小学奥数竞赛专题：五年级奥数中等难度练习题二

个 的小长方形横着覆盖，那么剩下的 的方格网有 种方法，根据加法原理，可得 ．
递推可得到
．所以覆盖 的方格网共有 89 种不同方法
圆形跑道问题：：（中等难度）
如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是
0.5 千米， A、B、Ｃ 三位运动员同时从交点 O出发，分别沿
三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时
数论问题：： （中等难度）
有 9 个袋子里分别装有 9,12,14,16,18,21,24,25,28
只球。若甲取走若干袋，乙取走若干袋，最后剩
下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，剩下一袋内装有个球。
数论答案：：
数论中的整除问题： [来源:学*科*网
]
9＋12＋14＋16＋18＋21＋24＋25＋28=167.
24 头牛，那么 6 天就可以把草吃完；如果
放养 21 头牛，８ 天可以把草吃完。那么：
（1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛；
（2）如果放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？
牛吃草答案：：
(1) 设 1 头牛 1 天的吃草量为 "1" ，那么 天生长的草量为 ，所以，每天生长的草量为也就是说，每天
以 15 所得的余数， 就可以知道最后一只球的颜色。 2005÷15=133L10 ，这说明 2005 只球排到了 133 个周
期还余 10 只球，所以最后一只球是第 134 个周期的第 10 个球，从排列顺序可知这个球是黄球。
日期时间：： （中等难度）
一个月最多有 5 个星期日，在一年的 12 个月中，有 5 个星期日的月份最多有几个月？
五年级奥数中等难度练习题二
三角形面积：： （中等难度）
右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是
4 厘米，求三角形 ABC的面积． [来源:学科网］
三角形面积答案：：
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件， 实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接
AD（见
右上图），可以看出，三角形 ABD与三角形 ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，
到东北角的 B 处，有多少种不同走法？
道路算法答案：：
字母倍数问题：：（中等难度）
如右图，图中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字且
是 5 的倍数，
是 4 的倍数。则
的值最大是多少？
字母倍数答案：
牛吃草问题：： （中等难度）
有一片牧场，草每天都在均匀的生长。如果在牧场上放养
1/8= 2( 圈), 跑了 1/4 ÷1/16=4( 圈) ，Ｃ 跑了 1/4 ÷1/12=3( 圈) 。总计 2+3+4=9(圈) ，0.5 ×9=4.5=千米。
所以从出发到三人第一次相遇，它们共跑了
4.5 千米。
巧算小数点问题：： （中等难度） 计算： 0.16+0.142857+0.125+0.1
A、Ｂ相邻的不同情况，首先固定 A 的座位，有 4 种，安排 B 的座位有 2 种，安排 C、Ｄ的座位有 2 种，
一共有 4×2×2=16 种．
所以 A、Ｂ相邻而座的概率为
最 大倍数数问问题题：： （中等难度）
0～６这 7 个数字能组成许多个没有重复数字的 7 位数，其中有些是 55 的倍数，最大的一个是 。
设乙取的数量是 X, 则甲的数量是 2X，剩下的为 a, 则有， 2X＋X＋a=167 即
3X+a=167.利用同余的知识， 167÷３ 余 2，所以 a÷３也要余 2. 即 a=14.
【小结】利用整除的性质，能够快速的找到突破口。
抽奖问题：： （中等难度）
某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖
平均分问题：： （中等难度）
某车间有 216 个零件，如果平均分成若干份，分的份数在
5 至 20 之间，那么有多少种分法？
平均分答案：：
【分析】５ 种。
提示： 216=9×4×3×2，216 的介于 5 与 20 之间的约数有 6，8，9，12 和 18 五个
年龄质数问题：：（中等难度）
爷孙两人今年的年龄的乘积是 693，４年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？
7.3 米，分别所用的时间是 6,7,8 分
钟，所以三只蚂蚁的速度之比为： 28:24:21 ，注意题目中有一个条件，就是第一次出发的时候，他们是同
气球：：（中等难度） [来源:学*科＊
网］
有红、黄、黑三色球共 2005 只，按红球 6 只、黄球 5 只、黑球 4 只、红球 6 只、黄球 5 只、黑球 4
只……的顺序排 气球答案：：
2005 只球按红球 6 只、黄球 5 只、黑球 4 只的顺序排列， 那么，周期为 6+5+4=15 。只要求出 2005 除
4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米。问：从出发到三人第一
次相遇，他们共跑了多少千米？
圆形跑道答案：：
三位运动员跑完 千米所用时间分别为 1/4 时、 1/8 时、 1/6 时，因而。跑一圈所用的时间分别为 1/8
时、 1/16 时、 1/12 时，它们的最小公倍数为 1/4 ，所以从出发到第一次相遇需 1/4 时，此时 跑了 1/4 ÷
1000 元，二等奖 250 元，三等奖 50 元。共有
100 人中奖，奖金总额为 9500 元，问其中二等奖有几名？
抽奖答案：：
不定方程： [来源:学科网
Z XXK]
设一等奖 X 名，二等奖 Y 名，三等奖 Z 名。则 X+Y+Z=100 1000X+250Y+50Z=9500
解出： 19X+4Y=90不定方程，尝试： X=2,Y=13.
相乘，要使它们的乘积能被 72 整除，求 A 和 B.
考虑到 72=8×9，而是奇数，所以 必为 8 的倍数，因此可得 B=2 ；四位数 2752 各位数字之和为
2+7+5+2=16 不是 3 的倍数也不是 9 的倍数，因此 能被 9 整除，所以 A=4
必须是 9 的倍数，其各位数字之和 A+2+7+5=A+14
日期时间答案：：
1 年有 365 或 366 天， 365=7×52+1，所以 1 年最多有 53 个星期日．而每个月至少有 28 天， 28=7×4，
所 以每个月至少有 4 个星期日， 53-4 ×12=5，多出的 5 个星期日，分布在 5 个月中．所以最多有 5 个月有
5 个星期日．
倍数问题：： （中等难度） 任选 7 个不同的数，请说明，其中必有 2 个数的和或者差是 10 的倍数。 倍数答案：：
周期答案：：
观察数列发现， 除前两个数字之外， 7,1,2,5,4,3 六个数字周期出现， 因为 ，所以第 2008 个数是 1。
座位概率问题：： （中等难度）
一张圆桌旁有四个座位， A、B、C、Ｄ 四人随机坐到四个座位上，求 与 不相邻而坐的概率
座位概 率答案：：
四人入座的不同情况有 4×3×2×1=24 种．
最大倍数答案：：
是 55 的倍数，也就必须同时被 11 和 5 整除，因此个位数字只能是 0 或 5 ，0+1+2+3+4+5+6=21，
由于奇数位（四位）数字之和与偶数位（三位）数字之和不可能相等，因此奇数位数字和为
，偶数为数
字之和为 时，才能被 11 整除，，又要求最大，所以最大七位数为
方格网问题：： （中等难度）
所以面积相等．因为三角形 AGD是三角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据
差不变性质，剩下的两个部分， 即三角形 ABG 与三角形 GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形 ABC
的面积等于求三角形 BCD的面积，等于 4×4÷2=8
相乘：： （中等难度）
两个四位数 相乘答案：：
年龄质数答案：：
【分析】 9 岁， 77 岁。 提示： 693=32×7×11，因为爷孙的岁数都大于 4 岁， 693 分解成两个大于 4 的约数的乘积，有 693=7 ×99=9×77=11×63=21×33， 相乘的两个约数减 4 都是质数的有 9×77 和 21×33，但爷孙的年龄不可能是 21 岁和 33 岁，所以是 9 岁和 77 岁。 质数问题：： （中等难度） 现有 1，3，5，７ 四个数字。 （1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？ （2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？
质数合数问题：：（中等难度）
举例回答下面各问题：
（1）两个质数的和仍是质数吗？
（2）两个质数的积能是质数吗？
（3）两个合数的和仍是合数吗？
（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？
（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？
质数合数答案：：
（1）不一定；（ 2）不能；（ 3）不一定；（ 4）不一定；（ 5）不一定
年龄：： （中等难度） 现在哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的 2 倍。 而 9 年前哥哥的年龄是弟弟年龄的 5 倍，则哥哥现在的年龄
是__________岁。
年龄答案：： [ 来源 :学学科科网网 ZXXK] 把弟弟 9 年前的年龄看作是 1 份，那么哥哥 9 年前的年龄是 5 份，年龄之差为 4 份。现在弟弟的年 龄为 "1 份加上 9 岁" ，哥哥的年龄是弟弟年龄的 2 倍，所以年龄之差为 " 份加上 9 岁" ，所以 1 份的年龄 为 9÷（ 4-1 ）＝３ 岁，哥哥现在的年龄为 3×5+9=24 岁。
即 X=15;X=6;X=10.求【 15,6,10 】=30。所以需要 30 分钟就会相遇。
【小结】本题用到了同余的知识，以及最小公倍数，当然求解的方法不只这一种，期待你的发现。
蚂蚁爬洞穴问题：： （中等难度）
甲、乙、丙三只蚂蚁从 A,B,C 三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴 B,C,A 爬去。同时到达后，继续
用 10 个 1×２的小长方形去覆盖 2×10 的方格网，一共有种不同的覆盖方法．
圆形跑道答案：：
递推法．若用 1×２的小长方形去覆盖 2×ｎ的方格网，设方法数为 ，那么 ．当 时，对于最左边的
一列有两种覆盖的方法：⑴用 1 个 1×2 的小长方形竖着覆盖，那么剩下的 的方格网有 种方法；⑵用 2
所以二等奖有 13 名。
【小结】根据题意列出方程组，解不定方程需要尝试未知数的值。
圆形跑道问题：：（中等难度）
有甲、乙、丙三人，甲每分钟行走 120 米，乙每分钟行走 100 米，丙每分钟行走 70 米。如果三人同
时同向从同地出发，沿周长是 300 米的圆形跑道行走，那么分钟之后，三个人又可以相聚。
圆形跑道答案：：
设时间为 X, 则甲走了 120X 米，乙走了 100X 米, 丙走了 70X 米。一圈长是 300 米。因为相遇在同一地
点，而且不一定是整数个周长，如果不是整数个周长，则除以
300 有相同的余数。根据同余性质 :
300∣(120X-100X);
300∣(120X-70X);
300∣(100X-70X).
向洞穴 C,A，Ｂ爬去，然后分别返回自己的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行路径相同，爬行的总局里
都是 7.3 米所用时间分别是 6 分钟、７ 分钟和 8 分钟，则蚂蚁乙从洞穴 B 到达洞穴 C 时爬行了米，蚂蚁丙
从洞穴 C 到达 A 时爬行了米。
蚂蚁爬洞穴答案：：
如图三个洞穴，根据题意可知，三只蚂蚁都走了一圈，总路程是
生长的草量可以供 12 头牛吃 1 天。那么要让草永远也吃不完，最多放养 12 头牛。
(2) 原有草量 ，可供 36 头牛吃 。
周期问题：： （中等难度）
已知一列数： 5,4,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3
……由此可推出第
2008 个数是 ________．
质数答案：：
（1）11，13，17，31，37，53，71，73；
（2）137，173，317，157，571，751。
牛吃草问题：： （中等难度）
ห้องสมุดไป่ตู้
有一堆割下来的青草可供 45 头牛吃 20 天，那么可供 36 头牛吃多少天？
牛吃草答案：：
【分析】
45×20÷36=900÷36=25（天）
将所有自然数被 10 除的余数分为 6 个抽屉。 。那么，来自相同抽屉的 2 个数，或者他们的和是 10 的倍数，或者他们的差是 10 的倍数。又任选 7 个数中，至少有两个数取自同一个抽屉，那么，它们的和 或者差是 10 的倍数。
道路算法问题：：（中等难度） 如图，某城市的街道由 5 条东西向马路和 7 条南北向马路组成．现在要从西南角的 A 处沿最短路线走