第一讲：等腰三角形和直角三角形(学生讲义)

没有什么细节因细小而不值得你去做，也没有什么大事大到尽了力还不能办到!第二讲 等腰三角形和直角三角形【典型例题】【例1】1.下列的真命题中，它的逆命题也真的是( )．A 全等三角形的对应角相等B 两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C 等边三角形是锐角三角形D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2.下列命题中正确的是( )．A 两个全等的三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形是全等形D 关于某直线对称的两个三角形不一定是全等形【例2】 1.在ABC ∆中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若6,4AC BC ==,求BCF ∆的周长.2. 2.如图：已知，在ABC ∆中， AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于D 、E 两点.且0150BAC DAE ∠+∠=,求BAC ∠的度数.3.如图,,AC AD BC BD ==,AB 与CD 相交于点E .求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线.4.如图,,,A B C 表示三个村庄,现三个村庄决定要集资建一口水井,向三个村庄供水.已知在这三个村庄连线所成的三角形区域内的任何一处都可以打出水,问:将水井建在何处,才能使到这个村庄的距离相等.题2:1.如图, 在ABC ∆中,AC 的垂直平分线交AC 于E ,交BC 于D ,ABD ∆的周长为12,5AE =,则ABC ∆的周长为___________.【例3】1.已知,如图,AD 是ABC ∆的角平分线,,DE DF 分别是,ABD ACD ∆∆的高.求证:AD 垂直平分EF2.已知：在Rt ABC ∆中，两个锐角的平分线BO 、AO 相交于点O ,求∠AOB 的度数．3.已知:ABC ∆中,(1)如图1,若点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点,则1902o P A ∠=+∠. (2)如图2,若点P 是ABC ∠和外角ACE ∠的角平分线的交点,则90o P A ∠=-∠.(3) 如图3,若点P 是外角CBF ∠和外角BCE ∠的角平分线的交点,则1902o P A ∠=-∠.图1 图2 图3上述说法正确的有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个4.如图,ABC ∆中,AD 平分BAC ∠.求证:AB BD AC CD=.5.如图：在直角三角形ABC 中，锐角C 的平分线交对边于E ，又交斜边上的高AD 于O ，过O 引//OF CB 交AB 于F ,求证：AE BF =．6.如图，在ABC ∆中，045B ∠=，AD 平分BAC ∠，AD 的中垂线EF 交BC 的延长线于点F 。

求CAF ∠的度数。

7.如图：ABC ∆中，8AB =，4AC =，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线交于D ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，E 、F 为垂足．求BE 的长．【例4】1.等腰三角形中有一个角是 50，它的一条腰上的高与底边的夹角( )A 是 25B 是 40C 是 25或 40D 大小无法确定2.如果一个等腰三角形的两边长分别为5和9,求其周长.3.如图，等腰三角形ABC 的腰AC 上的中线BD 把ABC ∆的周长分为12cm 和21cm 两部分，求底边BC 的长．4.如图：AB AC =，∠A = 36，∠1=∠2，12ADE EDB ∠=∠， 则图中等腰三角形的个数是( )A 2个B 3个C 4个D 5个5.如图:ABE ∆和ACF ∆分别是以ABC ∆的边AB 、AC 在形外的正三角形，CE 、BF 相交于O ，则∠EOB =_______度.6.如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离为a 米,此时梯子的倾斜角为75o.如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子顶端距地面的距离为b 米,梯子的倾斜角为45o ,这间房子的宽AB 一定是( ) A2a b +米 B 2a b - 米 C b 米 D a 米 题4: 1.顶角是 150的等腰三角形，腰上的高与腰长的比是( )A 1:2B 1:C 1:3D 1:(2+2.等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=，D 是BC 上一点，15BAD ∠=，给出下列结论：①2AD CD = ②CD BD = ③60ADC ∠=，其中正确的个数有( )A 0个B 1个C 2个D 3个3.如图,在ABC ∆中,AB AC =,,M N 分别是,AB AC 的中点,,D E 为BC 上的点,连结,DN EM ,若13AB cm =,10,5BC cm DE cm ==,则图中阴影部分的面积为______2cm .4.等边三角形的边长为3cm ，则三角形的高为______cm ．5.如图,在等边ABC ∆中,9AC =,点O 在AC 上,且3AO =,点P 是AB 上一个动点,连接OP ,将线段OP 绕点O 逆时针旋转060得到线段OD .要使点D 恰好落在BC 上,则AP 的长是( )A 4B 5C 6D 86.ABC ∆中，BC a =，AC b =，150C ∠=,且0)2()2(425222=+++-+-b b a b ab a ．①求a 、b 的值，②求ABC ∆的面积．【例5】1.如图，M 为ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，且AN BN ⊥于N ，10AB =，16AC =．则MN 的长为_________．2.已知,如图,在ABC ∆中,045ABC ∠=,CD AB ⊥于D ,BE 平分ABC ∠,且BE AC ⊥于E ,与CD 相交于点F .H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G .(1)求证:BF AC =;(2)求证:12CE BF =; (3)CE 与BG 的大小关系如何?试证明你的结论.3.如图,已知ABC ∆,12,2,AB AC AD BD ∠=∠==.求证:DC AC ⊥.4.如图,已知,ABC ∆,线段,BE CF 分别平分,,ABC ACB ∠∠,,AG BE AH CF ⊥⊥垂足分别为,.H G 求证:GH BC .【例6】1.如图：在ABC ∆中，AB AC =,E 是AB 上任意一点，延长AC 到F ，使BE CF =,连接EF 交BC 于M ,求证：EM FM =．2.如图：在ABC ∆中，ABC ACB ∠=∠，延长AC 到D ，使得AB CD =，AE EC =．求证：2BE BD =．3.如图:,CB CD 分别是钝角AEC ∆和锐角ABC ∆的中线，且AC AB =，给出下列结论：①2AE AC =； ②2CE CD =； ③ACD BCE ∠=∠；④CB 平分DCE ∠．请写出正确结论的序号_________．(注：将你认为正确结论的序号都填上)．4.如图：已知，自ABC ∆的边AB 、AC 向外作正三角形ABD ∆和ACE ∆，P 、M 、Q 分别是BD 、BC 、CE 的中点．求证：PM QM =．5.如图,在ABC ∆中,AB AC =,D 是ABC ∆外一点,60o ABD ∠=,1902o ADB BDC ∠=-∠. 求证:AB BD CD -=.6.如图:已知,AB AC =,P 为BC 上任意一点,作PQ AB ⊥于Q ,PR AC ⊥于R ,CD AB ⊥于D ,求证:PQ PR CD +=.7.如图，在ABC ∆中，90A ︒∠=，D 是AC 上一点，BD DC =，P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥，PF AC ⊥，E 、F 为垂足．求证：PE PF AB +=．8.如图AD 是等边ABC ∆的高,E 是ABC ∆内的任意一点,过E 分别作三边的垂线,垂足分别是,,F G H .求证:AD EF EG EH =++.9.如图：在ABC ∆中，AB AC =,E 是AB 上任意一点，延长AC 到F ，使BE CF =,连接EF 交BC 于M ,求证：EF BC >．题6:1.如图,在ABC ∆中,AB AC =,延长BC 到D ,使CD BC =,CE BD ⊥交AD 于点E ,连结BE 交AC 于F .求证:AF FC =.【例7】1.如图：已知在Rt ABC ∆中，∠A = 90，AD 是斜边BC 边上的高，求证：（1）2AB BD BC =⋅ （2）2AC CD BC =⋅（3）2AD BD CD =⋅ （4）AB AC BC AD ⋅=⋅2.如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。

若6CD =，则AF 等于( )A B C D 83.如图：已知ABC ∆中，6AB =，9AC =，AD BC ⊥于D ，M 为AD 上任意一点,求：22MB MC -的值．4.如图,ABC ∆为等腰直角三角形,,D E 是BC 上两点,且045EAD ∠=.求证:222BE DC DE +=.5.如图：ABC ∆的A ∠、B ∠、C ∠的对边a 、b 、c 满足0142222=+-++ab b a b a ．的长．题7: 1.直角三角形的三条边分别为3,4，x ，则x =______．2.如右图：ABC ∆中，AB BC =，CD 平分∠ACB ，CE 是AB 边上的高，42DCE ∠=则∠A =_____．3.如图：折叠长方形纸片的一边BC ，使B 落在AD 边的F 处，3AB =，5BC =，求EF 的长．4.三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且0))()((=---a c c b b a ，则ABC ∆的形状一定是( )A 等腰三角形B 直角三角形C 等边三角形D 钝角三角形5.如图：ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求DEF ∆的面积．【例8】1.如图,CD 是Rt ACB ∆的斜边AB 上的中线.求证:12CD AB =.2.如图：已知在ABC ∆中，∠BAC = 90，5AC cm =，AD 是高，AE 是中线，且12DC AC =,求AE 的长．3.如图,在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，10AB cm =，则MD 的长是多少？【例9】1.如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 为BC 边上的高，E 为 BC 的中点，求证：12DE AB =．2.如图：在ABC ∆中,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，M ，N 分别是DE 、BC 的中点，求证：MN DE ⊥．3.如图：已知在ABC ∆中,90A ∠=，AB AC =，M 是AC 边的中点,AD BM ⊥交BC 于D ，交BM 于E ,求证：AMB DMC ∠=∠．4.如图：已知在ABC ∆中,90A ∠=，AB AC =，M 是AC 边的中点,AD BM ⊥交BC 于D ，交BM 于E ,//CF AC 交AD 的延长线于点F ，连结MF 。