空间点线面位置关系练习题

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2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

空间点、直线、平面之间的位置关系练习题(基础、经典、好用)

空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()图7－3－74．(2013·揭阳模拟)如图7－3－7，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.55B.255C.12D．25．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC二、填空题图7－3－86．(2013·深圳质检)如图7－3－8是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．7．(2013·韶关模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．图7－3－98．如图7－3－9所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．三、解答题图7－3－109．如图7－3－10所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．图7－3－1110．如图7－3－11所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．图7－3－1211．如图7－3－12，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A—EBC的体积．解析及答案一、选择题1．【解析】①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】B2．【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C3．【解析】在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】D4．【解析】如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝12BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝FGFE＝25＝255.【答案】B5．【解析】由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论B正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】C二、填空题6．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④7．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．【答案】①8．【解析】取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.所以cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，所以∠AB1D1＝60°.【答案】60°三、解答题9．【解】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD 的交线．如图所示．10．【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1F，∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB＝C1G，∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1是菱形．11．【解】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB.所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos∠AEF＝2＋2－32×2×2＝14.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA＝1，V A—EBC＝V E—ABC＝13×34×4×1＝33.。

空间点线面位置关系例题训练

空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．②范围：____________.3．公理4平行于____________的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A 1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____________________________________________________________________ ____．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC ＝，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.2、面面平行的判定例2在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC；3、平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝AB，BC⊥PC.(1)求证：PA⊥BC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m?α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m?α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A 1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。

空间点线面间的位置关系综合练习

直线平面平行的判定及其性质（基础训练）1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是（）A ．m l ⊥⇒βα//B ．m l //⇒⊥βαC ．αβ⊥⇒m l //D ．βα//⇒⊥m l答案：A2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A ．α、β都垂直于平面r.B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.答案：D解析：因为l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β所以得α与β平行。

3．下列命题正确的是（）A. 过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直B. 平面α⊥平面β于l ，α∈A ，l PA ⊥，则β⊥PAC. 一直线与平面α的一条斜线垂直，则必与斜线的射影垂直D. a 、b 、c 是两两互相垂直的异面直线，d 为b 、c 的公垂线，则a ∥d答案：D4．在空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB=CF ：FD= λ（0＜ λ ＜1 ＝设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （）A.大于90°B.小于90°C.等于90°D.与 λ 的值有关答案：C5．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不正确的是（）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β答案：D6．已知平面⋂α平面l =β,直线,α⊂m 且P l m =⋂则（） A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，且不存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，但不存在直线与m 垂直答案：B7．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得a BD =，则三棱锥D —ABC 的体积为（）A. 63aB. 123aC. 3123aD. 3122a 答案：D解析：取BD 的中点为O ，BD ⊥平面OAC，21122AOC S a ∆=⋅=，则2D A B C B A O C V V --==312a 。

空间几何计算练习题求点线面的位置关系

空间几何计算练习题求点线面的位置关系一、点、线、面的定义在空间几何中，点、线、面是最基本的概念。

点是空间中的一个位置；线是由无数个点按照一定规律排列而成的；面是由无数个线按照一定规律排列而成的。

二、求点、线、面的位置关系在空间中，点、线、面可能存在不同的位置关系。

下面通过一些具体的计算练习题，来求解它们之间的位置关系。

1. 点与线的位置关系设空间中有一条直线L，以及一个点P，求点P与直线L的位置关系。

解题步骤：1) 判断点P是否在直线L上。

通过判断点P是否满足直线L的方程来确定。

若点P满足直线L的方程，则点P在直线L上；若点P不满足直线L的方程，则点P不在直线L上。

2. 点与面的位置关系设空间中有一个平面面，以及一个点P，求点P与平面面的位置关系。

解题步骤：1) 判断点P是否在平面面上。

通过判断点P是否满足平面面的方程来确定。

若点P满足平面面的方程，则点P在平面面上；若点P不满足平面面的方程，则点P不在平面面上。

3. 线与线的位置关系设空间中有两条直线L1和L2，求直线L1与直线L2的位置关系。

解题步骤：1) 判断直线L1是否与直线L2重合。

通过判断直线L1和L2是否满足同一方程来确定。

若直线L1和L2满足同一方程，则直线L1与L2重合；若直线L1和L2不满足同一方程，则直线L1与L2不重合。

4. 线与面的位置关系设空间中有一条直线L和一个平面面，求直线L与平面面的位置关系。

解题步骤：1) 判断直线L是否与平面面平行。

通过判断直线L的方向向量是否与平面面的法向量平行来确定。

若直线L的方向向量与平面面的法向量平行，则直线L与平面面平行；若直线L的方向向量与平面面的法向量不平行，则直线L与平面面不平行。

5. 面与面的位置关系设空间中有两个平面面1和面2，求面1与面2的位置关系。

解题步骤：1) 判断面1是否与面2平行。

通过判断面1的法向量是否与面2的法向量平行来确定。

若面1的法向量与面2的法向量平行，则面1与面2平行；若面1的法向量与面2的法向量不平行，则面1与面2不平行。

点线面关系练习题(有答案)

//a α//a b//a b点线面位置关系总复习● 知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。

（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ;////a γβγ//αβ2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法 ① 用定义.②判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥（3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥（3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P PA Aαβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈3 l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂● “转化思想”面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直//a b a bαα⊄⊂//a α//a b●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。

●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)空间点、直线、平面之间的位置关系测试题1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么正确的选项是（）A。

α∥βB。

α与β相交C。

α与β重合D。

α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b⊥平面α，则a与平面α的关系是()A。

a∥αB。

a与α相交C。

a与α不相交D。

a⊥α3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。

其中正确的个数有(。

)A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A。

只有一个B。

至少有一个C。

可能没有D。

有无数个5.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A。

3条B。

4条C。

5条D。

6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A。

过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B。

过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C。

过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D。

过a可以并且只可以作一平面与b平行7.m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A。

若m‖α，n‖α，则m‖nB。

若α⊥γ，β⊥γ，则α‖βC。

若m‖α，m‖β，则α‖βD。

XXX⊥α，n⊥α，则m‖n8.如图1，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD⊥平面α于A，点B，C，D均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B到平面α的距离是（）A。

a/2B。

a/3C。

a/23D。

2a/39.如图2，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是A。

PB⊥ADB。

平面PAB⊥平面PBCC。

直线BC∥平面PAED。

直线PD与平面ABC所成的角为45°10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A。

空间中点线面的位置关系测试题

空间中点、线、面的地位关系之杨若古兰创作一、选择题:1．上面推理过程，错误的是（）（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,2．一条直线和这条直线以外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）（A ） 1个或3个（B ） 1个或4个（C ） 3个或4个（D ） 1个、3个或4个3．以下命题准确的有（）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；（3）若平面α内的有数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都订交的两条直线肯定异面.（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以构成异面直线的对数是（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 125．以下命题中为真命题的个数是（）（1）若直线l 平行于平面α内的有数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a在平面α外，则a∥α；（3）若直线a∥b，α⊂b，则a∥α；（4）若直线a∥b，α⊂b，则a平行于平面α内的有数条直线.（A） 1个（B） 2个（C） 3个（D）4个6．若三个平面两两订交，则它们的交线条数是（）（A） 1条（B） 2条（C） 3条（D）1条或3条7．以下命题准确的是（）Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两订交且不共点的三条直线确定一个平面8．以下命题中准确的个数是（）①若直线l上有有数个点不在平面α内，则lα∥．②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．9．若直线a 不服行于平面α，且a α⊄，则以下结论成立的是（）Ａ．α内的所有直线与a 异面Ｂ．α内不存在与a 平行的直线Ｃ．α内存在独一的直线与a 平行Ｄ．α内的直线与a 都订交10．三条直线订交于一点，可能确定的平面有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．1个或3个11．分别和两条异面直线都订交的两条直线必定是（）Ａ．异面直线Ｂ．订交直线Ｃ．不订交直线Ｄ．不服行直线12．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．1条或2条13．在长方体1111ABCD A BC D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ． 83B ．38C ．43D ． 3414．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（） A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a1．若直线l与平面α订交于点O，lC,，且D,，α∈BA∈AC//，则O,C,D三点的地位关系是.BD2．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中为真命题的是（把符合请求的命题序号填上）3．已知，a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，准确结论的编号为（写出所有准确结论的编号）.4．已知a，b，c是三条直线，角a b∥，且a与c的夹角为θ，那么b与c夹角为．5．已知两条订交直线a，b，aα∥则b与α的地位关系平面是．6．在空间四边形ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，则2MN与AB CD+的大小关系是．1．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值.2．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． ( 常识点：空间平行线的传递性 ;)3．如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=．（１）BC 和A C ''所成的角是多少度？（２）AA '和BC '所成的角是多少度？ 4. 已知正方体1111ABCD A B C -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =，11AC EF Q =．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．5.、在长方体1111ABCD A B C D -中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点．求证：1OEG O FH △≌△． A D B C D 'C ' B ' A 'A EB H GC F D。

高考数学专题复习八8.2空间点、线、面的位置关系-模拟练习题(附答案)

8.2空间点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届福建厦门联考,5)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述中正确的是()1与B1E是异面直线1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案C2.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B3.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是()A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案D4.(2022甘肃二诊,6)正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的是()ABCD答案B5.(2023届广西桂林月考二,9)已知三条不同的直线a,b,c,平面α,β,下列说法正确的是()A.命题p:经过一个平面上一点有且只有一个平面与已知平面垂直.命题p是真命题B.已知直线a∥b,b∥c,则a∥cC.命题q:已知a∥α,b∥α,则a∥b.命题q是真命题D.已知a⊥b,b⊥c,a∥α,c∥β,则α∥β答案B6.(2023届黑龙江部分学校联考,4)一个封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面的形状是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案D7.(2022皖南八校三模,15)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行,且分别交BD、AD、AC于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.答案2考点二异面直线所成的角1.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()答案C2.(2022江西赣州二模,8)在正四棱锥P-ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE则P B的值为()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2022黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A.13 C.34答案C4.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()C.12D.13答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为() A.梯形 B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A2.(2022黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是() A.①② B.①③ C.③④ D.②④答案B3.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B4.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.A1,C1,M,N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCD答案B5.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为33;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案2π2考法二异面直线所成的角的求解1.(2023届贵阳开学测试,12)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是() A.322 B.32 C.924 D.922答案A2.(2022安徽黄山第二次质检,10)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BC=AB=PA=2AD=2,PB=3,AC与BD交于M点,PN=2ND,连接MN,则异面直线MN与AB所成角的余弦值为()A.-18B.23 D.34答案D3.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=43.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为()A.14142114C.14435答案D4.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.1556C.52答案C5.(2022四川攀枝花联考(三),10)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D,E分别是BC,A1B1的中点,下列说法中正确的是()A.DE⊥B1C1B.A1C∥平面B1DE1与DE是相交直线D.异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为5答案D6.(2022太原一模,15)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,若三棱锥的外接球体积为43π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案12。

空间点、线、面位置关系(经典例题+训练)

空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角．②范围：____________. 3．公理4平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n 部分，则n 的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b 上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________________________________________________________________________．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1 在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC的中点，求证：MN ∥平面P AD .2、面面平行的判定例2 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .变式迁移2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△P AB 、△PCB 、△P AC 的重心．求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；3、平行中的探索性问题例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC⊥PC .(1)求证：P A ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面P AD ，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l⊂α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2 a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA ＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面P AC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。

点线面位置关系练习(有详细答案)

【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

空间点、直线平面之间的位置关系专题练习(含参考答案)

数学空间点、直线平面之间的位置关系[基础题组练]1．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形3．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π25．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是_________．6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．7.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．1．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC 2．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|AB |＝2|BB 1|，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )A.π6B.π3C.5π12D.π23.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，点E ，F ，H ，K 分别为AC ′，CB ′，A ′B ′，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K ，H ，G ，B ′四点中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为________．4．如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．5.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．6.(综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .【参考答案】1．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行解析：选C.若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，知a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH 为平行四边形．因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC . 又FG ∥BD ，所以∠EFG 或其补角为AC 与BD 所成的角．而AC 与BD 所成的角为90°，所以∠EFG ＝90°，故四边形EFGH 为矩形．3．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P ∈a ，P ∈b .又a ⊂α，b ⊂β，所以P ∈α，P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B.取BD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，所以EO ∥AB ，OF ∥CD ，且EO ＝OF ＝12CD ，又AB ⊥CD ，所以EO ⊥OF ，∠OEF 为异面直线EF 与AB 所成的角，由△EOF 为等腰直角三角形，可得∠OEF ＝π4，故选B.5．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________________________________________________________．解析：如图，由题意可知MN ∥AC .又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.答案：平行6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，因为BB 1綊DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ， B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，因为平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，所以H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线． 8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.[综合题组练]1．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CDD ．直线BC解析：选C.由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β，又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上．又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β＝CD .2．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|AB |＝2|BB 1|，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A.π6 B.π3 C.5π12D.π2解析：选D.将正三棱柱ABC A 1B 1C 1补为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接C 1D ，BD ，则C 1D ∥B 1A ，∠BC 1D 为所求角或其补角．设|BB 1|＝2，则|BC |＝|CD |＝2，∠BCD ＝120°，|BD |＝23，又因为|BC 1|＝|C 1D |＝6，所以∠BC 1D ＝π2.3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，点E ，F ，H ，K 分别为AC ′，CB ′，A ′B ′，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K ，H ，G ，B ′四点中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为________．解析：取A ′C ′的中点M ，连接EM ，MK ，KF ，EF ，则EM 綊12CC ′綊KF ，得四边形EFKM 为平行四边形，若取点K 为P ，则AA ′∥BB ′∥CC ′∥PF ，故与平面PEF 平行的棱超过2条；因为HB ′∥MK ，MK ∥EF ，所以HB ′∥EF ，若取点H 或B ′为P ，则平面PEF 与平面EFB ′A ′为同一平面，与平面EFB ′A ′平行的棱只有AB ，不符合题意；连接BC ′，则EF ∥A ′B ′∥AB ，若取点G 为P ，则AB ，A ′B ′与平面PEF 平行．答案：G4．如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.答案：25.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.6.(综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH . 解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD . 又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG . 所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD .同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。

空间中点线面的位置关系测试题

空间中点、线、面的位置关系一、选择题:1．下面推理过程，错误的是（）（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）（A ） 1个或3个（B ） 1个或4个（C ） 3个或4个（D ） 1个、3个或4个3．以下命题正确的有（）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 125．以下命题中为真命题的个数是（）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。

（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A ） 1条（B ） 2条（C ） 3条（D ）1条或3条7．下列命题正确的是（）Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面8．下列命题中正确的个数是（）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l α∥．②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．9．若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（）Ａ．α内的所有直线与a 异面Ｂ．α内不存在与a 平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a 平行Ｄ．α内的直线与a 都相交10．三条直线相交于一点，可能确定的平面有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．1个或3个11．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）Ａ．异面直线Ｂ．相交直线Ｃ．不相交直线Ｄ．不平行直线12．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．1条或2条13．在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ．83 B ． 38C ．43D ． 34 14．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（）A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a 二、填空题：1．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是。

高中数学空间中点线面的位置关系练习题

空间中点线面的位置关系练习题1、下列有关平面的说法正确的是（）A 一个平面长是10cm ，宽是5cmB 一个平面厚为1厘米C 平面是无限延展的D 一个平面一定是平行四边形2、已知点A 和直线a 及平面α，则：①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A , ③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A , 其中说法正确的个数是（）A.0B.1C.2D.33、下列图形不一定是平面图形的是（）A 三角形B 四边形C 圆D 梯形4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（）A.4、6、7B.3、4、6、7C.4、6、7、8D.4、6、85、共点的三条直线可确定几个平面（）A.1B.2C.3D.1或36、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（）A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ∙ ∙ ∙7、三个平面两两相交，交线的条数可能有————————————————8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。

9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有———————————10、空间两条互相平行的直线指的是（）A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）A 异面直线B 相交直线C 不平行直线D 不相交直线12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（）条。

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）4. 经过平面外两点与这个平面平行的平面A •只有一个B •至少有一个C •可能没有D •有无数个5. 过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB i A平行的直线共有（)A. 3条B. 4 条C.5 条D. 6条6. a , b是两条异面直线，,下列结论正确的是（)A.过不在a, b上的任一-占八、P,可作一个平面与a, b平行B.过不在a, b上的任一-占八、P,可作一条直线与a, b相交C.过不在a, b上的任一-占八、P,可作一条直线与a, b都平行D.过a可以并且只可以作一平面与b平行是三个不同平面，下列命题中正确的是（B.若，，则ID.若m ,n ,则mil nF列结论正确的是10•点P在正方形ABCD所在平面外，PD丄平面ABCD , PD=AD ,则PA与BD所成角的度数为( )A. 30°B.45°C. 60°D. 90°11.已知二面角的大小为50°, P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是250的直线的条数为（)A. 2B. 3C. 4D. 58.如图1, 正四面体ABCD的棱长均为a，且AD平面于A,点B, C, D均在平面且在平面同一侧，则点B到平面的距离是（)A aB a、、2a _3aA. — C . D .—2323外,A. a/32. 两条直线A.a //3. 对于命B .a与B相交C.a与B重合 D . a/3或a与B相交a, b满足a / b, b ，则a与平面的关系是（）B.a与相交C.a与不相交D. a①平行于冋一直线的两个平面平行；②平行于冋一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个7. m,n是两条不同直线，，A.若mil ,n II ,则mil n图19.如图2,已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，图2PA 平面ABC, PA 2AB ,则A. PB AD B .平面PAB 平面PBCC.直线BC //平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为451.已知平面a内有无数条直线都与平面B平行，那么（.其中正确的个数有（）12.在正四棱柱 ABCD AB i C i D i 中，顶点 B 到对角线BD ,和到平面 ABCD i 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（）A. 若侧棱的长小于底面的边长，则B. 若侧棱的长小于底面的边长，则C. 若侧棱的长大于底面的边长，则D. 若侧棱的长大于底面的边长，则、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图3,A ABC 和厶DBC 所在两平面互相垂直，且 AB=BC=BD=a, / CBA= / CBD=120 ° ,则AD 与平面BCD 所成的角为.14. 在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，贝U BD 1与过点A , E ,C 的平面的位置关系是 __________ .15. 若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为 m ，则在长方体 ABCDn—A| B 1C 1D 1中，四面体 A ABC 的直度为.16.,表示平面，I 表示既不在内也不在内的直线，存在以下三个事实：①I 丄；②I // ;③丄.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为 ________ 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图4,在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，点D 是棱BC 的中点.求证：-的取值范围为 d-的取值范围为 d-的取值范围为 d-的取值范围为 d(0,1)（1）AD GD ；⑵ A1 B // 平面ADC1.18. 如图5,已知三棱柱ABC ABG的侧棱与底面垂直，BAC 90°, M , N 分别是AB1, BC 的中点.（1）证明：ABAC1;（2）判断直线MN和平面ACGA的位置关系，并加以证明.C19.如图6,在正方体ABCD ABQQ!中，E , F分别为棱AD , AB的中点.⑴求证：平面CAA i C i丄平面CB1D1 ；(2)如果AB 1，一个动点从点F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1, B1C1, C1D1, D1D , DA上的点，最终又回到点F ,指出整个路线长度的最小值并说明理由•20. 如图7,四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且细钢管•考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面•(1)若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值(精确到0.01)；(2)若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为 2 :3 .确定三根细钢管的长度(精确到0.1 cm)22. 如图9所示，在边长为12的正方形AAA'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB= 3，BC=4，作BB//AA 1,分别交AA'、AA'于点B1，P，作CC//AA 1，分别交A1A1'，AA'于点C，Q 将该正方形沿BB，CG折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC-A1BO.(1 )在三棱柱ABC- ABC中，求证：AB丄平面BCCB1；(2)求平面APQ将三棱柱ABC- A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比.图9 C1 Q CSA SC 2a SB SD ..2a，点E是SC上的点，且SE a(0(1 )求证：对任意的(2)若SC 平面BED，(0,2］，都有BD AE ；求直线SA与平面BED所成角的大小21. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根31，所以2 3,2112~-1，所以一 2 d14.BD 1 //平面二、填空题提示：13.作AO 丄CB 的延长线，连接 13. 45AECOD 15.1 16.2则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影,空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题 1~6 DCBCDD 7~12 DAECBC提示3对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间； ②是对的，③是错的；④是对的5.取 AC,BC,B i C i ,AC i 中点 E,F,M,N ，直线分别为 EF, MN , EN, EM , FM , FN 都与平面ABB i A i 平行.6. 如图所示，在直线a 上任取一点 P,过P 作b '// b ,则a n b ' =P.那么a 与b '确定一个平面a .因为b / b ' , b ' a, b a,所以b //a . 所以过a 可以作一个平面a 与 b 平行.假设还可作一平面B 与 b 平行，则anp =a , b //a, b 〃B,所以a // b. 这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立 .所以只有一个平面a . 综上所述，过a 有且只有一个平面与 b 平行.故选D. 7.m,n 均为直线，其中 m,n 平行，m,n 可以相交也可以异面，故 A 不正确；m , n 丄a 则同垂直于一个平面的两条直线平行；选 D&取AD 的中点 M 易证 AD 平面BCM ，故平面 BCM //平面，平面BCMa到平面的距离为-，即为B 到平面的距离.29. 因AD 与AB 不相互垂直，排除A ;作AGPB 于G ,因平面PAB平面ABCDEF 而AG 在平面 ABCDE 上的射影在 AB 上，而 AB 与BC 不相互垂直，故排除B ;由BC // EF ，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C, 故选择D.10. 将图形补成一个正方体如图，则 PA 与BD 所成角等于BC 与BD所成角即/ DBC .在等边三角形 DBC 中，/ DBC =60°即PA 与BD 所成角为60°12.设底面边长为1 ,侧棱长为(0),过 B 1 作 B 1HBD 1, B 1G A 1B .在 Rt BB 1D 1 中, 3D 2, B 1D. 2 2，由三角形面积关系得hB 1HB 1D 1 BB 1 B 1D设在正四棱柱中，由于 BC AB,BC BB 1 , 所以BC 平面AA 1B 1B ,于是BC B 1G ,所以B 1G平面ABCD 1,故B 1G为点B 到平面 A BCD 1 的距离，在 Rt A 1B 1B 中，又由三角形面积关系得A 1B 1 BB 1AB于是21因为 AO=OD = wa,所以/ ADO=45° .14.连接AC , BD 相交于一点 O ,连接OE , AE , EC.因为四边形ABCD 为正方形，所以 DO = BO.而DE = D I E ，所以EO 为厶DD i B 的中位线, 所以EO // D i B,所以BD i //平面AEC.15.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体A ABC 的每个面都是直角三角形,m 4 所以 1 . n 416. 由①② ③、①③ 三、解答题17.证明：(1)因为三棱柱 ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，所以 C 1C 又AD 平面ABC ，所以C 1C AD .又点D 是棱BC 的中点，且 ABC 为正三角形，所以因为BC I C 1C C ，所以AD 平面BCC 1B 1 , 又因为DC 1 平面BCC 1B 1，所以AD C 1D .⑵连接A .C 交AC 1于点E ，再连接DE .因为四边形 A 1ACC 1为矩形，所以E 为A 1C 的中点，又因为D 为BC 的中点，所以ED//AB .由条件 BAC 90°，即 AC AB ，且 AC ? CC 1 C ，所以 AB 平面 ACC 1A 1 . 又AG 平面ACGA ，所以AB AC 1 .(2) MN //平面ACC 1A ，证明如下：设AC 的中点为D ，连接DN , AQ .因为D , 1 N 分别是AC , BC 的中点，所以DN // - AB . 2又AM =1A 1B 1 , A 1B 1 〃 AB ，所以 AM 〃 DN .2 所以四边形 ADNM 是平行四边形•所以 AD // MN .因为AQ 平面ACC 1A 1 , MN 平面ACGA ，所以MN //平面ACGA .②是正确命题，由②③不能得到①平面ABC ,AD BC .又AB 平面ADC 1, ED 平面ADC 1，所以A 1 B //平面ADC 1 . 18.证明：⑴因为CG平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以CC 1AB .19. （1）证明：因为在正方体 AG 中，AA 丄平面A i BQD ,而BD 丄 B i D .又因为在正方形 A i B C i D 中，AQ 丄B i D ,所以B i D 丄平面 CAAO . 又因为B i D 平面OBD ，所以平面 OAAO 丄平面 CBD .⑵ 最小值为3 ■■一 2 •如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱 BB ，B i O ，O D ，D D, DA 上的中点，所求的最小值为 3 2 • 20解：（i ）连结BD ，AO ，设BD 与AO 交于O.由底面是菱形，得 BD AC.QSB SD ，O 为 BD 中点， BD SQ又 AO SO Q ， BD 面 SAO.又 AE 面 SAO ， BD AE.（2）取 SO 的中点 F ，连结 QF ，QE ，SA//QF.QF 与平面EDB 所成的角就是SA 与平面EDB 所成的角.设细钢管上下两段之比为.已知凳子高度为30.则OH 上—.1因为节点Q 与凳面三角形 ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 .所以 QBH 就是QB 与平面ABC 所成的角，亦即 QBH 45°.因为 BH QH ,所以竺^3，解得"厂0.63.39 2 3即节点Q 分细钢管上下两段的比值约为 0.63.Q SC 平面 BED ， FE 面 BED ， E 为垂足，EQF 为所求角在等腰CSB 中，SOBO 2a,SB 、2a得底边SB 上的高为CH平面ABQD ，所以AA iSO BE SB CH所以在Rt BES 中,SE7 2 1-a a,EF4 2所以1 1 a a a2 2在 Rt FEQ 中，QF a, sin EQF里即直线SA 与平面BED 所成角为一.QF 262 i .解：（门设厶ABC 的重心为 H ，连结QH .由题意，得BH20 3 3（2）设B i20°,所以AB BO 24，AO 24 3.设厶ABC的重心为H，则BH 8, AH 8 7 , 由节点0分细钢管上下两段之比为2:3，可知0H 12.设过点A, B, C的细钢管分别为AA,BB,CC，c c - _则AA CC -OA .0H 2 AH 210.37 60.8，2 2- - 2 ____ 2 —BB -OB OH BH 10.13 36.1，2 2所以对应于A, B, C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm, 36.1cm和60.8cm.22. （1）证明：在正方形AAA'A 1中，因为A'C = AA' - AB- BC=-，所以三棱柱ABO ABC的底面三角形ABC的边AC= 5.因为AB= 3, BC= 4,所以AB+ BC= AC.所以AB1BC因为四边形AA'A1'A1为正方形，BB//AA1,所以AB丄BB1.而BCH BB1= B, BC平面BCCB , BB 平面BCCB，所以AB丄平面BCC&.⑵解：因为AB丄平面BCCB，所以AB为四棱锥A- BCQP勺高.因为四边形BCQP为直角梯形，且BNAB= 3, CQ= AB+ BC= 7,1所以梯形BCQP勺面积为S BCQ^2（BP + CQ）X BC= 20.1所以四棱锥A- BCQP勺体积V A- BCQ7 -S BCQ就AB= 20.3由（1），知BB 丄AB BB 丄BC 且ABA BC= B, AB 平面ABC BC 所以BB丄平面ABC所以三棱柱ABC- ABC为直棱柱.所以三棱柱ABC- A BQ 的体积为V A BC-A B1 C =S^ABC X BB = 72.故平面APQ将三棱柱ABC- ABC分成上、下两部分的体积之比为平面ABC72 —20 13 20 = "5.。

点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系● 知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

空间中点线面位置关系练习题

--完整版学习资料分享----空间中点线面位置关系练习题一、选择题1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（） A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m3、已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.04、平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行5、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能6、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC 成60角 7、若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点8、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b.其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个二、填空题10、已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .11、如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形.ABCP--完整版学习资料分享----12、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11ABD 和平面1BC D 的位置关系为 . 13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .三、解答题14、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点，证明AE ⊥平面PCD ；（14题图）（15题图）15、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且EH ∥FG ，求证：EH ∥BD.16、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．(8分)17、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．A B CD PEHG F E D BACSDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1C--完整版学习资料分享----18、已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC AD λλ==<<（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？FEDBAC。