伯努利方程习题
[伯努利方程]化工原理伯努利方程练习题
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[伯努利方程]化工原理伯努利方程练习题篇一: 化工原理伯努利方程练习题第一章流体流动已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m3与998kg/m3，试求含硫酸为60%的硫酸水溶液的密度为若干。
10-4=7.29×10-4ρm=1372kg/m3已知干空气的组成为：O221%、N278%和Ar1%，试求干空气在压力为9.81×104Pa及温度为100℃时的密度。
解：首先将摄氏度换算成开尔文100℃=273+100=373K再求干空气的平均摩尔质量Mm=32×0.21+28×0.78+39.9×0.01=28.96kg/m3根据式1-3a气体的平均密度为：9.81?10?28.963?m??0.916kg/m8.314?373本题附图所示的开口容器内盛有油和水。
油层高度h1=0.7m、密度ρ1=800kg/m3，水层高度h2=0.6m、密度ρ2=1000kg/m3。
判断下列两关系是否成立，即pA=p’A pB=p’B计算水在玻璃管内的高度h。
解：判断题给两关系式是否成立pA=p’A的关系成立。
因A与A’两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。
所以截面A-A’称为等压面。
pB=p’B的关系不能成立。
因B及B’两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B’不是等压面。
计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，pA=p’A，而pA=p’A 都可以用流体静力学基本方程式计算，即pA=pa+ρ1gh1+ρ2gh2pA’=pa+ρ2gh于是pa+ρ1gh1+ρ2gh2=pa+ρ2gh简化上式并将已知值代入，得800×0.7+1000×0.6=1000h解得h=1.16m如本题附图所示，在异径水平管段两截面连一倒置U管压差计，?压差计读数R=200mm。
试求两截面间的压强差。
解：因为倒置U管，所以其指示液应为水。
设空气和水的密度分别为ρg与ρ，根据流体静力学基本原理，截面a-a’为等压面，则pa=pa’又由流体静力学基本方程式可得pa=p1－ρgMpa’=p2－ρg－ρggR联立上三式，并整理得p1－p2=gR由于ρg《ρ，上式可简化为p1－p2≈ρgR所以p1－p2≈1000×9.81×0.2=1962Pa如本题附图所示，蒸汽锅炉上装置一复式U形水银测压计，截面2、4间充满水。
伯努利方程习题参考(课后给学生)
思考题
(1)欧拉法研究----------的变化情况 (A) 每个质点的速度 (B) 每个质点的轨迹
( C) 每个空间点的速度
(D) 每个空间点的质点轨迹
( C)
思考题
(2). 二元流动的速度分布为 u=2x+t, v=y2+2t, 则 t=0时, 点(1,2)的流体加 速度分量 ax 和ay 为---------(A) 1,2 ( C) 2,4 (B) 3,16 (D) 5,18
则
p1 Hg h h1 13.6 0.2 0.72 2 (mH2O) g
列1-1和2-2断面的伯努利方程
Hg gh p1 gh1 p1 Hg gh gh1
p1 V12 p 2 V 22 z1 z2 g 2 g g 2 g
3
v3
3
180N
对平板冲击力 F R 180 N
【例2】 有一贮水装置如图5-4所示，贮水池足够大，当阀 门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全 开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试 求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动 损失)。
将式(5-4)代入到式(5-3)，则
(5-4)
(5-5)
V2
2 g ( 液 )h液 [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
式(5-5)表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h 液，就可以确定流体的速度。流量为：
2 2 g ( 液 )h液 qV A2V2 d 2 4 [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
15
2014-12-15
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2014-12-15
伯努利方程的应用(例题)
将以上各值代入（b）式，可求得输送碱 液所需的外加能量：
We
18.59.81
2.452 2
29.4 103 1100
30.8
242.0
j
/
kg
碱液的质量流量：
qm
4
d 2 2u2
0.785 0.072
2.451000
10.37kg
/
s
泵的有效功率：
Ne Weqm 24210.37 2510W 2.51kW
2019/7/29
Z3 1m，Z4 0.2m，
P4 0(表压），P3 ? 1000kg / m3
将已知数据代入柏努利方程式得：
g p3 1.96
P3 11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’ 截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 10009.810.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (10330 4905)
P1
(101330 3335)
0.079 7.9% 20%
u2
qV A
qV
d2
5
3600 0.0332
1.62m / s
4
4
由连续性方程 u1 A1 u2 A2 ∵A1>>A2,
因为u1<<u2, 所以：u1≈0
已知：We=0 ，
R 30J / kg
伯努利方程习题
伯努利方程习题1. 一变直径管段AB ，直径d A ＝0.2m ，d B ＝0.4m ，高差Δh ＝1.5m 。
今测得p A ＝30kN/m 2，p B ＝40kN/m 2，B 处断面平均流速v B ＝1.5m/s 。
试判断水在管中的流动方向。
解：列A 、B 断面的连续性方程 v v A A B BA A = 得 v v 6m/sB BA AA A ==以A 所在水平面为基准面，得 A 断面的总水头 24.8982A AA p v z m g gρ++=B断面的总水头225.69622B B B BB p v p v z h m g g g gρρ++=∆++=故水在管中的流动方向是从B 流向A 。
2. 如图，用抽水量Q ＝24m 3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程h s ＝6m ，吸水管的直径为d ＝100mm ，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h w ＝0.4mH 2O ，求该泵叶轮进口处的真空度p v 。
Q解：取1-1断面在水池液面，2-2断面在水泵进口，选基准面在自由液面。
列1、2断面的能量方程，有4.02600222+++=++gvp p aγγ（其中p 为绝对压强）即gvp p p va 24.6222+==-γγ其中s m d Q v /849.036001.02444222=⨯⨯⨯==ππ故a v kPp 1.638.92849.04.68.92=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯=3. 如图，高压水箱的泄水管，当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为p 1＝280kPa ，当阀门开启后，压力表上的读数变为p 2＝60kPa ，已知此泄水管的直径D ＝25mm ，求每小时的泄水流量。
（不计水头损失）解：取管中心轴为基准面，水箱中取1-1断面，压力表处为2-2断面，闸门关闭时h p γ=1所以自由液面至管中心轴距离h ＝28.57m闸门打开后，列1－1、2－2断面能量方程gvp h 2000222++=++γ即： v 2＝20.98m/sQ ＝v 2A 2＝37.1m 3/h4. 如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大气，竖管直径为d 1＝200mm ，管道出口处为收缩喷嘴，其直径d 2＝100mm ，不计水头损失，求管道的泄流量Q 及A 点相对压强p A 。
第一章4_伯努利方程的应用资料
2
2
p (Pa)
∵A1>>A2, ∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。 VS .(m / s) u2 A .
h
2
f
J / kg
将已知数据代入伯努利方程式
u1 p1 u2 p2 gz1 We gz2 h f 2 2
u2 u 于是 6866 .5 2 2
连续性方程:u1A1= u2A2 u1=7.34m/s
2
2 1
d1 u2 u1 d 16u1 2
2
3 3 2 2 m m Vs d1 u1 0.08 7.34 0.03689 132 .8 s h 4 4
u1 p1 u2 p2 gz1 gz2 h f 12 2 2
2
2
式中: Z1=H, Z2=0, p1=0(表), p2=0(表), 因为水槽截面与管道相比很大,可以近似认为1—1处的 流速为0 即u10 1' 1 2 2 0 2' H 0'
u2 h f 12 于是: gz1 2
伯努利方程式应用 习题课
一、确定管道中流体的流量 二、确定容器间的相对位置 三、确定输送设备的有效功率 四、确定管路中流体的压强
【例1】20℃的空气在直径为80mm的水平管流过。现于管路中接一 文丘里管，如本题附图所示。文丘里管的上游接一水银 U管压差计， 在直径为 20mm的喉颈处接一细管，其下部插入水槽中。空气流过 文丘里管的能量损失可忽略不计。当 U 管压差计读数 R=25mm 、 h=0.5m 时 ， 试 求 此 时 空 气 的 流 量 为 若 干 m3/h 。 当 大 气 压 强 为 101.33×103Pa。
伯努利方程的应用(例题)
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 10009.810.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (10330 4905)
P1
(101330 3335)
0.079 7.9% 20%
2019/7/29
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R
式中 ：
Z1 1m，Z2 6m
u1
0， u2
VS A
84.82
3600
0.12
3m / s
4
P1 0(表压），
p2 0.02106 11770 8230Pa（表压）
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R
其中： z1=0； p1=147×103 Pa（表压）；
u1
qV A
qm
d2
1000 / 3600 0.785 0.0532 1000
1.26m / s
4
2019/7/29
z2=0；喷嘴出口速度u2可直接计算或由 连续性方程计算
喷射泵是利用流体流动时静压能与动能的转换 原理进行吸、送流体的设备。当一种流体经过喷 嘴时，由于喷嘴的截面积比管道的截面积小得多 ，流体流过喷嘴时速度迅速增大，使该处的静压 力急速减小，造成真空，从而可将支管中的另一 种流体吸入，二者混合后在扩大管中速度逐渐降 低，压力随之升高，最后将混合流体送出。
伯努利方程计算题
伯努利方程计算题一、一根内径均匀的细玻璃管，开口向上竖直放置，管内有一段长15cm的水银柱封闭着一段空气柱，当玻璃管在竖直平面内缓慢转动至开口向下时，发现管内水银柱长度变为18cm，则大气压强为多少cmHg？（答案：C）A. 60cmHgB. 55cmHgC. 65cmHgD. 70cmHg二、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，现将玻璃管缓慢向上提起（管口未离开槽内水银面），直到管内外水银面相平，则此过程中（答案：A）A. 气体体积增大，压强减小B. 气体体积减小，压强增大C. 气体体积不变，压强不变D. 无法判断气体体积和压强的变化三、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若使玻璃管绕其下端在槽内水银面内匀速转动，则转动后（答案：D）A. 管内气体体积增大B. 管内气体体积减小C. 管内气体压强增大D. 管内气体压强不变四、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若环境温度升高，则管内水银面比槽内水银面高度差将（答案：B）A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法判断五、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若将玻璃管稍微上提一些（管口未离开槽内水银面），则（答案：A）A. 管内气体体积增大，压强减小B. 管内气体体积减小，压强增大C. 管内气体体积不变，压强不变D. 无法判断气体体积和压强的变化六、一根两端开口的玻璃管，下端附一塑料片（塑料片重力不计），竖直压入水面下20cm 深处，然后向管内缓慢注入某种液体，当管内液面高出水面5cm时，塑料片刚好脱落，则该液体的密度是多大？（答案：B）A. 0.8g/cm³B. 1.2g/cm³C. 1.0g/cm³D. 0.5g/cm³七、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若将玻璃管稍微倾斜一些（管口未离开槽内水银面），则（答案：D）A. 管内气体体积增大，压强减小B. 管内气体体积减小，压强增大C. 管内气体体积不变，压强不变D. 无法判断气体体积和压强的变化八、一根两端开口的玻璃管，下端附一塑料片（塑料片重力不计），竖直压入水面下10cm 深处，然后向管内缓慢注入水，当管内水面比管外水面高出多少时，塑料片刚好脱落？（答案：A）A. 10cmB. 5cmC. 15cmD. 20cm九、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若将玻璃管上端开口封闭，再将玻璃管缓慢向上提起（管口未离开槽内水银面），直到管内外水银面相平，则此过程中（答案：C）A. 气体体积增大，压强增大B. 气体体积减小，压强减小C. 气体体积不变，压强增大D. 无法判断气体体积和压强的变化十、一根两端开口的玻璃管，下端附一塑料片（塑料片重力不计），竖直压入水面下20cm 深处，然后向管内缓慢注入酒精，当管内酒精面高出水面多少时，塑料片刚好脱落？（答案：B）A. 10cmB. 25cmC. 30cmD. 35cm。
伯努利方程求解微分方程例题
例题：求解伯努利方程$y''+4y'+3y=0$ 的通解。
解：伯努利方程的特征方程为$r^2+4r+3=0$，根为$r_1=-1, r_2=-3$。
则通解为：$y=c_1e^{-x}+c_2e^{-3x}$。
注意：在求解伯努利方程时，需要判断特征方程的根的不同情况，如果根相等，则通解为$y=c_1xe^{-x}+c_2e^{-x}$；如果根不相等，则通解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$。
在求解伯努利方程的通解时，还需要注意一些细节。
例如，在本例中，$r_1=-1, r_2=-3$，则通解为$y=c_1e^{-x}+c_2e^{-3x}$。
但是，对于某些特殊的伯努利方程，可能存在特解，即使用方法与通解不同的特殊解。
特解是用来补充通解的，使得方程的通解能够满足所有可能的初值条件。
总之，伯努利方程是一类常见的微分方程，在求解时需要注意特征方程的根的不同情况，以及可能存在的特解。
通过正确的方法，我们可以快速求解伯努利方程。
伯努力方程练习题
伯努力方程(Bernoulli’s Equation)是流体力学中描述理想流体(ideal fluid)能量守恒的方程式。
理想流体满足以下4个条件：1. 流体是非粘性的(nonviscous)，在相邻流层之间无内摩擦力；2. 流体不可压缩(incompressible)，因此密度恒定；3. 流体运动是稳态的(steady)，即流体中每一点的运动速度、密度和压力不随时间改变；4. 流体运动不存在湍流(turbulence)，意味着每个流体单元相对于中心的角速度为零，因此在该运动的流体中无任何涡流(eddy current)。
由于质量守恒及液体的流动处于稳态，因此有连续性方程(Equation of Continuity):根据能量守恒，可推导出理想流体的伯努力方程：通常表示为：伯努力方程中的每一项都是压力单位，在SI单位制中是Pa或N/m2。
由于1J=1N·m，所以1Pa=1J/m3。
每一项的物理意义是单位体积的能或做功，压力表ρv2为单位体积具有的动能，ρgy为单示单位体积的流体对前方流体所做的功。
12位体积具有的重力势能。
伯努力方程有两个特殊情况：1. 水平流动的液体y1=y2；2. 静止的液体v1=v2=0，则得到流体静力学方程：伯努力方程将理想流体不同两点的流速、压力和高度联系了起来，在应用该方程计算过程中先要分别写出每点各自的3个参数。
需要考虑几个要点：1.是否是以上2个特例；2.如果不是特例1，选择参考水平面，一般选择2个中较低的点作为参考比较简单；3.如果给出两处流体截面的半径或面积，则可根据连续性方程确定它们的流速关系；4.如果一个截面面积远远大于另一个截面（比如水桶里的水面和水桶下方的小孔），则截面大的流速v≈0；5.和大气相通则压力等于大气压(或表压为零)。
[例题一] 一个装满水的桶在水面以下0.80m处有一个开孔。
(a)当出口是水平开放的，水流出的速度是多少？(b)如果开口末端是竖直向上的，则形成的“喷泉”能达到多高？解：(a) 由于P1=P2，则伯努力方程为点1比点2高0.80m，即根据连续性方程A1》A2，v1相对于v2可忽略不计，故v1≈0。
伯努利方程习题-2003
1、如图，一管路由两部分组成，一部分内径为40mm,另一部分管内径为80mm,流体为水，在管路间的流量为13.57m3/h,两部分管上均有一测压点，测压管之间连一个倒U性管压差计，其间充一定量的空气。
若两测压点所在截面间的摩擦损失为260mm水柱。
求倒U型管压差计中水柱的高度R为多少为mm?2、如图所示，用泵将水从贮槽送至敞口高位槽，两槽液面均恒定不变，输送管路尺寸为φ83×3.5mm，泵的进出口管道上分别安装有真空表和压力表，压力表安装位置离贮槽的水面高度H2为5m。
当输水量为36m3/h时，进水管道全部阻力损失为1.96J/kg，出水管道全部阻力损失为4.9J/kg，压力表读数为2.452×105Pa，泵的效率为70%，水的密度ρ为1000kg/m3，试求：（1）两槽液面的高度差H为多少？（2）泵所需的实际功率为多少kW？3、用泵2将贮槽1中密度为1200kg/m 3的溶液送到蒸发器3中，贮槽内液面恒定，其上方压强101330Pa ，蒸发器操作压强为200mmHg(真空度)。
蒸发器进料口高于贮槽内液面15m ，输送管径为φ68×4mm ，进料量为20m 3/h ，溶液流经全部管道的总能量损失为120J/kg ，已知泵的效率为0.65，求泵的有效功率和轴功率。
4、如图所示，有一常温下操作的水槽，下面的出水管管径为φ 57mm×3.5mm，当出水阀全关闭时，压力表读数为30.4kPa，而阀门开启后，压力表读数降至20.3kPa。
设压力表之前管路中的压头损失为0.5m水柱，求水的流量为多少m3/h?5、如图，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后流入下水道，已知管道内径均为0.1m ，流量为84.82m 3/h ，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg ，喷头处压强较塔内压强高0.02MPa ，水从塔中到下水道的阻力损失忽略不计，泵的效率为65%，求泵所需的轴功率。
伯努利方程例题及详解
伯努利方程例题及详解
以下是一个关于伯努利方程的例题及详解：
一个质量为$m$的物体，在一个水平的加速运动中，其所受的力为：$F=-ksv$，其中$k$为常数，$s$为距离，$v$为速度。
假设初始速度为$v_0$，求物体的速度与距离的关系。
根据牛顿第二定律，我们知道：$F=ma$，其中$a$为加速度。
将$F=-ksv$代入公式，得到：
$ma=-ksv$
分离变量得到：
$dv/dt=-ks$
这是一个伯努利方程，我们可以通过代换将其转换为线性方程的形式：
$dv/(-ks)=dt$
对等式两边进行积分得到：
$\int_{v_0}^{v}dv/(-ks)=\int_{0}^{t}dt$
解得：
$v=v_0e^{-kt}$
所以，物体的速度与距离的关系为$v=v_0e^{-kt}$。
伯努利方程的应用(例题)
式中：
2014-5-17
u3 u4 0
Z3 1m，Z 4 0.2m，
P4 0(表压），P3 ?
1000kg / m
g p3
3
将已知数据代入柏努利方程式得：
P3 11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’ 截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
2
u1 7.34m / s
qV .h 3600
3600
4
4
d1 u1
2
0.082 7.34
132.8m3 / h
2014-5-17
2）确定容器间的相对位置
例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送
入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为
9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接
u2 u1 13733
由连续性方程有：
2
2
(a)
2
u1 A1 u 2 A2
0.08 d1 u1 u2 u1 d 0.02 2
2
2014-5-17
u2 16u1
联立(a)、(b)两式
(b)
6u
1
2
u1 13733
管直径为φ38×2.5mm，料液在连接
管内流动时的能量损失为30J/kg(不包 括出口的能量损失)，试求高位槽内 液面应为比塔内的进料口高出多少？
2014-5-17
分析：
高位槽、管道出口两截面 解： 取高位槽液面为截面 1-1 ’ ，连接管出口内侧为截面 2u、p已知
求△Z
柏努利方程
伯努利方程练习
第一章伯努利方程练习（一）班级姓名分数一、将293K 60%硫酸用泵从常压贮槽送入表压为200KN/m2的酸设备中，所用管子的内径为50mm，硫酸流入设备处与贮槽液面的垂直距离为15m，损失压头为22.6m酸柱，酸的流量为3Kg/s，硫酸的密度为1498 Kg/m3，求泵的有效功率？2、某离心泵安装在水平面上4.5m处，泵的流量为20m3/h，吸水管为￠108×4mm钢管，吸水管路中损失能量为24.5J/Kg，求泵入口处的压强，当地大气压为100 KN/m23、288K的水由水塔径内径为200mm钢管流出，水塔内液面高于管的出口25m，损失压头为24.6m，求导管中水的流速和流量？4、某车间循环水流程是凉水池中流体经泵到换热器后，再到凉水塔顶进行冷却。
凉水池水面比地面低1m，凉水塔塔顶比地面高10m，循环水量为72m3/h，水管内径为100mm，损失压头为13m，求泵的有效功率。
5、某塔高30m，现进行水压试验时，离塔底10m高处的压力计读数为500 KN/m2。
当地大气压力为100 KN/m2时，求塔底及塔顶处水的压力。
6、某水泵进出管处真空表的读数为650mmHg,出口管处压力表的读数2.5at，试求泵前后水的压力差为多少？多少米水柱？7、用压缩空气将封闭贮槽中的硫酸输送到高位槽，输送结束时贮槽距出口管的垂直距离为4m，硫酸在管中的流速为1m/s,管路的能量损失为15J/kg，硫酸的密度为1800kg/m3,求贮槽中应保持多大的压力（用at表示）8、已知d2=1／2d1其他物性不变，问因流动阻力产生的能量损失为原来的多少倍？9、贮存气体的容器连接一个U型管液柱压强计，压强计的另一端通大气，指示液的读数为100mmg，已知大气压强为750 mmg，汞的密度为13600 kg/m3，该容器的表压强为多少？绝对压强为多少？。
微分方程伯努利方程例题
微分方程伯努利方程例题
结论:伯努利方程经过适当的代换会变成一阶线性非齐次微分方程。
伯努利方程一般形式：形如
的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n不等于0，或者1.
（思考：n=0是什么方程？n=1是什么方程？）
伯努利方程是一种非线性微分方程，但通过适当的变量代换可以使其线性化。
具体方法为：在上述伯努利方程两端同除以 y^{n}
得
左边第一项稍加变形，可以写成
于是，换元，令
则
代入原方程，就变成关于变量z的一阶线性非齐次微分方程
利用一阶线性非齐次微分方程的求解方法，求出z通解，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解。
专升本伯努利方程练习题
专升本伯努利方程练习题### 专升本伯努利方程练习题#### 一、选择题1. 伯努利方程适用于哪种流体？A. 静止流体B. 可压缩流体C. 不可压缩流体D. 任何流体2. 在伯努利方程中，以下哪一项与流体的压强无关？A. 流体的密度B. 流体的流速C. 流体的高度D. 流体的粘度#### 二、填空题3. 伯努利方程的一般形式为 \[ P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{常数} \]，其中 \( P \) 表示______，\( \rho \) 表示______，\( v \) 表示______，\( g \) 表示______，\( h \) 表示______。
4. 当流体在管道中流动时，若管道横截面积增大，则流体的流速将______。
#### 三、简答题5. 解释为什么在通风管道中，管道的狭窄部分会产生较高的流速。
6. 描述伯努利方程在航空工程中的应用。
#### 四、计算题7. 假设有一个水平管道，管道的直径从 \( D_1 = 0.2 \) 米逐渐减小到 \( D_2 = 0.1 \) 米。
如果管道中的水以 \( v_1 = 2 \) 米/秒的速度流动，求在 \( D_2 \) 处水的流速 \( v_2 \)。
8. 考虑一个水塔，水面高度 \( h_1 = 10 \) 米，水从塔顶以\( v_1 = 5 \) 米/秒的速度流出。
求在离塔顶 \( h_2 = 5 \) 米处的水流速度 \( v_2 \)，假设水的密度为 \( \rho = 1000 \) 千克/立方米，重力加速度 \( g = 9.81 \) 米/秒²。
#### 五、论述题9. 论述伯努利方程在实际工程中可能遇到的局限性，并提出可能的解决方案。
答案提示：- 选择题：1.C，2.D- 填空题：3. 流体的压强，流体的密度，流体的流速，重力加速度，流体的高度- 简答题：5. 根据伯努利方程，流体在管道中流动时，流速增加会导致压强降低，因此在管道狭窄部分流速会增大。
伯努利方程题目
选择题伯努利方程的标准形式是什么？A. y' + P(x)y = Q(x)yn（正确答案）B. y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0C. y' = P(x)y + Q(x)D. y' + P(x)y = Q(x)求解伯努利方程时，若n=1，方程将转化为哪种类型的方程？A. 一阶线性微分方程（正确答案）B. 可分离变量的微分方程C. 齐次微分方程D. 恰当微分方程伯努利方程中，当P(x)和Q(x)均为常数，且n=2时，方程的解可能是什么形式？A. 指数函数解B. 三角函数解C. 双曲函数解或有理函数解（正确答案）D. 对数函数解在求解伯努利方程时，若n≠0且n≠1，通常采用的解题策略是？A. 直接积分B. 求解一阶线性微分方程（正确答案）C. 使用幂级数展开D. 应用拉普拉斯变换伯努利方程的一个实际应用领域是？A. 物理学中的波动方程B. 经济学中的增长模型（正确答案）C. 工程学中的热传导问题D. 生物学中的遗传模型求解伯努利方程时，若P(x)和Q(x)均为x的多项式函数，且n为常数，则方程的解可能是什么类型？A. 多项式解或超越函数解B. 有理函数解或隐函数解（正确答案）C. 幂级数解D. 三角函数解伯努利方程的解在什么条件下可能不存在或不是唯一的？A. 当P(x)和Q(x)均为常数时B. 当n为任意实数时C. 当Q(x)在某区间内变号且n<0或n>1时（正确答案）D. 当P(x)在某区间内连续时求解伯努利方程时，若n=0，方程将转化为哪种类型的方程？A. 一阶线性微分方程B. 可分离变量的微分方程（正确答案）C. 齐次微分方程D. 恰当微分方程伯努利方程中的P(x)和Q(x)通常是什么类型的函数？A. 必须是常数B. 可以是x的任意连续函数（正确答案）C. 必须是多项式函数D. 必须是三角函数。
伯努利方程典型例题
伯努利方程典型例题一、一水平放置的管道中，水流以速度v1流过一截面A1，然后流经一较小截面A2时速度增至v2。
根据伯努利方程，下列哪个说法正确？A. 在A1处的压力大于A2处的压力B. 在A1处的压力小于A2处的压力C. 两处的压力相等D. 无法确定两处的压力关系（答案：A）二、一液体在竖直管道中向上流动，管道上部有一开口，液体在此处以速度v流出。
若忽略管道中的摩擦损失，根据伯努利方程，下列哪个描述是正确的？A. 管道底部的压力大于顶部的压力B. 管道底部的压力小于顶部的压力C. 管道底部和顶部的压力相等D. 管道底部的压力与液体流出速度无关（答案：A）三、一水流经过一收缩管道，流速从v1增加到v2，同时管道截面积从A1减小到A2。
若考虑无摩擦损失，根据伯努利方程，下列哪个关系成立？A. 动能增加量等于势能减少量B. 动能增加量大于势能减少量C. 动能增加量小于势能减少量D. 动能与势能之和保持不变（答案：D）四、一飞机在水平飞行时，其机翼上方的气流速度大于下方的气流速度。
根据伯努利方程，下列哪个说法是正确的？A. 机翼上方的压力大于下方的压力B. 机翼上方的压力小于下方的压力C. 机翼上下方的压力相等D. 机翼上下方的压力与气流速度无关（答案：B）五、一液体在文丘里管中流动，当液体流经收缩段时，其流速增加，压力降低。
根据伯努利方程，下列哪个描述是正确的？A. 收缩段入口处的压力大于出口处的压力B. 收缩段入口处的压力小于出口处的压力C. 收缩段入口和出口处的压力相等D. 收缩段内的压力与流速无关（答案：A）六、一水流在流经一弯曲管道时，若忽略摩擦损失，根据伯努利方程，下列哪个说法是正确的？A. 弯曲管道内侧的压力大于外侧的压力B. 弯曲管道内侧的压力小于外侧的压力C. 弯曲管道内外侧的压力相等D. 弯曲管道内的压力分布与管道形状无关（答案：B）七、一液体在竖直向上的管道中流动，若液体在管道底部的速度为v1，压力为P1，在管道顶部的速度为v2，压力为P2，且v2 > v1，根据伯努利方程，下列哪个关系成立？A. P1 > P2B. P1 < P2C. P1 = P2D. P1与P2的关系无法确定（答案：A）八、一水流在流经一扩大管道时，流速从v1减小到v2，同时管道截面积从A1增加到A2。
伯努利方程习题参考课后给学生PPT
代入到上式
0.6 p a 0.6 98060 （m/s） V2 2 g H 2 9 . 806 2 . 8 20 . 78 g 9806
图 5-1 文特里流量计原理图
2018/11/10 1
将式(5-2)代入到式(5-1)，源自理得由流体静力学V2 2( p1 p2 ) [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
(5-3)
p1 p2 ( 液 ) gh液
将式(5-4)代入到式(5-3)，则
(5-4)
(5-5)
由上式可得
Hg g pA pB 133400 0.76 0.36 0.36 0.40 0.36 5.（ 3 mmH 2 O） g g g 9806 （c）
d 4 B 1 0.96 d A 2 g (5.3 0.96) 2 9.806 (5.3 0.96) VB 9.53 4 4 （m/s） d 150 B 1 1 300 d A V B2 5.3 2g
2 p A p B V B2 V A 0.76 0.2 g g 2 g 2 g （a）
由连续性方程
所以
VA AA VB AB
dB AB VA VB VB d AA A
2
（b）
水银差压计1—1为等压面，则有
pA （z 0.36）g p B （0.76 z）g 0.36 Hg g
将式（b）和式（c）代入（a）中
解得
qV VB
4
2 dB 9.53
4
伯努利方程例题
伯努利方程例题一、一水平放置的管道中，水流速度为2 m/s，管道一端压强为100 kPa，另一端压强为50 kPa，若忽略水的重力势能变化，求两端的高度差（水的密度ρ=1000 kg/m³，重力加速度g=9.81 m/s²）。
以下哪个选项最接近计算结果？A. 0.5 mB. 1.0 mC. 1.5 mD. 2.0 m（答案：A）二、一垂直向上的管道中，水流以1 m/s的速度向上流动，管道底部压强为200 kPa，顶部压强为150 kPa，若考虑水的重力势能变化，求管道的高度（水的密度ρ=1000 kg/m³，重力加速度g=9.81 m/s²）。
以下哪个选项是正确答案？A. 4.9 mB. 5.1 mC. 5.3 mD. 5.5 m（答案：B）注：实际计算可能略有偏差，但应接近5.1m。
三、一水平放置的管道中，空气以5 m/s的速度流动，管道一端压强为101.3 kPa（大气压），另一端压强为50.65 kPa，若空气密度ρ=1.225 kg/m³，求两端的高度差（忽略空气的重力势能变化和温度变化）。
以下哪个选项是正确答案？A. -3.7 m（负号表示低压端在下）B. -7.4 mC. 3.7 mD. 7.4 m（答案：A）四、一U型管中，左侧水柱高度为1 m，右侧水柱高度为0.5 m，两侧水柱顶部均与大气相通，求左侧水柱底部的压强与右侧水柱底部的压强之差（水的密度ρ=1000 kg/m³，重力加速度g=9.81 m/s²）。
以下哪个选项是正确答案？A. 4.9 kPaB. 9.8 kPaC. 4.91 kPaD. 9.81 kPa（答案：D）五、一水平放置的管道中，油流速度为3 m/s，管道一端压强为200 kPa，另一端压强为100 kPa，若油的密度ρ=800 kg/m³，求两端的高度差（忽略油的重力势能变化和管道摩擦）。
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1. 一变直径管段AB ，直径d A ＝0.2m ，d B ＝0.4m ，高差Δh ＝1.5m 。
今测得p A ＝30kN/m 2，p B ＝40kN/m 2，B 处断面平均流速v B ＝1.5m/s 。
试判断水在管中的流动方向。
解：列A 、B 断面的连续性方程 v v A A B B A A = 得 v v 6m/s B B
A A
A A == 以A 所在水平面为基准面，得
A 断面的总水头 2
4.8982A A
A p v z m g g
ρ+
+= B 断面的总水头 22
5.69622B B B B
B p v p v z h m g g g g
ρρ+
+=∆++= 故水在管中的流动方向是从B 流向A 。
2. 如图，用抽水量Q ＝24m 3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程h s ＝6m ，吸水管的直径为d ＝100mm ，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h w ＝0.4mH 2O ，求该泵叶轮进口处的真空度p v 。
h s
Q
解：取1-1断面在水池液面，2-2断面在水泵进口，选基准面在自由液面。
列1、2断面的能量方程，有
4.026002
22
+++=++g
v
p p a γγ（其中p 为绝对压强）
即
g
v
p p p v
a 24.62
22
+==-γγ
其中 s m d Q v /849.03600
1.024
44222=⨯⨯⨯==
ππ 故 a v kP
p 1.638.92849.04.68.92=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+⨯= 3. 如图，高压水箱的泄水管，当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为p 1＝280kPa ，当阀门开启后，压力表上的读数变为p 2＝60kPa ，已知此泄水管的直径D ＝25mm ，求每小时的泄水流量。
（不计水头损失）
解：取管中心轴为基准面，水箱中取1-1断面，压力表处为2-2断面，闸门关闭时
h p γ=1
所以自由液面至管中心轴距离
h ＝28.57m
闸门打开后，列1－1、2－2断面能量方程
g
v p h 20002
22
++=++γ
即： v 2＝20.98m/s
Q ＝v 2A 2＝37.1m 3/h
4. 如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大气，竖管直径为d 1＝200mm ，管道出口处为收缩喷嘴，其直径d 2＝100mm ，不计水头损失，求管道的泄流量Q 及A 点相对压强p A 。
解：取1-1断面在A 处，2-2断面在喷嘴出口，自由液面为0-0断面，选基准面在喷嘴出口。
列0、2断面的能量方程，有
g
v
2000072
2++=++
v 2＝11.71m/s Q ＝v 2A 2＝0.09m 3/s v 1＝Q/A 1＝2.93m/s
又列0、1断面的能量方程，有
g
v p A
240072
11αγ
+
+
=++
p A ＝25.1kN
5. 如图，虹吸管从水池引水至C 端流入大气，已知a ＝1.6m ，b ＝3.6m 。
若不计损失，试求：（1）管中流速v 及B 点的绝对压强p B 。
（2）若B 点绝对压强水头下降到0.24m 以下时，将发生汽化，设C 端保持不动，问欲不发生汽化，a 不能超过多少？
解：取1-1断面在C 处，2-2断面在B 处，自由液面为0-0断面，基准面选在过C 面中心的水平面。
列0、1断面的能量方程，有
g
v
200006.32
1++=++
v 1＝v 2＝8.4m/s
又列0、2断面的能量方程，有
g
v
p B
22.50106.32
2++=++γ
p B ＝47.04kPa
g
v
a 224.06.30106.32
2+++=++
a ＝6.16m
6. 如图，由水池通过等直径虹吸管输水，A 点为虹吸管进口处，H A ＝0；B 点为虹吸管中与水池液面齐高的部位，H B ＝6m ；C 点为虹吸管中的最高点，H C ＝7m ；D 点为虹吸管的出口处，H D ＝4m 。
若不计流动中的能量损失，求虹吸管的断面平均流速和A 、B 、C 各断面上的绝对压强。
解：A 、B 、C 、D 各断面上的平均流速相等，用v 表示， 列自由液面与出口断面D 的能量方程
g
v 2040062
++=++
v ＝6.26m/s
列自由液面与A 断面的能量方程
g
v p p A
a
20062+
+=++γγ
p A ＝140.2kPa
列自由液面与B 断面的能量方程
g
v p p B
a
26062+
+=++γγ p B ＝81.4 kPa
列自由液面与C 断面的能量方程
g
v p p C
a
27062+
+
=++
γ
γ
p C ＝71.6 kPa
7. 如图，水从敞口水池沿一截面有变化的管路排出，若质量流量q m ＝15kg/s ，d 1＝100mm ，d 2＝75mm ，不计损失，试求所需的水头H 以及第二管段中央M 点的相对压强。
解：取管中心轴为基准面，列自由液面与出口断面的能量方程
g
v
H 2000022++=++
其中： s m d q v m
/395.34222==
ρ
π
故 H ＝0.588m 又列自由液面与M 处断面的能量方程
g
v
p H m
20002
1++=++γ
其中 s m d q v m
/9.14211==
ρ
π
故 p m ＝3.94kPa。