与圆有关的阴影部分面积计算题

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六年级圆的阴影面积与周长100道经典题型

例１.求阴影部分得面积。

(单位:厘米)ﻫ例2.正方形面积就是７平方厘米,求阴影部分得面积、(单位:厘米)ﻫ例3.求图中阴影部分得面积、(单位:厘米)例4。

求阴影部分得面积。

(单位:厘米)ﻫ例5、求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例6。

如图:已知小圆半径为2厘米,大圆半径就是小圆得3倍,问:空白部分甲比乙得面积多多少厘米？ﻫ例7、求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例８.求阴影部分得面积、(单位:厘米)ﻫ例9。

求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例10。

求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例11。

求阴影部分得面积。

(单位:厘米)ﻫ例12、求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例13、求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例14。

求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例１5、已知直角三角形面积就是12平方厘米,求阴影部分得面积。

例16、求阴影部分得面积。

(单位:厘米)例17.图中圆得半径为５厘米,求阴影部分得面积。

(单位:厘米)ﻫ例1８.求阴影部分得面积、(单位:厘米)ﻫ例19、正方形边长为2厘米,求阴影部分得面积。

例20、如图,正方形ABCＤ得面积就是36平方厘米,求阴影部分得面积。

例21、如图,正方形边长为8厘米,求阴影部分得面积、例２１。

如图,三角形ABC就是直角三角形,阴影部分甲比阴影部分乙面积大２8平方厘米,AB=40厘米。

求BC得长度、.例22求阴影部分得面积例23求阴影部分得周长与面积例2４求阴影部分得周长与面积例2５求阴影部分得周长与面积例2６求阴影部分得周长与面积例２7求阴影部分得周长与面积例28求阴影部分得周长与面积例2９求阴影部分得面积例３0求阴影部分得面积例31正方形面积就是7平方厘米,求阴影部分得面积与周长、(单位:厘米)ﻫ例32求图中阴影部分得面积与周长。

(单位:厘米)例33求图中阴影部分得面积与周长。

(单位:厘米)ﻫ例34求图中阴影部分得面积与周长。

(单位:厘米)ﻫ例３5求图中阴影部分得面积与周长。

(单位:厘米)例3６求图中阴影部分得面积与周长。

人教版六年级上册数学第五单元《求圆阴影部分的面积》专项训练试卷(含答案)

人教版六年级上册数学第五单元圆求阴影部分的面积训练1、求如图的周长和面积．2、如图，求阴影部分的面积．3、计算下面各图形的面积．4、将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，B是大半圆的圆心，A是小半圆的圆心，阴影部分的周长是多少厘米？5、下图是一块边长12分米的正方形钢板，王师傅从钢板上切割出同样大小的四个圆形（尽可能大），剩下部分的面积是多少？（π取3.14）6、求阴影部分面积．（单位：cm，π取3.14）7、已知如图中大半圆的直径是4厘米，求阴影部分的周长．（π取3.14）8、如图中，圆的半径是4厘米，求出阴影部分的面积．9、如图所示，图中圆与长方形的面积相等，长方形的长是6.28米．阴影部分的面积是多少平方米？10、计算阴影部分的面积．（面积：cm）11、求下图中阴影部分A的面积比阴影部分B的面积大多少？（单位：厘米）12、如图，半径为1厘米的圆外接了一个正方形，求阴影部分面积．13、计算下面图形中阴影部分的面积．（单位：分米，π取3.14）(1)(2)14、求阴影部分的面积．（单位：厘米）15、求下图中阴影部分的面积．16、求图中阴影部分的面积．17、求阴影部分的周长．（单位cm）18、计算阴影部分的面积．19、求阴影部分的周长和面积．（单位：厘米）20、已知正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）答案1. 【答案】周长：3.14×10+20×2=31.4+40=71.4(cm).面积：20×10−3.14×(10÷2)2=200−78.5=121.5(cm2).答：这个图形的周长是71.4厘米，面积是121.5平方厘米．2. 【答案】根据图示，利用圆环的面积公式：S=πR2−πr2，把数代入计算即可．3.14×122−3.14×82= 3.14×144−3.14×64=452.16−200.96=251.2(平方厘米).答：阴影部分的面积是251.2平方厘米．的圆可以拼接成一整个圆，所以阴影部分的3. 【答案】根据对图形的分析可知，空白部分的四个14面积是大正方形的面积减去一个圆的面积，故列式计算如下：=102−π×52S阴=100−78.5=21.5.答：阴影部分的面积是21.5．4. 【答案】观察图形可知，阴影部分的周长就是这个半径为3厘米和2厘米的半圆的弧长再加上大半圆的半径3厘米与小半圆的直径减去大半圆的半径的差，即4−3=1（厘米），据此利用圆的周长公式分别求出这两个半圆的弧长即可解答问题．3.14×3×2÷2+3.14×2×2÷2+3+2×2−3=9.42+6.28+3+1=19.7(厘米),答：这个阴影部分的周长是19.7厘米．5. 【答案】12×12=144(dm2)，12÷2=6(dm)，6÷2=3(dm)，3.14×3×3=28.26(dm2)，28.26×4=113.04(dm2)，144−113.04=30.96(dm2)答：剩下部分的面积是30.96dm2．6. 【答案】10÷2=5cm，52×3.14÷2=39.25cm2，10×5÷2=25cm2，39.25−25=14.25cm2．7. 【答案】C=(4÷2)×3.14+12×4×3.14=12.56cm．8. 【答案】方法一：d=2r=8cm，S=12aℎ=12×4×8=16.9. 【答案】6.28r=πr2，πr=6.28，r=6.28÷3.14=2（米），6.28×2=12.56（平方米），S空白=14×3.14×22=3.14（平方米），S阴=12.56−3.14=9.42（平方米）10. 【答案】(4+10)×4÷5−3.14×4×6×14 =14×6÷2−3.14×6=28−12.56=15.44(平方厘米).答：阴影部分的面积是15.44平方厘米．11. 【答案】S阴影A −S阴影B=S长方形−S半圆=6×3−3.14×32×12=18−14.13=3.87（平方厘米）．答：阴影部分A的面积比阴影部分B的面积大3.87平方厘米．12. 【答案】S正=(1×2)×(1×2)=2×2=4(cm2)，S圆=πr2=3.14×12=3.14(cm2)，S 阴=S正−S圆=4−3.14 =0.86(cm2).13. 【答案】(1) 大半圆：S=πr2÷2=π×(4÷2)2÷2=4π÷2=2π.小圆：S=πr2=π×(2÷2)2=π.阴影：2π−π=π(dm2)=3.14(dm2)．(2) 梯形：(6+8)×6÷2=42(dm2)，14圆：3.14×62÷4=28.26(dm2)，阴影：42−28.26=13.74(dm2)．14. 【答案】3.14×22−3.14×(2÷2)2 = 3.14×4−3.14=9.42(平方厘米).15. 【答案】把①平移到③可得：S阴影=S正方形=2×2=4(dm2)．16. 【答案】4×4−3.14×(4÷2)2=16−12.56=3.44（平方厘米），答：阴影部分的面积是3.44平方厘米．17. 【答案】12×(10+3)×3.14+12×10×3.14+12×3×3.14=40.82（cm）18. 【答案】(12+8)×(8÷2)÷2−3.14×(8÷2)2÷2 =40−25.12=14.88(cm2)答：阴影部分的面积是14.88平方厘米．19. 【答案】周长：10×2+12×3.14×10×2=20+31.4 =51.4(厘米)面积：10×10−12×3.14×(10÷2)2×2=100−78.5=21.5(平方厘米)答：阴影部分的周长是51.4厘米，面积是21.5平方厘米．20. 【答案】12×4=48，2r2=48，r2=24，3.14×24−48=27.36，27.36÷4=6.84cm2．答：图中阴影部分的面积是6.84cm2．。

六年级上册数学常考易错应用题《求圆的阴影部分面积》专项训练

六年级上册数学常考易错应用题《求圆的阴影部分面积》专项训练班级：姓名：亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。

祝你轻松完成本次练习！【记录卡】亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！年月日1．计算下面图形的阴影部分面积。

（1）2．求阴影部分的面积（单位：厘米）3．求阴影部分的周长和面积。

（1）（2）4．一个圆环，内圆半径是6厘米，外圆半径是10厘米。

这个圆环的面积是多少平方厘米？5．求下图阴影的面积。

(单位：分米)6．按要求计算。

计算下面图形的周长。

①②7．求阴影部分的面积或周长(π取3.14)。

（1）求阴影部分的面积。

（2）求阴影部分的周长。

8．如图中圆的半径为4分米，求图中阴影部分的面积。

9．求下列图中阴影部分的面积（单位：cm）（1）（2）（3）10．求下面图形中阴影部分的面积。

（1）11．求下列阴影部分的面积。

（1）（2）12．如图，一个长方形中有两个一样的扇形（空白部分），计算下图中阴影部分的周长和面积。

13．求下列各图中阴影部分的面积。

(单位：cm)（1）（2）14．求阴影部分的面积。

（1）（2）15．求阴影部分的面积。

16．求下面各圆的面积（1）（2）17．求下图中阴影部分的面积(单位：cm) （1）（2）18．求下面各图形中阴影部分的面积。

（单位：cm）（1）（2）19．请在如图中画一个最大的圆，并求出这个圆的面积是多少？20．求下面图形中阴影部分的周长和面积。

（1）（2）21．下面是一个圆平均分成若干份后拼成的一个近似于长方形的图形，求该圆的面积。

（单位：cm）22．如图，半圆的面积是25.12平方厘米，求阴影区域的面积。

23．已知梯形的上底为10厘米，下底为4厘米，求阴影部分的面积。

24．求阴影部分的面积。

25．已知下图中的圆的半径是2cm，求阴影部分的面积。

26．求下面各图中阴影部分的面积（1）（2）27．求阴影部分的面积。

六年级圆阴影面积练习题

六年级圆阴影面积练习题圆是我们学习数学中一个非常重要的图形。

在学习圆的相关知识时，我们经常会遇到计算圆的面积的题目。

而今天我们要练习的是圆阴影面积的计算问题。

下面我将为大家提供一些六年级圆阴影面积练习题，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。

题目一：如图所示，一个半径为5cm的圆被一个半径为3cm的圆完全覆盖。

求阴影部分的面积。

解答：首先，我们需要计算出大圆的面积和小圆的面积，然后再用大圆的面积减去小圆的面积，就可以得到阴影部分的面积了。

大圆的面积计算公式为：π * r^2，其中r表示半径。

小圆的面积计算公式也是：π * r^2。

因此，大圆的面积为：π * 5^2 = 25π 平方厘米。

小圆的面积为：π * 3^2 = 9π 平方厘米。

阴影部分的面积为：25π - 9π = 16π 平方厘米。

题目二：如图所示，一个半径为8cm的圆被一个直径为10cm的圆覆盖住一半。

求阴影部分的面积。

解答：同样地，我们先计算出大圆和小圆的面积，然后相减来得到阴影部分的面积。

大圆的面积为：π * 8^2 = 64π 平方厘米。

小圆的面积为：π * (10/2)^2 = 25π 平方厘米。

阴影部分的面积为：64π - 25π = 39π 平方厘米。

题目三：如图所示，一个半径为12cm的圆被一个直径为14cm的圆压在下面，阴影部分是上面的一半。

求阴影部分的面积。

解答：同样地，我们先计算出大圆和小圆的面积，然后相减来得到阴影部分的面积。

大圆的面积为：π * 12^2 = 144π 平方厘米。

小圆的面积为：π * (14/2)^2 = 49π 平方厘米。

阴影部分的面积为：144π / 2 - 49π = 72π - 49π = 23π 平方厘米。

通过以上三道题目的练习，我们可以看到，在计算圆阴影面积的问题中，核心的思路都是先计算出大圆和小圆的面积，然后用大圆的面积减去小圆的面积，即可得到阴影部分的面积。

这样的计算方法既简单又直观，希望大家能够通过这些练习题更好地理解和掌握圆阴影面积的计算方法。

六年级圆的阴影面积及周长100道经典题型

.例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米) 例 3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？例8.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例9.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例10.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例11.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例13.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例14.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

例16.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例18.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。

例21.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。

例21.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。

求BC的长度。

.例22求阴影部分的面积例23求阴影部分的周长与面积例24求阴影部分的周长与面积例25求阴影部分的周长与面积. 例26求阴影部分的周长与面积例27求阴影部分的周长与面积例28求阴影部分的周长与面积例29求阴影部分的面积例30求阴影部分的面积例31正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例32求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例33求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例34求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例35求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例36求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例37求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例38两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长？(单位：厘米)例39求阴影部分的周长O8cm例40阴影部分的面积为6cm2，求圆的面积。

专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（解析版）第一部分典例剖析+针对训练方法一公式法典例1 （2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2思路引领：连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO=12（米），∴AB=AO2+BO2=22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（22）2=π8（米2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．针对训练1．（2021•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC 于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为．思路引领：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC＝20°，∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，∴S扇形DBE=40π×32360=π．故答案为：π．总结提升：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．方法二和差法典例2（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）A．3―π4B．23―πC．(6―π)33D．3―π2思路引领：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=AB2―AF2=3，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE=12×2×3―60π×(3)2360=3―π2，故选：D．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2―1思路引领：连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2，再求出阴影部分的面积即可．解：连接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE=2，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360―2×12×2×2=π﹣2，故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．方法三等积变形法典例3（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．思路引领：由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．故答案为：π3．总结提升：本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．针对训练1．（2022秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（）A．2πB．6πC．33πD．3π思路引领：根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．解：∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB=60π×(23)2360=2π．故选：A．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．方法四化零为整法（整体法）典例4（2021•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为．思路引领：先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．解：∵六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴阴影面积＝6×π×22―720π×22360=16π．故答案为：16π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积．针对训练1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为　π　cm2．思路引领：根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．解：图中阴影部分的面积为π×12＝π．故答案为：π．总结提升：此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．方法五割补法（拼接法）典例5（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A．9B．6C．3D．12思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9，故选：A．总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．针对训练1．（2021•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为．思路引领：根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得AB和CD的长，进一步求得阴影部分的周长．解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝BD，CD=12 AB，∴CD＝BD，∴CD=BD，∵AD＝BD，CO＝BO，∴OD∥AC，∴∠BOD＝90°，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22 m，∵阴影部分的面积为（π﹣1），∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π•m2―12×（22m）2＝π﹣1．∴14πm2―14m2＝π﹣1，∴14m2＝1，∴m＝2，∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，∴AB的长为：90⋅π×2180=π，BD的长为：90⋅π×1180=12π，∴阴影部分的周长为：π+2×12π+22+2＝2π+22+2故答案为：2π+22+2．总结提升：本题考查了扇形的面积和弧长的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）典例6（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为．思路引领：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90⋅π⋅22360―60⋅π⋅(3)2360―12×1×3=π―32，故答案为：π―32；总结提升：本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．针对训练1．（2022•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是　4π3　．思路引领：根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．解：∵△ABC为等边三角形，∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，∴OB＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形AOC=120π×22360=4π3，故答案为：4π3．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．典例7（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）思路引领：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，∴OB=OD，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42360―12×4×4=4π﹣8．故答案为：4π﹣8．总结提升：本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．针对训练1．（2021•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）思路引领：理由圆周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性质性质和等腰直角三角形的性质得出OD＝OA ＝OB，结合转化思想得出阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC，进而得出答案．解：如图，∵AB是直径，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥BD，∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴OD＝OA＝OB，∴S弓形OA＝S弓形OB，∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42―12×4×4=4π﹣8，故答案为4π﹣8．总结提升：本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．典例8（2019•招远市一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝．思路引领：根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．解：如图，连接AO，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，过点M作MN⊥CD于点N，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG=12AB＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×3 2，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25360―2534=25π3―2534，即图中阴影部分的面积是：25π3―2534．总结提升：本题考查翻折变换、扇形的面积、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．针对训练1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为．思路引领：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO＝CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由扇形的面积﹣三角形AOB的面积就可以得出结论．解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，∴∠ACO＝90°．∵△AOB与△ADB关于AB对称，∴△AOB≌△ADB∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，∴CO＝CD．∵OD＝AO＝4，∴OC＝2．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝23．∵cos∠AOC=COAO=12，∴∠AOC＝60°．∵AO＝BO，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．∴S扇形AOBD=120π×16360=163π．∵S△AOB=43×22=43．阴影部分的面积为：（163π―43）cm2．故答案为：（163π―43）cm2．总结提升：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．方法七重叠求余法例七（2022•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是．思路引领：根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：60π×62360=6π，故答案为：6π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为．思路引领：如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．解：如图，连接OE，OA．由题意可知△BOF为等边三角形．∴OB＝OF＝BF＝1，∴S△BOF=3 4，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，∴S△EOF=12•OF•DE=3，∵OF＝OD，∴S△EOF＝S△DEO=3，∵∠AOE＝60°，AO=AC2+OC2=(23)2+12=13，∴S扇形EOA=60⋅π⋅(13)2360=13π6，由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，∴BP=12BE=32，PE=32―(32)2=332，∴S△PBE=12×32×332=938，∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π6+3―34―3―938=13π6―1138．解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算．总结提升：本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第二部分专题提优训练一．选择题（共15小题）1．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9360―120π×94360＝2.25πm2．故选：D．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．2．（2022秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1思路引领：已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22―12×（2）2＝π﹣1．故选：A．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π―932D．12π―932思路引领：根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，阴影部分的面积=120π×36360―12×63×3＝12π﹣93，故选：B．总结提升：本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．4．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A．2π﹣23B．2π―3C．2πD．π―3思路引领：此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为2π3，所以根据弧长公式可得60πr 180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．解：设等边三角形ABC的边长为r，∴60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积＝2×3×12+（60π×4360―3）×3＝2π﹣23，故选：A．总结提升：本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（）A．（π12―38）平方米B．（π6―38）平方米C．（π12―34）平方米D．（π6―34）平方米思路引领：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，由题意可得出：∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵BD＝1米，BC＝0.5米，∴BC=12BD，CD=BD2―CD2=32米，∴∠BDC＝30°，∴OE=12OD=14米，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠BDC＝30°，∴∠COD＝120°，∴S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD=120π×(12)2360―12×14×32，＝（π12―316）平方米，∴阴影部分的面积为：2×（π12―316）＝（π6―38）平方米．∴故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．6．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（）A．π3B．3π5C．2π3D．3π4思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3，∴cos∠CBE=CBBE=32，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，故选：C．总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．7．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22思路引领：连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360―12×22×22=2π﹣4，故选：C．总结提升：本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．8．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2思路引领：先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=120π×452360―120π×152360＝600π（cm2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2 360．9．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣33B．3π―932C．2π﹣33D．6π―932思路引领：根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD=32AC=332，∴AB＝2AD＝33，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360―12×3×33=3π―932，故选：B．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．23π―32B．23π―3C．43π﹣23D．43π―3思路引领：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3，∴S△AOB=12×2×3=3，∴阴影部分的面积为：23π―3；故选：B．总结提升：本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．二．填空题11．（2020•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为　．思路引领：连接OB，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOA＝60°，根据平行线的性质得到∠D＝∠OAC ＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．解：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C=12∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠OAC＝30°，∴∠OBD＝90°，∴BD=3OB＝83，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83―60π×82360=323―32π3，故答案为323―32π3．总结提升：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．12．（2021•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是，此时图中阴影部分的面积是．思路引领：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．根据弧长求得∠AOF＝30°，jk证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积．解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵AF的长是π3，OA＝2，∴π3=nπ×2180，∴n＝30，∴∠AOF＝30°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOF＝60°，∵CE＝DE，∴OE=12CD=12×2=1，∵OF＝2，∴EF≥OF﹣OE＝1，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝1，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT=32OB=3，∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22360―12×3×1=23π―32．故答案为：1，23π―32．总结提升：本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．13．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是　．思路引领：过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．解：过点D作DF⊥AB于点F，∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝32，∴AD=23×32=22，∴DF＝AD sin45°＝22×22=2，∵AE＝AD＝22，∴EB＝AB−AE=2，∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC＝32×2―45π×(22)2360―12×2×2＝52―π，故答案为：52―π．总结提升：本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．14．（2020春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是　．思路引领：根据扇形的面积公式计算即可．解：∵∠BOD＝2∠DCB，∠DCB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形OBD=60⋅π⋅62360=6π，故答案为6π．总结提升：本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是计算扇形的面积公式，属于中考常考题型．15．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是．思路引领：证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S 阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝22，∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG=90π⋅(22)2360―4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．总结提升：本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2020•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为．思路引领：先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，进而得到S△OB1C=12（2―1）2，再根据S△AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．解：连接DC1，∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，∴∠AC1B1＝45°，∵∠ADC＝90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，∴S△OB1C=12•OB1•CB1=12（2―1）2，∵S△AB1C1=12AB1•B1C1=12×1×1=12，∴图中阴影部分的面积=45⋅π⋅(2)2360―12（2―1）2―12=π4―2+2．故答案为π4―2+2．总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．17．（2021秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC 于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为　．思路引领：连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝42，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB=42，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD=12AB=22，BD=32AB=26，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×4=2，∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC=12×22×26+12×4×4―12×4×2―60π×42360=4+43―8π3．故答案为：4+43―8π3．总结提升：此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．。

六年级上学期数学圆中阴影部分面积的计算题型训练30题带答案

六年级上学期数学圆中阴影部分面积的计算1、下图是我国古代一枚铜钱的示意图，算岀示意图中阴影部分的而积。

3.14× (3÷2) × (3÷2) =7.065 (平方厘米)0.8x0.8=0.64 (平方厘米)7.065-0.64=6.425 (平方厘米)3、求下图中阴影部分的而积。

(1) 外半径：30÷2=15 (厘米)内半径：15÷2=7∙5 (厘米)面积：3∙14X (15×15-7. 5×7. 5) ÷2=264. 9375 (平方厘米)(2) X 14×12χl2÷2-12χ2×12÷2=82. 08 (平方米)4、如图所示，有一卷透明胶带，每层的厚度为0.05CnB 求这卷透明胶带完全展开后的长度。

外半径：6÷2=3 （厘米）内半径：4÷2=2 （厘米）圆环面积：3.14× （3X 3-2X2） =15.7 （平方厘米）长度：15.7÷0. 05=314 （厘米）5、如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的而积等于长方形的而积，那么阴影部分的而积是多少厘米？涂色部分周长二圆周长+圆周长÷4=18. 84+1& 84÷4=23. 55 （厘米）(2)4×2-3.14× (4÷2) X (4÷2) ÷2=1.72 3.14× (7×7-5×5) =75.36 (平方厘米)6、如图，圆的周长是12.56厘米，圆的周长与长方形的周长恰好相等，求阴影部分的周长。

（单位：厘米）（兀取3. 14）（6分）圆的半径：12,56÷3.14÷2=2 （煙米）长方形的长：12.56÷2-2=4.28 （厘米）阴影部分的周长：4.28x2+12.56-4=11.7（厘米）27、如图所示，圆的周长为S7分米，圆的面积是长方形而积叫，求图中阴影部分的周长是多少分米？圆半径；15.7÷3.14=5 （分米）圆面积：3.14x5x5=78.5 （平方分米）长方形面积：78∙5÷2∕3= 117.75 （平方分米）宽：∏7.75÷ （5x2） =11.775 （米）阴影部分周长：11.775×2+5×2+ （15.7÷2） =64.95 （米）8、求右图中阴影部分的而积。

圆阴影部分面积(含答案)

圆阴影部分面积(含答案)求一个图形的阴影部分面积是一个基本的几何问题。

下面给出一些例子：例1：求一个圆形和一个等腰直角三角形组成的阴影部分的面积。

首先计算圆的面积，假设半径为r，则圆面积为πr²。

然后计算三角形的面积，假设直角边长为a，则三角形面积为a²/2.最终阴影部分的面积为πr²-a²/2.例2：求一个正方形中的阴影部分面积。

假设正方形面积为7平方厘米，则阴影部分可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。

如果圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分面积为7-πr²。

例3：求一个由四个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。

首先将四个圆组成一个大圆，然后用正方形的面积减去这个大圆的面积。

假设正方形边长为2，则大圆的半径为1，面积为π，阴影部分面积为2²-π=0.86平方厘米。

例4：求一个正方形中的阴影部分面积。

同样可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。

假设正方形面积为16平方厘米，则阴影部分面积为16-πr²=3.44平方厘米。

例5：求一个由两个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。

将阴影部分分成两个“叶形”，每个“叶形”由两个圆和一个正方形组成。

假设圆的半径为r，则每个“叶形”的面积为2πr²-4，阴影部分的面积为2(2πr²-4)=4πr²-8.例6：已知一个小圆的半径为2厘米，大圆的半径是小圆的3倍，求空白部分甲比乙的面积多多少厘米？两个空白部分面积之差就是两圆面积之差。

假设小圆的半径为2，则小圆面积为4π，大圆面积为36π，空白部分的面积为32π-4π=28π=100.48平方厘米。

例7：求一个正方形中的阴影部分面积。

首先计算正方形的面积，假设对角线长为5，则正方形面积为25/2.然后计算圆的面积，假设圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分的面积为πr²/4-25/2=7.125平方厘米。

六年级圆的阴影面积与周长100道经典题型

作品编号：DG13485201600078972981创作者：玫霸*例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米) 例 3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？例8.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例9.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例10.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例11.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例13.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例14.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸*例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

例16.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例18.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。

例21.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。

例21.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。

求BC的长度。

.例22求阴影部分的面积例23求阴影部分的周长与面积例24求阴影部分的周长与面积例25求阴影部分的周长与面积例26求阴影部分的周长与面积作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸*例27求阴影部分的周长与面积例28求阴影部分的周长与面积例29求阴影部分的面积例30求阴影部分的面积例31正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例32求图中阴影部分的面积和周长。

(单位:厘米)例33求图中阴影部分的面积和周长。

六年级圆的阴影面积与周长100道经典题型

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米) 例 3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？例7.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例8.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例9.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*例10.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例11.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例12.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例13.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例14.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

例16.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。

(单位:厘米)创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*例18.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。

例21.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。

例21.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。

求BC的长度。

.例22求阴影部分的面积例23求阴影部分的周长与面积例24求阴影部分的周长与面积例25求阴影部分的周长与面积例26求阴影部分的周长与面积创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*例27求阴影部分的周长与面积例28求阴影部分的周长与面积例29求阴影部分的面积例30求阴影部分的面积例31正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积和周长。

压轴题17与圆有关的阴影部分面积的计算-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(原卷

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题17与圆有关的阴影部分面积的计算例1．（2023•长沙模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．（1）求证：AC＝CD；（2）若BE＝4，CD＝8√3，求阴影部分的面积．例2．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．例3．（2023•武安市一模）如图、点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针̂交于点F，过点P作PN⊥旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M、连接PM，与DEPM交BC于点N．（1）求证：△PEM≌△PDN；（2）已知PD＝3，EM=√3；̂哪个长度更长；①通过计算比较线段PN和DF②计算图中阴影部分的面积（结果保留π）．1．（2023•青山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点．（1）求证：∠BOD＝2∠BAC；（2）若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积．2．（2023•黄浦区二模）已知，如图，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，̂=BP̂．且BC（1）求弦AB的长；（2）求图中阴影部分面积（结果保留π）．3．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC ＝8，弧BC的度数是60°．（1）求线段OD的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．4．（2022秋•青山湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点F．（1）求证：E、F、B在同一条直线上；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．̂的度数为60°．5．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，BD（1）求证：OE＝DE；（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．̂=BĈ．6．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，AD （1）求证：AB＝CD．（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP=√7，AP=√3，求阴影部分面积．7．（2023•武汉模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOB+∠COD＝180°．（1）在图（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接写出图中阴影部分的面积；（2）在图（2）中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论．8．（2022•临沭县二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AĈ的中点，过点E 作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；̂=CN̂；（2）求证：EB（3）若AM=2√3，MB＝2，求阴影部分图形的面积．9．（2022•海陵区二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：2OE＝CD；（2）若∠BAD+∠EOF＝150°，AD＝4，求阴影部分的面积．10．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；̂只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与ABAOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．11．（2022•息烽县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）填空：∠CAB＝度；（2）求OE的长；（3）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的面积S．12．（2022•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为E，弦CF交直径AB于点G，连接DF，∠CDF＝75°，CD＝2√3．（1）求⊙O的半径；̂围成的阴影部分的面积．（2）求线段GB，GF与BF13．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．（1）求∠AED的度数．（2）求DB的长．（3）求图中阴影部分的面积．14．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．15．（2021•高港区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．̂的度数；（1）若∠B＝24°，求AD（2）若D是AB的中点，AB＝3，求阴影部分的面积；（3）若AD•AB＝12，求AC的值．16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ，（1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．17．（2022•柯城区二模）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是AĈ的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是；（2）求证：EB̂=CN ̂；（3）若AM =√3，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．18．（2022•龙岗区模拟）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，CB ＝CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝2√3，∠BCD ＝60°，求图中阴影部分的面积．19．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC=√3cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．20．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．。

100例圆图形中阴影部分的面积附答案

图形中阴影部分的面积1．求阴影部分的面积（1）（2）2．求下面各图中阴影部分的面积。

（单位：cm）（1）（2）3．求图中阴影部分的周长和面积。

（单位：cm）4．计算下面各图形中阴影部分的周长与面积（1）（2）5．求阴影部分的面积。

6．求阴影部分的周长和面积。

7．计算下图阴影部分的面积。

8．求阴影部分的面积。

（单位：厘米）9．求阴影部分的面积。

10．计算下面图形阴影部分的面积。

11．计算下列图形阴影部分的面积。

12．求阴影部分的周长和面积。

（单位：cm）13．求左图阴影部分的周长，右图阴影部分的面积。

14．求图中阴影①比阴影②少多少平方厘米？（单位：厘米）15．认真观察下图，求出图1的周长，图2阴影部分的面积。

（1）（2）16．通过计算，比较下面两图阴影部分的周长和面积。

(单位：cm)①②17．下图中阴影部分的周长是多少cm？（单位：cm）18．下图中圆的面积与长方形的面积相等．已知圆的周长是6.28厘米，图中阴影部分的面积你会求吗？19．求阴影部分面积。

20．求阴影部分面积。

（单位：米）21．计算阴影部分的面积。

（1）（2）22．求下面图形阴影部分的面积。

（1）（2）23．求阴影部分的面积。

（1）（2）24．求下图阴影部分的周长。

25．求阴影部分的面积。

（单位：cm）26．求阴影部分的面积。

（单位：cm）27．求阴影部分的面积（单位：cm）28．求出阴影部分的面积。

（单位：厘米）29．求下图中阴影部分的面积。

30．求阴影部分的面积。

（单位：分米）31．看图求阴影部分的面积。

32．求下面图形阴影部分的面积（单位：cm）。

33．求阴影部分的周长和面积。

34．求图中阴影部分的面积。

（单位：m）35．计算下侧图形阴影部分的面积。

36．求下列图中阴影部分面积。

（单位：分米）37．求阴影部分的面积。

38．求阴影部分的面积。

39．求阴影部分面积。

40．求下图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）41．求阴影部分的面积。

求阴影部分的面积—圆的面积专项练习(13页 23题含详细的解答)

求阴影部分的面积—圆的面积专项练习1．求下面图形阴影部分的面积。

（环形宽1m）2．求下图阴影部分的周长和面积。

3．求阴影部分的面积。

（单位：厘米）4．求下面各图形中阴影部分的面积。

5．求阴影部分的面积。

（单位：厘米）6．求出下面图形的面积（单位：厘米）。

7．求出下面图形阴影部分的周长和面积。

8．计算阴影部分的面积和周长。

（单位：厘米）9．计算下面图形阴影的面积。

10．求阴影部分的面积。

（单位：cm）11．求阴影面积。

（单位：厘米）12．求下图阴影部分的面积。

（单位：米）13．求阴影部分的面积。

14．求下面各图形阴影部分的面积。

（1）（2）15．求下图中阴影部分的面积。

16．求下图阴影部分的面积。

(单位：cm)17．求下图中阴影部分的周长和面积.18．求下列图形中阴影部分的面积．（单位：米）19．求阴影部分的面积．（单位：厘米）20．正方形边长8cm，求阴影部分面积．21．求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）22．求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）．23．计算下面图中阴影部分的面积．参考答案1．40.82平方米阴影部分圆环的面积S ＝π（R 2－r 2），其中r ＝6m ，R ＝6＋1＝7（米），代入数据计算即可。

6＋1＝7（米）；3.14×（72－62）＝3.14×13＝40.82（平方米）2．C ＝113.04cm ；S ＝113.04cm 2；C ＝50.82dm ；S ＝102.05dm 2（1）圆环的周长＝外圆周长＋内圆周长，根据圆的周长公式：=2C r π即可解答；（2）圆环的面积根据面积公式：()22=S R r π-即可解答；（3）半圆环面积＝外圆的一半弧长＋内圆的一半弧长＋外圆直径－内圆直径，根据圆的周长公式：=C d π即可解答；（4）求半圆环面积，先求出整个圆环面积，然后除以2即可解答。

（1）圆环周长：3.14×2×10＋3.14×2×8＝（10＋8）×3.14×2＝56.52×2＝113.04（cm）圆环面积：3.14×（102－82）＝3.14×36＝113.04（cm2）（2）半圆环的周长：（3.14×18÷2）＋（3.14×8÷2）＋（18－8）＝28.26＋12.56＋10＝50.82（dm）半圆环的面积：3.14×[（18÷2）2－（8÷2）2]÷2＝3.14×（92－42）÷2＝3.14×65÷2＝102.05（dm2）3．339.12平方厘米圆环面积＝π（R2－r2），据此解答。

六年级上学期数学圆中阴影部分面积的计算题型训练30题带答案

六年级上学期数学圆中阴影部分面积的计算1、下图是我国古代一枚铜钱的示意图，算出示意图中阴影部分的面积。

3.14×（3÷2）×（3÷2）=7.065（平方厘米） 0.8×0.8=0.64（平方厘米）7.065-0.64=6.425（平方厘米）2、求阴影部分的面积。

（单位：厘米）（1）（2）3.14×（7×7-5×5）=75.36（平方厘米） 4×2-3.14×（4÷2）×（4÷2）÷2=1.723、求下图中阴影部分的面积。

（1）（2）（1）外半径：30÷2=15（厘米）内半径：15÷2=7.5（厘米）面积：3.14×（15×15-7.5×7.5）÷2=264.9375（平方厘米）（2）3.14×12×12÷2-12×2×12÷2=82.08（平方米）4、如图所示，有一卷透明胶带，每层的厚度为0.05cm ，求这卷透明胶带完全展开后的长度。

外半径：6÷2=3（厘米）内半径：4÷2=2（厘米）圆环面积：3.14×（3×3-2×2）=15.7（平方厘米）长度：15.7÷0.05=314（厘米）5、如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的面积是多少厘米？涂色部分周长=圆周长+圆周长÷4=18.84+18.84÷4=23.55（厘米）26、如图，圆的周长是12.56厘米，圆的周长与长方形的周长恰好相等，求阴影部分的周长。

（单位：厘米）（π取3.14）（6分）圆的半径：12.56÷3.14÷2=2（厘米）长方形的长：12.56÷2-2=4.28（厘米）阴影部分的周长：4.28×2+12.56÷4=11.7（厘米）7、如图所示，圆的周长为15.7分米，圆的面积是长方形面积的23，求图中阴影部分的周长是多少分米？圆半径；15.7÷3.14=5（分米）圆面积：3.14×5×5=78.5（平方分米）长方形面积：78.5÷2/3=117.75（平方分米）宽：117.75÷（5×2）=11.775（米）阴影部分周长：11.775×2+5×2+（15.7÷2）=64.95（米）8、求右图中阴影部分的面积。

中考数学专题：与圆有关的阴影部分面积的计算训练(含答案)

专题阴影部分面积的计算一．选择题1. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，OD ∶DB ＝1∶2，OA ＝2，则图中阴影部分的面积为( )A. π2－23B. π4－23C. π2－223D. π－232. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，弧BD 是以点A 为圆心、AB 长为半径的弧，弧AC 是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为( )A.32 B. 3 C. 332D. 2 33. 如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝6，∠BCA ＝60°，连接OB ，则阴影部分的面积为( )A. 2πB. 3πC.3π2 D. 3π44. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，两条弧AOB ︵与AOC ︵所对的圆心角均为120°，则由两条弓形及边BC 所围成的阴影部分的面积是( )A.33 B. 3 C. 312 D. 345. 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则阴影部分的面积为( )第5题图A.33 B.233C. 3D. 36. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，∠BAD ＝120°，以点D 为圆心，AD 的长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，若BE 恰好平分∠ABC ，则图中阴影部分的面积为( )A. 123－4π3 B. 123－8π3C. 163－4π3D. 163－8π3二．填空题7. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC ＝30°，沿直线CB 将半圆折叠，点A落在点A′处，A′B和弧BC交于点D，已知AB＝6，则图中阴影部分的面积为8.如图，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，连接OB，OF，BD，DF，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为9．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．(结果保留π)三．解答题10.如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，连接CA，将▱ABCD绕点A逆时针旋转至▱AB′C′D′，点D′在BA的延长线上，若CA⊥AB，（1）求AD的长（2）求图中阴影部分的面积11. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO 上一点，将△DBC沿直线DC对折得到△DB′C，点B的对应点为B′，且B′C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E.(1)求证：B′D⊥AB；(2)当AB＝2时，求图中阴影部分面积．参考答案1. A 【解析】如解图，连接OC ，易得∠COB ＝45°，过点C 作CE ⊥OB 于点E ，则CE ＝CO ·sin45°＝2×22＝2，∵OA ＝2，OD ∶DB ＝1∶2，∴OD ＝23.∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △OCD ＝45π·22360－12×23×2＝π2－23.2. B 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 、△BCD 均是等边三角形．∴S 阴影＝S △BCD ＝34·BC 2＝34×22＝ 3.3. C 【解析】∵AC 为半圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOB 与△BOC 等底同高，即S △AOB ＝S △BOC ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π·32360＝3π2.4. C 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，线段OA 将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O 旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△ABC 面积的三分之一，∴S 阴影＝13×34×12＝312.5. A 【解析】如解图，过点O 分别作AB 、BC 的垂线，垂足为点E 、F ，∵O 为等边三角形的中心，∴OE ＝OF ，S △OFC ＝S △OEA ，∴S 四边形OABC ＝S 四边形OEBF ＝13S 正三角形．∵S 正三角形＝12×2×2×sin60°＝3，∴S 阴影＝33.6. B 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝120°，∴∠D ＝60°，∵AD ＝4，∴AF ＝AD ·sin60°＝23，∵∠ABC ＝∠D ＝60°，BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝30°，∵∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠CEB ＝∠CBE ＝30°，∴EC ＝BC ＝AD ＝4，∴DC ＝DE ＋EC ＝8，∴S 阴影＝S ▱ABCD －S △BEC －S 扇形ADE ＝8×23－12×4×23－60π·42360＝123－8π3.7.3π2【解析】如解图，连接AD ，CD ，∵沿直线CB 将半圆折叠，点A 落在点A ′处，∴∠ABC ＝∠CBA ′＝30°，AB ＝A ′B ＝6，∴∠ABD ＝60°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝30°，∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，BD ＝12AB ＝12A ′B ＝12×6＝3，∴CD ＝BD ＝12A ′B ，∠A ′DC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形A ′CD ＝60π·32360＝3π2.第7题解图8. 43π. 【解析】如解图，连接OC ，OE ，分别交BD ，DF 于点M ，N ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOC ＝60°，∠BCD ＝∠COE ＝120°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝∠OCB ＝60°，∴∠OCD ＝∠OCB ，∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDM ＝30°，BM ＝DM ，∴∠OBM ＝30°，S △DCM ＝S △BCM ，∴∠OBM ＝∠CBD ，∴OM ＝CM ，∴S △OBM ＝S △BCM ，∴S △OBM ＝S △DCM ，同理，S △OFN ＝S △DEN ，∴S 阴影＝S 扇形COE ＝120π×22360＝43π.9. π－110. 【解析】(1)AD 的长为22如解图，以点A 为圆心，AC ′长为半径画C ′E ︵，交AD ′于点E ，∵AB ＝2，∠B ＝45°，CA ⊥AB ，∴AC ＝AB ＝CD ＝2，∠CAD ＝45°，AD ＝AC 2＋DC 2＝22＋22＝2 2（2）由旋转的性质可知∠DAD ′＝45°，S △ACD ＝S △AC ′D ′，S 扇形CAC ′＝S 扇形C ′AE ，∴S 阴影＝(S 扇形DAD ′－S △AC ′D ′)＋(S △ACD －S扇形CAC ′)＝S扇形DAD ′ －S扇形CAC ′＝S扇形DAD ′ －S扇形C ′AE ＝45π×（22）2360－45π×22360＝π2.11.(1)证明：由题意得：∠B′CB ＝∠B′CO ＋∠OCB ＝90°＋60°＝150°. ∵△DBC 沿直线DC 对折得到△DB′C ， ∴∠DCB ＝21 ∠B′CB ＝ 21×150°＝75°. 在△DBC 中，∠CDB ＝180°－∠ABC －∠DCB ＝180°－60°－75°＝45°. ∴∠B′DB ＝2∠CDB ＝2×45°＝90°，∴B′D ⊥AB ；(2)解：∵AB ＝2，△OBC 是等边三角形， ∴OC ＝OB ＝BC ＝B′C ＝1. ∵∠B′CO ＝90°， ∴∠B′OC ＝45°∴S 阴影＝S △B′CO －S 扇形EOC ＝21-8。

圆中阴影面积的计算

B
y 2x y x x
∴
C
8
∴S阴影= 4
解法一
解法二
解法三
思考题：
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
方法三：把图形分解下 A 旋转图形 ∴S阴影= S以AC为直径的圆－S以AC为对角线的正方形 B C =
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
方法一：阴影面积可看成在△ABC上覆盖以AB为直径半圆和以AC为直径半圆，因为△ABC内的阴影部分被半圆覆盖两次，所以
A
S阴影= S以AC为直径的半圆 + S以AB为直径的半圆－S△ABC
中阴影部分的面积是（ B ） A. B. C. D.
x y x
y
x x
∴
y
4
y
∴S阴影= 4
大家谈谈今天的收获
思考题：
(2中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.
A
B
C
解法一
解法二
解法三
思考题：
A
解法一
解法二 C（B）
解法三
谢谢大家
B C
=S以AC为直径的圆－S△ABC
= 解法一
解法二
解法三
思考题：
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.

2020年中考复习之圆的阴影部分面积相关计算(含答案解析)

2020 中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解析）一．选择题（共 5 小题）1．（2018?抚顺）如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是弦，∠ BCD ＝30°， OA ＝2，则阴影部分中阴影部分的面积之和为（） ABCD 中， O 为对角线交点，将扇形 AOD 绕点 O 顺时针旋转一定角度得到扇形 EOF ，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（A ．不变B ．由大变小C ．由小变大D ．先由小变大，后由大变小 4．（2017?重庆）如图，矩形 ABCD 的边 AB ＝1，BE 平分∠ ABC ，交 AD 于点 E ，若点 E 是AD 的中点，以点 B 为圆心， BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积B ． 2．（2016?朝阳）如图，分别以五边形C ．π ABCDE 的顶点为圆心，以D ．2π 1 为半径作五个圆，则图A ．B ． 3πC ．D ．2π3．（ 2017?朝阳）如图，在正方形 A ．ABCD 内接于半径为 2 的 ⊙O ，则图中阴影部分的面积为D ．π﹣26．（ 2019?内江）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB <AD ，∠ A ＝ 150°， CD ＝ 4，以 CD 为直径的⊙O 交 AD 于点 E ，则图中阴影部分的面积为．7．（ 2015?沈阳）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ ABC ＝2∠D ，连接 OA 、OB 、OC 、 AC ，OB 与 AC 相交于点 E ．1）求∠ OCA 的度数；2）若∠ COB ＝ 3∠AOB ，OC ＝2 ，求图中阴影部分面积（结果保留 π和根号）8．（2019?辽阳）如图， BE 是⊙O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，连接 AE ，AD ，C ．C ． π﹣1 是（）A ．B ． D ． π+2．填空题（共 1 小题）DE，过点 A 作射线交BE 的延长线于点C，使∠ EAC＝∠ EDA ．8 的⊙O 上，过点 B 作 BD ∥AC ，交 OA 延长线于点 D ．连接 BC ，且∠ BCA ＝∠ OAC ＝ 30°．1）求证： AD 是⊙O 的切线；2）连接 OC ，交⊙O 于点 G ，若AB ＝4，求线段 CE 、CG 与围成的阴影部分的面积11．（2017?新疆）如图， AC 为⊙O 的直径， B 为⊙ O 上一点，∠ ACB ＝30°，延长 CB 至点D ，使得 CB ＝BD ，过点 D 作 DE ⊥AC ，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE ．（ 1）求证： BE 是⊙O 的切线；（2）当 BE ＝3 时，求图中阴影部分的面积．1）求证： AC 是⊙O 的切线；1）求证： BD 是⊙O 的切线；AC ＝CD ，以 AB为直径作 ⊙ O ，分别交边 AC 、BC 于点 E 、点F12．（2013?本溪）如图， ⊙O 是△ACD 的外接圆， AB 是直径，过点 D 作直线 DE ∥AB ，过E ，如果∠ ACD ＝45°， ⊙O 的半径是 4cm13．（2015?丹东）如图， AB 是⊙O 的直径，＝，连接 ED 、BD ，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M ，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 C ．（ 1）若 OA ＝CD ＝2 ，求阴影部分的面积；14．（2015?福州模拟）如图， AB 为⊙O 的直径，弦 AC ＝ 2，∠ ABC ＝ 30°，∠ ACB 的平分线交⊙O 于点 D ，求：1）BC 、 AD 的长；点 B 作直线 BE ∥AD ，两直线交于点并说明理由；1）请判断 DE 与 ⊙ O 的位置关系，π表示）．2）求证： DE ＝DM ．2）图中两阴影部分面积的和．D2020 中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解析）参考答案与试题解析．选择题（共 5 小题）1．（2018?抚顺）如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是弦，∠ BCD ＝30°， OA ＝2，则阴影部分考点】 M5 ：圆周角定理； MO ：扇形面积的计算．分析】根据圆周角定理可以求得∠ BOD 的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．解答】解：∵∠ BCD ＝30°，∴∠ BOD ＝ 60°，故选： B ．点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．（2016?朝阳）如图，分别以五边形 ABCDE 的顶点为圆心，以 1 为半径作五个圆，则图B ．C ．πD ．2π∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴阴影部分的面积C ．D ．2π的面积是（）CD 是弦， OA ＝ 2，）考点】L3 ：多边形内角与外角；MO ：扇形面积的计算．【分析】圆心角之和等于n 边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S＝计算即可求出圆形中的空白面积，再用 5 个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．【解答】解：n 边形的内角和（．圆形的空白部分的面积之和S＝所以图中阴影部分的面积之和为：故选： C ．【点评】此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．3．（2017?朝阳）如图，在正方形ABCD 中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF ，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小【考点】LE ：正方形的性质；MO ：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】根据正方形的性质得出OA＝OD＝OC，∠AOD ＝90°，再根据图形判断即可．【解答】解：过O点作CD的垂线交CD于G，过O点作BC的垂线交BC于H，记扇形EOF 于正方形交点分别为M、N，如图，∴ OH＝OG＝CD，∵∠HOG ＝∠ HOM +∠ GOM ＝90°，∠NOM＝∠ NOG+∠ GOM ＝90°，∴∠HOM ＝∠ NOG，∴Rt△OHM ≌Rt△OGN，2∴S 四边形 CMON ＝ S 四边形 CMOG +S △OGN ＝ S 四边形 CMOG +S △OHM ＝ S 四边形 OHCG ＝OHABCD ，∴ S △AOD ＝ S 四边形 CMON ，∴在旋转过程中图中阴影部分的面积不变，点评】本题考查了扇形的面积、旋转的性质、正方形的性质等知识点，能根据正方形的性质和旋转的性质进行判断是解此题的关键．4．（2017?重庆）如图，矩形 ABCD 的边 AB ＝1，BE 平分∠ ABC ，交 AD 于点 E ，若点 E是AD 的中点，以点 B 为圆心， BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积考点】 LB ：矩形的性质； MO ：扇形面积的计算．分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出度数，进而利用图中阴影部分的面积＝ S 矩形 ABCD ﹣ S △ABE ﹣ S 扇形EBF ，求出答案．【解答】解：∵矩形 ABCD 的边 AB ＝1， BE 平分∠ ABC ，S 正方形正方形S△AOD ＝CD ?AD ＝ S正方形 ABCDC ．D ．AE ， BE 的长以及∠ EBF 的 S 扇形＝S 阴影+S △AOD ＝S ′阴影+S 四边形 CMONABCD ＝S 正方形 ABCD，S正方形 ABCD＝AD 2﹣ S 正方形故选： A ．∴∠ ABE ＝∠ EBF ＝ 45°， AD ∥BC ， ∴∠ AEB ＝∠ CBE ＝45°， ∴ AB ＝ AE ＝1，BE ＝， ∵点 E 是 AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝1，∴图中阴影部分的面积＝ S 矩形 ABCD ﹣S △ABE ﹣ S 扇形EBF【考点】 MM ：正多边形和圆； MO ：扇形面积的计算．【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的方形的边长，即可求解．解答】解：连接 AO ， DO ， ∵ ABCD 是正方形， ∴∠ AOD ＝ 90°，AD ＝＝ 2 ，圆内接正方形的边长为 2 ，所以阴影部分的面积＝ [4π﹣（ 2 ）2]＝（π﹣2）cm 2．故选： D ．故选： B ．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出 BE 的长以及∠EBC 的度数是解题关键．5．（2017?兰州）如图，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的 ⊙O ，则图中阴影部分的面积为B ． π+2C ． π﹣1D ．π﹣2，求出圆内接正A ． π+1识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，也可以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型．．填空题（共 1 小题）【分析】连接 OE ，作 OF ⊥DE ，先求出∠ COE ＝2∠D ＝60°、OF ＝ OD ＝1，DF ＝ODcos∠ODF ＝，DE ＝2DF ＝2 ，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接 OE ，作 OF ⊥DE 于点 F ，∴∠ D ＝30°，则∠ COE ＝ 2∠D ＝60°， ∵CD ＝4，点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知【考点】 L5 ：平行四边形的性质； MO ：扇形面积的计算．6．（ 2019?内江）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB < AD ，∠ A ＝ 150°， CD ＝ 4，以 CD 为直径的⊙O 交 AD 于点 E ，则图中阴影部分的面积为∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠ A ＝ 150°，∴CO ＝DO ＝2，OD ＝ 1， DF ＝ OD cos ∠ODF ＝2× ＝， ∴DE ＝2DF ＝2 ，∴图中阴影部分的面积为 + ×2 × 1＝ + ，故答案为： + ．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式： S ＝是解题的关键．三．解答题（共 8 小题）7．（ 2015?沈阳）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ ABC ＝2∠D ，连接 OA 、OB 、OC 、 AC ，OB 与 AC 相交于点 E ．（1）求∠ OCA 的度数；（2）若∠ COB ＝3∠AOB ，OC ＝2 ，求图中阴影部分面积（结果保留 π和根号）【考点】 M6 ：圆内接四边形的性质； MO ：扇形面积的计算； T7：解直角三角形．【分析】（1）根据四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形得到∠ ABC+∠D ＝180°，根据∠ ABC ＝2∠D 得到∠ D +2∠ D ＝ 180°，从而求得∠ D ＝60°，最后根据 OA ＝OC 得到∠ OAC ＝∠ OCA ＝ 30°；（2）首先根据∠ COB ＝3∠ AOB 得到∠ AOB ＝30°，从而得到∠ COB 为直角，然后利用S 阴影＝S 扇形 OBC ﹣S △OEC 求解．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ∴∠ ABC+∠D ＝180°， ∵∠ ABC ＝2∠D ， ∴∠ D+2∠D ＝180°， ∴∠ D ＝60°，∴∠ AOC ＝ 2∠D ＝120°，∴ OF ＝∵OA＝OC，∴∠ OAC＝∠ OCA＝30°；2)∵∠ COB＝3∠AOB，∴∠ AOC ＝∠ AOB+3∠ AOB ＝ 120°， ∴∠ AOB ＝30°，∴∠ COB ＝∠ AOC ﹣∠ AOB ＝ 90°，在 Rt △OCE 中， OC ＝2 ，∴OE ＝OC?tan ∠OCE ＝2 ?tan30°＝ 2 ×∴S 扇形OBC ＝∴S 阴影＝S 扇形 OBC ﹣ S △OEC ＝ 3π﹣ 2 ．点评】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．8．（2019?辽阳）如图， BE 是⊙O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，连接 AE ，AD ，DE ，过点 A 作射线交 BE 的延长线于点 C ，使∠ EAC ＝∠ EDA ． 1）求证： AC 是⊙O 的切线；2）若 CE ＝ AE ＝2 ，求阴影部分的面积．ME ：切线的判定与性质； MO ：扇形面积的计算．∴∠ AFO ＝90°，＝2，∴ S △ OEC ＝ OE ?OC ＝ × 2×2 ＝2 ，＝ 3 π，分析】（ 1）连接 OA ，过 O 作 OF ⊥AE 于 f ，得到∠ EAO+∠AOF ＝ 90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ EDA ＝∠ AOF ，推出 OA ⊥AC ，得到 AC 是⊙O 的切线；2）根据等腰三角形的性质得到∠ C ＝∠ EAC ，得到∠ AEO ＝ 2∠ EAC ，推出△ OAE 是等边三角形，根据扇形的面积公式得到 S 扇形 AOE ＝＝ 2π，求得 S △ AOE ＝AE?OF ＝3＝ 3 ，于是得到结论．解答】（ 1）证明：连接 OA ，过 O 作OF ⊥AE 于 F ，考点】 M5 ：圆周角定理；∴∠ EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠ EOF ＝∠ AOF＝AOE，∵∠ EDA＝AOE，∴∠ EDA ＝∠ AOF，∵∠ EAC＝∠ EDA，∴∠ EAC＝∠ AOF，∴∠ EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠ CAO，∴∠ CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵ CE＝AE＝2 ，∴∠C＝∠ EAC，∵∠EAC+∠C＝∠ AEO，∴∠ AEO ＝2∠EAC ，∵OA＝OE，∴∠ AEO＝∠ EAO，∴∠ EAO ＝2∠EAC ，∵∠ EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠ EAO＝60°，∴△ OAE 是等边三角形，∴OA＝AE，∠ EOA ＝60°，∴ OA＝2 ，＝2π，扇形AOE＝在Rt△OAF 中，OF＝OA?sin∠ EAO＝∴阴影部分的面积＝ 2 π﹣3 ．2 ＝3，S△AOE＝AE?OF＝【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（ 2019?衡阳）如图，点 A 、B 、C 在半径为 8的⊙O 上，过点 B 作 BD ∥AC ，交 OA 延长线于点 D ．连接 BC ，且∠ BCA ＝∠ OAC ＝ 30°．分析】（ 1）连接 OC ，根据圆周角定理求出∠ COA ，根据三角形内角和定理求出∠ OCA ，根据切线的判定推出即可；（ 2）根据平行线的性质得到∠＝ 30°，解直角三角形求出 BD ，分别求出△ BOD 的面积和扇形 AOB 的面积，即可得出答案．【解答】（ 1）证明：连接 OB ，交 CA 于 E ， ∵∠ C ＝30°，∠ C ＝ ∠BOA ， ∴∠ BOA ＝60°，∵∠ BCA ＝∠ OAC ＝30°， ∴∠ AEO ＝90°，即 OB ⊥AC ， ∵BD ∥AC ，∴∠ DBE ＝∠ AEO ＝ 90 ∴BD 是⊙O 的切线；（ 2）解：∵ AC ∥BD ，∠OCA ＝90°，∴∠ D ＝∠ CAO ＝30°， ∵∠ OBD ＝ 90°， OB ＝8， ∴ BD ＝ OB ＝ 8 ，1）求证： BD 是⊙O 的切线；MO ：扇形面积的计算．三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．10．（2015?本溪）如图，点 D 是等边△ ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC＝CD ，以AB 为直径作⊙ O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD 是⊙O 的切线；2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积考点】KM ：等边三角形的判定与性质；MD ：切线的判定；MO ：扇形面积的计算．分析】（1）求出∠ DAC＝30°，即可求出∠ DAB＝90°，根据切线的判定推出即可；2）连接OE，分别求出△ AOE、△ AOC，扇形OEG 的面积，即可求出答案．解答】（1）证明：∵△ ABC 为等边三角形，∴AC＝BC，又∵ AC＝CD，∴AC＝BC＝CD，∴△ ABD 为直角三角形，∴AB⊥AD，∵ AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线；∴△ OAE 是等边三角形，∴∠ AOE＝60°，∵CB＝BA，OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠ AOC＝90°，∴∠ EOC＝30°，∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形，∴ AO＝2，由勾股定理得：OC＝＝ 2 ，同理等边三角形AOE 边AO 上高是＝，S 阴影＝S△AOC﹣S等边△ AOE﹣S扇形EOG＝＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．11．（2017?新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙ O上一点，∠ ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）当BE＝3 时，求图中阴影部分的面积．考点】ME ：切线的判定与性质；MO ：扇形面积的计算．分析】（1）连接BO，根据△ OBC 和△BCE 都是等腰三角形，即可得到∠ BEC＝∠ OBC ＝∠ OCB＝30°，再根据三角形内角和即可得到∠ EBO＝90°，进而得出BE 是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC 中，根据∠ ACB＝30°，BC＝3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ ACB＝30°，∴∠ OBC＝∠ OCB＝30°，∵DE⊥AC，CB＝BD，∴Rt△DCE 中，BE＝CD＝BC，∴∠ BEC＝∠ BCE＝30°，∴△BCE 中，∠ EBC＝180°﹣∠ BEC ﹣∠ BCE ＝120°，∴∠ EBO＝∠ EBC﹣∠ OBC＝120°﹣30°＝90°，∴ BE 是⊙O 的切线；（2）当BE＝3 时，BC＝3，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ ABC＝90°，又∵∠ ACB＝30°，∴ AB＝tan30°× BC＝，∴AC＝2AB＝2 ，AO＝，∴阴影部分的面积＝半圆的面积﹣AB×BC＝π×3Rt△ ABC 的面积＝2π× AO2【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．12．（2013?本溪）如图，⊙O 是△ACD 的外接圆，AB 是直径，过点 D 作直线DE∥AB，过点 B 作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ ACD ＝45°，⊙O 的半径是4cm （1）请判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；【分析】（1）连结OD ，根据圆周角定理得∠ ABD＝∠ ACD＝45°，∠ADB＝90°，可判断△ ADB 为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD ⊥DE ，然后根据切线的判定定理得到DE 为⊙O 的切线；（2）先由BE∥AD，DE∥AB 得到四边形ABED 为平行四边形，则DE ＝AB＝8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S 阴影部分＝S 梯形BODE ﹣S 扇形OBD进行计算即可．【解答】解：（1）DE 与⊙O 相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ ABD＝∠ ACD ＝45°，∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝90°，∴△ ADB 为等腰直角三角形，∵点O 为AB 的中点，∴OD⊥AB，∵DE ∥AB ， ∴OD ⊥DE ， ∵ OD 是半径， ∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵ BE ∥AD ，DE ∥AB ，∴四边形 ABED 为平行四边形，∴ DE ＝ AB ＝ 8cm ，∴S 阴影部分＝S 梯形 BODE ﹣ S 扇形 OBD13．（2015?丹东）如图， AB 是⊙O 的直径，＝，连接 ED 、BD ，延长 AE 交 BD 的延长线于点 M ，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 C ．（ 1）若 OA ＝CD ＝2 ，求阴影部分的面积；（ 2）求证： DE ＝DM ．考点】 MC ：切线的性质； MO：扇形面积的计算．过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．＝（4+8）× 4﹣考查了圆周角定理和扇形的面积公式．【分析】（1）连接 OD ，根据已知和切线的性质证明△ OCD 为等腰直角三角形，得到∠ DOC ＝45°，根据 S 阴影＝S △OCD ﹣S 扇OBD 计算即可；（2）连接 AD ，根据弦、弧之间的关系证明 DB ＝DE ，证明△ AMD ≌△ ABD ，得到 DM ＝BD ，得到答案．【解答】（1）解：如图，连接 OD ，∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵OA ＝CD ＝2 ，OA ＝OD ，∴ OD ＝ CD ＝ 2 ，∴△ OCD 为等腰直角三角形，∴∠DOC ＝∠C ＝45°，∴S 阴影＝S △OCD ﹣S 扇OBD ＝﹣ （ 2）证明：如图，连接 AD ，∵ AB 是 ⊙O 直径，∴∠ ADB ＝∠ ADM ＝ 90°，又∵ ＝， ∴ED ＝BD ，∠ MAD ＝∠ BAD ，在△AMD 和△ ABD 中，，∴△AMD ≌△ ABD ， ∴DM ＝BD ，点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的＝4﹣π∴DE ＝DM ．性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．14．（2015?福州模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC＝2，∠ ABC ＝，∠ ACB 的平分30 线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD 的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【考点】KQ ：勾股定理；M5：圆周角定理；MO ：扇形面积的计BC，根据圆周角算．【分析】（1）根据直径得出∠ ACB＝∠ ADB＝90°，根据勾股定理求出定理求出AD＝BD ，求出AD 即可；（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC 和△ AOD 的面积，再求出S 扇形COD ，即可求出答案．【解答】解：（1）∵ AB 是直径，∴∠ ACB＝∠ ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC 中，∠ ABC ＝30°，AC＝2，∴ AB＝ 4 ，∴ BC＝＝2 ，∵∠ACB 的平分线交⊙O于点D，∴∠ DCA ＝∠ BCD∴＝，∴AD＝BD，∴在Rt△ ABD 中，AD＝BD＝AB＝ 2 ；（2）连接OC，OD ，∵∠ ABC＝30°，∴∠ AOC＝∠ 2∠ABC＝60°，∵OA＝OB，由（ 1）得∠ AOD＝ 90°，∴∠COD ＝150°，S △AOD ＝ ×AO ×OD ＝ ×22＝ 2，∴S 阴影＝S 扇形 COD ﹣S △AOC ﹣S △AOD ＝点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ ACB ＝∠ ADB ＝90°，题型较好，通过做此题，培养了学生运用定理进行推理的能力． S △AOC＝ S △ABC ＝ × × AC × BC ＝ ×。

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