专升本高数第一章极限与连续
第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专升本高数第一章极限与连续
金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
专升本(高数-)第一章极限、连续
目
CONTENCT
录
• 极限的概念与性质 • 连续性的概念与性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的极限与连续性
01
极限的概念与性质
极限的定义
80%
极限的定义
极限是描述函数在某一点处的变化 趋势的量，定义为limf(x)=A，其 中x趋于某点或无穷，A是一个常 数。
函数连续性的定义与性质
函数连续性的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等 于该点的函数值，则函数在该点连续 。
函数连续的性质
函数连续具有可加性、可减性、可乘 性、可微性等性质。
函数极限与连续性的关系
函数极限与连续性的关系
函数的极限是研究函数连续性的基础，函数的连续性是研究函数极限的延伸。函数的连 续性可以由函数的极限来定义和证明，而函数的极限也可以通过函数的连续性来研究。
无穷小的定义与性质
无穷小的定义
无穷小是极限为零的变量。对于任意给定的正数，无论它有多小 ，总存在一个更小的数，这个更小的数可以看作是原数的无穷小 。
无穷小的性质
无穷小具有一些重要的性质，如无穷小与任何有限数相加仍为无 穷小，有限数与无穷小相乘仍为无穷小等。
无穷大的定义与性质
无穷大的定义
无穷大是极限为无穷的变量。对于任 意给定的正数，无论它有多大，总存 在一个更大的数，这个更大的数可以 看作是原数的无穷大。
函数极限与连续性的应用
在数学、物理、工程等领域中，函数的极限和连续性都有着广泛的应用。例如，在研究 函数的形态、变化趋势、微积分、积分学等领域中，都需要用到函数的极限和连续性。
THANK YOU
感谢聆听
100%
单侧极限
当x从左侧或右侧趋于某点时， 函数f(x)的值趋于某个常数，称 为单侧极限。
专升本复习资料高等数学
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
专升本内容极限与连续
0
○ 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处
3
○ 函数的定义, 则可使其变为连续点.
x ) ) f (( x 0 ) ) f ( x l i m x 0( x ) ) u l i m u 0 f ( u )
介值定理：设函数f(x)在a,b上连续，且在区
间端点取不同的函数值f(a)A 及f(b)B,
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
求极限的常用方法
极限的性质
li[1m(x)]e.(其li中m(x)0) xlxi01m(1x)(x)e.(其xlxi0中m(x))
1
(x)
limsin(x)1.(lim(x)0) xx0 (x) xx0
xx0
xx0
极限性质：有界性、唯一性、保号性. *
（3）如果lim1,则称与是等价的无穷小，
对任意x∈D1≡ D2 ,都有
2). D1≡ D2,f(D1)=g(D2)不能推出f(x)≡g(x)
3).规则幂相函同数,值,指域数相函同数不,对能数推函出数有,三f(x角)≡函g数(x和) 反 三角函数统称为基本初等函数.
• 求y=f-1(x)的方法:
y=f(x) (解出x)→x=f-1 (y) (x、y互换)→ y=f-1 (x);
3 WORKHARVEST 函数的连续性
一、函数的概念
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
函数的两要素: 定义域与对应法则.
设y=f(x),x∈D1;y=g(x), x∈D2,则
1).f(x)≡g(x) f(x)=g(x)
河北专升本高等数学复习资料课件第一章函数极限连续
从函数图像上看，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
3.函数的单调性
设函数 f (x)定义域为 D ，区间 ⊆ .若对于 I 上任意两点1 , 2 ，当1 < 2 时，恒有
f (1 ) < f (2 )，
→∞
（或 a ≤ 0）.
知识清单
知识点一 数列极限
定理4（数列极限的四则运算） 设 lim = ， lim = ，则
→∞
→∞
① lim ( ± ) = ± ；② lim ( ∙ ) = ∙ ；③ lim = （b ≠ 0）.
→∞
→∞
称为函数在点 x 处的函数值，记作 f (x).当自变量 x 遍取 D 的所有数值时，对应的函数值 f (x)的全
体构成的集合称为函数 f 的值域，记作f (D)，即
= {| = , ∈ }.
由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就
是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.
区间(0,1)上无界，在[1,+∞)上有界.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
2.函数的奇偶性
设函数 f (x)的定义域为 D，且 D 关于原点对称，即对任一 x∈D，都有－ x∈D.若
f (－x) = f (x)
对一切 x∈D成立，则称 f (x)为偶函数；若
f (－x) = －f (x)
知识清单
知识点三 基本初等函数
2.指数函数：形如 = (a > 0 , a ≠ 1)的函数称为指数函数.
专升本-高数
性质保号性：flim( xf)
(x) A 0 f (x) 0 0且limf (x) limf
(
x)
0
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 3.四则运算
注意：(1）有限次运算 （2） 若limf (x) A, limg (x)不存在,
则lim[f (x) g(x)]不存在
又若A 0,则lim[f (x)g(x)]不存在， lim[g (x) / f (x)]不存在
若limf (x),limg(x)都不存在, 则lim[f (x) g(x)]，lim[f (x)g(x)], lim[f (x) / g(x)]不确定
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
初等函数
函数
性质
复合函数
反函数
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
无穷小 无穷大
性质
极限
重要极限
四则运算
存在准则
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
闭区间 连续函数
性质
连续性
运算性质
间断点 及分类
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限
21.极.极限限的的性概质概念念函数数列极极限限：：nlillxxmiimmaxffn((xx))
A,
收敛数列，发散数列
A lim f (x) A lim f (x)
x
山东专升本高数1第一章函数极限和连续
第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()y f x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f 外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：()y f x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等． （2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出y =就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程2cos2sin x t y t=⎧⎨=⎩表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x的定义域为D，数集X D⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X∈都成立，则称函数()f x在X上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x在X上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M 大的数都是函数()f x 的界．2．单调性设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当.12x x <.时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．3．奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()c o s f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()a r c t a n f x x =是奇函数，而()s i nc o s f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证．4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数s i nx 、c o s x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠ ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈．2．反函数（函数的逆运算） 对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()y f x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算） 设函数()y f u =的定义域为f D ，函数()u g x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f 能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f 的定义域f D 内，即g f R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数幂函数：y x μ=（R μ∈是常数）； 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）； 对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）； 三角函数：2222sin 22sin cos cos2cos sin 12sin 2cos 1x x x x x xx x ==-=-=-，cos y x =，tan y x =，cot y x =，221sec cos sec 1tan sin cos 09098990y x xx xxlokiujkLKO ppp ===+，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．（1）反正弦函数arcsin y x =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-．（2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π．（3）反正切函数arctan y x =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-． （4）反余切函数cot y arc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π．2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，()(),[()]x f x g x xe g f x -===，ln(y x =+，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在． 说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n →+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界．说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的．性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim n n x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）．（二）函数的极限1．函数极限的定义（1）0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）． 说明：函数的左极限0lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x当x 大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）． 说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0x x →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤． 性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim ()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）．（三）极限运算法则1．如果0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）000lim[()()]lim ()lim (x x x x x x f x g x f x g →→→±=±；（2）000lim[()()]lim ()lim (x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅；（3）000lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B →→→==，其中0B ≠；（4）00lim[()]lim ()x x x x cf x c f x →→=，其中c 为常数；（5）00lim[()][lim ()]n n x x x x f x f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim n n x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有 （1）lim()n n n x y A B →∞±=±； （2）lim()n n n x y A B →∞⋅=⋅； （3）lim n n nx A y B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n = ）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A →=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈ 时，有0()g x u ≠，则00lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==． 说明：本法则以0x x →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim n n y A →∞=，lim n n z A →∞=， 那么数列{}n x 的极限存在，且lim n n x A →∞=． 准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈ （或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=， 那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ． 说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．00sin sin 2lim 1,lim 12x x x x x x→→==，可引申为()0002sin ()lim 1()sin ()lim 1,()0()sin 222lim lim ,5tan353150:sin ,,,tan ,arcsin 1,ln(1)x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x xe x ϕϕϕϕϕϕ→→→→==→⋅==⋅→-+ ，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)1lim(1)xx x x x ee x →→∞+=+= 或 1lim(1)x x e x →∞+=，可引申为1()()021122lim [1()]2lim (1)1x x xx x x x ee x ϕϕϕ→-++--→∞+=⎡⎤-+=⎢⎥+⎣⎦（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x e x ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）．说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)n n e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n →∞时的无穷小． 说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义．（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim 0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=；（2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim 0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小；（4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ； ．3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小．（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，lim βα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）． 说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ；0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-； 0x →时11~x n-，可引申为()0x ϕ→时，11~()x nϕ-； 0x →时1~x e x -，可引申为0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[(x x y f x ∆→∆→∆=+∆，则称函数..在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续（1）左连续：0lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：0lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0x x =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=．3310,(0,1)()1,[0,1],(0)1,(1)1,(0,1),()0x x f x x x x f f f ξξ+-==+-∈=-=∈= 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数．1．设()12x f x x=-，求[()]f f x ． 解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x然后化简，得12[()]1221212xx x f f x x x x x-==---⋅-．2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩，()x g x e =，求[()]f g x ．解：当01x e ≤≤即0x ≤时，22[()]()x x f g x e e ==，当12x e <≤即0ln 2x <≤时，[()]3x f g x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩． 【例1-2】求函数的定义域． 1．()ln(1)f x x =+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由ln(1)x -可得10x ->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．2()arccos(2)2f x x x x =+---．10x -≥，即..；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3] ．【例1-3】判断函数的奇偶性．1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性．（1）()()()()f x f x g x g x +-++- 解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数．（2）()()()()f x f x g x g x --++- 解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数．2．判定函数()ln(f x x =+的奇偶性．解：因()ln(f x x -=-+ln(x =-+1ln x=+)()x f x =-+=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n n n n n→∞+++ ． 解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：。
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案高等数学习题集第一章函数极限与连续一.选择题1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。
A [0,1]B [1,e]C [0,e]D (1,e)2．设xx f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。
(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x+11。
3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。
A 奇函数；B 偶函数；C 既是奇函数又是偶函数；D 非奇非偶函数。
4．下列说法错误的是（ D ）。
A y=2x 与y=|x|表示同一函数；B x x f 3sin 21)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。
5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。
A ||lg )(x x f =；B 2)(xx e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。
6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。
A x x f 2=)(；B x x f 2=)(；C 2)(+=x x f ；D x x x f +=2)(。
7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12-=；B =≠--=.1,0,1,112x x x x y C xx y ln )ln(-=；D ΛΛ+++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。
A 充分但非必要条件；B 必要但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分亦非必要条件。
9．∞→x lim 5x 的值是（ D ）。
A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。
10．+∞→x lim e -x 的值是（ A ）。
成考(专升本)-高等数学二(专升本)-第1章 函数、极限和连续
成考（专升本）-高等数学二（专升本）-第1章函数、极限和连续[单选题]1.当x→0时，x2是x-ln（1+x）的()。
A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.较低阶的无穷小（江南博哥）量正确答案：C参考解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较。
由于可知当x→0时，x2与x-ln（1+x）为同阶但不等价无穷小，故应选C。
[单选题]3.()。
A.0B.1C.2D.不存在正确答案：D[单选题]4.()。
A.减少B.有增有减C.不增不减D.增加正确答案：B[单选题]5.设函数f（x）=，在x=2处连续，则a=()。
A.B.C.D.正确答案：B参考解析：[单选题]6.当x→1时，下列变量中不是无穷小量的是()。
A.x2-1B.sin（x2-1）C.lnxD.e x-1正确答案：D参考解析：[单选题]7.设z=f（x，y）在点（1，1）处有f x’（1，1）=f y’（1，1）=0，且f xx”（1，1）=2，fxy”（1，1）=0，fyy”（1，1）=1，则fy（1，1）=()。
A.是极大值B.是极小值C.不是极大值D.不是极小值正确答案：B参考解析：根据极值的充分条件：B2－AC＝－2，A＝2＞0所以f（1，1）为极小值，选B。
[单选题]8.当x→0时，若sin2x与x k是等价无穷小量，则k=()。
A.1/2B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：当k=2时，有选C。
[单选题]9.()。
A.（1，1）B.（e，e）C.（1，e＋1）D.（e，e＋2）正确答案：A参考解析：本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立。
[单选题]10.下列命题正确的是()。
A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量正确答案：C参考解析：根据无穷小量的定义可知选项C正确。
[单选题]11.()。
A.－3B.0C.1D.3正确答案：D参考解析：[单选题]12.()。
(完整版)专升本高数数学第一章_函数、极限与连续
例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x 2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x 3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9 (x 3x 1
1) 3
x2
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
江苏省专转本高等数学第一章函数的极限与连续知识点讲解第一节函数
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
x a a a ˆ, ). 点a的去心的邻域, 记作N (a
ˆ , ) {x 0 x a }. N (a
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
五、初等函数
（一）基本初等函数及其图像
y x (是常数) 1、幂函数 y
y x
x
y x2
1
(1,1)
y
o
1 y x
1
x
x 2、指数函数 y a
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
称 f ( x )为奇函数;
y
专升本高数-第一章极限与连续
若函数f在点x₀处连续，则有lim(x→x₀) f(x)=f(x₀)。
连续性的几何意义
函数在某点连续意味着函数图像在该点没有间断点。
连续性的性质
性质1
若函数f在区间I上连续，则f在I 上可导。
性质2
若函数f和g在点x₀处连续，且 f(x₀)=g(x₀)，则f和g在点x₀处 相切。
性质3
极限的计算方法
代数法
利用代数运算计算极限。
等价无穷小法
利用等价无穷小替换复杂的表 达式，简化计算。
洛必达法则
在一定条件下，求未定式极限 的方法。
泰勒公式法
利用泰勒公式展开函数，将复 杂的函数极限转化为多项式函
数的极限。
02
连续性的概念与性质
连续性的定义
连续性的定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。即，如果对于任意给定的正数ε， 存在一个正数δ，使得当|x-x₀|<δ时，|f(x)-f(x₀)|<ε恒成立，则称函数f在点x₀处连续。
若函数f和g在区间I上连续，且 对于所有x∈I，有f(x)≤g(x)，则 f在I上的积分值小于等于g在I上 的积分值。
连续函数的应用
80%
应用1
求函数的极限。通过利用连续函 数的性质，可以简化求极限的过 程。
100%
应用2
研究函数的单调性。连续函数在 其定义域内是单调的。
80%
应用3
解决初等函数的值域问题。通过 分析函数的连续性，可以确定函 数的值域。
在判断函数是否连续时，需要考 虑无穷大量对函数值的影响。
THANK YOU
感谢聆听
这里的"趋于"指的是函数值无限接近 ，但不等于该特定值。
专升本(高数—)第一章极限、连续
， 1 co s x ~
x
2
2
a n 0 时， sin a n ~ a n
u ( x ) 0 时， sin u ( x ) ~ u ( x )
例 10.（1） lim
x (e 1)
x
x 0
cos x 1
（06 年 1 月） （2） lim
e
x
2
1 sin 3 x
x 0
: f ( D) D
5. 复合函数（掌握） 如果y是u的函数,而u又是x的函数,即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x 的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.
例如：y sin e 可以理解为：y sin u , u e ,
x x
是由三角函数和指数函数复合而成的。
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域有定义， f ( x , y ) 在点 P 0 连续．
lim f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) ,
则称函数 z
不连续的点称为间断点 3)、闭区间上连续函数的性质： （了解） 有界性 最大值最小值 零点定理 介值定理
x
2
导出
u ( x ) 0 时， sin u ( x ) ~ u ( x )
导出 u ( x ) 0 时， ta n u ( x ) ~ u ( x ) 导出 u ( x ) 0 时， a rcsin u ( x ) ~ u ( x ) 导出 u ( x ) 0 时， e u ( x ) 1 ~ u ( x ) 导出 u ( x ) 0 时， ln 1 u ( x ) ~ u ( x ) 导出 u ( x ) 0 时，1 co s u ( x ) ~
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f (x) A (x x0 )
(3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近
于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为
函数 f (x)当 x→ x0时的右极限，记为：
lim f (x) A 或
x x0
f (x) A (x x0 )
定理2. lim f (x)存在 lim f (x) ，lim f (x)
x x0
x x0
x x0
均存在且相等。
1
例3.
讨论函数
f
(x)
2x
1
1在x
0处是否有极限。
2x 1
1
解：lim x0
f
(x)
2x
lim
x0
1
1
=1??
2x 1
1
2x 1
lim f (x) lim
x0
x0
1
1
2x 1
1
lim
x0
f
(x)
lim
x0
2x
1
1
1 ， lim x0
f
(x) 不存在。
2. 无穷小的比较
两个无穷小的代数和、积仍为无穷小， 那么两个无穷小的商会是什么呢？
例如：当 x 0时, x, sin x,1 cos x, 3 x 等都是无穷小。
而 lim sin x 1，lim1 cos x 0，lim 3 x
x0 x
x0 x
x0 x
两个无穷小的商实际反映了在变化过程中 趋于零的速度快慢程度。为此引入定义
u
若 为无穷小且 0，则 1 为无穷大。
4. 无穷小(量)的基本性质
定理1. 设 和 为无穷小，则 也是无穷小 推论. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 定理2. 设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。 推论1. 常数乘以无穷小仍是无穷小。 推论2. 无穷小乘以无穷小仍是无穷小。
解：原式 elim (cos x0
x
1)
1 x2
1
e 2
例12. 求lim ln(1 x) x0 x
1
解：原式 limln(1 x) x lne 1 x0
例13. 求
ex 1 lim
x0 x
解：令 ex 1 t ，则 x ln(1 t) ， 当 x 0时，t 0
limex 1 lim t 1 x0 x t0 ln(1 t)
若 lim n
xn
A，c 为常数，则lim n
cxn
cA
推论2.
若 lim n
xn
A，则
lim an
An
法则3.
若
lim
n
xn
A，lim n
yn
B，且 B
0，则lim n
xn yn
A B
例1. 求下列数列的极限：
(1)
x1
1 2
，x2
1 4
，x3
1，L 8
；
(1) x1 0.9，x2 0.99，x3 0.999，L 。
例5.问当 n
时，1 sin n
1 n2
是 1的几阶无穷小？ n
3. 无穷小的主部
定义2. 给定无穷小 ，若存在无穷小 ，使得( )
为 的高阶无穷小，即lim 0或 ( )，
则称 为 的主部，此时 ( )。
４. 等价无穷小的代换定理
定理1. 如果、、、 均为无穷小， ~ ， ~
xx0
xx0
xx0
法则2. 若 lim f (x) A，lim g(x) B，则 lim[ f (x) g(x)] A B
xx0
xx0
xx0
推论1. 若 lim f (x) A，c为常数，则 lim cf (x) cA
xx0
xx0
推论2. 若 lim f (x) A，则 lim f (x)n An
有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
推论3. 若 为无穷小，limu A，则 u也为无穷小 若 为无穷小，limu A(A 0)，则 也为无穷小。
u
(六) 两个重要极限
1. 两个重要极限
重要极限1： limsinx 1 x0 x
重要极限2： lim(1 1)x e，
1
lim(1 x) x e
第一章 极限和连续
§1.1 极限 （一） 数列的极限
1. 数列
数列常表示为 xn : x1, x2,L , xn,L
其中xn 称为数列的通项。例如： 2，4，6，L ，2n，L ；1，2，3，L ， n ，L
2 3 4 n1
单调数列：若n, xn xn1 则称xn为单调增数列， 若n, xn xn1 则称xn为单调减数列，
定理4 (保号性) 若 lim f (x) A 且 A 0 (或 A 0 )， x x0
则在点 x0 的某个邻域内，有 f (x) 0 (或 f (x) 0 )。
推论：若 f (x) 0 (或 f (x) 0 )且 lim f (x) A， xx0
则 A 0 (或 A 0)。
定理5 (夹逼定理) 设函数 f (x)，g(x)，h(x)在 点 x0 的
当 x→ x0时的极限，记为：
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A (x x0)
(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近
于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为
函数 f (x)当 x→ x0时的左极限，记为：
lim f (x) A 或
•
0
(
•a
)
推论：若
xn
0
(或
xn
0
)且
lim
n
xn
a
，
则 a 0 (或 a 0)
极限存在准则
准则1.单调有界数列必有极限。
有界是数列收敛的必要条件， 单调有界是数列收敛的充分条件。
例1. 数列{(1 1)n}的极限存在。
n
lim(1 1)n e 2,7182818L
n
n
准则2. (夹逼准则)设有三个数列{xn }, { yn }, {zn }满足条件：
n(n 1)
x1
x 1
2
例6. 计算 lim n 1 x 1
1
x0
x
n
(五) 无穷小(量)和(无穷大量)
1. 无穷小(量)
定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。
“0”是作为无穷小的唯一的常数。
如果
lim
n
xn
0 ，则称数列
xn为无穷小。
如果 lim f (x) 0，则称函数 f (x) 为x 时的无穷小。 x
某个邻域内( x0 可除外)满足条件：g(x) f (x) h(x)
且有 lim g(x) lim h(x) A，则 lim f (x) A。
x x0
x x0
x x0
极限运算法则
法则1. 若 lim f (x) A，lim g(x) B，则 lim[ f (x) g(x)] A B
x0
x0
在讨论分段函数的分割点的极限时， 一定要考虑左、右极限。
无极限举例：
1) f (x) 1，x 0 x
2) f (x) x ，x 0 x
3) f (x) sin 1，x 0 x
4) f (x) arctan 1，x 0 x
(四) 函数极限的性质
定理3 (唯一性) 若 lim f (x)存在，则极限值必唯一。 xx0
2x 1
x 1，x 0
例4.
讨论函数
f
(x)
0 ，x 0
在 x 0处是否有极限。
x 1，x 0
解：lim f (x) lim (x 1) 1，
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1，
x0
x0
lim f (x) lim f (x) ， lim f (x) 不存在。
x0
(1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→∞ 时， f (x) 无限趋近 于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →∞时的极限，记为：
lim f (x) A 或 f (x) A (x )
x
(2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→+∞ 时， f (x) 无限趋近 于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →+∞时的极限，记为：
且lim 存在，则 lim lim 。
定理2. 如果、 为无穷小，且lim 0，
则 ~ 。
当 x 0 时，常见的等价无穷小
sin x ~ x, arcsinx ~ x, tan x ~ x,arctanx ~ x 1 cos x ~ x2 ,ln(1 x) ~ x,ex 1 ~ x
)
a +
表示 n 很大时， xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。 有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。
(二) 收敛数列的性质
定理1（唯一性）若数列{xn}收敛，则其极限值唯一。
(
•
)(
•
)
A
B
定理2（有界性）收敛数列必有界
定理3
(保号性)若
lim
n
xn
a 且 a 0 (或 a 0)
则必存在N，当 n N 时恒有 xn 0 (或 xn 0 )
如果 lim xx0
f
(x) 0 ，则称函数
f (x) 为x
x0 时的无穷小。
为了讨论方便，记无穷小 为lim 0。
定理1 (极限与无穷小的关系)
limu A 的充要条件是 u A ，其中lim 0。
2. 无穷大 定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。