量子力学中的守恒量
量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律，并分析它们在物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性扮演着非常重要的角色，它不仅能够帮助我们理解物理现象，还能够简化问题的求解过程。
量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。
平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。
在量子力学中，平移对称性导致了动量的守恒定律。
根据量子力学的基本原理，一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。
如果系统具有平移对称性，那么它的波函数在空间平移下不发生变化，从而导致动量守恒。
这一定律在许多物理现象中都得到了验证，如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。
旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。
在量子力学中，旋转对称性导致了角动量的守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与系统的对称性密切相关。
如果系统具有旋转对称性，那么它的波函数在空间旋转下不发生变化，从而导致角动量守恒。
这一定律在原子物理学中得到了广泛应用，如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。
时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。
在量子力学中，时间平移对称性导致了能量的守恒定律。
能量是系统的重要属性，它与系统的稳定性和演化规律密切相关。
如果系统具有时间平移对称性，那么它的波函数在时间平移下不发生变化，从而导致能量守恒。
这一定律在许多物理过程中得到了验证，如粒子的衰变过程以及能量传递等。
除了上述常见的对称性与守恒定律外，量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。
例如，粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。
根据粒子的统计性质，量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
《量子力学》(专升本)练习题
《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1. 简述2|(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。
2．简述迭加原理。
若nnnc ψψ=∑，^nnnf Fψψ=，n c 的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求zL ˆ的平均值。
4．设^^F F +=，^^G G+=A.若^^[]0,F G =，是否^F 的本征态一定是^G 的本征态，举例说明。
B.若^^[]0,F G ≠，^^,G F 是否就一定无共同本征态，举例。
C.若^^[],iC F G =，C 是常数，^^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。
5、判定^x p x及^x p i 是否厄迷算符。
6、^^^[,]0G C F =≠，^^F F+=，^^G G+=，试问^F ，^G 是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
12. 如果ˆˆAA +=，ˆˆBB +=且ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦，ˆˆ,,Aa a a Bb b b == a b 和都是束缚态，则ˆˆ0.a Ca b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 15．已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，则ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 16．若一个算符与角动量算符J ˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；17.设 22,0,1,0,2x V m x x ω∞≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数()n x ψ，及()n x ψ的宇称为()1n-。
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
折合质量柯尼希定理
折合质量柯尼希定理（也称为折合质量守恒定律）是原子物理学中的一个基本原理，它指出在量子力学中，一个封闭系统的总折合质量（即所有粒子质量的代数和）是一个守恒量。
这意味着在粒子间的相互作用过程中，折合质量不会发生变化，因此可以用来验证理论的正确性和预测实验结果。
折合质量的概念是指粒子所具有的质量与其运动状态无关，只与其静止质量有关。
在相对论中，静止质量是一个粒子的固有属性，而折合质量则表示粒子在运动时的惯性质量。
折合质量守恒定律表明，在一个封闭系统中，粒子的静止质量和折合质量之间的关系是守恒的。
这个原理在许多物理过程中都得到了验证，包括粒子加速器中的粒子碰撞、原子核的衰变和核聚变等。
通过实验测量和理论计算，科学家们可以验证这个原理的正确性，并进一步探索物质的本质和基本相互作用。
总之，折合质量柯尼希定理是原子物理学中的一个基本原理，它表明在一个封闭系统中，折合质量是一个守恒量。
这个原理对于验证理论正确性和探索物质本质具有重要意义。
清华大学高等量子力学-Lecture-16
第五章 对称性对称性是一个体系最重要的性质。
前面求解一维Schroedinger 方程时，我们看到，利用体系相互作用的左右对称性，导致态有确定的宇称，可以大大简化方程的求解。
1.守恒量若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=， 则称力学量为守恒量。
F 由 ˆF F ψψ= 和Schrodinger 方程 ˆi H tψψ∂=∂ ， 有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d FF F Fdt t t tF F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂⎡⎤=+⎣⎦∂若不显含时间， ˆFt 1ˆˆ,d F F H dt i ⎡⎤=⎣⎦ 若与ˆFˆH 对易，则为守恒量。
ˆF 例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m =，动量不显含时间t ，且ˆp ˆˆ,p H ⎡⎤0=⎣⎦，有动量守恒； b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+ˆˆ,0p H ⎡⎤，≠⎣⎦，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()22222ˆˆˆ222p L H V r r V m mr r r mr∂∂⎛⎞=+=−++⎜⎟∂∂⎝⎠2r ，轨道角动量算符2ˆL ，均不显含时间，且，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆi L t 2ˆˆˆˆ,,i L H L H ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦0=d ）若ˆH 不显含时间，，有能量守恒。
t ˆˆ,H H ⎡⎤=⎣⎦0故一个力学量是否为守恒量，由体系的性质，即ˆH的性质来决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：，，ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦ˆF ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆn F n F n =，ˆnH n E n = 对于任一态 ()()n nt C t ψ=∑n ， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为的几率为 n F 2()nC t 。
因为1ˆ()()()()()n n n nE E d C t n t n H t n t C t dt t i i i ψψψ∂====∂， 故 ()(0)n i E t n n C t C e−=，2()(0)n n C t C =2与时间无关。
量子力学复习题
量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。
2. 波尔的量⼦化条件为。
3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。
4. 德布罗意关系为。
5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。
6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。
8. 波函数的统计解释为。
9. 隧道效应是指__________________________________。
10. 波函数的标准化条件为。
11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。
12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。
13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。
14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。
15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。
16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。
17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。
18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。
19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。
20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。
21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。
22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。
量子力学(第1-4章)考试试题
第一至四章 例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是 【 】A 、 戴维孙——革末实验B 、 黑体辐射C 、 光电效应D 、 斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是 【 】A 、 单值、正交、连续B 、 归一、正交、完全性C 、 连续、有限、完全性D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et i rϕϕψ+-=, )exp()()exp()(22112t E i r t E i rϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r-+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E i r-+-=ϕϕψ其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a. 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符8、]ˆ ,ˆ[x p x= 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是 【 】A 、处于定态中的力学量B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlmψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【 】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ 二、填空题 1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子） 。
量子力学期末考试题解答题
量子力学期末考试题解答题[标签:标题]篇一：量子力学期末考试题解答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。
首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及
量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及解答量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及解答量子力学作为现代物理学的重要分支，探讨了微观粒子的行为和性质。
其中，量子力学力学量守恒是研究的重要内容之一。
本文将为您提供一些量子力学中力学量守恒方面的练习题和相应的解答，帮助您加深对该领域的理解。
练习题一：考虑一个质量为m的自由粒子，其波函数表示为ψ(x,t)。
在不考虑外力作用的情况下，该自由粒子的波函数满足薛定谔方程iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ²/(2m)∂²ψ(x,t)/∂x²。
请证明在这种情况下，动量算符p = -iħ∂/∂x是守恒量。
解答一：为了证明动量算符p是守恒量，我们需要证明其对时间的导数为零，即d⟨p⟩/dt = 0。
根据动量算符的定义，p = -iħ∂/∂x。
因此，我们需要计算其对时间的导数，即d⟨p⟩/dt。
首先，计算出算符 p 在波函数ψ(x,t) 上的期望值⟨p⟩，即⟨p⟩= ∫ψ*(x,t)·p·ψ(x,t) dx将动量算符 p 的定义代入上式，得到⟨p⟩ = -iħ∫ψ*(x,t)·(∂/∂x)·ψ(x,t) dx接下来，对上式右侧的积分进行分部积分。
令f(x) = ψ*(x,t)，g'(x) = (∂/∂x)·ψ(x,t)。
根据分部积分的公式，我们有∫f(x)·g'(x) dx = [f(x)·g(x)] - ∫f'(x)·g(x) dx将 f(x) 和 g'(x) 代入上式，得到∫ψ*(x,t)·(∂/∂x)·ψ(x,t) dx = [ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] -∫(∂/∂x)·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] dx将以上结果代入到⟨p⟩的表达式中，得到⟨p⟩ = -iħ·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] + iħ∫(∂/∂x)·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] dx我们可以观察到，上式右侧的两项是一个净的积分。
量子力学中的宇称守恒定律
量子力学中的宇称守恒定律1.引言1.1 概述量子力学是描述微观世界的理论框架，它在物理学领域发挥着重要的作用。
宇称守恒是其中一个重要的概念，它在量子力学的研究中扮演着关键角色。
宇称守恒定律是指在物理系统中，宇称变换下的对称性是保持不变的。
简单来说，宇称指的是对于空间的左右镜像对称性，通过镜子观察物体，其反射出的像与实物相似。
量子力学中的宇称守恒定律探讨了系统在宇称变换下的性质是否保持不变。
量子力学基础知识是理解宇称守恒定律的前提。
我们需要了解量子力学中的波函数、哈密顿量、态矢量等概念。
通过对这些概念的理解，我们可以更好地探索宇称守恒定律在物理系统中的应用。
本文将介绍宇称操作符在量子力学中的重要性。
宇称操作符是指对量子态进行宇称变换的操作符，它可以描述系统在宇称变换下的变化规律。
我们将探讨宇称操作符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
通过深入研究量子力学中的宇称守恒定律，我们可以更好地理解物理系统在宇称变换下的行为。
宇称守恒定律为我们研究物质的性质和相互作用提供了重要的理论依据。
进一步研究宇称守恒定律对于推动量子力学的发展具有重要的意义。
在接下来的文章中，我们将详细介绍量子力学的基础知识以及宇称操作符的相关内容。
通过分析现有的实验证据和理论推导，我们将探讨量子力学中宇称守恒定律的具体应用和意义。
最后，我们将总结宇称守恒定律在量子力学中的重要性，并展望未来在这一领域的研究方向。
希望通过本文的撰写，读者们能够对量子力学中的宇称守恒定律有更深入的理解，并进一步探索这一领域的前沿问题。
文章结构部分应该包括作者对整篇文章的大体安排和组织的描述。
下面是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容：1.2 文章结构本文总共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
每个部分都有具体的目的和内容，旨在全面介绍量子力学中的宇称守恒定律。
在引言部分，我们将提供对宇称守恒定律的概述，介绍宇称操作符的基本概念，并阐明本文的目的。
我们将解释为什么宇称守恒定律是量子力学中一个重要的问题，并简要概括本文的主要内容。
量子力学习题
一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，其中p,q 分别表示力学系统的广义坐标及其对应的广义动量，⎰ 表示在坐标空间中沿闭合轨道积分一周期。
2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-，式中m 式电子的质量，V 是电子脱出金属表面后的速度，A 是电子脱出金属表面所需要做的功即脱出功。
4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或 。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10. i ； ˆx i L ； 0。
11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
5-1 量子力学里的守恒量
第五章 量子力学中的对称性与守恒量§5.1 量子力学里的守恒量5.1.1 力学量的平均值随时间的演化力学量ˆA在态ψ上的平均值是（设ψ与时间有关，但已归一） ˆ(,).A A=ψψ 设ψ满足Schrödinger 方程1ˆ,iH t ∂ψ=ψ∂ 在一般情况下，ˆH和ˆA 都可能与时间有关。
那么对时间的变化率是 ˆˆˆ,,,ˆ11ˆˆˆˆ,,,i i ˆ11ˆˆˆˆ,(,)(,)i i ˆ1ˆˆ[,].i dA A A A dt t tt A H A A H t A HA AH t A A H t ⎛⎫∂∂ψ∂ψ⎛⎫⎛⎫=ψψ+ψ+ψ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=ψψ+ψψ+ψψ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂=ψψ-ψψ+ψψ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭其中注意ˆH是Hermitian 算符。
这称为（广义的）埃伦费斯特(Ehrenfest )定理。
通常来说，我们考虑的算符ˆA是不显含时间的，即ˆ/0A t ∂∂=，所以 1ˆˆ[,].idA A H dt = 如果取2ˆˆˆˆi ,()2p A p H V r m ==-∇=+，那么2ˆ1ˆ,()[,()]()i 2p p V r V r V r m ⎡⎤+=-∇=-∇⎢⎥⎣⎦，所以 ()().d p V r f r dt=-∇= 这是Ehrenfest 定理的最初形式(1927)。
我们看到，量子力学里关于力学量平均值随时间演化的方程1ˆˆ[,].idA A H dt = 与经典力学里的正则运动方程P.B.{,}dA A H dt= 非常类似，其中P.B.{,}A B 是力学量(,)i i A q p 和(,)i i B q p 的泊松(Poisson)括号，定义为P.B.P.B.{,}{,},i i ii i A B B A A B B A q p q p ⎛⎫∂∂∂∂=-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑ 而P.B.{,}A H 中的(,)i i H q p 就是经典的Hamiltonian 。
量子力学21-24力学量随时间的演化与对称性
不确定关系：若两个力学量A和B不对易，则一般来说ΔA和ΔB不能 同时为零，即A,B , 不能同时测定（特殊态例外), 或者说，它们不能 有共同本征态；
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值 简并 即对应某个能量本征值E只有一个本征态 只有 个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
Hψ (t ) ,ψ k (ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i 1 (ψ (t ), ) Hψ k )(ψ k ,ψ (t )) 复共轭项 i Ek 2 (ψ (t ), ) ψ k ) 复共轭项 0 i
结论： 如果力学量A不含时间，若 不含时间 若[A, H]=0(即为守恒量)，则 则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
例题1 判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） 设哈密顿量为守恒量 则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) ( ) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （ （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 束缚态 态 并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态 此态对应的量子数将伴随终生 因此守 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) ( ) 量子体系的各守恒量并不 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 定都可 同时取确定值。 5 守恒量与定态 5. (1) 定态是体系的 定态是体系的一种特殊状态 种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 即能量本征态 而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
高中物理竞赛量子力学第9讲 力学量完全集与守恒量
因为 cos(kx) 和 sin(kx) 是正交归一完备的， ( x) 有：
ˆ E H 偶 偶
ˆ E H 奇 奇
( x) C ( k ) sin( kx )dk 或 ( x) C (k ) cos( kx )dk8
一、态叠加原理与力学量完全集（7）
ˆ 的本征值 p 1 和 p 1 ，可将它们划分为： 设 P 偶宇称： p 1 偶 C cos(kx), E 2k 2 / 2m 奇宇称： p 1 奇 C sin(kx), E 2k 2 / 2m
2 2 ˆ 自由粒子H 2m x 2
2 2 ˆ l Y l ( l 1 ) Y lm lm 2和 ˆ 的共同本征态： ˆ 例： k Ylm lz l ˆ Y mY l lm z lm
k lm, k 一组量子数的笼统记号
9
一、态叠加原理与力学量完全集（8）
3、哈密顿算符与力学量完全集 寻找力学量完全集是个重要课题，可以证明：
，都可以用它们的共
的力学量完全集。体系任一量子态
同本征函数
ak k
k
ˆ,P ˆ ) 构成体系的力学量完全集。 如一维自由粒子， 10 (H
二、守恒量与力学量完全集（1）
1、力学量平均值的时间依赖特性（1）
ˆ 在 下的平均值为： 设体系处于量子态下 ，算符 A
* 3 ˆ ˆ A (t ) ( (t ), A(t ) (t )) (t ) A(t ) (t ) dr ˆ 含时薛定谔方程： i ( r , t ) H ( r , t ) t ˆ d A ˆ ˆ A (t ) , A , A , dt t t t
量子力学期末考试知识点+计算题证明题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。
首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
量子力学练习题1答案
量子力学 练习题1答案一。
基本概念及简要回答1. p 和 p是否相等？为什么？答：不相等。
因为p是动量 p r的本证态，而p是动量p r的本证态，实际上p与p r代表同一个态。
2． 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？； )()(t t ； w v u ； w Fu ˆ。
答：是算符，)()(t t ，w Fˆ是数， w v u 是矢量。
3. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
答：不一定。
例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在0和a 点不连续。
4．为什么既不能把 波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把 波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。
所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样. 所以不能‘把波看作由粒子构成的’。
5. 设ˆˆA A ，ˆˆB B ，ˆˆ0A B ，。
试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i; (2)ˆˆˆG AB ; (3)ˆˆˆC A iB ; (4)ˆˆˆDA B 。
解：（1）1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i，11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()22F B A A B AB BA i iˆˆFF ，即ˆF 为厄米算符。
（2）ˆˆˆG AB ， ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆG AB B A BA AB G。
ˆG不是厄米算符。
（3）ˆˆˆC AiB ，ˆˆˆC A iBˆˆC C ，即ˆC 不是厄米算符。
（4）ˆˆˆD AB ，ˆˆˆˆˆD A B A BˆˆDD ，即ˆD 为厄米算符。
6． (9’) 指出下列使用的Dirac 符号那些是不正确的。
为什么？A.)(t ; B. )(x ; C.)(t ; D. ()r r rv; E.10; F. )'('x x x . 答：B ，E ，F 不正确。
量子力学所有简答题答案
简答题1．什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到*些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。
这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下：1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率〔或称截止频率〕，即照射光的频率不能低于*一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。
2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。
3．光电效应的瞬时性。
实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。
4.入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有一样能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：221mv A h +=ν这就是爱因斯坦光电效应方程。
其中，h 是普朗克常数；f 是入射光子的频率。
2．写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式：νωh E == λhk P ==3．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中*一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
波函数满足归一化条件。
4．以微观粒子的双缝干预实验为例，说明态的叠加原理。
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2
连续对称变换
上面讨论的对称变换Q 可以为连续变换(如 空间平移) ,也可以为分立变换(如空间反演) . 有 限的连续变换可通过一系列无穷小变换实现, 因 而只需讨论无穷小变换. 对于无穷小对称变换Q, 为满足对称变换,总可以选择一个参数δε使 Q(δε) δε →0 I. (7) 其中I 为单位矩阵.
• 对于无穷小变换,若准确到δε • 的一阶小量,则可设 • Q(δε) = 1 + i^Fδε. (8) • 按式(2) 易有 • Q+ Q = (1 - i^F+ δε) (1 + i^Fδε) = • 1 + i ( ^F - ^F+ )δε+ O(δε2 ) = 1. •即 • ^F = ^F+ . (9) • 按式(6) 要求 • [ ^F , ^H ] = 0. (10)
4. 3
►
空间旋转不变性与角动量守恒
►
► ► ► ► ► ► ► ► ► ► ►
为简单起见, 先考虑绕Z 轴的定轴转动. 对 于φ→φ- ε的无穷小对称变换Q (δε) ,δφ=δε= ε,代入式(11) 有
[ ^F ,φ] = i.
在球坐标系下, ^L z = - iÜ 5 5φ,且[φ, ^L z ] = iÜ,所以 为满足[ ^F ,φ] = i , 可取^F = - i Ü^L z , 则绕Z 轴的 无穷小对称变换为 Q(δε) = 1 -
4
应用举例
Nhomakorabea4. 1 空间平移不变性与动量守恒 为简单起见, 只考虑沿X 轴方向的平移变 换,设该平移变换为Q(δε) , 该变换使: x →x - ε, 显然:δx =δε= - ε,代入式(11) 有: [ ^F , x ] = i. (12) 为满足该式可取^F = ^Px Ü (因为: [ ^Px , x ] = - iÜ) ,代入式(8) 即得坐标平移对称变换为 Q(δε) = 1 i Ü^P xδε. (13)
i
Ü^L zδε,
与其对应的力学量为^L z ,对中心力场中运动的粒 子[ ^L z , ^H ] = 0 , 即^L z 为守恒量, 该变换要求
[φ, ^L z ] = iÜ. 即当^L z 确定时,φ是不可测的, 表明空 间各向同性导致角动量守恒. 推广到三维情况,空间转动的无穷小变换为 Q(δφn) = 1 i Üδφn · , L 其中n 为空间任意转轴方向的单位矢量. 与该空 间旋转对称变换对应的力学量为角动量L , 对中 心力场[ ^L , ^H ] = 0 ,角动量守恒.
3
与对称变换相关的守恒量的确定
按式(2) 对称变换Q(δε) 为幺正变换,由表象 变换理论知,在该对称变换Q(δε) 下,力学量^A 经 变换后应满足 ^A′= ^A +δ^A = Q+ ^AQ[2 ] = (1 - i^F+ δε) ^A (1 + i^Fδε) ≈ ^A - iδε( ^F^A - ^A ^F) = ^A - iδε[ ^F , ^A ] , 即 δ^A = - iδε[ ^F , ^A ] , [ ^F , ^A ] = i δ^A δε. (11) 对于一个给定的对称变换Q(δε) ,δ^A/δε是已 知的,所以可由式(11) 确定与对称变换对应的力 学量^F.
量子力学中的守恒量
1 量子力学中对称变换的条件
所谓对称变换是指在该变换下量子体系具有 不变性. 若设某种对称变换为Q,在该变换下波函 数Ψ变为:Ψ′= QΨ. 按对称变换要求及量子力学 的统计诠释,变换后在空间任意位置找到粒子的 几率不变,即变换前后的波函数应满足 (Ψ,Ψ) = (Ψ′,Ψ′) . (1) (Ψ′,Ψ′) = (QΨ, QΨ) = (Ψ, Q+ QΨ) = (Ψ,Ψ) , 易得 Q+ Q = QQ+ = 1. (2) 即变换不变性要求Q 变换为幺正变换.
4. 2
时间的平移不变性与能量守 恒
设与t →t - ε时间平移对应的对称变换为Q (δε) ,则δt =δε= - ε ,代入式(11) 有 [ ^F , t ] = i , 要满足该式则 ^F = 1 Ü^E , (其中^E = iÜ 5 5t ,且易证[ ^E , t ] = iÜ) .
由SchrÊdinger 方程iÜ 5ψ 5t = ^Hψ知, ^E 和^H 等效, 因此时间平移的无穷小对称变换为 Q(δε) = 1 +
i
Ü^Hδε, 与该对称变换对应的力学量为系统的Hamilton 与该对称变换对应的力学量为系统的Hamilton 算符,显然[ ^H , ^H ] = 0 ,所以在时间平移对称变换 下系统的能量守恒, 该变换要求[ ^E , t ] = iÜ. 即当 能量确定时,时间是不可测的,表明时间的均匀性 导致能量守恒.
另一方 面,体系对此种变换的不变性表现在变换前后的 波函数应满足同一形式的SchrÊdinger 方程 iÜ 5Ψ 5t = ^HΨ. (3) iÜ 5QΨ 5t = ^HQΨ. (4)
若Q 与时间无关,由式(2) 可知对变换Q 必有Q + = Q- 1 , QQ- 1 = 1. 式(4) 两端左乘Q- 1 得 iÜ 5 5t Ψ = Q- 1 ^HQΨ. (5) 式(3) 、式(5) 比较可得 Q- 1 ^HQ = ^H , 即 [ Q, ^H ] = 0. (6) 式(2) 、式(6) 即为量子力学中对称变换所满足 的 条件.