层流边界层积分近似解
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层流边界层积分近似解
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
基本思路
1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
谢谢观赏
背景
1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u
a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：
平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进
(17)
·590 ·
鞍 山 科 技 大 学 学 报 第 29 卷
1 2
CD
=
ν∞ x ν=
1 2
α1
dF dη
η= 0
=
1 - 01215β 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
基本边界条件式 。
把式 (14) 带入边界层积分方程中 ,确定边界层中的特征量和 CD ,并确定近似速度剖面对应的β值 。
对应式 (14) 的 α1 ,α2 和ddηF η= 0 的值分别为
∫ ∫ α2 =
1
(1 - F) dη =
0
1
1-
0
βsin
πη 2
+
(1
-
β) (2η -
2η3
+ η4 )
01005
420
55β2
这是边界层厚度δ的一阶常微分方程 ,根据边界条件 δ| x = 0 = 0 ,积分上式可得
δ
ν∞ νx
=
2 (2 - 0143) 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
(15)
由式 (3) 和式 (15) 以及 α1
,α2
和
dF dη
(8)
文献[ 1 ] 给出的公式
F (η) = 11635η - 01905η3 + 0127η4
(9)
文献[ 2 ] 给出的公式
F (η) = 11674 9η - 01769 3η3 + 01061 3η6 + 01033η8
(10)
满足边界层条件 F (0) = 0 , F (1) = 1 , F′(1) = 0 , F″(0) = 0 。
层流边界层流动和换热的相似解(一)18页PPT
即
dp p
dx x
其中 ddpxuddux若 dd ux0，d d则 p x0
带入化简后的动量方程式得
（ u u xv u y) 1d d p x y 2u 2
（3）边界层能量方程，经类似分析有： u xt v yt a y2t2
（4）综上，经数量级分析简化后的控制方程为：
uv0 x y
法则： （1）明确数量级分析得区域空间； （2）任何方程至少有两个数量级相等的主要控制项； （3） C=A+B,若○(A)>> ○(B),则○(C)= ○(A)；
若○(A) ~○(B),则 ○(C)~○(A) ~○(B)； （4） P=AB, ○(P)~○(A)·○(B) （5）R=A/B， ○(R)~○(A)/○(B)
可忽略分母为平也可以通过下法分析简化压力项考虑边界层内任一点的压力全微分dy除以dx得到dxdydxdp从动量方程的数量级分析考虑压力项和摩擦项平衡如方程1有分析过程类似地由方程2得dxdydxdp一致即边界层的压力主要在x方向换言之在任意x处边界层的压力与边界层外缘处压力相同dxdpdxdp带入化简后的动量方程式得3边界层能量方程经类似分析有
连续性方程
uv0 x y
（ u u x v u y) 1 p x ( x 2 u 2 y 2 u 2)
动量方程
能量方程
边 界 条 件
u x tv y ta( x 2T 2 y 2T 2)
u|y00,v|y00,t|y0tw u|yu,t|yt uconst
2、利用数量级分析对控制方程进行化简
层流边界层流动和换热的相似解(一)
幽默来自智慧，恶语来自无能
层流边界层流动和换热的相似解（一）
第二版 8—3 P161
高等热值交换技术 边界层的流动和换热
w f x
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流 动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的 变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖 应用龙格-库塔法求得同样问题 的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠 平壁层流边界层 流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程 对边界层微分方程进行积分
积分方程 25
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流 动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的 变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖 应用龙格-库塔法求得同样问题 的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠 平壁层流边界层 流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程 对边界层微分方程进行积分
积分方程 25
柯尔本类似律在化工传递过程中的应用
关键 词 ： 柯尔本类似律 ； 柯尔本 因数 ； 热 ； 传 传质
中 图 分 类 号 ：Ｋ１３ Ｔ ２ 文献标识码 ： Ａ Ｚ Ｎ ｕｎ ｓｅ ｇ Ｅ Ｇ Ｑ ａ －ｈ ｎ
（ ｏｌ ｅｏ ｈｍｉ ｌ ｎｉｅｒ ｇ。 ｆｉ ｎｖｒｔ ｆ ｅｈ ｏｏｙ Ｈｅｅ ２０ ０ ，ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｆ ｅ ｃ ｇ ｅｉ Ｈｅｅ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｃｎ ｌｇ， ｆｉ ３０ ９Ｃ ｉａ ｅ Ｃ ａＥ ｎ ｎ ｉ Ｔ
ｊ
近似 取 ｎ ， （ — ） ＝１ 式 ２ １ 即为 式 （－ ）进 而 可 １２ ，
得：
由于质量传递与热量传递的类似性 ， 流体在平
（— ） ２ ２
； Ｊ Ｌ ２ Ｈ
板壁面上层流边界层 区域的对流传质与对流传热 的机理相似 、 数学模型相似 、 求解过程相似 、 求得的 结果也相似 ， 所得 的局部修伍德数为【： 】
行于平板壁面上流动时 ， 只有 摩 擦 阻力 ， 界 层 厚 边 度 随距 前沿 距离 的增 大而 变厚 。 当 值较 小 时 ， 边
联 立 上 述 公 式 ，即得 一 个 形 式 非 常 简 单 的公
式：
庐 （— ） １ ７
该式集“ 三传 ” 于一 身 ， 是动量 、 热量和质量传 递 的柯 尔 本类 似律 ［。 ２ １
阻力系数 、 对流传热系数与传质 系数是在计算 化 工传递过程速率 （ 流动 阻力 、 传热速率与传质速 率 ） 首先 要 确 定 的传 递 系数 。它们 都 是 雷诺 数 的 时
函 数 ， 者具 有 类 似性 ， 缺少 实验 数 据 时 ， 三 在 可应 用
对于光滑管 中的湍流流动 ， 化学工程文献 中常 用 的一个 经验 方程 为…：
由式 （— ） １２ 可得 ：
中 图 分 类 号 ：Ｋ１３ Ｔ ２ 文献标识码 ： Ａ Ｚ Ｎ ｕｎ ｓｅ ｇ Ｅ Ｇ Ｑ ａ －ｈ ｎ
（ ｏｌ ｅｏ ｈｍｉ ｌ ｎｉｅｒ ｇ。 ｆｉ ｎｖｒｔ ｆ ｅｈ ｏｏｙ Ｈｅｅ ２０ ０ ，ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｆ ｅ ｃ ｇ ｅｉ Ｈｅｅ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｃｎ ｌｇ， ｆｉ ３０ ９Ｃ ｉａ ｅ Ｃ ａＥ ｎ ｎ ｉ Ｔ
ｊ
近似 取 ｎ ， （ — ） ＝１ 式 ２ １ 即为 式 （－ ）进 而 可 １２ ，
得：
由于质量传递与热量传递的类似性 ， 流体在平
（— ） ２ ２
； Ｊ Ｌ ２ Ｈ
板壁面上层流边界层 区域的对流传质与对流传热 的机理相似 、 数学模型相似 、 求解过程相似 、 求得的 结果也相似 ， 所得 的局部修伍德数为【： 】
行于平板壁面上流动时 ， 只有 摩 擦 阻力 ， 界 层 厚 边 度 随距 前沿 距离 的增 大而 变厚 。 当 值较 小 时 ， 边
联 立 上 述 公 式 ，即得 一 个 形 式 非 常 简 单 的公
式：
庐 （— ） １ ７
该式集“ 三传 ” 于一 身 ， 是动量 、 热量和质量传 递 的柯 尔 本类 似律 ［。 ２ １
阻力系数 、 对流传热系数与传质 系数是在计算 化 工传递过程速率 （ 流动 阻力 、 传热速率与传质速 率 ） 首先 要 确 定 的传 递 系数 。它们 都 是 雷诺 数 的 时
函 数 ， 者具 有 类 似性 ， 缺少 实验 数 据 时 ， 三 在 可应 用
对于光滑管 中的湍流流动 ， 化学工程文献 中常 用 的一个 经验 方程 为…：
由式 （— ） １２ 可得 ：
第6章层流的解析解与近似解
第6章 层流的解析解与近似解粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，而且都是比较简单的流动。
本章将介绍几种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。
首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组，接着介绍一些解析解。
在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本方程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。
为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。
另外本章只限于雷诺数不大的流动。
6.1 粘性流研究的意义一切流体都具有粘性，但是人类最经常接触的流体，如水和空气其粘性都很小，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂；另外，对于这些粘性小的流体，忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况，因此，理想无粘性流体理论最先得到了发展，它比粘性流体理论要成熟得多。
应当指出，虽然理想流体理论取得了重大的成就，但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。
例如，它不能预估管道流动的压力损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。
后一问题与著名的达朗伯疑题有关。
达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动方向的作用力，即物体所受阻力为零。
在他所做假设的前提下，这一结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。
这从反面说明了考虑粘性的必要性。
例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压，ρ——流体密度。
空气动力学基础第五章边界层理论及其近似解读
u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
0 1 p y
这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是， p与y无关，仅是x和t的函数。即
p pe ( x, t )
忽略质量力，Prandtl边界层方程变为
u v 0 x y
0
1 1
0
u dy e ue
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因 此，称其为排移厚度。 （b）边界层动量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为
K i u e udy
0
由于粘性的存在，实际流体通过的动量为
v v v 1 p 2v 2v u v fy 2 2 t x y y x y
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途 径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的 流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论 处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流 区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运 动。 2、边界层的特征 （1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称 为边界层名义厚度。
层流边界层方程积分方程
8-4 层流边界层的积分方程
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式 （m不 是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程 不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解 边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控 制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4
h
(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y
0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3
0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于 通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得
t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式 （m不 是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程 不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解 边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控 制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4
h
(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y
0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3
0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于 通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得
t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x
边界层
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
04-3(边界层积分解)
Note : no shear force in bd
2019/4/15 13
0
b
u
d
于是动量定律可表达为
u
dy
pl l
dp p dxl dx
d l2 dl u ( u dy ) dx u dx udy wdxdx 0 0 dx dx y y0 dp wdx l dx (c) 由于存在以下关系： dx
2019/4/15 5
A m
b
u
l
d
l
0
udy
u
dy
c
l 0
udy
a
Asurface
d l 0 udy dx dx
dx
m 0
mass flow mass flow mass flow through through through ab bd cd
2019/4/15
22
d du ( u u ) udy ( u u ) dy (1) w 0 0 dx dx
在本问题中，u∞为常数，动量积分方程式（1） ) 左边的第二项为0。再引入 w (du dyy0，式（1） 为 d du
( u u ) udy 0 dx dy
c
p 0
b
d
tudy
l
u
l
t
(f)
单位时间内穿过cd面带 出控制容积的热量为
d l c tudy c ( tudy ) dx (g) a p 0 p0 dx
第四章 边界层
ux ux 1 p μ 2ux ux uy x y ρ x ρ y 2
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为 零，可视其为理想流体 的势流。
分为两个截然不同的区域 外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流 动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近 有一薄层流体 ，速度 梯度很大 ；在薄层之 外 ，速度梯度很小 ， 可视为零。
第四章 边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于 处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点 以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章 边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？ 对于某些流动问题，其 惯性力>>黏性力。采用 理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果 非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。 边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0
激波诱导的层流边界层方程的近似解析解
引 入流 函数 （ Ｙ ，）和相 似变量 田。
＝ 叼＝ （） ８
容易看 出 ， 值 问题 式 （ ６ 一 式 （ ７ 可 以独 立 边 １） １） 求解 ， 且从推 倒过程 可 以看 出 ， 并 只有 问题 的负解 才 有 实 际 的 物 理 意 义 。 本 文 只 求 解 动 量 方 程 式
１ 边 界层控制方程
设 （ Ｙ ，）为建立 在激 波 面上 的 坐标 系 （ 运动 坐
标系 ） “ 为相应 平行 于 轴和 Ｙ轴 的速 度分 量 ， ，，
ｄ／ ＝ ， ｐ ０ 则在 该坐标 系下 的流动 是定常 的 ， 假设 流 动 为层 流 ， 于 ＞０描述质 量 、 对 动量 、 能量守恒 的边 界层控 制方程 为 １ ２ ］
流动 在非静态 波动现象 的研究 中是非 常重要 的。对
这一 问题 的研 究最突 出的具有代 表性 的工作 应 该是 Ｍｉ ｓ １５ ，９ ６ 首先 利用积 分 近似 的方 法 给 出 ｒ ¨ （ ９ ５ １５ ） ｅ 了问题的数值解 及大量 的数值计 算结 果 。国外 学者
Ｔ ｏ ｐｏ ｈ ｍ ｓｎ和 Ｓ ｈ ｉ ｔ ｇ ｃ ｉｃ ｉ ｌｈ ｎ ， 后来 ， ａｅ ａ 和 Ｎ ｃ— Ｃ ｌ ｇｒ ｌ ｉ ａｈ
０
（） １
Ｏ ｙ
＝
榆林学院高学历人才科研启 动基金项 目（ ８ Ｋ ２ ） ０ Ｇ ０６ 资助 第 一作者简贪 ： 徐云滨 （９９ ， ， １７ 一） 男 山东临沂人 ， 讲师， 硕士 ， 研究方
向 ： 分 方程 理 论 。 微
ａ ａ 吉ｙａ ｙ 、ｙ 、 口 （ ， 旦 ２ Ｏ ） ｐｕ ） （ ） （ ｃ ｃ ＋ ＝ ＋ 嚣 雾 ） ３ （
析解和相应的壁摩擦 因数近似值 ， 该近似解析解具有快速收敛性和易于计算性。最后对近似解所推 出结果 和所得壁摩擦 因数
层流的解析解与近似解
层流的解析解与近似解第6章层流的解析解与近似解粘性流动基本⽅程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，⽽且都是⽐较简单的流动。
本章将介绍⼏种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。
⾸先先介绍⼀下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本⽅程组，接着介绍⼀些解析解。
在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本⽅程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻⼒系数和热交换系数。
为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。
另外本章只限于雷诺数不⼤的流动。
6.1 粘性流研究的意义⼀切流体都具有粘性，但是⼈类最经常接触的流体，如⽔和空⽓其粘性都很⼩，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得⾮常复杂；另外，对于这些粘性⼩的流体，忽略其粘性所得到的结果⼜能在⼀定程度上符合实际情况，因此，理想⽆粘性流体理论最先得到了发展，它⽐粘性流体理论要成熟得多。
应当指出，虽然理想流体理论取得了重⼤的成就，但在某些⽅⾯却有不可逾越的先天性缺陷。
例如，它不能预估管道流动的压⼒损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻⼒。
后⼀问题与著名的达朗伯疑题有关。
达朗伯对理想流体进⾏了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静⽌的充满⽆限空间的⽆粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动⽅向的作⽤⼒，即物体所受阻⼒为零。
在他所做假设的前提下，这⼀结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻⼒作⽤。
这从反⾯说明了考虑粘性的必要性。
例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sinspp pCUθρ∞∞-==-其中p∞——远前⽅静压，ρ——流体密度。
图6-1给出了上述理想流体的压⼒系数与实际测量值的⽐较。
图中的实验曲线对应于两个不同的Re数。
图6-1 圆柱表⾯的压⼒分布，理想流体理论与实验测量数据的⽐较由图6-1可见，在圆柱的前缘（0οθ=和360ο）附近，理想流体的理论结果与实际符合较好。
自然对流层流边界层的相似解求解方法
当n＝0时， 常数，即常壁温状态。 若n＝1/5，则壁面温度的变化与常热流边界 条件给定的规律一致。由式(10-2-16)有
考虑
上式可写为
当n=1/5时，
，上式变为
即常热流边界条件。
表10-2给出了常热流时的相似解。需要指出 的是，尽管常热流条件存在相似解，但壁温 是待定量，因而Gr不是已知值，斯帕罗等提 出以下修正：
自然对流层流边界层 的相似解求解方法
（常热流条件下）
不难观察到，竖直板附近的自然对流产 生的流动层与竖直板高度相比，边界层很 薄，与受迫对流不同的是其主流速度和层 外静压。可以设想，竖壁附近自然对流的 层流边界层也采用相似方法来求解。
Hale Waihona Puke 杨光祖分析了等壁温状况，发现壁温按 指数规律变化时，同样存在相似解： 相似变量与常壁温相同，得到
式中各项均为已知值，富级(Fuji)等给出了用 表示的准则关联式：
• 一些文献指出，自然对流问题中物性变化 的影响较大，应用Ra作为流态的判据。因 Ra＝Gr Pr，主要依据 并不是恰当的 边界层厚度的数量级，并且它随Pr变化很大。 同样，无量纲速度采用 其随Pr数量级 亦有较大的变化。
外掠平板层流流动边界层微分方程积分解的实现
+
µ ρ
∂2u ∂y 2
(6)
在边界层外缘：
ps
+
1 2
ρus2
= const
(7)
能量方程为：
u
∂t ∂x
+
v
∂t ∂y
= a ∂∂y2t2
(8)
边界条件为：
=y 0,=u
y
=∞,
u
0= , v =us , v
0=, t =0, t
tw =ts
(9)
方程(5)~(8)除可采用量级分析法得出外，文献[11]和[12]分别用摄动法和尺度化分析法导出边界层微 分方程。
外掠平板层流流动边界层微分方程积分解的 实现
林志敏1*，张永恒2，张旭耀2，王良璧1
1兰州交通大学机电工程学院，甘肃 兰州 2兰州交通大学新能源与动力工程学院，甘肃 兰州
收稿日期：2021年2月3日；录用日期：2021年4月2日；发布日期：2021年4月9日
摘要
边界层理论及其在典型流动问题中的应用是流体力学和传热学的重要内容，通过对外掠平板层流流动和 换热等问题的分析，可以揭示流体流动和传热的基本规律，是认识更为复杂流体流动和传热现象的基础。 在分析和介绍边界层微分方程建立方法、相似变量表达式以及边界层方程典型解法的基础上，重点探讨 了外掠平板边界层相似变换微分方程的积分解解法，并给出了相应的MATLAB计算程序。计算结果表明， 边界层相似变换微分方程的积分解法简单、易行，该方法对于教师讲解和学生理解边界层流动和传热特 性有积极作用。
Creative Education Studies 创新教育研究, 2021, 9(2), 285-292 Published Online April 2021 in Hans. /journal/ces https:///10.12677/ces.2021.92045
平板层流边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算§8-4平板层流边界层的近似计算作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。
如图所示：设x轴沿着平板，y轴为平板法线方向。
坐标原点在平板前缘点上，来流的沿x轴，板长为l。
假定来流流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。
现在要求的是边界的厚度的变化规律和摩擦阻力F D。
由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流动的改变。
所以，在边界层外边界上，，由势流的伯努利方程：两边对x求导，则：即：p=常数，即边界层外边界上压力为常数。
而边界层内，。
所以整个边界层内向点压力相同。
即整个流场压力处处相等。
代入上式则变成：(1)(1)式中有三个未知数u，，δ，所以再补充两个方程。
①当x固定时，假设边界层内速度u的分布为：(2)可以看出层内随y↑—>u↑，这和实际情况是符合的。
边界条件：1) 壁面外，y=0，u=0；2) 边界层外边界处，y=δ，u= V∞；3) 边界层外边界处，y=δ，；4) 边界层外边界处，由于u=V∞，由层流边界层微分方程(即普朗特边界层方程),在边界层的外边界上：5) 在平板壁面处，y=0，u=υ=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得：；把边界条件代入(2)式，得：再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中的速度分布规律为：再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得：(3) 再将上式代入(1)式求积分，则得到：(4)(5) 将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得：，积分得：确定积分常数C，x=0， =0，C=0，于是得：，它的精确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精确。
其系数为4.64。
因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。
由上式可看出：x—>δ；V∞—>δ↓。
将δ表达式，代入(c)式，得切向应力：从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x，速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。
边界层理论及其近似
z
v x
u y
u y
o
5/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
u
L t
ue ,
v u,
v
t
L / ue
L ue,
v ue
1 Re
（3）压强与外流速度的平方成正比
p ue2
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
19/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组各项量级比较:
u v 0 x y
ue ue 1 ue L L L
两项为同一量级
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
陆士嘉
16/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
1. 边界层流动图画 粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结
为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复 杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空 气流过翼型的物理图画：
平板层流边界层速度分布的一种最佳近似解析解
１ ９ ０ ５年 ， Ｐ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｌ 为解 决小粘性 流动 问题提 出了著名 的边界层理 论． 这一 理论不 仅对 流体力 学的发 展起 着重 要 的作 用 ，在其 他工程 领域也得 到 了广泛 的应 用 和重 视． 在应 用边 界层 积 分方 程 近 似求 解零 攻 角平板 绕流 问题 时 ， 为 了得到与微 分方程 精确解更 接近 的摩擦 阻力 计算公 式 ， 关 键在 于选择 近似速 度 分 布． 经典 的 方法是选 择一个 最佳 的速度分 布 函数 ， 使之满 足基本 的边界条 件． 通常， 边界 层理论 中描述
0332烄烆烌烎332291第1期唐树江等平板层流边界层速度分布的一种最佳近似解析解表1不同指数下的速度分布tab1velocitydistributionaboutindexnumbersk12f0v槡vx67031v槡vxv槡vx12cdvxv槡10001210028172718318879081050405347115001288032361947754991177930708403542141617501315033871770851900175800682403412618188013270345517022506561750206721033602731940133203485167445014317472066790333917619701336035101657149910174610666103331148198013360350316571498101745006659033301482000133703513164874966017450066410332016030001398038631395644680172630625303132134表2把速度分布函数式9中k1971982时的值一次多项式6四次多项式7八次多项式8以及布拉修斯精确解进行了比较从表中数据可以看出本文所给的函数可选择的余地更多也更能与精确值相对应
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4 2 1
y 0
3 2
略去高次项
d 3 2 3 [ u ] a dx 20 2
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d
令：
3
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
一阶线性常微分方程
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
P
Q
通解： e
Pdx
Pdx ( Qe dx c)
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
x 0, t 0
基本思路
1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
w w
边界层动量积分方程解：
d du u ( u u ) dy dx 0 dx
0
(u u )dy
u y
y 0
d u u u u (1 )dy 0 dx u u y
2
y 0
假定速度分布函数： u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
140 dx 13 u
280 x 13 u
2
280 d 2 a 2 140 x 10 13 dx 13
13 2 d 3 4 x dx 14 Pr
d 2 13 3 2 x dx 14 Pr 4 d 3 13 3 x 3 dx 14 Pr
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
3
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
3
0
c0
13 1 14 Pr
t 1 Pr 1/ 3 Pr 1/ 3 1.025
T hx Twx T y
y 0
3 1 2
3 x Nux 2
hx x
1/ 2 3 Re 1/ 2 1/ 3 1/ 3 x 0.332 Re Pr 1.025Pr x 2 4.64
对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量 积分方程和能量积分方程。
能量积分方程：
d t t u (t t )dy a dx 0 y
y 0
边界层动量积分方程式
动量积分方程：
d du u (u u )dy dx 0 dx
0
u (u u )dy y
边界层积分方程组求解
报告人：慈超 学 号：2013110806
边界层积分方程组求解
背景
1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
c fx
wx
1 2 u 2
0.646 Re
1/2 x
边界层能量分析求解 边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而 求出表面传热系数。 为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温 为t w ，主流温度为 t ，主流速度为 u2）流 体为常物性，且 pr 1 3）流体无内热源也不 考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上 导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。
y 0
动量积分方程的求解
动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的 条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但 求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及 粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精 确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点， 因此其解是近似的。
外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数
作为实例，把 u 作为常数，此时动量积分方 du 程左边第二项为0，且 dy。同时为积分 方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式 较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种， 主要看它能否更好表达边界层内的速度分布。
谢谢观赏
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u
a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：
0
140 d 13 u
0
x
dx
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
代入速度分布方程：
u 3 y 1 y 3 ( ) 1/2 1/2 u 2 4.64 Re x 2 4.64 Re x x x
u w y
y 0
3/2 3 u u 0.323 1 / 2 2 4.64 Re x x x
tw
外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数
以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方 程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界 层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了， 尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。
边界层能量积分方程解：
引入过余温度：θ=T-Tw
d t u u (1 )dy a dx 0 u y
y 0： 0
2 0 2 y
y t：
b2 0
0 y
b0 0
b1 3/2
b3 1/2
3 y 1 y 3 ( ) 2 t 2 t
令：
t /
1
t y
d 3 2 3 4 3 代入能量积分方程： dx [ u ( 20 28 )] 2 a
y 0
3 2
略去高次项
d 3 2 3 [ u ] a dx 20 2
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d
令：
3
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
一阶线性常微分方程
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
P
Q
通解： e
Pdx
Pdx ( Qe dx c)
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
x 0, t 0
基本思路
1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
w w
边界层动量积分方程解：
d du u ( u u ) dy dx 0 dx
0
(u u )dy
u y
y 0
d u u u u (1 )dy 0 dx u u y
2
y 0
假定速度分布函数： u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
140 dx 13 u
280 x 13 u
2
280 d 2 a 2 140 x 10 13 dx 13
13 2 d 3 4 x dx 14 Pr
d 2 13 3 2 x dx 14 Pr 4 d 3 13 3 x 3 dx 14 Pr
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
3
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
3
0
c0
13 1 14 Pr
t 1 Pr 1/ 3 Pr 1/ 3 1.025
T hx Twx T y
y 0
3 1 2
3 x Nux 2
hx x
1/ 2 3 Re 1/ 2 1/ 3 1/ 3 x 0.332 Re Pr 1.025Pr x 2 4.64
对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量 积分方程和能量积分方程。
能量积分方程：
d t t u (t t )dy a dx 0 y
y 0
边界层动量积分方程式
动量积分方程：
d du u (u u )dy dx 0 dx
0
u (u u )dy y
边界层积分方程组求解
报告人：慈超 学 号：2013110806
边界层积分方程组求解
背景
1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
c fx
wx
1 2 u 2
0.646 Re
1/2 x
边界层能量分析求解 边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而 求出表面传热系数。 为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温 为t w ，主流温度为 t ，主流速度为 u2）流 体为常物性，且 pr 1 3）流体无内热源也不 考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上 导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。
y 0
动量积分方程的求解
动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的 条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但 求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及 粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精 确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点， 因此其解是近似的。
外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数
作为实例，把 u 作为常数，此时动量积分方 du 程左边第二项为0，且 dy。同时为积分 方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式 较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种， 主要看它能否更好表达边界层内的速度分布。
谢谢观赏
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u
a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：
0
140 d 13 u
0
x
dx
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
代入速度分布方程：
u 3 y 1 y 3 ( ) 1/2 1/2 u 2 4.64 Re x 2 4.64 Re x x x
u w y
y 0
3/2 3 u u 0.323 1 / 2 2 4.64 Re x x x
tw
外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数
以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方 程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界 层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了， 尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。
边界层能量积分方程解：
引入过余温度：θ=T-Tw
d t u u (1 )dy a dx 0 u y
y 0： 0
2 0 2 y
y t：
b2 0
0 y
b0 0
b1 3/2
b3 1/2
3 y 1 y 3 ( ) 2 t 2 t
令：
t /
1
t y
d 3 2 3 4 3 代入能量积分方程： dx [ u ( 20 28 )] 2 a