平面向量的概念+加减法运算
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。
平面向量的加法和减法是其中最基本的运算，本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1))，即c(6, 2)。
这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的加法，我们可以得到两个向量的合力向量。
合力向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
这在物理学中有着重要的应用，例如计算物体在斜面上的合力。
二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b)，其中(-b)表示向量b的负向量，即(-b) = (-b₁, -b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。
这意味着向量d的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的减法，我们可以计算两个向量之间的距离和方向。
例如，若向量a表示一个物体的位移，向量b表示一个参考点的位置，那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。
三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地，然后从B地飞往C地。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量在数学中是一种重要的概念，它们被广泛应用于几何学、物理学等领域。
平面向量的运算是平面向量的基本操作，包括加法、减法、数量乘法（或标量乘法）和向量乘法（或点乘、叉乘）等。
下面将分别对这些运算进行详细介绍。
一、平面向量的加法平面向量的加法定义简单，即对应元素相加。
假设有两个平面向量A和A，它们的加法表示为：A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
通过按照上述规则进行相应的运算，可以得到向量的和。
二、平面向量的减法平面向量的减法类似于加法，即对应元素相减。
假设有两个平面向量A和A，它们的减法表示为：A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
通过按照上述规则进行相应的运算，可以得到向量的差。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是一个向量与一个标量（实数）的乘法。
假设有一个平面向量A和一个标量A，它们的数量乘法表示为：AA = (AA₁, AA₂)其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
通过按照上述规则进行相应的运算，可以得到向量与标量的乘积。
四、平面向量的向量乘法平面向量的向量乘法分为点乘和叉乘两种情况。
点乘，也称为数量积或内积，是两个向量相乘后再求和得到一个标量的运算。
假设有两个平面向量A和A，它们的点乘表示为：A·A = A₁A₁ + A₂A₂其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
点乘的结果是一个标量。
叉乘，也称为向量积或外积，是两个向量相乘后得到一个新向量的运算。
假设有两个平面向量A和A，它们的叉乘表示为：A×A = (A₂A₃ - A₃A₂, A₃A₁ - A₁A₃, A₁A₂ - A₂A₁)其中，A₁、A₂和A₃分别为向量A的三个分量，A₁、A₂和A₃分别为向量A的三个分量。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的加减、数量乘法等运算，可以方便地解决向量的平移、旋转、缩放等问题。
本文将介绍平面向量的基本运算及其应用。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一般表示为以起点A和终点B为端点的线段AB，记作→AB。
平面向量有两个重要的特点：大小和方向。
其中，大小即为向量的模，记作|→AB|或AB；方向用向量所在直线的方向表示。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点相连，所得的向量即为两个向量的和。
具体计算方法如下：→AB + →CD = →DE即向量→AB加上向量→CD的结果是向量→DE。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法运算，即将减法转化为对应的加法运算。
具体计算方法如下：→AB - →CD = →AB + (-→CD)例如，向量→AB减去向量→CD可以转化为向量→AB加上向量→CD的相反向量，记为-→CD。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将向量的长度（模）与一个实数相乘。
如果实数大于1，则向量的长度增加，方向不变；如果实数在0和1之间，则向量的长度减小，方向不变；如果实数为0，则结果为零向量；如果实数小于0，则向量的方向相反。
具体计算公式如下：k →AB = →OB其中，k为实数。
五、平面向量的运算性质平面向量的运算具有以下性质：1. 加法是可交换的：→AB + →CD = →CD + →AB2. 加法是可结合的：(→AB + →CD) + →EF = →AB + (→CD + →EF)3. 数量乘法与加法的结合：k(→AB + →CD) = k→AB + k→CD4. 数量乘法的分配律：(k + l)→AB = k→AB + l→AB通过运算性质，我们可以方便地进行向量运算，简化计算过程。
六、平面向量的应用平面向量的运算在几何问题中具有广泛的应用，以下是几个具体的应用场景：1. 平移：通过向量的加法运算，可以实现平面图形在平面上的平移。
4.1.2平面向量的概念及加减法
A
E
B
A
E
B
2、填空： 填空：
AB + BC = CB + BA = OE + ED =
AB + BE + ED =
AE + FC + EF =
AB + BC + CD + DE + EF =
3、如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD 相交于点O，设 OA = a ， = b ，试用 a ，b 表 OB 示下列向量。
方向相同， 方向相同，长度相等的两个向量 相等向量： 相等向量： 方向相反， 方向相反，长度相等的两个向量 相反向量： 相反向量：
平行向量： 平行向量： 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量
D C
D E C F B
A
B
A
区别与联系
长度 相等向量 互为相反向量 平行向量 相等 相等 无关 向量相等或相反 方向 相同 相反 相同或相反 向量平行 向量平行
不平行向量相加
OB = a + b
b a
A
a
O
b
B
a+b
平行向量相加： 已知： 平行向量相加： 已知： a b
a b
O
求： a + b
A
a
b
B
a+b a b
O
a + b = OA + AB = OB
B
a
A
a+b
a + b = OA + AB = OB
零向量： 零向量： 长度为零的向量
记作： 记作： 0 方向： 方向： 任意的 大小： 大小： a = 0
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
平面向量的加减法
平面向量的加减法在学习数学的过程中，平面向量是一个非常重要的概念。
平面向量的加减法是我们在解决各种问题时必须掌握和运用的技巧。
本文将详细介绍平面向量的加减法原理、方法和应用。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
记作AB→，其中A是向量的起点，B是向量的终点，箭头表示向量的方向。
平面向量也可以用坐标表示。
对于平面上的点A(x1，y1)和B(x2，y2)，它们之间的向量AB→的坐标表示为：AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)二、平面向量的加法原理平面向量的加法满足以下原理：向量的加法可以看作是平移操作，将一个向量平移至另一个向量的终点，起点不变，终点变为两个向量终点相连的点。
具体来说，设有向量AB→和向量CD→，它们的和向量为EF→，则有：EF→ = AB→ + CD→三、平面向量的加法方法通过平面向量的加法原理，我们可以得到两个有向线段的和向量。
具体操作如下：1. 将两个向量的起点放在同一点上。
2. 将其中一个有向线段平移至另一个有向线段的终点。
3. 连接起点和平移后的有向线段的终点，得到和向量。
四、平面向量的减法原理平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
即，向量的减法可以看作是将一个向量平移至另一个向量的终点，起点不变，终点变为两个向量的起点相连的点。
具体来说，设有向量AB→和向量CD→，它们的差向量为EF→，则有：EF→ = AB→ - CD→五、平面向量的减法方法通过平面向量的减法原理，我们可以得到两个有向线段的差向量。
具体操作如下：1. 将两个向量的起点放在同一点上。
2. 将其中一个有向线段平移至另一个有向线段的终点。
3. 连接平移后的有向线段的起点和另一个有向线段的终点，得到差向量。
六、平面向量的应用平面向量的加减法在几何、物理等各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 平面向量的位移：可以用于描述物体在平面上的位移和路径。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量在数学和物理学中都是非常重要的概念，它们可以用于描述平面上的位移、速度、力以及其他物理量。
平面向量的运算是平面向量学习的基础，本文将对平面向量的加法、减法、数乘、数量积和向量积等运算进行详细介绍。
一、平面向量的表示平面向量可以通过箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量可以由有序数对表示，例如一个向量a可以表示为(a₁，a₂)。
二、平面向量的加法设有两个向量a=(a₁，a₂)和b=(b₁，b₂)，则它们的和a+b可以表示为：a+b=(a₁+b₁，a₂+b₂)加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
三、平面向量的减法设有两个向量a=(a₁，a₂)和b=(b₁，b₂)，则它们的差a-b可以表示为：a-b=(a₁-b₁，a₂-b₂)减法可以看作是加法的逆运算。
四、平面向量的数乘设有一个向量a=(a₁，a₂)和一个实数k，向量a乘以实数k的结果ka可以表示为：ka=(ka₁，ka₂)数乘可以改变向量的大小和方向。
当k<0时，向量的方向会反转。
五、平面向量的数量积（内积）设有两个向量a=(a₁，a₂)和b=(b₁，b₂)，则它们的数量积（内积）a·b可以表示为：a·b=a₁b₁+a₂b₂数量积的结果是一个实数，它表示了两个向量的夹角的余弦值和向量长度的乘积。
当两个向量垂直时，数量积为0。
六、平面向量的向量积（外积）设有两个向量a=(a₁，a₂)和b=(b₁，b₂)，则它们的向量积（外积）a×b可以表示为：a×b=(0，0，a₁b₂-a₂b₁)向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面。
七、平面向量的模长设有一个向量a=(a₁，a₂)，它的模长|a|可以表示为：|a| = √(a₁²+a₂²)模长表示了向量的大小。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是数学中一个重要的概念，它可以表示平面上的位置和方向。
在进行平面向量的运算时，加法和减法是两个最基本的操作。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法的定义、性质和运算规则。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的箭头，它可以表示平面上的位移或者方向。
平面向量通常用有向线段来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量常用小写字母加上有向线段的箭头来表示，例如：AB →。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有平面向量AB → 和CD →，它们的加法定义为：AB → + CD → = AD →。
即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的和向量。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有平面向量AB → 和CD →，它们的减法定义为：AB → - CD → = AD →。
即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的差向量。
四、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个向量AB→ 和CD →，有AB → + CD → = CD → + AB → 和(AB → + CD →) + EF → = AB → + (CD → + EF →)。
2. 零向量是一个特殊的向量，它表示大小为0的向量。
对于任意向量AB →，有AB → + 0 → = AB →。
3. 平面向量的减法可以转化为加法，即AB → - CD → = AB → + (-CD →)，其中-CD → 表示向量CD → 的反向大小相等的向量。
4. 如果两个向量的大小相等，并且方向相反，则它们相互抵消，和向量为零向量。
即如果AB → = -CD →，则AB → + CD → = 0 →。
5. 平面向量的加法和减法可以通过图形法或坐标法进行计算。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。
在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。
1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。
2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。
3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。
4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。
补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。
2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。
4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。
通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。
在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。
总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。
平面向量的加法和减法运算
平面向量的加法和减法运算在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，常用箭头来表示。
平面向量的加法和减法是两个基本操作，它们可以帮助我们描述和解决各种与方向和位移相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算方法，以及一些实际应用。
一、平面向量的表示平面向量通常使用有序对来表示，如AB。
其中，A和B分别表示向量的起点和终点。
我们可以用箭头来表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。
例如，AB向量可以表示为→AB。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法运算可以用三角法和平行四边形法两种方法进行。
1. 三角法三角法是一种简单直观的计算平面向量加法的方法。
首先，我们将两个向量的起点放在一起，然后从第一个向量的终点画一条箭头指向第二个向量的终点。
这样，连接起点和终点的箭头便表示了两个向量相加的结果。
2. 平行四边形法平行四边形法是另一种常用的计算平面向量加法的方法。
我们需要将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来，形成一个平行四边形。
此时，从共同起点到对角线上的交点的箭头便表示了两个向量相加的结果。
三、平面向量的减法运算平面向量的减法运算可以通过将减去的向量取其相反向量并进行加法运算来实现。
假设有两个向量AB和CD，我们可以将CD取其相反向量-CD，然后将AB与-CD进行加法运算。
实际上，减法运算也可以表示为向量加上其相反数。
四、平面向量运算的性质平面向量的加法和减法满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 加法单位元：0 + A = A + 0 = A（其中0为零向量）4. 加法逆元：A + (-A) = (-A) + A = 05. 减法定义：A - B = A + (-B)五、平面向量运算的应用平面向量的加法和减法运算在几何、物理等领域中有广泛的应用。
1. 位移和方向：平面向量的加法可以用来描述一个物体在平面上的位移和方向变化。
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算平面向量是描述平面上一个点到另一个点的位移关系。
在数学中，我们可以通过向量的加法与减法运算来进行向量的组合与分解，使得向量运算更加灵活和方便。
本文将介绍平面向量的加法与减法运算的概念、性质以及应用。
一、平面向量的概念与表示平面向量可以用有序数对或矩阵表示。
例如，向量AB可以表示为(AB)或列矩阵[a, b]。
其中，a为x轴的分量，b为y轴的分量。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加，得到它们的和向量。
设有向量AB和向量CD，向量AB的分量为(a₁, b₁)，向量CD的分量为(a₂, b₂)。
则AB + CD的分量为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。
三、平面向量的减法运算平面向量的减法运算是指将两个向量相减，得到它们的差向量。
设有向量AB和向量CD，向量AB的分量为(a₁, b₁)，向量CD的分量为(a₂, b₂)。
则AB - CD的分量为(a₁ - a₂, b₁ - b₂)。
四、平面向量的性质1. 加法交换律：对于任意两个平面向量AB和CD，有AB + CD = CD + AB。
2. 加法结合律：对于任意三个平面向量AB、CD和EF，有(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。
3. 减法定义：对于任意两个平面向量AB和CD，有AB - CD = AB+ (-CD)，其中-CD表示向量CD的反向量。
4. 零向量的性质：对于任意平面向量AB，有AB + 0 = AB和AB - AB = 0，其中0表示零向量。
5. 向量的倍数：对于任意平面向量AB和实数k，有k(AB) = (k·a, k·b)，其中k·a和k·b分别为a和b的k倍。
6. 减法性质：对于任意三个平面向量AB、CD和EF，有AB + CD= EF，则AB = EF - CD。
五、平面向量的应用1. 平面向量的运动学应用：平面向量可以用于描述物体在平面上的运动情况，如速度、加速度等。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量在数学中是一个重要的概念，它可以表示二维平面上的位移或力的作用方向和大小。
平面向量可以进行加减运算，下面将详细介绍平面向量的加减运算及其相关性质。
一、平面向量的定义与表示方式平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。
在平面直角坐标系中，平面向量通常用坐标表示。
设A和B是平面上的两点，则向量AB记作→AB（小箭头在AB上方）。
向量AB的大小记作|→AB|，方向从A指向B。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，形成一个平行四边形，新向量的起点是原来两个向量的起点，终点是平行四边形的对角线的交点。
假设有两个向量→AB和→CD，要求它们相加得到新向量。
步骤如下：1. 将AB放在平面坐标系中，使A点为原点，AB的方向与x轴平行。
2. 将CD放在平面坐标系中，使C点对应上一步中的A点，CD的方向与y轴平行。
3. 以D为起点，画一条⇒DE平行于AB，E是DE与AB的交点。
4. 向量→AD即为向量→AB与→CD的和，可以用坐标表示。
三、平面向量的减法运算平面向量的减法可以通过加法的逆运算实现。
即将被减向量取反，然后与减向量进行加法运算。
设有两个向量→AB和→CD，要求求其差向量。
步骤如下：1. 将CD取反，即→CD变为→DC。
2. 对向量→AB和→DC进行加法运算，得到新的向量→AD。
3. 向量→AD即为向量→AB与→CD的差向量。
四、平面向量加减运算的性质1. 交换律：平面向量的加法运算满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。
2. 结合律：平面向量的加法运算满足结合律，即(→AB+→CD)+→EF=→AB+(→CD+→EF)。
3. 减法与加法的关系：向量减法可以通过加法和取反来表示，即→AB-→CD=→AB+(-→CD)。
4. 减法的性质：两个向量的差向量的起点为被减向量的起点，终点为减向量的终点。
五、平面向量加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学中有广泛的应用。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是研究平面内物体运动和力的重要工具，而平面向量的加法和减法是计算和描述物体在平面上移动的基本操作。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法，并给出相应的计算方法和示例。
一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，一个向量由其起点和终点确定，方向由起点指向终点，长度由起点和终点的距离表示。
平面向量常用加粗的小写字母表示，如a、b、c等。
二、平面向量的表示1. 坐标表示法：平面向量可用坐标表示法表示。
设向量a的起点为点A(x1, y1)，终点为点B(x2, y2)，则向量a可以表示为a = (x2 - x1, y2 - y1)。
2. 分量表示法：平面向量也可用分量表示法表示。
设向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点P(x, y)，则向量a可以表示为a = x * i + y * j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设向量a的起点为点A，终点为点B，向量b的起点为点B，终点为点C，所求的向量为向量c，起点为点A，终点为点C。
则向量c = a + b。
计算向量c的坐标表示法：y1 + y2)。
计算向量c的分量表示法：设向量a = x1 * i + y1 * j，向量b = x2 * i + y2 * j，则向量c = a + b = (x1 + x2) * i + (y1 + y2) * j。
示例：已知向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，求向量c = a + b的坐标表示法和分量表示法。
解：根据坐标表示法的计算公式，向量c的坐标表示法为：c = a + b = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)。
根据分量表示法的计算公式，向量c的分量表示法为：c = a + b = (3 - 2) * i + (4 + 1) * j = i + 5 * j。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
平面向量的加法和减法运算
平面向量的加法和减法运算在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
平面向量具有加法和减法运算，可以进行向量之间的加减操作。
本文将介绍平面向量的加法和减法运算，包括定义、性质和实际应用等方面的内容。
一、平面向量的定义平面向量通常用有序数对表示，即(a, b)，其中a和b分别表示向量在坐标轴上的投影。
向量也可以用有向线段表示，起始点和终点分别表示向量的起点和终点。
在平面向量中，起点和终点是没有重要意义的，因为向量的性质只与大小和方向有关。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法定义为：对于向量A(a, b)和向量B(c, d)，它们的加法运算为A + B = (a + c, b + d)。
即将两个向量在相应轴上的分量分别相加得到新的向量。
这个过程可以用平行四边形法则进行可视化理解，即将两个向量的起点放在同一点，然后将它们的终点相连，形成一个平行四边形，新的向量即为对角线向量。
三、平面向量的减法运算平面向量的减法定义为：对于向量A(a, b)和向量B(c, d)，它们的减法运算为A - B = (a - c, b - d)。
即将B的每个分量取相反数，然后与A的分量进行相加。
减法运算也可以用平行四边形法则进行可视化理解，即将向量B取相反向量，然后按照向量加法的方式进行操作。
四、平面向量运算的性质平面向量的加法和减法运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 加法单位元：对于任意向量A，存在零向量O(0, 0)，使得A + O = A4. 加法逆元：对于任意向量A，存在相反向量-B，使得A + (-B) =O5. 数乘结合律：k(A + B) = kA + kB，(k + n)A = kA + nA6. 数乘分配律：k(A - B) = kA - kB五、平面向量运算的实际应用平面向量的加法和减法运算在各个领域有着广泛的应用，例如：1. 物理学：平面向量用于描述物体的位移、速度和加速度等物理量，通过向量的加减法运算可以得到合成位移、合成速度等。
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算平面向量是在平面内有大小和方向的线段，用箭头表示，表示为AB → 或a →。
在平面向量的运算中，加法和减法是两个基本操作。
一、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量的对应部分相加，得到一个新的向量。
设有两个向量AB → 和CD →，它们的和为E →。
要计算两个向量的和，可以通过构造一个平行四边形法则或使用分量法。
1. 平行四边形法则根据平行四边形法则，将向量AB → 和CD → 的起点连接起来，形成一个平行四边形。
从共同的起点开始，以两个向量的尾部作为相邻边，将平行四边形的对角线作为向量E → 的位移。
2. 分量法根据分量法，将向量AB → 和CD → 分解为平行于x轴和y轴的分量。
假设AB → 的终点坐标为(Ax, Ay)，CD → 的终点坐标为(Cx, Cy)，向量E → 的终点坐标为(Ex, Ey)。
则E → 的x轴分量为Ex = Ax + Cx，y轴分量为Ey = Ay + Cy。
二、平面向量的减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
设有两个向量AB → 和CD →，它们的差为E →。
要计算两个向量的差，可以通过将减去的向量CD → 取负数，然后与AB → 求和。
即E → = AB → + (-CD →)。
根据加法运算的方法，使用平行四边形法则或分量法来计算向量的差。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即AB → + CD → = CD → + AB →。
向量的减法不满足交换律，即AB → - CD → ≠ CD → - AB →。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(AB → + CD →) + EF → = AB → + (CD → + EF →)。
向量的减法不满足结合律，即(AB → - CD →) - EF → ≠ AB → - (CD → - EF →)。
3. 零向量对于任意向量AB →，都有AB → + 0 → = AB →。
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是研究平面上几何问题的重要工具之一，它可以描述平面上的位移、力量以及速度等物理量。
平面向量有两种基本运算，即加法和减法。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算规则以及应用。
一、平面向量的表示平面向量通常用有向线段表示，其中有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
一般用大写字母加箭头表示向量，例如向量AB用记作⃗AB。
二、平面向量的加法若有向线段AB和有向线段BC，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段AC，即线段AC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量AC为向量AB与向量BC的和，记作⃗AC = ⃗AB+ ⃗BC。
计算平面向量的加法非常简单，只需将两个向量的起点和终点连在一起即可得到它们的和向量。
例如，向量⃗AB = (3, 2)和向量⃗BC = (-1, 4)，根据加法运算规则，我们可以得到向量⃗AC = ⃗AB + ⃗BC = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6)。
三、平面向量的减法若有向线段AC和有向线段AB，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段BC，即线段BC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量BC为向量AC减去向量AB，记作⃗BC = ⃗AC -⃗AB。
平面向量减法的计算方法与加法类似，只需将减去的向量的起点和终点与被减向量的起点和终点连在一起即可得到减法的结果向量。
例如，向量⃗AC = (2, 6)和向量⃗AB = (3, 2)，根据减法运算规则，我们可以得到向量⃗BC = ⃗AC - ⃗AB = (2 - 3, 6 - 2) = (-1, 4)。
四、平面向量的性质1. 交换律：两个向量的加法满足交换律，即⃗AB + ⃗BC = ⃗BC+ ⃗AB。
2. 结合律：三个向量的加法满足结合律，即(⃗AB + ⃗BC) + ⃗CD= ⃗AB + (⃗BC + ⃗CD)。
3. 零向量：定义了一个特殊的向量，它的坐标为(0, 0)，任何向量与零向量相加都得到其本身，即⃗AB + ⃗0 = ⃗AB。
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、基本概念平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量有起点和终点，可以表示为两个点之间的有向线段。
加减法是指将两个或多个数值相加或相减的运算。
对于平面向量，加法和减法也是有规则的。
二、平面向量的加法1.定义设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a+b表示从O出发先沿着a到达A，再沿着b到达C，则C就是a+b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。
3.几何意义将一个向量加上另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
三、平面向量的减法设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a-b表示从B出发先沿着-b到达O，再沿着a到达C，则C就是a-b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
3.几何意义将一个向量减去另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量，并将这个新的向量旋转180度。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
四、平面向量加减法的性质1.交换律a+b=b+a，a-b≠b-a2.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c=a-(b+c)3.分配律k(a+b)=ka+kb，k为常数对于任意平面向量a，存在唯一的平面向量-b，使得a+(-b)=0。
五、应用举例平面向量加减法在物理学、力学、几何学等领域有广泛应用。
例如，在力学中，可以用平面向量表示物体所受到的力和加速度；在几何学中，可以用平面向量表示线段和角度等概念。
六、总结平面向量加减法是基本的运算规则，在数学和其他领域都有广泛应用。
掌握了平面向量加减法的性质和应用方法，可以更好地理解和解决相关问题。
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一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
A（起点）
B（终点）
1 几何表示法： 2 字母表示法：
有向线段 方向、长度 ） （ 起点、 a ，b AB
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。 记作 |AB| 或 | a |
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ D 请画图进行探索。
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
A A
a
ab
a
b
ab ba
(a b) c a (b c).
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____
AE AB BC CD DE _____
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b
a b。
g
A
b e
E D
(2) f d (3)
ab d g a b c
d
a
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( ) A．0 B. 1 C. 2
D C
C
D. 3
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
A B B
当b ≠ 0时成立。
A
小结:
定义 几何表示法：有向线段 表示 符号表示法：
a ，b
AB
向量
向量的有关概念
长度（模） 零向量 特殊向量 单位向量 向量间 平行（共线） 相等
规定：0与任一向量平行。 C OA = a A B
. o
l
OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
三、几何意义：
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。 （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？
（ 三 A 角 形 法 则 ）
练习：
(1) AB AD DB （2）当 a ， b 共线时，怎样作 a b 呢？ (3) BC BA AC (4) OD OA AD O A B
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
）
2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b
a
| a b || a | | b |
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向 伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
F1 M 图1 M EO C F2 F E O 图2 F1 F
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： （1） 的相反向量仍是 0 。 0
a
(a) a （2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法： a b a (b)
A B A B D C D C
记作：a = b a
规定：0 = 0
b o 相等向量一定是平行向量吗? 向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
.
向量平行
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
CAB 60 .
2 3 tan CAB 3 2
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
b
a
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
B
已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数
思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？ 如设
：
a 的相反数记作 a 。
x, y R , x y
x ( y )
如何定义向量的减法运算呢？
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设
AB b, AC a AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
B
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出
a b 吗？
一般地
a
O
a
a b
b
B
b
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
C
ab
b
平行四边形法则
B
尝试练习二：
(3)已知向量 a、 b，用向量加法的三角形法则和平行四边形 法则作出 a b
①
②
b
a
b
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
a b b a, (a b) c a (b c).
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b
（1）
a
。
（2）
a
a b
b
b
a b
（4）
a
（3）
a b a
b
b
a b
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b, 你能用 a , b表示 AC, DB 吗？
D
C
b
AC a b DB a b
变式一
变式二 本例中，当
a b a b ?
例3 已知向量
a, b, c, d ，求作向量 a b ， c d。
a b
b a d
cd
c
B A
a b d
D C
c
O
作法：
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b,
则
OC c, OD d ,
BA a b
DC c d
起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。 注意：
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
b a (2) BA BC CA
a OA b OB (5) OA OB BA a b BA
B
O
A
一般地
a
O
b
b
A
三、几何意义
a b
B a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量
a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习：