第七章压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
第七章压杆稳定
第七章压杆稳定一、压杆稳定的基本概念受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。
压杆失稳的条件是受的压力P P cr。
P cr称为临界力。
二、学会各种约束情形下的临界力计算压杆的临界力P cr cr A，临界应力cr 的计算公式与压杆的柔度所处的范围有关。
以三号钢的压杆为例：p ，称为大柔度杆，cr 22Es p ，称为中柔度杆，cr a b s ，称为小柔度杆，crs 。
三、压杆的稳定计算有两种方法1）安全系数法n P P cr n st，n st为稳定安全系数。
2）稳定系数法PP [ ] st [ ] ，为稳定系数A四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施根据l，i A I，愈大，则临界力（或临界应力）愈低。
提高压杆承载能力的措施为：1）减小杆长。
2）增强杆端约束。
3）提高截面形心主轴惯性矩I。
且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。
4）合理选用材料。
§15-1 压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压 力超过一定数值时， 压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯 （图 15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时， 梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转 （图 15-1b ）；受均匀压力的薄圆环， 当压力超过一定数 值时， 圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式 （图 15-1c ）。
上 述各种关于 平衡形式的突然变化 ，统称为 稳定失效 ，简称为 失稳或屈曲 。
工程中的柱、 桁架 中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由稳定平衡转变为不稳定平衡时所 受的轴向压力，称为临界载荷，或简称 为临界力 ，用 P cr 表示。
压杆稳定教学课件PPT
P
cr
2E 2
细长压杆。
粗短杆 中柔度杆
o
s
大柔度杆
P
l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试
验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
§9-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
1.287
91(kN)
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，p 100 ，试 a=？时，截面最为合理。并求立柱的 临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 A1 12.74cm2, z0 1.52cm, Iz1 198.3cm4, I y1 25.6cm4.
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工作能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
材料力学之压杆稳定课件
变形量等，绘制 压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
压杆稳定
去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈曲。
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
《压杆稳定》课件
《压杆稳定》PPT课件
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
第七章 压杆稳定
P = st cr
∫
l
0
EI ( y") dx
l 2 0
2
∫ ( y' ) dx
=m in
∫
l
0
EI ( y")2 dx
l 0
( y' )2 dx ∫
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分 方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求 泛函的最小值。 实际计算时，不必要取出一切可能的y。 通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把 原来的大范围缩小到只包含一个参数 α 的挠度 函数集。
若取 n = 2,3,4L 则
k= 2π 3π 4π ⋅ ⋅ L l l l
3π Asin x l 4π Asin x l KK
2π y = Asin x l
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在 的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中 干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。 ∴实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意 义上的就是 n = 1时的 P 。 cr
称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆 i 长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很 重要的参数。
.5.2
欧拉公式适用范围
欧拉公式是由导 EIy"= M(x) 出的，而它又用到 胡克定律 ∴ 欧拉公式只有在 σcr ≤ σ P 时才适用 即 设
λP = π
E
π 2E λ≥ σP
σP
欧拉公式适用于 λ ≥ λP
.1.2
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲
细长压杆，当压力达到 P ，杆中应力一般< P 。 cr cr ∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。∴细长压 杆也称为弹性压杆。
P D
f
P cr
∫
l
0
EI ( y") dx
l 2 0
2
∫ ( y' ) dx
=m in
∫
l
0
EI ( y")2 dx
l 0
( y' )2 dx ∫
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分 方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求 泛函的最小值。 实际计算时，不必要取出一切可能的y。 通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把 原来的大范围缩小到只包含一个参数 α 的挠度 函数集。
若取 n = 2,3,4L 则
k= 2π 3π 4π ⋅ ⋅ L l l l
3π Asin x l 4π Asin x l KK
2π y = Asin x l
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在 的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中 干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。 ∴实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意 义上的就是 n = 1时的 P 。 cr
称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆 i 长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很 重要的参数。
.5.2
欧拉公式适用范围
欧拉公式是由导 EIy"= M(x) 出的，而它又用到 胡克定律 ∴ 欧拉公式只有在 σcr ≤ σ P 时才适用 即 设
λP = π
E
π 2E λ≥ σP
σP
欧拉公式适用于 λ ≥ λP
.1.2
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲
细长压杆，当压力达到 P ，杆中应力一般< P 。 cr cr ∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。∴细长压 杆也称为弹性压杆。
P D
f
P cr
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域，提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中，压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示，加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态，包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》，让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件，可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
《压杆稳定》PPT课件_OK
因此，压杆的稳定性对各类结构都是非常重要的，要保证 压杆的正常工作，还必须对它进行稳定性计算。
2021/7/27
图7.2 压杆不稳定平衡状态
6
2021/7/27
7
2021/7/27
8
临界荷载和临界应力
表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有 时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定 值。
图7.1 压杆稳定平衡状态
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5
压杆稳定的概念
当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯 曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而 是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态 是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破 坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于 细长杆的原因。
值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹 性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时， 公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小 值。
【例7.1】 计算两端铰支情况下的欧拉临界力。 如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服 点应力σs ＝240MPa，杆长l＝3600mm。 (1) 试求该杆的临界力Pcr；(2) 计算屈服力Ps。 解 (1) 计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：
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图7.2 压杆不稳定平衡状态
6
2021/7/27
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8
临界荷载和临界应力
表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有 时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定 值。
图7.1 压杆稳定平衡状态
2021/7/27
5
压杆稳定的概念
当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯 曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而 是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态 是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破 坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于 细长杆的原因。
值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹 性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时， 公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小 值。
【例7.1】 计算两端铰支情况下的欧拉临界力。 如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服 点应力σs ＝240MPa，杆长l＝3600mm。 (1) 试求该杆的临界力Pcr；(2) 计算屈服力Ps。 解 (1) 计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
材料力学教学课件压杆稳定
机械设备的压杆稳定性分析
总结词
机械设备的压杆稳定性分析对于保证设 备正常运转和操作人员的安全至关重要 。
VS
详细描述
在机械设备中，如压力机、压缩机等，压 杆常常作为传递力的部件。为了防止压杆 在工作中发生失稳，需要进行稳定性分析 。这需要考虑压杆的材料性质、截面形状 、工作载荷以及支撑条件等因素。对于长 细比较大的压杆，还需特别考虑其柔性对 稳定性的影响。
计算方法
基于弹性理论，采用挠曲 线方程和欧拉公式进行计 算。
长细比较大的压杆
定义
长细比较大的压杆是指杆件长度 与其横截面尺寸之比很大的杆件
。
特点
在压力作用下，这类杆件容易发生 失稳，即弯曲变形达到一定程度后 ，杆件会突然发生屈曲。
计算方法
基于稳定性理论，采用折减系数法 或能量法进行计算。
临界力的计算
03
压杆稳定性的校核
稳定性校核的方法
静力法
通过比较临界力和实际外力的关系，判断压杆是 否失稳。
动力法
通过分析压杆的振动特性，判断其是否具有不稳 定振动。
能量法
利用能量守恒原理，计算压杆的临界载荷。
稳定性校核的步骤
01
02
03
04
1. 确定压杆的长度、直径、 材料等参数。
2. 计算临界载荷。
3. 比较临界载荷与实际载荷 ，判断是否满足稳定性要求。
压缩失稳
当压杆受到的横向约束不 足时，会发生压缩失稳， 表现为整体弯曲或局部屈 曲。
扭转失稳
当压杆受到的扭矩超过其 临界值时，会发生扭转失 稳，导致结构变形和破坏 。
压杆稳定的基本理论
欧拉公式
欧拉公式是压杆稳定理论的基础，它 给出了理想直杆在轴向压力作用下的 临界压力值。
第七章压杆稳定
第七章压杆稳定第七章压杆稳定本章重点介绍有关压杆稳定的基本概念和压杆临界⼒的计算⽅法，简单说明其它形式构件的稳定性问题。
第⼀节压杆稳定的概念考察图7-1所⽰的受压理想直杆，当压⼒F⼩于某⼀数值时，在任意⼩的扰动下，压杆偏离其直线平衡位置，产⽣轻微弯曲，当扰动除去后，压杆⼜回到原来的直线平衡位置。
这表明压杆的直线平衡是稳定的。
当压⼒逐渐增加达到⼀定数值时，压杆在外界扰动下，偏离直线平衡位置，扰动去除，则不能再回到原来的直线平衡位置，⽽在某⼀弯曲状态下达到新的平衡，因此称该直线平衡是不稳定的。
从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压⼒极限值，称为临界载荷或临界⼒，⽤F cr表⽰。
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。
图7-1杆件失稳后，压⼒的微⼩增加将引起弯曲变形的显著增⼤，从⽽使杆件丧失承载能⼒。
但细长压杆失稳时，杆内的应⼒不⼀定⾼，有时甚⾄低于材料的⽐例极限。
可见，压杆失稳并⾮强度不⾜，⽽是区别于强度、刚度失效的⼜⼀种失效形式。
由于压杆稳定是突然发⽣的，因此所造成的后果也是严重的。
历史上瑞⼠和俄国的铁路桥，都发⽣过因为桥桁架中的压杆失稳⽽酿成的重⼤事故。
因此在⼯程实际中，对于压杆稳定性问题必须充分重视。
当压杆的材料、尺⼨和约束等情况已经确定时，临界⼒是⼀个确定的值。
因此可根据杆件实际的⼯作压⼒是⼩于还是⼤于压杆的临界⼒，来判断压杆是稳定的还是不稳定的。
可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界⼒。
第⼆节细长压杆的临界载荷⼀、两端铰⽀细长压杆的临界⼒取⼀根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取相应的坐标系（图7-2a）。
考察微弯状态下任意⼀段压杆的平衡（图7-2 b），则杆件横截⾯上的弯矩为(a)根据挠曲线近似微分⽅程，有(b)将式(a)代⼊式(b),有(c)其中(d)微分⽅程(c)的⼀般解为(e)其中Ｃ1、Ｃ2常数,可根据两端⽀承的约束边界条件确定，在两端铰⽀的情况下，边界条件为（０）＝（ｌ）＝０将微分⽅程的解代⼊，得Ｃ2=0, Ｃ1sinkl=0 (f)后式表明,Ｃ1或者sinkl等于零。
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
材料力学--压杆稳定问题 ppt课件
F
Fcr nst
151.47 3
50.5KN
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7KN
材料力学
PPT课件
42
例8-4 图示托架结构，梁AB与圆杆BC 材料相同。梁AB为16号工字 钢，立柱为圆钢管，其外径D=80 mm，内径d=76mm，l=6m，a=3 m， 受均布载荷q=4 KN/m 作用；已知钢管的稳定安全系数nw=3,试对立
n Fcr Fp
269 150
1.793 nst 1.8
所以压杆的稳定性是不安全的.
材料力学
PPT课件
38
例8-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：d1 30mm，杆
AC：d2 20mm,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa, s 240MPa p 100,0 60 ,规定的强度安全系数ns 2，稳定安全系 数 nst 3，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
柱进行稳定校核。
l
q
B
A
F
a
C
材料力学
PPT课件
43
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
五、提高压杆稳定性的措施
材料力学
PPT课件
44
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
细长杆： cr与E成正比。
普通钢与高强度钢的E大致相同，但比铜、铝合金的 高，所以要多用钢压杆。
中长杆： cr随 s 的提高而提高。
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段,曲线上凸,
1 0;
《压杆稳定教学》课件
增加约束
总结词
通过增加支撑、固定或增加附加约束，可以 提高压杆的稳定性。
详细描述
约束是影响压杆稳定性的重要因素。通过增 加支撑、固定或附加约束，可以限制压杆的 自由度，从而增强其稳定性。例如，在压杆 的适当位置增加支撑或固定点，可以减小压 杆的弯曲变形，提高其稳定性。此外，通过 增加附加约束，如套箍或加强筋等，也可以 提高压杆的稳定性。
实验结果与分析
实验结果
通过实验观察和数据记录，得到不同条件下 压杆的稳定性表现。
结果分析
根据实验数据，分析影响压杆稳定性的因素 ，如压杆的材料、截面形状、长度、直径等 。通过对比不同条件下的实验结果，总结出
压杆稳定性的一般规律和特点。
THANKS
感谢观看
REPORTING
稳定性安全系数
通过比较临界载荷与实际载荷的大小，来判断压杆的 稳定性。
稳定性试验
通过试验的方法，对压杆进行稳定性测试，以验证其 在实际使用中的稳定性。
PART 02
压杆的分类与计算
REPORTING
长细比较小的压杆
弹性失稳
当受到垂直于杆轴的压力时，杆件会 弯曲并丧失承载能力。
临界压力
当压杆达到临界压力时，杆件将发生 屈曲。
PART 05
压杆稳定性的实验研究
REPORTING
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定性的基本概念和原理，了解影响压杆稳定性的因 素。
实验原理
压杆稳定性是指细长杆在受到轴向压力时，抵抗弯曲变形的能力。当轴向压力 超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，丧失稳定性。本实验通过观察不同 条件下压杆的变形情况，分析影响压杆稳定性的因素。
根据欧拉公式计算临界应力：$sigma_{cr} = frac{EI}{A}$
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F
kl n (n 0,1,2,......) k n l
F
n2 2EI l2
(n
0,1,2,......)
取n=1得计算两端铰支压杆的临界压力的欧拉公式：
FCr
2EI l2
注意：因为压杆两端均为球铰，各方向约束相同，惯性矩应取其横截面的 最小惯性矩。
4
两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢，弹
FBC F sin q
两杆分别达到临界力时F可达最大值
FcrAB
2EI
mLAB 2
2EI
L cos b 2
FcBr C
2EI
mLBC 2
2EI
L sin b 2
tgq
FBC FAB
F BC cr
F AB cr
ctg2b
q arctg ctg2b 8
第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
x
Fcr
解：截面惯性矩
I d 4 0.054 307109 m4
64 64
稳定临界力
Fcr
2EI
l2
2 200109 307109
1.52
269103 N 269kN
1500
强度临界力
50 2
Fcr 235 4 N 461kN
1 2EI
Fcr l 2
0.7
0.5
Fcr （0.72El）I2
2EI Fcr （0.5l）2
欧拉公式普遍形式
Fcr
2EI ( ml ) 2
m长度系数（长度因数）； ml相当长度，微弯 曲线两拐点之间的长度。
两端铰支
Fcr
2EI (l ) 2
m 1
一端固定一端自由
2EI Fcr (2l)2
第七章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的基本概念 第二节 细长压杆的临界力 第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
本章重点
1.压杆柔度的计算和判别； 2.压杆临界应力的计算。
1
第一节 压杆稳定的基本概念
一、实例
一根宽18mm，厚0.5mm，长150mm的钢板尺，其材料的许用应力 [s]=300MPa，按照强度条件计算，其承载能力为F=2.7kN ,但将尺竖在桌上用手压，
不到F40N的力就F 可以将它明显压弯。
FF 可见，细长压杆的承载能力在某些情况下并不取决
于其压缩强度条件，而取决于其保持直线平衡状态的能 力。压杆保持原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳 定性。压杆丧失直线平衡状态而破坏，这种现象称为丧 失稳定或失稳。
二、稳定平衡和不稳定平衡
不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来 的平衡位置
Iy
hb3 12
90 403 12
mm 4
48 104 mm4
Iz
bh3 12
40 903 12
mm 4
243104 mm4
Iy Iz
临界压力
FCr
π2EI
μl2
π2
200103 48104
2 25002
N
37860N
37.86kN
(2)临界压力
Iy
Iz
bh3 12
604 12
mm 4
108104 mm4
FCr
π2EI
μl2
π2
200103 108104
2 25002
N
85187N
85.19kN
7
两细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求载荷F 为最大值时的q角（设0q/2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。
Fq
FBC
FAB
B
F
B
Ab
C
l
解：节点B的平衡
FAB F cosq
二、欧拉公式的适用范围
Fcr
两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢， 弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
解：截面惯性矩
I d 4 0.054 307109 m4 64 64
稳定临界力
FCR
2EI l2
2 200 109 307 10 9 0.52
w 对于细长压杆，起控制作用的是杆的稳定性。
5
二、其他约束条件下细长压杆的临界力
支座情况
简 图
一端自由 一端固定
FCr A
B
两端铰支
FCr A
一端铰支 一端固定
FCr
A
两端固定
FCr A D
l ml=2l ml=l ml=0.7l ml=0.5l
FCr B
C
C
B
B
m 临界压力
2 Fcr （22lE）I2
一、临界应力与柔度 临界压力对应的应力
s Cr
FCr A
π 2 EI (ml) 2 A
scr:临界应力
s Cr
FCr A
π2E
( ml )2
i
临界应力的欧拉公式
s Cr
π2E 2
I i2A
ml i
i:惯性半径
:柔度或长细比
反应了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等几何因素对临界应
力的影响。
x F M(x)
M
(x)
EI
d
2 w( x) dx2
F
w(x)
k2 F EI
d
2 w( x) dx2
k
2
w(
x)
0
EI
w=w(x)
解微分方程得到通解为：w(x) C1 sin kx C2 cos kx
w
w
边界条件：w(0) w(l) 0
可得：C2 0 C1 sin kl 0 C1 0 sin kl 0
m2
6
一矩形截面细长压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，弹性模量 E=200GPa .几何尺寸为：b=40mm，h=90mm，l=2.5m。试计算此压杆的临 界压力。若h=b=60mm，长度相等，则此压杆的临界压力又为多少？
F
b z
y
l h
解:压杆一端固定，一端自由，长度因数m=2。
(1)截面对轴的惯性矩
P
π2 206 109 200 106
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
100
上例中， 0.5 2 40 100 故不能用欧拉公式。
d / 4 0.05
通常将≥p的杆称为大柔度杆，也称为细长杆。大柔度杆的临界应力可以 采用欧拉公式计算。
2424 kN
500
w
考虑强度的临界力
FCr
235 502 4
N
461
kN
9
可见此时的欧拉公式是不能应用的。
欧拉公式的适用条件：材料符合胡克定律。即临界应力小于材料的比例极限sp。
π2E 2
sP
π2E sP
令
P
π2E sP
即只有当≥p时，欧拉公式才是有效的。
以Q235钢为例，E=200MPa， sp =200GPa，可得
稳定平衡
微小扰动使小球离开原来的平
衡位置，但扰动撤销后小球回复到
平衡位置
2
三、工程实例
四、压杆稳定平衡的条件
F
F
F=Fcr
F<Fcr
压杆的稳定性试验
干
结论
扰
力
稳定平衡 不稳定平衡
压力小于临界
力压杆稳定
3
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
x
弯矩： M (x) F w(x)
F
挠曲线近似微分方程：
kl n (n 0,1,2,......) k n l
F
n2 2EI l2
(n
0,1,2,......)
取n=1得计算两端铰支压杆的临界压力的欧拉公式：
FCr
2EI l2
注意：因为压杆两端均为球铰，各方向约束相同，惯性矩应取其横截面的 最小惯性矩。
4
两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢，弹
FBC F sin q
两杆分别达到临界力时F可达最大值
FcrAB
2EI
mLAB 2
2EI
L cos b 2
FcBr C
2EI
mLBC 2
2EI
L sin b 2
tgq
FBC FAB
F BC cr
F AB cr
ctg2b
q arctg ctg2b 8
第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
x
Fcr
解：截面惯性矩
I d 4 0.054 307109 m4
64 64
稳定临界力
Fcr
2EI
l2
2 200109 307109
1.52
269103 N 269kN
1500
强度临界力
50 2
Fcr 235 4 N 461kN
1 2EI
Fcr l 2
0.7
0.5
Fcr （0.72El）I2
2EI Fcr （0.5l）2
欧拉公式普遍形式
Fcr
2EI ( ml ) 2
m长度系数（长度因数）； ml相当长度，微弯 曲线两拐点之间的长度。
两端铰支
Fcr
2EI (l ) 2
m 1
一端固定一端自由
2EI Fcr (2l)2
第七章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的基本概念 第二节 细长压杆的临界力 第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
本章重点
1.压杆柔度的计算和判别； 2.压杆临界应力的计算。
1
第一节 压杆稳定的基本概念
一、实例
一根宽18mm，厚0.5mm，长150mm的钢板尺，其材料的许用应力 [s]=300MPa，按照强度条件计算，其承载能力为F=2.7kN ,但将尺竖在桌上用手压，
不到F40N的力就F 可以将它明显压弯。
FF 可见，细长压杆的承载能力在某些情况下并不取决
于其压缩强度条件，而取决于其保持直线平衡状态的能 力。压杆保持原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳 定性。压杆丧失直线平衡状态而破坏，这种现象称为丧 失稳定或失稳。
二、稳定平衡和不稳定平衡
不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来 的平衡位置
Iy
hb3 12
90 403 12
mm 4
48 104 mm4
Iz
bh3 12
40 903 12
mm 4
243104 mm4
Iy Iz
临界压力
FCr
π2EI
μl2
π2
200103 48104
2 25002
N
37860N
37.86kN
(2)临界压力
Iy
Iz
bh3 12
604 12
mm 4
108104 mm4
FCr
π2EI
μl2
π2
200103 108104
2 25002
N
85187N
85.19kN
7
两细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求载荷F 为最大值时的q角（设0q/2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。
Fq
FBC
FAB
B
F
B
Ab
C
l
解：节点B的平衡
FAB F cosq
二、欧拉公式的适用范围
Fcr
两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢， 弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
解：截面惯性矩
I d 4 0.054 307109 m4 64 64
稳定临界力
FCR
2EI l2
2 200 109 307 10 9 0.52
w 对于细长压杆，起控制作用的是杆的稳定性。
5
二、其他约束条件下细长压杆的临界力
支座情况
简 图
一端自由 一端固定
FCr A
B
两端铰支
FCr A
一端铰支 一端固定
FCr
A
两端固定
FCr A D
l ml=2l ml=l ml=0.7l ml=0.5l
FCr B
C
C
B
B
m 临界压力
2 Fcr （22lE）I2
一、临界应力与柔度 临界压力对应的应力
s Cr
FCr A
π 2 EI (ml) 2 A
scr:临界应力
s Cr
FCr A
π2E
( ml )2
i
临界应力的欧拉公式
s Cr
π2E 2
I i2A
ml i
i:惯性半径
:柔度或长细比
反应了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等几何因素对临界应
力的影响。
x F M(x)
M
(x)
EI
d
2 w( x) dx2
F
w(x)
k2 F EI
d
2 w( x) dx2
k
2
w(
x)
0
EI
w=w(x)
解微分方程得到通解为：w(x) C1 sin kx C2 cos kx
w
w
边界条件：w(0) w(l) 0
可得：C2 0 C1 sin kl 0 C1 0 sin kl 0
m2
6
一矩形截面细长压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，弹性模量 E=200GPa .几何尺寸为：b=40mm，h=90mm，l=2.5m。试计算此压杆的临 界压力。若h=b=60mm，长度相等，则此压杆的临界压力又为多少？
F
b z
y
l h
解:压杆一端固定，一端自由，长度因数m=2。
(1)截面对轴的惯性矩
P
π2 206 109 200 106
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
100
上例中， 0.5 2 40 100 故不能用欧拉公式。
d / 4 0.05
通常将≥p的杆称为大柔度杆，也称为细长杆。大柔度杆的临界应力可以 采用欧拉公式计算。
2424 kN
500
w
考虑强度的临界力
FCr
235 502 4
N
461
kN
9
可见此时的欧拉公式是不能应用的。
欧拉公式的适用条件：材料符合胡克定律。即临界应力小于材料的比例极限sp。
π2E 2
sP
π2E sP
令
P
π2E sP
即只有当≥p时，欧拉公式才是有效的。
以Q235钢为例，E=200MPa， sp =200GPa，可得
稳定平衡
微小扰动使小球离开原来的平
衡位置，但扰动撤销后小球回复到
平衡位置
2
三、工程实例
四、压杆稳定平衡的条件
F
F
F=Fcr
F<Fcr
压杆的稳定性试验
干
结论
扰
力
稳定平衡 不稳定平衡
压力小于临界
力压杆稳定
3
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
x
弯矩： M (x) F w(x)
F
挠曲线近似微分方程：