上海市徐汇区年高三二模试卷(含解析)

上海市徐汇区2018年高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知全集U =R ，集合2{|230}A x x x =-->，则U C A =2.在61()x x+的二项展开式中，常数项是（结果用数值表示） 3. 函数()lg(32)x x f x =-的定义域为4. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = 5. 若一个球的体积为323π，则该球的表面积为6. 已知实数x 、y 满足0,01x y x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为7.函数2(sin cos )1()11x x f x +-=的最小正周期是 8.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 9. 将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量(2,2)a m n =--，向量(1,1)b =，则向量a b ⊥的概率是10. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 11.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()1]g x M m x M m x =+++-图像的一个对称中心是12. 已知向量a 、b 满足||a =||b =，若对任意的(,){(,)|||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在四边形ABCD 中，AB DC =，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 是（ ）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且lim n n S a →∞=，（n ∈*N ），则复数1z a i=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限15. 在△ABC 中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C ︒∠=”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要16. 如图，圆C 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴相切于 点A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点M 、N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则△MON 周长的最小值为（ ） A. 10B. 8 C.45D. 12三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4AD =，121AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点. （1）求长方体1111ABCD A B C D -的体积；（2）求异面直线1A M 与1B N 所成角的大小. （用反三角函数值表示）.18. 如图，某快递小哥从A 地出发，沿小路AB →BC 以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =公里，45DCB ︒∠=，30CDB ︒∠=，△ABD 是等腰三角形，120ABD ︒∠=.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD →DC 追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19. 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]. （1）当2t =时，求函数()y f x =的反函数；（2）如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围. 20. 如图，A 、B是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值； （2）若直线MN 过点2(,0)，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.21. 已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足1112n n A A n n +-=+（n ∈*N ），且11a =，数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（n ∈*N ），32b =，其前9项和为36.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上，当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a 、1b 、2b 、2a 、3a 、3b 、4b 、4a 、5a 、5b 、…，求该数列的前n 项和n S ； （3）设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数k （2k ≥），是否存在正整数l 、m （k l m <<），使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示）；若不存在，请说明理由.上海市徐汇区2018年高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知全集U =R ，集合2{|230}A x x x =-->，则U C A = 【解析】[1,3]-2. 在61()x x+的二项展开式中，常数项是（结果用数值表示） 【解析】3620C =3. 函数()lg(32)x x f x =-的定义域为【解析】32(0,)x x x >⇒∈+∞4. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = 【解析】1a = 5. 若一个球的体积为323π，则该球的表面积为【解析】3432233r r ππ=⇒=，2416r ππ=6. 已知实数x 、y 满足0,01x y x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为【解析】三个交点为(0,0)，(0,1)，(1,0)，∴最小值为011-=- 7. 函数2(sin cos )1()11x x f x +-=的最小正周期是 【解析】2()(sin cos )1sin 22f x x x x =++=+，T π=8.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 【解析】191243h h ππ⋅⋅=⇒=，165152S ππ=⋅⋅=侧9. 将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量(2,2)a m n =--，向量(1,1)b =，则向量a b ⊥的概率是 【解析】0a b m n ⊥⇒-=，61666P ==⨯10. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 【解析】221m x m +=+，ym x=，代入消m ，得2220x x y y -+-=11. 若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()1]g x M m x M m x =+++-图像的一个对称中心是【解析】2sin ()21xf x x =++，4M m +=，()4sin(41)(41)sin(41)1g x x x x x =+-=-+-+，对称中心为1(,1)412. 已知向量a 、b 满足||15a =、||15b =，若对任意的(,){(,)|||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为【解析】815二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在四边形ABCD 中，AB DC =，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 是（ ）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形 【解析】对角线垂直的平行四边形，选A14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且lim n n S a →∞=，（n ∈*N ），则复数1z a i=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 【解析】2a =，255i z =-，选D15. 在△ABC 中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C ︒∠=”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要【解析】“cos sin cos sin A A B B +=+”还包含了“A B =”的情况，选B 16. 如图，圆C 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴相切于 点A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点M 、N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则△MON 周长的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C.45D. 12【解析】圆经过(2,1)Q 时，周长最小值为10，选A三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4AD =，121AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点. （1）求长方体1111ABCD A B C D -的体积； （2）求异面直线1A M 与1B N 所成角的大小. （用反三角函数值表示）.【解析】（1）1248⨯⨯=；（2）10arccos.18. 如图，某快递小哥从A 地出发，沿小路AB →BC 以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =公里，45DCB ︒∠=，30CDB ︒∠=，△ABD 是等腰三角形，120ABD ︒∠=.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD →DC 追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？ 【解析】（1）1052AB BC +=+，105256t +=>，不能（2）10553sin105sin 45CD CD ︒︒=⇒=+， 5153AD CD +=+，5153110524t ++=+<，能19. 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]. （1）当2t =时，求函数()y f x =的反函数；（2）如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围. 【解析】（1）2()(3)8f x x =--，()[8,1][73,136]f x ∈-， ∴138,[8,1]()38,[73,136]x x f x x x -⎧-+∈-⎪=⎨++∈⎪⎩；（2）根据题意转化条件，①(12)(0)4f f t >⇒<；②(15)(3)6f f t <⇒>； ∴(,4)(6,)t ∈-∞+∞ 20. 如图，A 、B是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值； （2）若直线MN 过点2(,0)，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 【解析】（1）11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222322212222x y k k x x x ⋅=⋅==---+（2）设2:2MN l x my =+，联立椭圆2222x y +=，223(2)202m y my ++-=，12222m y y m -+=+，12232(2)y y m -=+ 2121321222312(2)6323233229()()m k k m m m my my -+⋅===---+++⋅+（3）2x t=21. 已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足1112n n A A n n +-=+（n ∈*N ），且11a =，数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（n ∈*N ），32b =，其前9项和为36.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上，当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a 、1b 、2b 、2a 、3a 、3b 、4b 、4a 、5a 、5b 、…，求该数列的前n 项和n S ； （3）设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数k （2k ≥），是否存在正整数l 、m （k l m <<），使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示）；若不存在，请说明理由.【解析】（1）12n n An a n n+=⇒=，{}n b 为等差数列，54b =，32b =，∴1n b n =-； （2）当43n k =-，234n n S +=；当n 为偶数，24n n S =；当41n k =-，214n n S -=； （3）121n c n =-，112212121k m l +=---，分离出m ，(21)(21)21421k l m k l ---=--， 当21l k =-，则2473m k k =-+，2k ≥，所以存在.。