高中数学第1章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词教学用书教案新人教A版选修2_1

1.3 简单的逻辑联结词学习目标核心素养1．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“p”的真假．(难点)3．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点) 1．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p q p∨q p∧q p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A．]2．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则()A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D．]3．下列命题中真命题的个数是()①p∨q，这里p：π是无理数，q：π是实数；②p∧q，这里p：π是无理数，q：π是实数；③p∨q，这里p：2>3，q：8＋7≠15；④p∧q，这里p：2>3，q：8＋7≠15．A．1 B．2C．3 D．4B[①②为真命题．]4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．p∨q真[5≥5，即5＞5或5＝5．]含有逻辑联结词的命题结构(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)集合A(A∪B)；(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．[解](1)是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是“p”形式的命题．其中p：A⊆(A∪B)．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sin x(x∈R)是周期函数．1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．[跟进训练]1．分别写出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式的命题．(1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：－1是方程x 2＋4x ＋3＝0的解，q ：－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． [解] (1)p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p ：梯形没有一组对边平行．(2)p ∧q ：－1与－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． p ∨q ：－1或－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．p ：－1不是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．含逻辑联结词命题的真假判断【例2】 已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4．给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨(q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4思路探究：判断p ，q 的真假→判断綈p ，綈q 的真假→判断所给命题的真假 C [由于Δ＝(－2a )2－4×1×(－1)＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x <0，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(q )，(p )∨(q )是真命题，故选C ．]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：,“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“p”与p真假相对.(2)判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“p”；②判断其中的简单命题p，q的真假；③根据真值表判断复合命题的真假.[跟进训练]2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q 为真命题，③q为真命题，则p∧(q)为真命题，④p为假命题，则(p)∨q为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．①p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；②p：2是奇数，q：2是合数；③p：4≥4，q：23不是偶数；④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．[解]①∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．②∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．③∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．④∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是假命题．由复合命题的真假求参数的取值范围 1．设集合A 是p 为真命题时参数的取值范围，则p 为假命题时，参数的取值范围是什么？ [提示] p 为假命题时，参数的取值范围是∁R A ．2．设集合M 、N 分别是p ，q 分别为真命题时参数的取值范围，则p ∨q 与p ∧q 分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？[提示] 当p ∨q 为真命题时，参数的取值范围是A ∪B ． 当p ∧q 为真命题时，参数的取值范围是A ∩B ．【例3】 已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2思路探究：分别求当p ，q 为假时m 的范围―→ 根据p 或q 为假得出m 的范围A [依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2． 因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2．]1．本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值范围为________． (－2,0) [依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0．] 2．本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为________． (－∞，－2]∪[0,2) [若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，∴m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，∴0≤m <2．∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．]根据命题的真假求参数范围的步骤 (1)求出p 、q 均为真时参数的取值范围；(2)根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判断命题p 、q 的真假； (3)根据p ，q 的真假求出参数的取值范围.1．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)逐一判断命题p ，q 的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p ∧q ”，“p ∨q ”的真假． p ∧q 为真⇔p 和q 同时为真， p ∨q 为真⇔p 和q 中至少一个为真．2．若命题p 为真，则“p ”为假；若p 为假，则“p ”为真，类比集合知识，“p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集∁U p ．因此(p )∧p 为假，(p )∨p 为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．1．若命题“p ∧q ”为假，且p 为假，则( )A ．p ∨q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假B [由p 为假知，p 为真，又p ∧q 为假，则q 假，故选B ．]2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A ∩B 是A 的子集，也是A ∪B 的子集．故④是真命题，故选D ．]3．下列命题是“p ∨q ”形式的是( ) A ．6≥6 B ．3是奇数且3是质数 C ．2是无理数D ．3是6和9的约数A [A 中，6≥6⇔6>6或6＝6，所以A 是“p ∨q ”形式的命题；B 和D 是“p ∧q ”形式的命题，C 不包含任何逻辑联结词，所以B ，C ，D 不正确，A 正确，故选A ．]4．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________．⎣⎡⎭⎫－2，12 [p 为真时，2a －1<0，即a <12，q 为真时，－a2≤1，即a ≥－2，则p ∧q 为真时，p ，q 都真， 所以－2≤a <12．]。