数学模型钢管和易拉罐下料
数学建模练习题及编程分析
1.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。
根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下表示。
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h的午餐时间。
储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元，问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员。
如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用。
如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用。
（全时7人，半时3人；280；260）解：（1）设：m为全时工作人员总数，n为12~1时先去吃饭的全时人数x为半时工作人员总数，y为12~1时候补全时人员的半时人数可以得到模型：目标函数：minz=100m+40x约束条件：-+6m n y+8m x+全时人数减去吃饭的人数加上来替补的半时人数应满足12~1时人员需求，n x5+ 1~4时所有的半时人员全在，第一批吃饭回来的全时人数加上所有半时人数n x5满足m+x-y³8编程如下：min=100*m+40*x;x<3;m+x>8;m-n+y>6;n+x>5;m+x-y>8;@gin(m);@gin(n);@gin(x);@gin(y);结果：所需佣金：820元。
（2）不用半时人员模型：目标函数：minz=100m约束条件：m-n³ 6n³ 5程序：min=100*m;m-n>6;n>5;@gin(m);结果：1100 则每天增加费用为1100-820=290，单位：元。
（3）因为2个半时人员就可替代1个全时人员，并且少花20元佣金，所以尽可能多的雇佣半时员。
设 h,g分别为全天前4个小时和后4个小时的半时人员数。
模型如下：目标函数：Minz=40h+40g约束条件：h³ 6g³8编程如下：min=40*g+40*g;h>6;g>8;@gin(h);@gin(g);结果为560，所以节省820-560=260元。
钢管下料问题作业
钢管下料问题的数学模型组员一、问题的提出1、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出，从钢管厂进货时，得到原料19米，现有乙客户需要50根4米，20根6米，15根8米，如何下料最省？2、摘要：生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 9.0来解决这类问题.二、引言：钢管、钢筋在隧道施工中用途极为广泛,然而,钢铁厂因为大规模生产,出厂的钢管、钢筋大多为半成品,长度极少能满足工程建设的需要。
作业队伍要根据图纸所要求的钢管、钢筋长度对半成品的钢管、钢筋进行再加工。
加工剩下的废料因为长短不一,往往无法再次利用,只能当作废铁贱卖,白白浪费。
建设者长期因为找不到最佳解决方案而苦恼。
因此,如何巧妙安排,运筹谋划使下料后的废料达到最小化,是一个非常重要的、值得进行深入研究的课题。
数学建模在隧道施工钢管下料中的应用就是研究如何针对不同要求进行统筹分配,使在保证需求数量的情况下,达到最佳效果的一种运筹学方法。
下面将通过介绍高速公路隧道钢管下料中如何应用这一研究方法和技术,并应用LINDO 软件求解,来达到在条件限制下的总体废料最小化三、问题的分析：首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.1、问题一：某钢管零售商以钢管厂进货，将钢管按顾客的需求切割后售出，从钢管厂进货时得到原料19m建立模型引入决策变量，x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 目标函数1 钢管数最少：=Z min 7654321x x x x x x x ++++++2 余下的钢管最少76543213333m in x x x x x x x Z ⨯+++⨯+⨯++⨯= 经过以上分析，可转化为下述线性规划问题 约束条件：1、⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯++≥⨯++⨯+≥++⨯+⨯+⨯++++++=152203250234min 7536542543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 问题一：2、 76543213333m in x x x x x x x Z ++++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+++≥++++152203250234753654254321x x x x x x x x x x x xj=1,2,3,4)目标函数MinZ=X1+X2+X3Minz=x1r15+x2r25+x3r35约束条件R11x1+r21x2+r31x3>=50；R12x1+r22x2+r32x3>=10;R13X1+R23X2+R33X3>=20;R14x1+r24x2+r34x3>=15；16<=4r11+5r12+6r13+8r14<=19;16<=4r21+5r22+6r23+8r24<=19;16<=4r31+5r32+6r33+8r34<=19;要使钢管数最少，将上面构建的模型输入Lingo9.0得：Global optimal solution found.Objective value: 25.00000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced Cost X1 5.000000 0.000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 0.000000 0.2500000 X5 15.00000 0.000000 X6 0.000000 0.2500000 X7 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 25.00000 -1.0000002 0.000000 -0.25000003 0.000000 -0.25000004 0.000000 -0.50000005 5.000000 0.0000006 5.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 15.00000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.000000 要使余下的钢管最少，将上面构建的模型输入Lingo9.0得：Global optimal solution found.Objective value: 26.66667Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.666667 X2 11.66667 0.000000 X3 0.000000 1.666667 X4 0.000000 2.666667 X5 15.00000 0.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 1.666667Row Slack or Surplus Dual Price1 26.66667 -1.0000002 0.000000 -0.33333333 6.666667 0.0000004 0.000000 -0.66666675 0.000000 0.0000006 11.66667 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 15.00000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.000000 模型求解的算法程序：model:min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=50;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=10;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=20;r41*x1+r42*x2+r43*x3>=15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43<=19;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);endLocal optimal solution found.Objective value:28.00000Extended solver steps:75Total solver iterations:2005VariableValue Reduced Cost X1 10.00000 0.000000X2 10.00000 2.000000X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R13 1.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R34 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 28.00000 -1.0000002 0.000000 -1.0000003 2.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 3.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 1.000000 0.00000010 2.000000 0.00000011 1.000000 0.00000012 3.000000 0.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 3.000000 0.000000。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模摘要：I.引言- 介绍钢管下料数学建模的背景和意义II.钢管下料数学建模的基本概念- 钢管下料问题的定义和特点- 数学建模的基本步骤和方法III.钢管下料数学模型的构建- 建立切割长度和数量的数学模型- 建立切割方式选择的数学模型- 建立总余料最少和切割总根数最少的数学模型IV.钢管下料数学模型的求解- 求解切割长度和数量的数学模型- 求解切割方式选择的数学模型- 求解总余料最少和切割总根数最少的数学模型V.钢管下料数学建模的应用- 实际工程中的应用案例- 取得的成果和效果VI.总结与展望- 总结钢管下料数学建模的过程和结果- 展望未来的研究方向和应用场景正文：钢管下料数学建模是一种利用数学方法解决钢管下料问题的技术。
在钢管生产中，下料是一个重要的环节，它涉及到钢管的切割、拼接和余料的处理等问题。
通过建立数学模型，可以有效地解决这些问题，提高生产效率和质量。
钢管下料问题的定义是：给定一定长度的钢管，在满足一定约束条件下，如何进行切割和拼接，使得切割后的钢管长度和数量满足要求，同时总余料最少或切割总根数最少。
这个问题具有非线性、整数和组合优化等特点，需要采用合适的数学建模方法进行求解。
钢管下料数学建模的基本步骤包括：问题定义、变量和参数定义、模型构建、模型求解和模型检验等。
其中，问题定义是明确问题的具体要求和约束条件；变量和参数定义是确定需要求解的变量和参数；模型构建是建立数学模型，包括目标函数和约束条件；模型求解是采用合适的算法求解模型，得到最优解；模型检验是对最优解进行检验，确认是否满足要求。
在钢管下料数学模型中，切割长度和数量的数学模型是最基本的模型，它决定了切割后的钢管长度和数量。
切割方式选择的数学模型是为了在满足长度和数量要求的前提下，选择最优的切割方式。
总余料最少和切割总根数最少的数学模型是为了在满足长度和数量要求的前提下，使得总余料最少或切割总根数最少。
钢管下料数学建模的应用非常广泛，可以应用于钢管生产、物流运输、资源分配等领域。
下料问题数学建模(钢管)
防盗窗下料问题摘要本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。
问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。
模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。
关键词：钢管下料；最优化；lingo；问题提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。
每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。
根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
基本假设和符号说明1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；2、假设余料不可焊接；3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限；4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别；5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。
为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示：问题分析与模型建立问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。
考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
数学建模合理下料问题
数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？(一)模型假设：1，假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法：①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明：x1-x7，表示对应分割方法下4，6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，可以得到以下方程式：4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解：上述问题属于线性规划，它可以用单纯形法方法求解，也可以用LINDO软件求解。
用LINDO求解如下：直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后，选择菜单“solve”，并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。
即可得输出结果。
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设：一根钢管可以有以下15种分法：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明：x1-x15，表示对应分割方法下4，5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
数学建模之下料问题
数学建模之下料问题下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。
生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。
这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。
本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。
本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。
通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。
于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
关键词：切割模式LINGO软件线性整数一、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
下料问题
原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将 原材料加工成所需大小 按照工艺要求，确定下料方案，使所用材 料最省，或利润最大
例1 钢管下料
客户需求 4米50根 6米20根 原料钢管:每根19米 8米15根 节省的标准是什么？ 5米10根
问题1. 如何下料最节省 ? 问题2. 客户增加需求：
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
钢管下料问题1 目标2（总根数） Min Z 2 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7
+ 3 x x 2 + 2 3 + x 4 + x 5 ³ 50 约束条 4 x1 件不变 x x x 2 + 2 4 + x 5 + 3 6 ³ 20
. 5 x x x 1 + 2 2 + x 3 + 3 4 £ 144000 (40小时) 约束 时间约束 1 条件 + x , x 2 + x 3 £ 50000 4 £ 20000 原料约束 x1
约束 条件
产量 x 1 x 2 x 3 x 4
由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成 本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米1根 4米1根 6米1根 6米1根 8米1根 6米1根 8米1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
y1 = min{ x x x 10 x x x x } 1 + 2 2 + 4 4 , ( 1 + 4 2 + 16 3 + 5 4 ) / 2
数学模型课程教学大纲
《数学模型》课程教学大纲课程编码：ZB0240121课程类别：专业核心必修适用专业及层次：信息与计算科学（本科）学分：4理论学时：48实践学时：32先修课程：数学分析，高等代数，数学实验，概率论等。
一、课程的性质、目的和任务本课程是信息与计算科学专业（本科）的一门专业核心必修课.也是学生参加数学建模竞赛的基础课程.数学模型是一门重要的数学技术课，目标在于培养学生利用数学知识及相关专业知识建立数学模型分析、解决实际问题的能力，并从中培养和提高学生的创新意识、创新能力及综合应用能力.设置该课程的目的是要向学生介绍数学模型的数学理论和方法，使学生了解并初步掌握应用所学的数学知识建立数学模型的基本方法和基本过程，从而培养学生应用数学的思维、知识、方法解决实际问题的意识和能力.二、课程教学的基本要求通过本课程的学习（课堂讲授、上机实习和作业），应达到目的和要求如下：1、培养学生运用数学工具解决现实生活中实际问题的能力。
2、用数学方法解决问题的能力以及用自己的研究结果解释、指导实际问题的能力，从无到有的创新能力以及写作能力。
3、通过本课程的学习，使学生了解数学建模是利用数学知识构造刻画客观事物原型的数学模型，利用计算机解决实际问题的一种科学方法。
掌握数学建模的基本步骤，即从实际问题出发，遵循“实践一一认识一一实践”的辩证唯物主义认识规律，紧紧围绕建模的目的，运用观察力、想象力和逻辑思维，对实际问题进行抽象、简化、反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。
会利用数学知识和计算机解决问题，并能够撰写符合要求的数学建模论文。
三、课程教学内容第一章线性规划【授课学时】2【教学内容】第一节线性规划问题第二节投资的收益和风险【教学要求】通过本章学习，掌握求解线性规划问题的方法和一般步骤、投资的收益和风险.【教学重难点】建立数学规划的步骤，常见处理约束条件的方法技巧。
第二章整数规划【授课学时】2【教学内容】第一节概论第二节0-1型整数规划第三节蒙特卡洛法【教学要求】通过本章学习，掌握整形规划和线性规划的区别和联系、整形规划问题的类型和常用的求解方法.【教学重难点】常见处理约束条件的方法技巧，整形规划问题的计算机求解。
数学建模之钢管下料问题案例分析学习资料
数学建模之钢管下料问题案例分析钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
(1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。
应如何下料最节省？(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。
应如何下料最节省。
问题（1）分析与模型建立首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819k k k ++≤的整数解。
但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。
容易得到所有模式见表1。
表1 钢管切割模式决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。
以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为：1234567min z x x x x x x x =++++++123672567346432503220..215,1,2,,7i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥⎧⎪+++≥⎪⎨++≥⎪⎪=⎩取整 解得：12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x =======目标值z=27。
即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。
15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。
chap4-数学规划模型3-钢管和易拉罐下料
特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1：切割成4根4m钢管，需[50/4]=13根； 模式2：切割成1根5m和2根6m钢管，需10根； 模式3：切割成2根8m钢管，需[15/2]=8根. 原料钢管总根数上界：13+10+8=31
26 x1 x2 x3 31
钢管下料问题2
模型求解：软件实现-LINGO
Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50 x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
整数约束： xi 为整数 结果： x2 = 12, x5 = 15, 其余为0； Z1 = 27 结果解释：
model: title 钢管下料 - 最小化钢管根数的LINGO模型; min=x1+x2+x3; st x1+x2+x3 >= 26; x1*r11+x2*r12+x3*r13 >=50; x1+x2+x3 <= 31; x1*r21+x2*r22+x3*r23 >=10; x1>=x2; x1*r31+x2*r32+x3*r33 >=20; x2>=x3; x1*r41+x2*r42+x3*r43 >=15; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); 4*r11+5*r21+6*r31+8*r41 <=19; @gin(r11);@gin(r12);@gin(r13); 4*r12+5*r22+6*r32+8*r42 <=19; @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23); 4*r13+5*r23+6*r33+8*r43 <=19; @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33); 4*r11+5*r21+6*r31+8*r41 >=16; @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43); 4*r12+5*r22+6*r32+8*r42 >=16; ！gin 15 4*r13+5*r23+6*r33+8*r43 >=16; end
易拉罐下料问题数学建模论文
平顶山学院数学与信息科学学院数学与应用数学专业数学建模论文文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.论文名称易拉罐下料问题2011年12月15日易拉罐下料问题摘要数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。
其中，线性规划方法是数学建模方法中的一种，它是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
在建立模型时，考虑到实际题目的要求，我们对易拉罐的生产模式进行了合理的设计并约定特定的公式符号以及对问题进行进一步分析。
对几种易拉罐的生产模式进行定量描述，采用线性规划方法建立线性规划模型，并通过LINGO软件对模型进行求解，以确定最佳的生产方式。
对于问题（3）我们用求极值的方法确定易拉罐高h与底面半径r之间关系，进而根据体积求出h和r的值，再用类似于上述的方法求解。
最后，本文对模型进行评价，指出了模型的科学性跟合理性。
关键词：最大生产量 盈利 形状与尺寸一、问题重述易拉罐生产企业采用一套柔性制造系统生产一种容量为255毫升的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的。
易拉罐为圆柱，罐高13cm ，上盖和下底直径为5cm 。
加工原料为50cm ×60cm 的镀锡板。
（1）200张镀锡板最多可以生产多少只易拉罐？怎样安排生产？（2）现在可以每一张1元的市场价购买最多2万张镀锡板，每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费。
每张镀锡板加工费0.1元，而加工余料可以1元/平方米的价格出售。
每只易拉罐加工费0.02元，收益为0.2元。
产量至少达到怎样的规模公司才可以盈利？怎样安排生产，可以使总利润达到最大？（3）如果允许改变易拉罐的形状，怎样可以进一步节省材料和提高利润？对于变形后的易拉罐回答（1）（2）中的问题。
工程数学第二章 最优化模型
敏感性分析 (“LINGO|Range” )
Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000
T
2c1 rc2
2c1r Q rT c2
不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
模型拓展
• • • • 允许缺货 现实条件：生产需要时间； 市场需求不确定 新形势：电子商务物流管理(异地配货)
习题
1. 一鞋店大约每天卖出鞋30双，批发一次货的花费为 300元，每双鞋每天的存储费用为0.1元。 问鞋店多 少天批发一次货，进货量为多少？ 2. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率 为常数k，销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期 T内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一 段时间只销售不生产。设每次生产准备费为c1，单位 时间每件产品的贮存费为c2，以总费用最小为目标确 定最有生产周期。讨论k>>r和kr的情况。
多元函数 条件极值
数学建模——下料问题
由假设 2,3 为了使每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm，构造如下约束 条件：
1750 290r11 215r21 350r31 455r41 1850 1750 290r12 215r22 350 r32 455r42 1850 1750 290r13 215r23 350 r33 455r43 1850 1750 290r14 215r24 350 r34 455r44 1850
2.2 模型的求解 运用 lingo，对上述线性规划问题求解，得到如下结果：
2.3 结果分析 使用原料钢管总根数为 16+6+1=23 根，切割模式为： 模式 1 将每根原料钢管切割 1 根 290mm，1 根 215mm，1 根 355mm，2 根 455mm， 共 16 根 模式 2 将每根原料钢管切割 2 根 215mm，3 根 455mm，共 6 根 模式 3 将每根原料钢管切割 5 根 355mm，共 1 根 模式 4 将每根原料钢管切割 4 根 455mm，共 0 根 3 模型的检验与进一步分析 3.1 模型的检验 客户需要 15 根 290mm、28 根 215mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管，原 料钢管 1850mm，那么至少需要原料钢管为 15 290 28 215 21 350 30 455 =17 根 1850
为了确定原料钢管数量的最大值，我们采用枚举法求解，将 1 根原料钢管分 别切割成 290mm、215mm、350mm 和 455mm 根数进行讨论，可得表 1 结果， 表 1 原料钢管数量的最大值讨论结果
切割长度 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8 290mm 215mm 350mm 455mm 总长 余量 原料钢管 根数
数学规划之钢管和易拉罐下料
3
优化策略
在求解过程中，可以采用一些优化策略来加速求 解过程，例如分支定界法、动态规划等。
04
易拉罐下料数学规划模型
易拉罐下料问题描述
易拉罐下料问题
易拉罐制造过程中，如何 将一块金属板材切割成多 个易拉罐的底部和侧面， 以最小化材料浪费。
约束条件
易拉罐的底部和侧面具有 特定的形状和尺寸，需要 满足一定的物理和机械性 能要求。
物流运输
物流运输是现代社会不可或缺的一部分。通过数 学规划方法，可以合理规划运输路线、降低运输 成本、提高运输效率等。
03
钢管下料数学规划模型
钢管下料问题描述
钢管下料问题
给定一根长度为L的钢管，需要切割 成若干段长度不同的小钢管，每段小 钢管的长度和数量有一定的要求，如 何切割使得浪费的材料最少。
易拉罐下料问题
由于模型复杂度高，通常采用启发式 算法如遗传算法、蚁群算法、粒子群 算法等进行求解。这些算法能够在可 接受的时间内找到近似最优解，但无 法保证找到全局最优解。
06
数学规划在钢管和易拉罐 下料中的应用实例
钢管下料应用实例
线性规划模型
根据钢管的长度、直径和壁厚等参数，以及客户需求的长度和数 量，建立线性规划模型进行下料优化。
问题描述的比较
钢管下料问题
给定一根钢管，需要将其切割成若干小段，每段长度不同，且满足一定的需求 量和成本限制，目标是使得总成本最小。
易拉罐下料问题
给定一批易拉罐，需要将其按照不同的方式进行裁剪和加工，得到不同规格和 数量的产品，同时满足一定的需求和资源限制，目标是使得总收益最大。
数学模型的比较
钢管下料问题
本。
提高生产效率
优化下料方案可以减少生产过程中 的调整和等待时间，提高生产效率。
数学建模论文钢管下料
数学建模承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的电子文件名：所属学校（请填写完整的全名）：广西教育学院参赛队员(打印并签名) ：1. 陈夏玲2. 陈秋兰3. 熊明利指导教师或指导组负责人(打印并签名)：日期：2013 年6月16日钢管下料问题的建模与求解问题：某钢管零售商从钢管厂进货将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管进货时，得到的原料钢管的原料都是1850mm。
现有一客户需要15根295mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程规定所使用的切割模式的总类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值得1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、摘要本文以钢管下料为背景，在尽量减少余料浪费，简化生产过程等约束条件下，应如何选取最优切割方案使总费用最小的问题进行了简要的分析。
首先通过提取问题中的有用信息，即所使用的切割模式的种类不能超过4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品）等，可以列出一系列约束条件。
由于切割模式使用频率可以有两种或两种以上相同，为了简便起见，对问题进行了一些简化假设，然后在这些假设下建立了数学规划模型，对问题进行了初步解答。
钢管下料的数学模型
钢管下料一． 实验问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm,28根315mm,21根350mm 和30根455mm 的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的1/20增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品），此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料。
二． 建立模型决策变量：xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i =1,2,3,4)，r 1i , r 2i , r 3i , r 4i ~第i 种切割模式下，每根原料钢管生产290mm 、315mm 、350mm 和455mm 长的钢管的数量。
目标函数（总费用）：(p 表示原料钢管价格)[])10/41()10/31()10/21()10/11(4321+++++++=x x x x p goal43214.13.12.11.1.x x x x goal Min +++=即约束条件：{条件1：满足客户需求 x 1r 11+x 2r 21+x 3r 31+x 4r 4115x 1r 12+x 2r 22+x 3r 32+x 4r 4228x 1r 13+x 2r 23+x 3r 33+x 4r 4321x 1r 14+x 2r 24+x 3r 34+x 4r 4430条件2：余料限制 01850-290r 11-315r 12-350r 13-455r 14100 01850-290r 21-315r 22-350r 23-455r 24100 01850-290r 31-315r 32-350r 33-455r 34100 01850-290r 41-315r 42-350r 43-455r 44100条件3：四种模式下每根原料钢管切割次数的限制 r 11+r 12+r 13+r 145r 21+r 22+r 23+r 245 $ r 31+r 32+r 33+r 345r 41+r 42+r 43+r 445条件4：四种切割模式使用频率的大小 x 1x 2,x 2x 3,x 3x 4条件5：决策变量非负约束 x i 0,r ij 0 (i,j=1,2,3,4)条件6：决策变量整数约束 x i ,r ij z使用原料钢管数量的下限为（290×15+315×28+350×21+455×30）/1850=模式一：只切割290mm 的钢管需要3根原料钢管模式二：只切割315mm 的钢管需要6根原料钢管模式四：只切割350mm 的钢管需要5根原料钢管模式五：只切割455mm的钢管需要8根原料钢管\所以使用原料钢管数量的上限为3+6+5+8=22条件7：18x1+x2+x3+x4求出目标函数goal满足以上7个条件下的最小值，从而就能确定出决策变量x i,r ij 三．程序设计用Lingo编写程序如下：min=*x1+*x2+*x3+*x4;x1*r11+x2*r21+x3*r31+x4*r41>=15;x1*r12+x2*r22+x3*r32+x4*r42>=28;x1*r13+x2*r23+x3*r33+x4*r43>=21;；x1*r14+x2*r24+x3*r34+x4*r44>=30;1850-290*r11-315*r12-350*r13-455*r14>=0;1850-290*r21-315*r22-350*r23-455*r24>=0;1850-290*r31-315*r32-350*r33-455*r34>=0;1850-290*r41-315*r42-350*r43-455*r44>=0;1850-290*r11-315*r12-350*r13-455*r14<=100;1850-290*r21-315*r22-350*r23-455*r24<=100;1850-290*r31-315*r32-350*r33-455*r34<=100;1850-290*r41-315*r42-350*r43-455*r44<=100;r11+r12+r13+r14<=5;/r21+r22+r23+r24<=5;r31+r32+r33+r34<=5;r41+r42+r43+r44<=5;x1+x2+x3+x4>=18;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);<@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);end四．计算结果利用Lingo运行以上程序，得出如下结果：采取三种切割模式（x4=0）,各切割模式如下表所示290315350《455x1=141202x2=4005:0 x3=12012 x4=01031。
数学建模 之易拉罐下料问题
2b 2
(R
r1 )
2b3
2b 3
(R2
Rr1
r12 )
因为 b R ，故 2 b3 可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料体积为：
S台 (R, r1, h1, h2
)
bh1 ( R
r1
b)
2
b2 (R
r1 )
2b 3
(R2
Rr1
r12
)
易拉罐正圆柱部分的材料体积：
S柱 (R, r1, h1, h2 ) （R b）2 (h2 2b) R 2h2
2 R2b 2bRh2 (4b2 R b2h2 2b3 ) 因为 b R ，故 2 b3 可以忽略。则易拉罐正圆柱所用的材料体积：
S柱 (R, r1, h1, h2 ) 2 R 2b 2 bRh2 (4b2 R b2h2 )
所以，易拉罐的总材料体积为：
S(R, r1, h1, h2 ) S台 (R, r1, h1, h2 ) S柱 (R, r1, h1, h2 )
因为 b R ，故项 4 b3 可以忽略不计。因而
s(R, H ) b(2RH Hb 4R2 8bR)
于 是 ， 问 题 就 是 求 目 标 函 数 s(R, H ) b(2RH Hb 4R2 8bR) 在 条 件
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问题分析
目标:易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大 目标: 注意：不能装配的罐身、 注意：不能装配的罐身、上下底也是余料 约束：每周工作时间不超过 小时 小时； 约束：每周工作时间不超过40小时； 原料数量：规格1（模式1 ） 万张 万张， 原料数量：规格 （模式 ~3）5万张， 规格2（模式4） 万张 万张； 规格 （模式 ）2万张； 罐身和底、 罐身和底、盖的配套组装 。 按照第i 种模式的生产张数( = ) 模型建立 xi ~ 按照第 种模式的生产张数(i=1,2,3,4)； 决策 变量 y1 ~ 一周生产的易拉罐个数； 一周生产的易拉罐个数； y2 ~ 不配套的罐身个数； 不配套的罐身个数； y3 ~ 不配套的底、盖个数。 不配套的底、盖个数。
钢管和易拉罐下料
原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、 生产中通过切割、剪裁、冲压等 手段， 手段，将原材料加工成所需大小 按照工艺要求，确定下料方案， 按照工艺要求，确定下料方案， 使所用材料最省， 使所用材料最省，或利润最大
例1 钢管下料
原料钢管:每根 米 原料钢管:每根19米 客户需求 4米50根 米 根 6米20根 米 根 8米15根 米 根 节省的标准是什么？ 节省的标准是什么？ 5米10根 米 根
模式1： 秒 模式2： 秒 模式 ：1.5秒 模式 ：2秒
上盖 罐 身 下底
模式3： 秒 模式 ：1秒
罐身高10cm， ， 罐身高 上盖、下底直 径均5cm。 径均 。
问题分析
模式1: 模式 正方形 边长24cm 边长
计算各种模式下的余料损失 上、下底直径d=5cm， 下底直径 ， 罐身高h=10cm。 罐身高 。
按模式2切割 根 按模式5切割 切割15根 余料27米 按模式 切割12根,按模式 切割 根，余料 米 切割
钢管下料问题1 钢管下料问题1 目标2（总根数） 目标 （总根数） Min Z2 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 50 件不变 x2 + 2 x4 + x5 + 3x6 ≥ 20
模型建立
产量 x1 x2 x3 x4
y1 ~ 易拉罐个数；y2 ~ 不配套的罐身； 易拉罐个数； 不配套的罐身； 不配套的底、 y3 ~ 不配套的底、盖。 余料 时间 每只易拉罐利润0.10元， 每只易拉罐利润 元 222.6 1.5 余料损失0.001元 / cm2 余料损失 元
183.3 261.8 169.5 2 1 3
罐身面积 罐身面积πdh=157.1 cm2 底盖面积 底盖面积πd2/4=19.6 cm2
目标
Max 0.1 y1 − 0.001(222.6 x1 + 183.3 x2 + 261.8 x3 + 169.5 x4 + 157.1 y2 + 19.6 y3 )
小时) 小时 时间约束 1.5x1 + 2 x2 + x3 + 3x4 ≤ 144000 (40小时
约束 满足需求 4 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 + x5 ≥ 50 x2 + 2 x 4 + x5 + 3x6 ≥ 20 x3 + x5 + 2 x7 ≥ 15 整数约束： 整数约束： xi 为整数 最优解： 最优解：x2=12, x5=15, 其余为0； 其余为 ； 最优值： 。 最优值：27。
4米1根 米 根 4米1根 米 根
6米1根 米 根 6米1根 米 根
8米1根 米 根 6米1根 米 根 8米1根 米 根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
余料1 余料1米
余料3米 余料 米
8米1根 米 根
余料3米 余料 米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸 合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1 钢管下料问题1
特殊生产计划： 特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1：切割成4根 米钢管 米钢管， 模式 ：切割成 根4米钢管，需13根； 根 模式2：切割成1根 米和 米和2根 米钢管 米钢管， 模式 ：切割成 根5米和 根6米钢管，需10根； 根 模式3：切割成2根 米钢管 米钢管， 模式 ：切割成 根8米钢管，需8根。 根 原料钢管总根数上界： 原料钢管总根数上界：13+10+8=31
y 3 = 10 x1 + 4 x2 + 16 x3 + 5 x4 − 2 y1
y1 = min{x1 + 2 x2 + 4 x 4 , (10 x1 + 4 x 2 + 16 x3 + 5 x 4 ) / 2}
y1 ≤ x1 + 2 x2 + 4 x4 ,
y1 ≤ (10 x1 + 4 x2 + 16 x3 + 5 x 4 ) / 2
x3 + x5 + 2 x7 ≥ 15
xi 为整数 按模式2切割 根 按模式 切割15根， 切割 按模式5切割 切割5根 按模式 切割 根， 按模式7切割 切割5根 按模式 切割 根， 共25根，余料 米 根 余料35米
最优解： 最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0； 其余为 ； 最优值： 。 最优值：25。
问题1. 问题 如何下料最节省 ? 问题2. 客户增加需求： 问题 客户增加需求：
由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本， 由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本， 规定切割模式不能超过3种 如何下料最节省？ 规定切割模式不能超过 种。如何下料最节省？
钢管下料
切割模式 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
决策 按第i 按第 种模式切割的原料钢管根数( = ) 变量 xi ~按第 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） 目标 （总余量） Min Z1 = 3x1 + x2 + 3x3 + 3x4 + x5 + x6 + 3x7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
模式1 余料损失 242-10×πd2/4 - πdh=222.6 cm2 模式 ×
罐身个数 模式1 模式 模式2 模式 模式3 模式 模式4 模式 1 2 0 4 底、盖 个数 10 4 16 5 余料损失 （cm2） 222.6 183.3 261.8 169.5 冲压时间 （秒） 1.5 2 1 3
模式1：每根原料钢管切割成 模式 ：每根原料钢管切割成3 米和1根 米钢管 米钢管， 根4米和 根6米钢管，共10根； 米和 根 模式2：每根原料钢管切割成 模式 ：每根原料钢管切割成2 米和1根 米钢管 米钢管， 根4米、1根5米和 根6米钢管， 米 根 米和 共10根； 根 模式3：每根原料钢管切割成 模式 ：每根原料钢管切割成2 米钢管， 根8米钢管，共8根。 米钢管 根 原料钢管总根数为28根。 原料钢管总根数为 根
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
6米钢管根数 米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米 余料 米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式， 为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
r41 x1 + r42 x 2 + r43 x3 ≥ 15
整数非线性规划模型
钢管下料问题2 钢管下料问题
增加约束，缩小可行域， 增加约束，缩小可行域，便于求解 每根原料钢管长19米 每根原料钢管长 米
需求：4米50根，5米10 需求： 米 根 米 根，6米20根，8米15根 米 根 米 根
4 × 50 + 5 ×10 + 6 × 20 + 8 ×15 = 26 原料钢管总根数下界： 原料钢管总根数下界： 19
钢管下料问题2 钢管下料问题 目标函数（总根数） 目标函数（总根数） 约束 条件
Min x1 + x 2 + x3
模式合理： 模式合理：每根 余料不超过3米 余料不超过 米
满足需求
r11x1 + r12 x2 + r13 x3 ≥ 50
r21 x1 + r22 x 2 + r23 x3 ≥ 10
16 ≤ 4r11 + 5r21 + 6r31 + 8r41 ≤ 19
16 ≤ 4r12 + 5r22 + 6r32 + 8r42 ≤ 19
16 ≤ 4r13 + 5r23 + 6r33 + 8r43 ≤ 19
整数约束： 整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数 = )
r31 x1 + r32 x2 + r33 x3 ≥ 20
的结果“ 与目标1的结果“共切割 目标 的结果 27根，余料 米” 相比 根 余料27米 虽余料增加8米 但减少了 根 虽余料增加 米，但减少了2根
当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标 当余料没有用处时，
钢管下料问题2 钢管下料问题 增加一种需求： 米 根 切割模式不超过 模式不超过3种 增加一种需求：5米10根；切割模式不超过 种。 现有4种需求： 米 根 现有 种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 米 根 米 根 米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 根 用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式 对大规模问题， 决策变量 xi ~按第 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) 按第i 按第 种模式切割的原料钢管根数( = ) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 种切割模式下， 生产4米 米和8米长的钢管的数量 生产 米、5米、6米和 米长的钢管的数量 米 米和