第三章 刚体力学4

相应地天文南北极绕地理南北极描出圆圈，称为“极移”现象. 相应地天文南北极绕地理南北极描出圆圈，称为“极移”现象.
I1 地球： ≈ 300 Ω ≈ 2π / 天 ⇒ T ≈ 300天 I 3 − I1 实际观测值： 实际观测值：T ≈ 425 ~ 440天
差别原因：1、地球是非刚体; 2、地球引力不过地心; 3、太阳、月球引力不可忽略.
ɺ ɺ 常量（进动） + ω 2 = ϕ 2 sin 2 θ = ω 02 ⇒ ϕ = 常量（进动） ω y
2 x
ɺ ω z = ϕ cos θ + ψɺ ⇒ ψɺ =
上页
常量（自转） 常量（自转）
下页 返回 结束
第三章 刚体力学
再由(1）、(2）式： 再由(1）、(2） (1）、(2
ω x = ctg ( nt + ε ) tan ψ = ωy π ⇒ψ = − ( nt + ε )
上页 下页 返回 结束
第三章 刚体力学
结论： 结论： 1.
J 2T 2T ωJ = ω ⋅ = 常量）， （常量）， OO′ = δ = J J Jω ω ω J ω = J ⋅ ω = Iωω = 2 ⇒ ρ = = ρ 2T Jω ⋅ω
为常矢量, 本体极迹和空间极迹缩为一点,刚体动平衡 刚体动平衡. ω 为常矢量 本体极迹和空间极迹缩为一点 刚体动平衡
t 的改变
进动. 进动.（z 轴绕 ζ
轴转） 轴转）
3. θ 为章动，在 θ 1 ( x = x1 )与 θ 2 ( x = x2 )之间来回摆动. 之间来回摆动. 为章动，
ω
很大时， 很小. 赝规则进动. 很大时，ɺ 很小.称 赝规则进动. θ
4. 地球: 进动周期: 25800年.章动周期: 19年. 地球: 进动周期: 25800年 章动周期: 19年
而: K = sin θ sin ψ i + sin θ cos ψ j + cos θ k
∴ M = mgl ( sin θ cos ψ i − sin θ sin ψ j ) ɺ ɺ ɺ 1. I 1 = I 2 , M z = 0 ⇒ I 3 ωz = 0 ⇒ ω z = ϕ cosθ +ψ = s
2
讨论: 讨论 1.
2.
I1 − I3 ɺ ⇒ ψ = −n = Ω I1
轴方向（ 在 z 轴方向（地球对称轴
ɺ ψ
地球的自转速率 地球的自转速率: 速率
ɺ 轴方向（ ϕ 在 ζ 轴方向（ J
ω z = Ω ≈ ϕɺ cos θ ;
方向） 方向. 方向）. 规则进动 方向.
上页 下页 返回
地理地轴方向） 地理地轴方向）.
取惯量主轴为动坐标系. 取惯量主轴为动坐标系 定 为惯量主轴交点(中心 点O为惯量主轴交点 中心 为惯量主轴交点 中心)
第三章 刚体力学
+ I 2 y + I 3 z2 = 1 有：I1 x
2 2
π
o′
J守恒
为转动瞬轴方向, OP 为转动瞬轴方向, 的切面. π为P 点（极）的切面. 可证明： 可证明： J ⊥ 不变平面，且 OO' = δ 常量. 不变平面， 常量. 为转动瞬轴. P点速度为零，OP 为转动瞬轴. 点速度为零， OP = ρ 在和椭球相连的刚体上画出本体极面， 在和椭球相连的刚体上画出本体极面 本体极面， 在平面上画出空间极面 在平面上画出空间极面.
1. 炮弹的旋进 空气阻力矩使炮 弹 进动 而不是“翻筋斗”. 炮弹的旋进: 进动.而不是 翻筋斗” 而不是“
上页
下页
返回
结束
2. 回转力矩： 回转力矩：
J ≈ I 3ωk
第三章 刚体力学
dJ dJ dk = M ,⇒ ≈ I 3ω dt dt dt
dk ɺ 是常模矢量）， 而： = ϕ × k , k 是常模矢量）， dt ∧ M = l × F sin(l ,F ) = 1 ɺ ∴ I 3 ω ⋅ ϕ = lF . 即: F = I 3 ω ϕ ɺ l
上页 下页 返回 结束
第三章 刚体力学
ζ J
J
z
x
η
ξ
I 1 > I 3 情况
y
I 1 < I 3 情况
上页 下页 返回 结束
本体极锥在空间极锥外 本体极锥在空间极锥外无滑动滚动 在空间极锥
静系， 静系，因
J
恒矢量， = 恒矢量，故取
J
方向为
方向. ζ 方向.质心为原点
第三章 刚体力学
的固定坐标系. 固定坐标系
2 2 ⇒ J x + J y = I1ω 0 2 2
说明: 说明:
J 在 xoy 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看， 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看， J 绕对称 z 轴以角速度 n 旋转. 旋转.
上页 下页 返回 结束
( 2 ）非对称刚体 I 1 ≠ I 2 ≠ I 3 , 一般情况：用潘索几何法分析. 一般情况：用潘索几何法分析.
结束
第三章 刚体力学 3.
ɺ ɺ ω = ϕ +ψ
瞬轴方向, 轴的角速率为: 瞬轴方向, 绕 z 轴的角速率为:
ɺ n = −ψ
天文地轴方向 地轴方向） （地球自转轴 天文地轴方向） 在静系看， 轴进动， 4. 在静系看，z 轴 绕 ζ 轴进动，角速率为
ϕɺ .
J x = I 1 ω x = I 1 ω 0 cos ( nt + ε ) J y = I 2 ω y = I 1 ω 0 sin ( nt + ε ) J = z I 3 ω z = J cos θ ( 常量 )
I 3）
− xyz 系）
ϕ
o 静系： − ξηζ 系. 静系：
力矩 (动系 动系): 动系
K // ζ
k
z
− mgk
i
j 0
k −1
o
ξ
M = lk × (− mgK ) = mgl 0
θ
G
Kx K y Kz
k
η
= mgl ( K y i − K x j ) , M z = 0
上页 下页
返回
结束
第三章 刚体力学
即：角速度在对称轴上 的投影守恒
ω x + n 2ω x = 0 ω x = ω 0 cos( nt + ε ) ɺɺ ⇒ 2 ɺɺ ω y + n ω y = 0 ω y = ω 0 sin( nt + ε )
上页 下页 返回 结束
第三章 刚体力学
说明： 说明：
平面上的投影在运动过程中大小不变, 1. ω 在xoy 平面上的投影在运动过程中大小不变,始终为
上页 下页 返回 结束
第三章 刚体力学
泊松情况（回转仪，陀螺） 二. 拉格朗日 — 泊松情况（回转仪，陀螺） 特征：刚体的惯量椭球是旋转椭球（ 特征： 刚体的惯量椭球是旋转椭球（ I 1 = I 2 ≠ 且重心在转轴上 即对称轴为转轴） 转轴上（ 且重心在转轴上（即对称轴为转轴） 动系：固定在刚体的主轴坐标系（ o 动系：固定在刚体的主轴坐标系（
常量 1 2 2 2 能量守恒: 2. 能量守恒: ( I 1 ω x + I 2 ω y + I 3 ω z ) + mgl cos θ = E 2 3.
p
对 ζ 轴的力矩为零: 轴的力矩为零:
JK = J ⋅ K =α
常量
1、2、3 + 欧勒运动学方程可解出： 、 、 欧勒运动学方程可解出：
ɺቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + ϕ 2 sin2 θ ) + I 3 s 2 = 2( E − mgl cosθ ) I 1 (θ ɺ ϕ sin 2 θ + I 3 ⋅ s ⋅ cos θ = α I1 ɺ ϕɺ cos θ + ψɺ = s
第三章 刚体力学
§3.9 重刚体绕固定点转动 目前只有三种情况可解. 目前只有三种情况可解 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用. 欧勒—潘索情况 一. 欧勒 潘索情况 （刚体的自由转动）无外力矩的定点转动 刚体的自由转动） 特征: 特征 如回转仪，地球自转，分子转动. 1.固定点为重心 固定点为重心. 1.固定点为重心. M = 0. 如回转仪，地球自转，分子转动. 2. 角动量守恒 J = 恒矢量 （即进动轴方向始终不变） 角动量守恒. 即进动轴方向始终不变）
2 J 2 = J ⋅ J = I 1 ω 2 + I 2 ω 2 + I 2 ω 2 = c1 ( 常量 ) 2 3 x y z
上页 下页 返回 结束
但 ω 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡. 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡
第三章 刚体力学
3. 能量守恒
1 1 1 2 2 2 E = T = ω ⋅ J = (I1ωx + I 2ωy + I 3ωz ) = c2 2 2 2
另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 （1）对称刚体 ）
地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力） 地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力）
动系， 1 = I 2 ≠ I 3 ⇒ ω z = Ω 常量 动系， I
对称轴必是惯量主轴 ，取为 z 轴，则与 是惯量主轴（ 是惯量主轴（因 I1 = I2 ）.
▲地球转轴的旋进：非球效应，进动周期 25800 年，岁差 地球转轴的旋进：非球效应， （地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 20分33秒（即 地轴进动角 50.2角秒 / 年） 分 秒 地轴进动角: 角秒