椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤

圆锥曲线
圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆
椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题
一、椭圆的知识梳理
二、椭圆的标准方程和统一方程
三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)
说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。

对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。

例题：
（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
求顶点C 的轨迹W 的方程
解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理
2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，
，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。

2、求椭圆的方程，
1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。

2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、
{
}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MF
M P <=><==+=22222
222
2
22c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．
（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）
（4） 经过p （-23、1）q （3、2）
（5） 方程m
y x ++16m -252
2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )
(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>2
9
（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________
（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的
( )
(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32
倍
9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。

或者求出a 、c 的值，利用e=c/a 的公式。

(10).椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ____
(11)、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e=_____ (12、中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆的方程为 _______________
二、利用椭圆解决焦点三角形问题。

椭圆的基础量的综合运用，经常用到椭圆的定义，正弦定理和余弦定理，解决与焦点三角形
有关的面积问题、|1PF | |2PF | 的最小值。

2tan
2S b θ
= 焦点在x 轴或者y 轴上都可用
1、已知P 为椭圆22
1259
x y +=上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2
的面积．
本题既用到了定义，也用到了正余弦定理 解答：解：∵a=5，b=3 ∴c=4，即|F 1F 2|=8． 设|PF 1|=t 1，|PF 2|=t 2，
则根据椭圆的定义可得：t 1+t 2=10①， 在△F 1PF 2中∠F 1PF 2=60°，
所以根据余弦定理可得：t 12+t 22-2t 1t 2•cos60°=82②， 由①2-②得t 1•t 2=12，
所以由正弦定理可得： S △12F PF =1212t t sin60°
=121
2
t t ×12×32=33． 所以△F 1PF 2的面积 33
2．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -,Ｐ为椭圆上一点，且||21F F 是||1PF 和
||2PF 的等差中项.
(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F . 18解：(1)由题设｜1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4
∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3
∴椭圆的方程为13
42
2=+y x . （２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ 由正弦定理得：
)
60sin(120sin sin 1221θθ
-︒=
︒
=
PF PF F F
P
F 2
F 1
x
O
y
由等比定理得：
)60sin(120sin sin 2
121θθ
-︒+︒+=
PF PF F F
)60sin(2
3
4
sin 2
θθ
-︒+=∴
整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 5
3cos 1sin =+∴
θθ故23
2tan =θ
113525
3153
2tan tan 21=-⋅
=
=θPF F . 若a:b=c:d （其中b,d ≠0），则（a+c ）:（b+d ）=（a-c ）:（b-d ）=a:b=c:d a:b=c:d=e:f=.......m:k
则
(a+c+e+...+m):(b+d+f+...+k)=a:b 称为等比定理。

等比定理是比例运算中的基本定理之一。

三、直线和椭圆的相交问题
这是高中的重点也是难点问题，各个省的高考题几乎都有一道圆锥曲线问题，现在圆锥曲线问题主要难点是在计算上，同学们应经常多练。

弦长公式AB=
记住一些常用的结论，可以提高解题速度。

椭圆的一组平行弦中过中心的最长椭圆的过焦点的弦以垂直实轴的通径为最短 1、通径= （无论焦点在x 轴还是y 轴 通径公式不变）
2、｜AB ｜为过焦点的弦1
122
AF R AF R =｜｜｜｜ 则 ecos θ=12
12
R R R R -+ 3、AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2OM AB
b k k a ⋅=-，即0
202y a x b K AB -=。

做椭圆与直线相交问题，有两种方法，一是韦达定理、二是点差法，即使求而不设法，用来
解决中点弦问题和弦长成比例问题。

前两天在网上无意中看到这样一句话，数学好的人比较没良心，比如解圆锥曲线的时候，请x1，x2，y1，y2来帮忙，结果完事了又不求人家，直接把那几个全踹了。

这种办事的方法
a
b 22
221(1)AB k x x =+-
太可耻了，我，学不会！！、
现在圆锥曲线对技巧性要求降低，运算难度增大，同学们只有多练习解题，一定没问题。

解题步骤：”建设现代化“（求轨迹方程的步骤相同、但是意义不同） 1、建立直线和椭圆的方程组 2、设交点
3、由现有一直条件确定用弦长公式还有用点差法，如果弦长公式，则联立方程消x 或者y 得到一元二次方程，用韦达定理写出两根和两根差。

如果用点差法，方程做擦，可以直接写出上面结论。

4、带入已知条件
5、化简求值。

例题：
1、倾斜角为π
4
的直线交椭圆2214x y +=于A B ，两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 解：设倾斜角为
π
4
的直线交椭圆于11()A x y ，，22()B x y ，，
由2
21114
x y +=，①
22
2214
x y +=， ②
①－②得
12121212()()
()()4
x x x x y y y y -+=--+．
又设中点()M x y ，，则
1212121224()84y y x x x x
x x y y y y
-+=-=-=--+．
又
1212y y x x --为AB 连线斜率，即π
tan 14
k ==，
14x
y
∴-
=，即40x y +=（其中包含在椭圆内部和椭圆上）．
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ|= 10
2
．求椭圆的方程．
解答：解：设所求椭圆方程为22
221x y a b
+=
依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组
①②22
221x y a b
+= y=x+1.
将②式代入①式，整理得
（a 2+b 2）x 2+2a 2x+a 2（1-b 2）=0，③
设方程③的两个根分别为x 1，x 2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P （x 1，x 1+1），Q （x 2，x 2+1）．
由题设OP ⊥OQ ，|PQ|= 102，可得 {x 1+1x1•x2+1x2=-1(x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(102)2. 整理得
④⑤ {(x1+x2)+2x1x2+1=04(x1+x2)2-16x1x2-5=0.
解这个方程组，得 {x1x2=14x1+x2=-32或 {x1x2=-14x1+x2=-12. 根据根与系数的关系，由③式得
（Ⅰ） {2a2a2+b2=32a2(1-b2)a2+b2=14或（Ⅱ） {2a2a2+b2=12a2(1-b2)a2+b2=-14.
解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得 {2a =2 2
b =23或 {2
a =23
2
b =2.
故所求椭圆的方程为 223122x y +=，或 22
3122
x y += （3）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2
的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把
0.OA OB OP ++=用坐标表示后求出P 点的坐标，然后再结合直线方程把P 点
的纵坐标也用A 、B 两点的横坐标表示出来。

从而求出点P 的坐标代入椭圆方程
验证即可证明点P 在C 上。

(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N ，然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 的距离相等即可. 【精讲精析】 (I)设1122(,),(,)A x y B x y
直线:21l y x =-+，与2
2
12
y x +=联立得242210x x --=
126262
,44
x x -+=
= 121221
,24
x x x x +=
=- 由0.OA OB OP ++=得1212((),())P x x y y -+-+
122
()2
x x -+=-
, 121212()(2121)2()21y y x x x x -+=--++-+=+-=-
2
22(1)()122
--+=
所以点P 在C 上。

（II ）法一：121212
12(1)(1)
22
()()
22tan (1)(1)1122
()()
22
PA PB
PA PB
y y x x k k APB y y k k x x ----------∠=
=
----++⋅---- 212112123()4()
3329
3()22
x x x x x x x x --=
=-++
同理
2121212111
22()
22tan 111122()
22
QB QA QA QB
y y x x k k AQB y y k k x x -------∠=
=--++⋅
--- 12211212()4()
321
3()22
x x x x x x x x --=
=--++
所以,APB AQB ∠∠互补，
因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

法二：由2(,1)2P -
-和题设知，2(,1)2Q ,PQ 的垂直平分线1l 的方程为22
y x =-…① 设AB 的中点为M ，则21(
,)42M ，AB 的垂直平分线2l 的方程为21
24y x =+…② 由①②得1l 、2l 的交点为21
(,)88
N -
22221311
||()(1)2888
NP =-
++--=
, 22132
||1(2)||2
AB x x =+-⋅-=
32||4AM =
,22221133
||()()48288
MN =++-=, 22311
||||||8
NA AM MN =+=
故||||NP NA =.||||,||||NP NQ NA NB == 所以A 、P 、B 、Q 四点在同一圆圆N 上.。