量子力学中的守恒量

4

应用举例




4. 1 空间平移不变性与动量守恒 为简单起见, 只考虑沿X 轴方向的平移变 换,设该平移变换为Q(δε) , 该变换使: x →x - ε, 显然:δx =δε= - ε,代入式(11) 有: [ ^F , x ] = i. (12) 为满足该式可取^F = ^Px Ü (因为: [ ^Px , x ] = - iÜ) ,代入式(8) 即得坐标平移对称变换为 Q(δε) = 1 i Ü^P xδε. (13)


由SchrÊdinger 方程iÜ 5ψ 5t = ^Hψ知, ^E 和^H 等效, 因此时间平移的无穷小对称变换为 Q(δε) = 1 +
i
Ü^Hδε, 与该对称变换对应的力学量为系统的Hamilton 与该对称变换对应的力学量为系统的Hamilton 算符,显然[ ^H , ^H ] = 0 ,所以在时间平移对称变换 下系统的能量守恒, 该变换要求[ ^E , t ] = iÜ. 即当 能量确定时,时间是不可测的,表明时间的均匀性 导致能量守恒.
i
Ü^L zδε,
与其对应的力学量为^L z ,对中心力场中运动的粒 子[ ^L z , ^H ] = 0 , 即^L z 为守恒量, 该变换要求

[φ, ^L z ] = iÜ. 即当^L z 确定时,φ是不可测的, 表明空 间各向同性导致角动量守恒. 推广到三维情况,空间转动的无穷小变换为 Q(δφn) = 1 i Üδφn · , L 其中n 为空间任意转轴方向的单位矢量. 与该空 间旋转对称变换对应的力学量为角动量L , 对中 心力场[ ^L , ^H ] = 0 ,角动量守恒.
2
连续对称变换
上面讨论的对称变换Q 可以为连续变换(如 空间平移) ,也可以为分立变换(如空间反演) . 有 限的连续变换可通过一系列无穷小变换实现, 因 而只需讨论无穷小变换. 对于无穷小对称变换Q, 为满足对称变换,总可以选择一个参数δε使 Q(δε) δε →0 I. (7) 其中I 为单位矩阵.
• 对于无穷小变换,若准确到δε • 的一阶小量,则可设 • Q(δε) = 1 + i^Fδε. (8) • 按式(2) 易有 • Q+ Q = (1 - i^F+ δε) (1 + i^Fδε) = • 1 + i ( ^F - ^F+ )δε+ O(δε2 ) = 1. •即 • ^F = ^F+ . (9) • 按式(6) 要求 • [ ^F , ^H ] = 0. (10)
3

与对称变换相关的守恒量的确定
按式(2) 对称变换Q(δε) 为幺正变换,由表象 变换理论知,在该对称变换Q(δε) 下,力学量^A 经 变换后应满足 ^A′= ^A +δ^A = Q+ ^AQ[2 ] = (1 - i^F+ δε) ^A (1 + i^Fδε) ≈ ^A - iδε( ^F^A - ^A ^F) = ^A - iδε[ ^F , ^A ] , 即 δ^A = - iδε[ ^F , ^A ] , [ ^F , ^A ] = i δ^A δε. (11) 对于一个给定的对称变换Q(δε) ,δ^A/δε是已 知的,所以可由式(11) 确定与对称变换对应的力 学量^F.
量子力学中的守恒量
1 量子力学中对称变换的条件

所谓对称变换是指在该变换下量子体系具有 不变性. 若设某种对称变换为Q,在该变换下波函 数Ψ变为:Ψ′= QΨ. 按对称变换要求及量子力学 的统计诠释,变换后在空间任意位置找到粒子的 几率不变,即变换前后的波函数应满足 (Ψ,Ψ) = (Ψ′,Ψ′) . (1) (Ψ′,Ψ′) = (QΨ, QΨ) = (Ψ, Q+ QΨ) = (Ψ,Ψ) , 易得 Q+ Q = QQ+ = 1. (2) 即变换不变性要求Q 变换为幺正变换.



另一方 面,体系对此种变换的不变性表现在变换前后的 波函数应满足同一形式的SchrÊdinger 方程 iÜ 5Ψ 5t = ^HΨ. (3) iÜ 5QΨ 5t = ^HQΨ. (4)


若Q 与时间无关,由式(2) 可知对变换Q 必有Q + = Q- 1 , QQ- 1 = 1. 式(4) 两端左乘Q- 1 得 iÜ 5 5t Ψ = Q- 1 ^HQΨ. (5) 式(3) 、式(5) 比较可得 Q- 1 ^HQ = ^H , 即 [ Q, ^H ] = 0. (6) 式(2) 、式(6) 即为量子力学中对称变换所满足 的 条件.
4. 2
时间Βιβλιοθήκη Baidu平移不变性与能量守 恒
设与t →t - ε时间平移对应的对称变换为Q (δε) ,则δt =δε= - ε ,代入式(11) 有 [ ^F , t ] = i , 要满足该式则 ^F = 1 Ü^E , (其中^E = iÜ 5 5t ,且易证[ ^E , t ] = iÜ) .

4. 3
►
空间旋转不变性与角动量守恒
►
► ► ► ► ► ► ► ► ► ► ►
为简单起见, 先考虑绕Z 轴的定轴转动. 对 于φ→φ- ε的无穷小对称变换Q (δε) ,δφ=δε= ε,代入式(11) 有
[ ^F ,φ] = i.
在球坐标系下, ^L z = - iÜ 5 5φ,且[φ, ^L z ] = iÜ,所以 为满足[ ^F ,φ] = i , 可取^F = - i Ü^L z , 则绕Z 轴的 无穷小对称变换为 Q(δε) = 1 -