几个著名积分不等式的等价性

a
b
(g (x ) ) 2dx
a
+
m2 M1
M2 m1
b
(f (x ) ) 2dx.
a
(4)
对 (4) 式系数进行整理, 就能够得到不等式 (2) , 即定理 1] 定理 2.
(2) 在 不 等 式 (2) 中, 置 M 2 m 1 = M , m 2 M 1 = m , 同 时 令 (f (x ) ) 2 = h (x ) k (x ) , (g (x ) ) 2 =
n
n
n
6 6 6 (m + M ) f (Νi) g (Νi) ∃x i ≥ (g (Νi) ) 2 ∃x i + mM (f (Νi) ) 2 ∃x i.
i= 1
i= 1
i= 1
若令 ∃x i → 0 (n → ∞) , 则由定积分定义得到
∫ ∫ ∫ b
b
b
(m + M ) f (x ) g (x ) dx ≥ (g (x ) ) 2dx + mM (f (x ) ) 2dx.
区间[ a, b ] 上满足 0 < m 1 ≤ f (x ) ≤M 1, 0 < m 2 ≤ g (x ) ≤M 2, 则
∫ m 2M 2
m 1M 1
b
(f (x ) ) 2dx +
a
∫ m 1M 1
m 2M 2
b
(g (x ) ) 2dx ≤
a
M 1M 2 + m 1m 2
∫ m 1m 2
b
f (x ) g (x ) dx ,
由 f (x ) , g (x ) 和 1 g (x ) 都是区间[ a, b ] 上均正可积. 根据定积分定义, 将[ a, b ] 分成 n 个小的闭区间
∃ i= [ x i- 1, x i ], i = 1, 2, …, n , 任意取 Νi ∈ [ x i- 1, x i ], ∃ x i = (b - a) n. 因为 (g (Νi) - m ) (g (Νi) - M ) ≤
第 18 卷第 4 期 2005 年 12 月
纺织高校基础科学学报 BAS IC SC IENCES JO URNAL O F TEXT IL E UN IVERS IT IES
3 研究简报 3 文章编号: 100628341 (2005) 0420404203
V o l. 18, N o. 4 D ec. , 2005
第 4 期 几个著名积分不等式的等价性
405
等号成立的充要条件是 g (x ) = m 或 g (x ) = M .
2 等价关系的证明
等价性命题的证明分 3 个步骤: 首先证明定理 1, 其次证明定理 1] 定理 2] 定理 3, 最后证明定理 3] 定理 1.
由已知条件 f (x ) 和 g (x ) 均在闭区间[ a, b ] 上可积, 依据定积分定义, 将[ a, b ] 分成 n 个小的闭区间 ∃
1 等价性定理
为了方便起见, 首先给出相应积分型不等式命题.
定理 1 (D iaz2M etca lf 不等式的积分型) 设 f (x ) 和 g (x ) 均为区间[ a, b ] 上的可积函数, 并且在[ a, b ]
上满足 f (x ) ≠ 0, m ≤ g (x ) f (x ) ≤M , 则
=i
[ x i- 1, x i ], i =
1, 2, …, n , 任意取 Νi ∈ [ x i- 1, x i ], ∃x i =
bn
a.
因为 m
≤ g (Νi) f (Νi)
≤M
,f
(Νi)
≠ 0, 所以
g (Νi) f (Νi)
-
m
M-
g (Νi) f (Νi)
≥ 0, 从而
g (Νi) f (Νi)
∫ ∫ ∫ b f (x ) g (x ) dx a
b a
f g
(x (x
) )
dx
≤ (m + M ) 2 4mM
b
2
f (x ) dx ,
a
(3)
Ξ 收稿日期: 2005206213 项目项目: 全国教育科学“十五”规划重点课题 (EHA 030431) 通讯作者: 乔希民 (19602) , 男, 陕西省洛南县人, 商洛师范专科学校讲师, 主要从事不等式和数学教育等方面的研究. E2m a il: qiaox im in @ 163. com
406
纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 第 18 卷
则
∫ ∫ ∫ b
b
b
(h (x ) ) 2dx + mM (k (x ) ) 2dx ≤ (m + M ) h (x ) k (x ) dx.
(9)
a
a
a
(9) 式是 D iaz2M etca lf 推广积分不等式, 故定理 1 可由定理 3 而推出, 定理 2 也可由定理 3 得. 综合所
n
∃x i ≤ (m + M ) f (Νi)
i= 1
∃ x i.
令 ∃x i → 0 (n → ∞) , 依据定积分定义, 得
∫ ∫ ∫ b f (x ) g (x ) dx + mM a
b a
f g
(x (x
) )
dx
≤
(m
+
M
)
b
f (x ) dx.
a
(7)
不等式 (7) 可视为 Kan to rovich 积分不等式的加强形式. 因为对不等式 (7) 而言, 若继续使用基本不等
Abstract: O n the ba se of studying fam ou s D iaz2M etca lf pop u la rized in teg ra l inequa lity, Cauchy2Schw a rz reinfo rced in teg ra l inequa lity and Kan to rovich reinfo rced in teg ra l inequa lity, it is to dem on st ra te the equ iva lence betw een them w ith con st ruct ive m ethod th rough induct ion and ana logy. Key words: D iaz2M etca lf in teg ra l inequa lity; Cauchy2Schw a rz in teg ra l inequa lity; Kan to rovich in teg ra l inequa lity; equ iva lence; con st ruct ive m ethod
式, 则得到
∫ ∫ ∫ 2
b
f (x ) g (x ) dx
a
mM
b a
f g
(x (x
) )
dx
12
b
≤ (m + M ) f (x ) dx.
a
(8)
对 (8) 式平方、整理, 便可得不等式 (3). 而在不等式 (7) 中, 置 f (x ) = h (x ) k (x ) , g (x ) = h (x ) k (x ) ,
a
a
a
并且从上述证明过程中, 不难得到不等式等号成立的充要条件是 g (x ) = m f (x ) 或 g (x ) = M f (x ).
(1) 在不等式 (1) 中, 如果置 m = m 2 M 1,M = M 2 m 1, 那么就有
∫ ∫ ∫ M
m
2 1
+
m2 M1
b
f (x ) g (x ) dx ≥
Equ iva lence of severa l fam ous l in tegra l inequa l ity
Q IA O X i2m in
(D ep t. of M a th. , Shangluo T eachers Co llege, Shan luo , Shaanx i 726000, Ch ina)
0, f (Νi) >
0, 所以 (g (Νi) -
m ) (g (Νi) -
M ) f (Νi) ≤ 0, 从而有 f (Νi) g (Νi) + mM
f (Νi) g (Νi)
≤
(m
+
M
)f
(Νi).
这样就有
6 6 6 n (f (Νi) g (Νi) )
i= 1
∃x i +
mM
n i= 1
f (Νi) g (Νi)
a
a
注意到基本不等式
∫ ∫ ∫ ∫ b a
h k
(x (x
) )
dx
+
mM
b
h (x ) k (x ) dx ≥ 2 mM
a
b a
h k
(x ) (x )
dx
b
12
h (x ) k (x ) dx .
a
进一步得到
∫ ∫ ∫ 2 mM
b a
h k
(x (x
) )
dx
b
12
b
h (x ) k (x ) dx ≤ (m + M ) h (x ) dx.
编辑: 董军浪; 校对: 黄燕萍
M 1M 2 a
(2)
等号成立的充要条件是f (x ) g (x )
=
M 1 或f (x ) m 2 g (x )
=
m M
1.
2
定理 3 (Kan to rovich 积分型不等式) 设 f (x ) , g (x ) 和 1 g (x ) 都是区间[ a, b ] 上的可积函数, 且在
[ a, b ] 上满足 0 < m ≤ g (x ) ≤M , f (x ) > 0, 则
述, 得到定理 1Ζ 定理 2Ζ 定理 3.
参考文献:
[ 1 ] POL YA G, SZEGOβ G. 数学分析中的问题和定理 (第一卷) [M ]. 张奠宙, 宋国栋, 等译. 上海: 上海科学技术出版社, 1981. [ 2 ] 胡克. 解析不等式的若干问题[M ]. 武汉: 武汉大学出版社, 2003. [ 3 ] 匡继昌. 常用不等式[M ]. 第 3 版. 济南: 山东科学技术出版社, 2004. [ 4 ] 乔希民. Kan to rovich 积分不等式的加强式及应用[J ]. 宝鸡文理学院学报 (自然科学版) , 2004, 24 (4) : 2652267.
h (x ) k (x ) , 则有 h (x ) = f (x ) g (x ) , k (x ) = f (x ) g (x ) , 且 h (x ) > 0, 0 < m ≤ k (x ) ≤M . 这样就能够得到
∫ ∫ ∫ b a
h k
(x (x
) )
dx
+
mM
b
b
h (x ) k (x ) dx ≤ (m + M ) h (x ) dx.
-
m
M-
g (Νi) f (Νi)
(f (Νi) ) 2 ≥ 0, 即有 (m + M ) f (Νi) g (Νi)
- (g (Νi) ) 2 - mM (f (Νi) ) 2 ≥ 0, 亦即 (m + M ) f (Νi) g (Νi) ≥ (g (Νi) ) 2 + mM (f (Νi) ) 2. 更进一步就有
∫ ∫ ∫ b
b
b
(g (x ) ) 2dx + mM (f (x ) ) 2dx ≤ (m + M ) f (x ) g (x ) dx ,
(1)
a
a
a
等号当且仅当 g (x ) = m f (x ) 或 g (x ) = M f (x ) 时成立.
定理 2 (Cauchy2Schw a rz 积分不等式的加强形式) 若 f (x ) 和 g (x ) 是区间[ a, b ] 上的可积函数, 且在
几个著名积分不等式的等价性
乔希民
Ξ
(商洛师范专科学校 数学系, 陕西 商洛 726000)
摘 要: 在 研 究 著 名 的 D iaz2M etca lf 推 广 积 分 不 等 式、Cauchy2Schw a rz 加 强 积 分 不 等 式 和 Kan to rovich 加强积分不等式的基础上, 通过类比和归纳, 用构造性方法证明了它们之间的等价 性. 关键词: D iaz2M etca lf 积分不等式; Cauchy2Schw a rz 积分不等式; Kan to rovich 积分不等式; 等价 性; 构造性方法 中图分类号: O 178 文献标识码: A
文献[ 1～ 3 ]研究了著名的D iaz2M etca lf 离散型不等式、Cauchy2Schw a rz 积分不等式、Kan to rovich 积 分不等式, 而文献[ 4 ]等给出了其相应的或积分不等式、或积分型不等式的加强式和推广式. 本文探讨这些 积分型不等式之间存在的内在联系及等价性关系.
a
a
(5)
(5) 式两边同时平方、整理, 得
∫ ∫ ∫ b h (x ) k (x ) dx a
b a
h k
(x (x
) )
dx
≤
(m + M 4mM
)2
b
2
h (x ) dx .
a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(6)
(6) 式即 Kan to rovich 积分型不等式, 即定理 2] 定理 3. 同理由 (1) , (2) 易得定理 2] 定理 3.