个条件：
各观察单位只能具有相互对立的一种结果；
已知发生某一结果的概率大小；
每个观察对象的观察结果互相独立。
笃 学
精 业
修 德
厚 生
设有10只小白鼠接受某种毒物，观察其生存或死亡， 已知死亡率为80%，每只小白鼠的死亡不受其它小 白鼠死亡的影响。则可能出现死亡0、1、2、…10只 的概率分布分别为： P（X=0）=C100 ·0· （1－ ）10 P（X=1）= C101 ·1· （1－ ）9 …… P（X=10）= C1010 ·10· （1－ ）0 相加为1
二项分布与泊松分布
二项分布的应用
2 正态近似法：应用条件：np及n(1−p)均≥5
p±uαsp
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 率为8.81%，求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
s p p ( 1 p ) /n 0 .0( 1 8 0 .0 8) 8 /3 1 8 2 0 .0 1 9 1 1 .5 % 5 6 6
第一节 二项分布和总体率的估计
一、二项分布 （一）二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病 人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养 的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 （binomial population）。
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
1 查表法：附表6百分率的置信区间表直接
列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查nx的阴性部分的QL~QU再相减得 PLand pU PL=1-QL 1-QU 例：某地调查50名儿童蛔虫感染情况，发现有10人大便
中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的95%置信区间是多少？
1份混合样本中含有k份阳性的概率为当k0时p0是说混合样品中没有1阳性样品的原始概率反映的是混合样品阴性的概率当收集的样本数量很大时全部检验费时费力可以用群检验的方法进行解决若每个标本的阳性概率为则其阴性概率为q1便是某个群m个标本均为阴性的概率一个群为阴性的群的概率而1q就为一个群阳性的概率
二项分布与泊松分布
第一节 二项分布和总体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
二项分布poisson分布的检验
一、二项分布资料的z检验
(一）一组样本资料的z检验 如果二项分布的π或1-π不太小，则当n足够大时， 即阳性数与阴性数都大于等于5时，近似地有 X ~ N(n , n 1 )
1 P ~ N , n X P n
H0 : 0 H1 : 0
当H0成立时，检验统计量为：
Z X 0
0
~ N 0,1
二项分布与poisson分布的z检验
(一）一组样本资料的z检验
例6-10 某地十年前计划到2000年把孕产妇死亡率降 到25/10万以下。2000年监测资料显示，该地区平均 而言，每10万例活产儿孕产妇死亡31人。问该地区 降低孕产妇死亡的目标是否达到？
二项分布与poisson分布的z检验
(二）两组独立样本资料的z检验 当两总体均数都大于20时，可应用正态近似原理。
H 0 : 1 2 H1 : 1 2
当H0成立时，检验统计量为： X1 X 2 ~ N 0,1 当两样本观测单位数相等时： Z
X1 X 2
Z X1 X 2 X1 X 2 n1 n2 ~ N 0,1
按α=0.05水准不拒绝H0，故可认为该医院宣称的
有效率尚属客观。
二项分布与poisson分布的z检验
(二）两组独立样本资料的z检验
它的应用条件为当所比较的两组阳性数与阴性数都大于 等于5时 检验假设为： H0 : 1 2
H1 : 1 2
X1 X 2 pc n1 n2
当H0成立时，检验统计量为：
Z p1 p2 1 1 pc 1 pc n n 2 1 , 1 1 p1 p2 0.5 n n 2 1 Z 1 1 pc 1 pc n n 2 1
常见概率分布二项分布泊松分布正态分布
常见概率分布二项分布泊松分布正态分布常见概率分布概率分布是描述随机变量取值的概率的函数。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布用来描述不同类型的随机变量。
本文将介绍常见的概率分布，包括二项分布、泊松分布和正态分布。
一、二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述在 n 次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
每次试验有两个可能结果，分别是成功和失败，成功的概率为 p，失败的概率为 1-p。
在 n 次试验中，成功的次数符合二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k) 表示成功次数为 k 的概率，C(n,k) 表示组合数，p 是每次试验成功的概率，n 是试验次数，k 是成功的次数。
二、泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是描述在一段固定时间或空间内，事件发生次数的概率分布。
泊松分布假设事件是以恒定速率独立地发生的，并且与过去的事件发生情况无关。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k) 表示事件发生次数为 k 的概率，λ 表示单位时间或空间内事件的平均发生率，e 是自然对数的底，k! 表示 k 的阶乘。
三、正态分布（Normal Distribution）正态分布，又称高斯分布，是最常见且重要的概率分布之一。
它的形状呈钟形曲线，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x) 表示随机变量 X 取值为 x 的概率密度，μ 是分布的均值，σ 是分布的标准差，π 是圆周率。
四、总结在统计学和概率论中，二项分布、泊松分布和正态分布是常见的概率分布，用来描述不同类型的随机变量。
根据实际问题的特点和要求，可以选择适合的概率分布进行推断和分析。
第2.4二项分布与泊松分布
泊松定理的证明
证：令
λn = npn
当k=0时，有
λn n −λ b ( 0; n , p n ) = (1 − ) → e , n
这是因为
( lim (1 + x ) = e )
x→0 1 x
n→∞
当k ≥ 1时，有
n ( n − 1) L ( n − k + 1) k n−k b(k ; n, pn ) = p n (1 − p n ) k! λn n−k n ( n − 1) L ( n − k + 1) λ k n = (1 − ) k k! n n k k −1 λn n 1 λn n−k = (1 − ) L (1 − )(1 − ) k! n n n n k −1 λk 1 λn n λn k n n = (1 − ) L (1 − )(1 − ) /(1 − ) k! n n n n n k λ −λ → e n→∞ k!
P1' ( t ) = λ [e − λ t − P1 ( t )]
求解此线性微分方程 P1 ( t ) = λkte − λ t (λ t ) − λ t e , k = 0,1, 2,L 依次类推可以得到 Pk ( t ) = k! 因此电话呼叫次数服从泊松分布
作业 习题二 38、41、43
1 由定理所给条件可得f ( nx ) = ( f ( x ) ) , 当x = 时， n
n
1 x f (1) = f ( ) , 令f (1) = a ≥ 0(因为f ( x ) = f ( ) ≥ 0), n 2
n
2
1 m m 1 则f ( )＝a n , 类似的f ( )＝a n ,由连续性或单调性结合 n n 对所有的有理数成立，则对所以的无理数亦有f ( x ) = a x .
二项分布与泊松分布
P { X 2 } 0 .137 P {X 6 } 0 .109 P { X 3 } 0 .205 P {X 7 } 0 .055
P { X k } 0 .001 , 当 k 11 时
P { X 10 } 0 .002
在二项分布中，对不同的k，事件( X k )的概率 P( X k )一般是不同的.
P{ X k } C2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, , 20.
P { X 0 } 0 .012
P { X 4 } 0 .218
P { X 8 } 0 .022
P { X 1} 0.058
P { X 5 } 0 .175
P { X 9 } 0 .007
P( X 10) P( X 11) 1 P( X 11) =1-0.0137=0.9863.
由以上的计算可知，保险公司办理该业务亏 本的概率很小，而盈利10万元以上的可能性接 近99%.
本讲小结
这一讲我们学习了二项分布与泊松分布. 下一讲 我们将学习另一类随机变量
连续型随机变量
三 二项分布的泊松近似
定理 （泊松定理） 设Xn B(n, pn ), 若
当 n 时，npn ( 0常数). 则对固定的
k, k 0,1, 2, , 有
lim
n
C
k n
pnk
(1
pnBiblioteka )nkkek!.
证明：(略)
一般的，当n 较大，p较小，np大小适中时，有
C
k n
pnk (1 pn )nk
2500
C
k 2500
(0.002)k
(0.998)2500
k
k 16 2500 k
07章 二项分布与泊松分布
σ X = 3 × 0.4 × 0.6 = 0 . 8 5 ( 只 )
二、二项分布的正态近似 1. 当 π=0.5 时 ， 图 形 对 称 ； 当 π≠ 0.5 时 ， 图 形 呈 偏 态 ， 但 随 n 的 增大，图形逐渐对称。 2 . nπ ≥ 5,且n(1−π) ≥ 5( n 大 ， π 不 接 近 0 、 1 ) 时 ， 近似正态分布。
Sp =
(7-7)
例 ： 随 机 抽 查 某 地 150 人 ， 其 中 有 10 人 感 染 了 钩 虫 ， 钩 虫 感 染 率 为 6 . 7 % ， 求 此 率 的 抽 样 误 差 Sp
sp =
p(1− p) 0.067(1− 0.067) = = 0.020 = 2.0% n 150
第三节 二项分布的应用
3
0
死
πππ
P( X = 3) = ( 3 )π 3 (1 − π ) 0 3
3 (π + (1−π ))3 = ( 3 ) π 0 (1−π )3 + ( 1 ) π1(1−π )2 + ( 3 ) π 2 (1−π )1 + ( 3 ) π 3 (1−π )0 0 2 3
= Σ3=0 ( 3 ) π k (1−π )3−k k k
毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 事件 死亡——生存 治愈——未愈 阳性——阴性
成功（A）——失败（非A）
这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试 验。
二、Bernoulli试验序列 试验序列
n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 其特点（如抛硬币）： (1)每次试验结果，只能是两个互斥 互斥的结果之 互斥 一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变 条件不变。即每次试验中，结 条件不变 果A发生的概率不变，均为 π 。 (3)各次试验独立 独立。即一次试验出现什么样的 独立 结果与前面已出现的结果无关。
二项分布和poisson分布
• 二项分布（binomial distribution）：是指贝努利试验中 结果A出现次数的概率分布。
• 记为：X～B（n，）
二项分布的两个参数： – 总体率π – 样本含量n
n次贝努利试验中，阳性结果A出现的次数X具 有的概率是多少呢？
Questions?
如果在足够多的n次独立Bernoulli试验中，随机变量X
所有可能的取值为0，1，2，…，取各个取值的概率为：
X e
P(X )
, X 0,1, , n
X!
X: 单位时间（空间）某稀有事件发生数； : Poisoon分布的总体均数，＝n ; P(X): 事件数为X时的概率，e为自然对数的底。
f='Arial' 'P(X)'); • axis2 length =30.0 offset=(2) order =(0 to 15 by 1) label =(h=1.2 f='Arial' 'X'); • RUN;QUIT;
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 • u 检验
总体率的区间估计
正态近似法
例 为研究某种新补钙制剂的临床效果，观察了200名儿童， 其中100名儿童用这种新药，发现有12人患佝偻病，另 100名儿童用钙片，发现有20人患佝偻病，试问两组儿童 的佝偻病发病率有无差别？
例 为研究某职业人群颈椎病的发病的性别差异， 今随机抽取该职业人群男性120人和女性110人， 发现男性中有36人患有颈椎病，女性中有22人患 有颈椎病。试作统计推断。
P( X ) CnX X (1 )nX , X 0,1, , n
二项分布与泊松分布
P(X k) k e
k!
则称服X从参数为 的Poisson分布，记为X～P( )。
服从Poisson分布的三个条件
平稳性 x的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关
独立增量性（无后效性） 在某个观察单位上x的取值与其他各观察单位上x的取值无关
普通性 在充分小的观察单位上x的取值最多为1
练习
二项分布 课本练习3.6
Poisson分布 课本练习3.9
P( X
k)
C
k n
k (1 ) nk
则称X服从参数为n， 的二项分布，记为X～
B(n， )。
二项分布适用条件(贝努利试验序列)
每次试验的结果只能是两种互斥结果中的一种(A 或者非A)；
各次试验的结果互不影响，即各次试验独立； 在相同试验条件下，各次试验中出现某一结果A具
有相同的概率 (非A的概率为1 )。
二项分布的正态近似
二项分布的图形完全取决于n和π的大小 当π=0.5时图形对称，随n增大，渐近于正 态分布图形 当π≠0.5时图形偏态，但随n增大，图形逐 渐对称，趋向于正态分布
当n足够大，p和1-p均不太小时(np与n(1-p) 均大于5)，样本率p近似正态分布
二项分布
若X ～B(n， )
似于正态分布 N(n , n (1 ))
Poisson分布与正态分布 当 20 ， Poisson 分布渐进正态分布。
课本55页例5.17
任意打开一数据 Transform---compute Target variable (p) Functions Cdf . Poisson (q,mean) q为样本中事件发生数，mean为理论事件发生数 选入numeric expression，填入450，500 ok
第八讲 二项分布与Poisson分布及其应用wang
二、率的假设检验
（一）样本率与总体率比较 • 比较的目的是推断该样本所代表的未知总 体率π与已知的总体率π0是否相等。 （二）两样本率比较的u检验
• 比较的目的是推断该两样本率所代表的总 体率π1与总体率π2是否相等。
（一）样本率与总体率比较
1、直接计算概率法
• 当阳性数 x 较小时，可直接计算二项分布的累计 概率，做出统计推断。
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 0 3 6 9
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8
n=50 p=0.3
n=20 p=0.3
p(X k)
X 0
P(X)
k
例1：据以往经验，新生儿染色体异常率一般为 1%，某医院观察了当地 400名新生儿，只有1 例异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于 一般？
• H0: π=0.01 H1: π<0.01 α=0.05 （单侧） P = p(x≤1) = p(x=0) + p(x=1)
n=5
p=0.5
n=10 p=0.5
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
n=20 p=0.5
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5 p=0.3
n=10
p=0.3
(2) 数理统计证明，当n趋于无穷大时， 二项分布趋于正态分布。实际应用中，只 要n足够大， π不接近于1或0，就可以用正 态分布来处理二项分布的问题。
统计学中的二项分布与泊松分布的比较
统计学中的二项分布与泊松分布的比较统计学中的二项分布和泊松分布是常见的概率分布模型，用于描述随机试验中的离散随机变量。
本文将比较二项分布和泊松分布在概率分布特性、应用领域以及数学推导等方面的异同点。
一、概率分布特性比较二项分布是指在重复且独立的伯努利试验中，成功和失败的次数满足概率分布的情况。
该分布由两个参数决定：试验成功的概率p和试验次数n。
其概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
二项分布的期望值为E(X) = np，方差为Var(X) =np(1-p)。
泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
该分布由一个参数λ决定，表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的基数。
泊松分布的期望值和方差等于参数λ。
二、应用领域比较二项分布主要应用于伯努利试验相关的场景，如二分类问题、投资决策等。
例如，我们可以使用二项分布模型来估计某广告点击率的置信区间，从而评估广告效果的可靠性。
此外，二项分布还可用于质量控制，检验产品是否符合一定的质量标准。
泊松分布常用于事件发生次数比较稀少的情况，如电话呼叫中心的呼叫次数、事故发生率等。
举个例子，我们可以利用泊松分布模型来估计某一时间段内到达某网站的访问次数，从而合理安排服务器的负载和资源配置。
三、数学推导比较二项分布的推导比较直观，可以通过多项式展开或动态规划的方法得到概率分布函数。
另外，二项分布还有一些特殊性质，如二项分布的和仍然是二项分布。
泊松分布的推导较为独特，可以通过取极限和级数展开得到。
泊松分布有着较为特殊的性质，如无记忆性，即过去的事件发生情况对于未来的事件发生概率没有影响。
四、总结在统计学中，二项分布和泊松分布都是重要的离散概率分布模型。
二项分布适用于试验次数有限、成功概率确定的场景，泊松分布适用于时间或空间单位内事件发生次数稀少的情况。
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二项分布与Poisson分布
二项分布和Poisson分布均是常见的离散型分布，在分类资料的统计推断中有非常广泛的应用。
一、二项分布的概念及应用条件
1. 二项分布的概念:
如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则生存概率为=1-P=0.2，故
对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）
对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、甲死乙生[概率为P(1-P)]、乙死甲生[概率为(1-P)P]或甲乙均生[概率为(1-P)2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P)P+(1-P)2=[P+(1-P)]2
依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得P n+1
C P(1-
n
P)n-1+...+x
C P x(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n其中n为样本含量,即事件发生总数，x
n
为某事件出现次数, x
C P x(1-P)n-x为二项式通式，x n C=n!/x!(n-x)!, P为总体率。
n
因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。
其概率密度为：
P(x)= x
C P x(1-P)n-x, x=0,1,...n。
n
2. 二项分布的应用条件:
医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1) 每次实验只有两类对立的结果；(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。
3. 二项分布的累计概率
二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例阳性、1例阳性、...、直至k 例阳性的概率之和。
至少发生k例阳性的概率为发生k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。
4. 二项分布的图形
二项分布的图形有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小；
(2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3) 当P<>0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。
5. 二项分布的均数和标准差
二项分布的均数μ=np，当用率表示时μ=p
二项分布的标准差为np(1-p)的算术平方根，当用率表示时为p(1-p)的算术平方根。
二、二项分布的应用
二项分布主要用于符合二项分布分类资料的率的区间估计和假设检验。
当
P=0.5或n较大，nP及n(1-P)均大于等于5时，可用(p-u0.05sp,p+u0.05sp)对总体率进行95%的区间估计。
当总体率P接近0.5，阳性数x较小时，可直接计算二项分布的累计概率进行单侧的假设检验。
当P=0.5或n较大，nP及n(1-P)均大于等于5时，可用正态近似法进行样本率与总体率，两个样本率比较的u检验。
三、Poisson分布的概念及应用条件
1. Poisson分布的概念:
Poisson分布是二项分布n很大而P很小时的特殊形式，是两分类资料在n次实验中发生x次某种结果的概率分布。
其概率密度函数为：P(x)=e-μ*μx/x!
x=0,1,2...n，其中e为自然对数的底，μ为总体均数，x为事件发生的阳性数。
2. Poisson分布的应用条件:
医学领域中有很多稀有疾病(如肿瘤,交通事故等）资料都符合Poisson分布，但应用中仍应注意要满足以下条件：（1) 两类结果要相互对立；（2) n次试验相互独立；（3) n应很大, P应很小。
3. Poisson分布的概率
Poisson分布的概率利用以下递推公式很容易求得：
P(0)=e-μ
P(x+1)=P(x)* μ/x+1, x=0,1,2,...
4. Poisson分布的性质:
(1) Poisson分布均数与方差相等；
(2) Poisson分布均数μ较小时呈偏态μ>=20时近似正态；
(3) n很大, P很小，nP=μ为常数时二项分布趋近于Poisson分布；
(4) n个独立的Poisson分布相加仍符合Poisson分布
四、Poisson分布的应用
Poisson分布也主要用于符合Poisson分布分类资料率的区间估计和假设检验。
当 >=20时，根据正态近似的原理，可用（x-u0.05*x的算术平方根，
x+u0.05*x的算术平方根）对总体均数进行95%的区间估计。
同样，也可通过直接计算Poisson分布的累计概率进行单侧的假设检验，在符合正态近似条件时，也可用u检验进行样本率与总体率，两个样本率比较的假设检验。