浅析极坐标系与坐标旋转

浅析极坐标系与坐标旋转

摘要：坐标变换是解析几何中一个有用的工具。任何一个二次方程，经过坐标轴适当的平移和旋转，都可以化成圆锥曲线的标准方程(或它们的特殊情形)。但方程化简十分烦琐，利用极坐标系可以使问题的解决得到很大的简化。

关键词：数学;极坐标;坐标变换

首先介绍两个基本知识

一、极轴的旋转

如果极点的位置、长度单位和角度的正方向都不改变，而极轴绕极点旋转一个角度，这种坐标系的变换叫极轴的旋转。

如下图，OX是原来的极轴，OX’是OX绕极点O旋转角得到的新极轴，设p是平面内的任一点，它的旧坐标是，新坐标是。它的新旧坐标关系是：

二、把中心取为极点的圆锥曲线极坐标方程

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正方向作为极轴，在两种坐标系中取相同的长度单位。

三、一般二次方程的化简

由于一般二次方程的化简既需要坐标轴的旋转，又需要坐标轴的平移，而坐标轴的平移变换在直角坐标系中利用通常的平移公式是十分简单的，所以在化简这类方程时，可以把上述的利用极坐标系的坐标旋转和直角坐标系的坐标平移结合起来用。在顺序上，依照通常的顺序，就是有心曲线先平移、后旋转;无心曲线先旋转、后平移。

[1] 季素月.数学教学概论.东南大学出版社.2000年4月

[2] 左铨如.解析几何教程.2002年8月