几个著名积分不等式的等价性

合集下载

一个逆向的Hilbert型积分不等式及其等价式

不等式．１，２在分析学有重要的应用．式（）（）杨必成等对它们作了推广和改进－．５最近，］文献［，］６７建
立核别了分为
＜＋∞ ，有则
｛丽６＞） ’ ｏ，和ｃ
志
，０的３次６）一齐＞
Ｈｌｅｔｉｒ型积分不等式；献［］建立了如下具有一４齐次核的Ｈｉｅｔ积分不等式：ｂ文８ｌｒ型ｂ
山西师范大学学报（自然科学版）第２４卷第２期２１００年６月
ＪｕａｏｈｎｉＮｏｍａｉｅｓｔｏｒｌｆａｘｒｌｎＳＵｎｖｒｉｙ
ＮａｕａｃｅｃｔｒｌＳｉｎｅＥｄｉｉｎｔｏＶｏｌ２Ｎｏ２＿４．
ＪＪｃＩ
ｄ，＜ｄ，
［／［ｇ）］Ｊ）］Ｊｄ１Ｉ（ｄ古（［
（１）
九
这里，常数因子＝
ｓｎ（仃／１Ｐ
＜［
］
。
（２）
’ ’
与［
ｓｎ（ｌ
口）
］都是最佳值，式（）（）价．式（）Ｈａｄ．ｉｅｔ且１与２等称１为ｒｙＨｌｒ积分ｂ
设＞，＋１＞，一， ≥，ｏＪｐ寺寺，０＞ｃ，０＜ｃ６／Ｒｌｇ
Ｊｃ
罩．数因子常
（＋，Ｊ（）ｏ＜叫ｑ）＜。０ｇｏ
（３）
ｉ —
ｄｙ — ｄ寺 —ｇ＜［Ｐ）］）］ｄ一［一（ｄ（１

几个著名的不等式公式

⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。

该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。

设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。

算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。

算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。

2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。

证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。

证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。

这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。

因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。

一个新的Hilbert型积分不等式及其等价式

一
个新的Ｈｉｅｔ积分不等式及其等价式ｌｒ型ｂ
葛晓葵，吴光年
（广东教育学院数学系，广东广州５００）１３３
摘要：引入一个权函数，建立一个新的Ｈｌｅｔｉｒ型积分不等式及等价式，ｂ并证明其常数因子为最
佳值．
关键词：ｌｅｔＨｉｒ型积分不等式；ｂ权函数；最佳常数因子
（１＋一）（作如形的广户，吉，１了下式推：＞对）
㈩
这里，数因子７是最佳的．称（）为Ｈｉｅｔ分不等式．９５年，ｒｙＲｅｚ引进（ｑ常ｒ１ｌｒ积ｂ１２Ｈａｄ－ｉｓ户，）一参数
Ｊ＇＇ＪｆＥｏｆ
．
ｘ￣ｄ＝４＜８－ｘ＝＝
故（）４成立．毕．证引理２定义权函数 ∞（）（，（／ｄ￡）＝ ———— ｆ）Ｊ＝ｆ十上｝，（：ｌ十＿｛＼＝＝＝
Ｊ０
ｍｎｌ
（）５
则有
∞（）一２ａｃａｒｔｎ．
（）６
证明
作蛮椟，一，右
、
一
．
Ｊ。
ｆ
１
（
’ ｆ
（蚪’ （ｆ
．
２ａｃａｒｔｎ
定理１设，，（），＜Ｊ（）ｘ ∞，＜Ｊｇ（）ｘ（）ｇ ≥００Ｉｘｄ＜０Ｉｄ＜∞，０ｘ０则有
Ｊ＇
干
ｔ１一（（０．（）出。）ｅ＋Ｔ／２ｄ１一）ｃ南 ‘，一一

(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：职称：摘要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明（法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+，或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑，即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立，若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′，当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥，由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。

柯西不等式的应用及推广

3.1 配方法
。
由此证明了且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当或时，不等式显然成立
令，当中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数，展开得：故的判别式
移项得，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有，不等式成立。
当n=2时，
因为，故有
当且仅当，即时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于，也等价于。
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
……
，当且仅当，即时等号成立。
把以上个式子相加得
。
当且仅当时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若为正数，为非负数，，实数，则
（当且仅当时等号成立）。
在以上推广不等式中取。
有。
化简得，。
当为零或几个为零（处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。

数学分析中几类证明不等式的方法

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀数学分析中几类证明不等式的方法数学分析中几类证明不等式的方法Һ郭㊀鑫㊀（天津师范大学，天津㊀３００２２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在学习数学分析时我们常会见到一些不等式，当然，其中有一些著名的不等式无论是在解题还是在实际应用中都有重要的作用．笔者认为解决这些不等式的证明应该先找到对应的数学分析知识点，所以，本文中结合数学分析的知识点列举了四种常用的证明不等式的思路．本文中在每一种方法后附加了例题及解答，一些题目是选择了教材上的典型例题，还有一些是考研题目及其改编．不等式的证明往往有多种证明方法，还望读者多思考出更多不同的证明方法．ʌ关键词ɔ不等式；数学分析；积分；证明为了加深对数学分析中不等式证明的理解和掌握，本文在数学分析的基础上研究并整理了几种证明不等式的方法，也节选了典型例题辅助讲解．本文属于综述型论文，归纳总结了前人的理论成果并加上自己的理解与补充，希望本文可以帮助读者对于不等式问题有初步的解题思路，并借此探索更多的关于不等式的证明方法．一㊁几个著名不等式（一）Ｊｅｎｓｅｎ不等式如果ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，那么对任何ｘｉɪ［ａ，ｂ］，λｉ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ），ðｎｉ＝１λｉ＝１有ｆ（ðｎｉ＝１λｉｘｉ）ɤðｎｉ＝１λｉｆｘｉ()．证明㊀当ｎ＝１时，结论显然成立；当ｎ＝２时，由凸函数的定义可以知道ｆ（λ１ｘ１＋λ２ｘ２）ɤλ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）成立．假设ｎ－１时命题成立，则对任意ｘ１，ｘ２，，ｘｎɪ［ａ，ｂ］，以及λｉ＞０，ðｎｉ＝１λｉ＝１，令μｉ＝λｉ１－λｎ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ－１），可以得到μ１＋μ２＋＋μｎ－１＝１，由归纳假设得ｆðｎ－１ｉ＝１μｉｘｉ()ɤðｎ－１ｉ＝１μｉｆ（ｘｉ），所以ðｎｉ＝１λｉｘｉ()＝ｆ(（１－λｎ）㊃λ１ｘ１＋λ２ｘ２＋＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎ＋λｎｘｎ)ɤ（１－λｎ）㊃ｆλ１ｘ１＋λ２ｘ２＋＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎæèçöø÷＋λｎｆ（ｘｎ）ɤ（１－λｎ）㊃［μ１ｆ（ｘ１）＋μ２ｆ（ｘ２）＋＋μｎ－１ｆ（ｘｎ－１）］＋λｎｆ（ｘｎ）＝λ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）＋＋λｎｆ（ｘｎ）．由数学归纳法可知原命题成立．例１㊀求证：（ａｂｃ）ａ＋ｂ＋ｃ３ɤａａｂｂｃｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．提示㊀令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，运用Ｊｅｎｓｅｎ不等式即证．（二）平均值不等式任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋＋１ａｎɤｎａ１ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆᵡ（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）为凹函数，所以由Ｊｅｎｓｅｎ不等式可得ｆａ１＋ａ２＋＋ａｎｎæèçöø÷ȡｆ（ａ１）＋ｆ（ａ２）＋＋ｆ（ａｎ）ｎ，即ｌｎｎａ１ａ２ａｎ＝１ｎ（ｌｎａ１＋ｌｎａ２＋＋ｌｎａｎ）ɤｌｎａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ．因为ｆ（ｘ）为增函数，所以ｎａ１ａ２ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ，同理ｎ１ａ１㊃１ａ２㊃㊃１ａｎȡ１ａ１＋１ａ２＋＋１ａｎｎ，即得结论．注：此题还可运用条件极值证明．（三）Ｓｃｈｗａｒｚ不等式若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ．证明㊀因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，所以ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，从而ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ））２ｄｘ＝ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａ２ｔｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａｔ２ｇ２（ｘ）ｄｘȡ０，（∗）将（∗）式看作自变量ｔ的一元二次函数，则Δ＝４ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２－４ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘɤ０，结论得证．推论㊀（柯西不等式）对任意ａｉ，ｂｉ有ðｎｉ＝１ａｉｂｉ()２ɤðｎｉ＝１ａｉ２㊃ðｎｉ＝１ｂｉ２．例２㊀若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上可积，则有闵可夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）不等式：ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ[]１２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ[]１２＋ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ[]１２．提示㊀不等式两边平方，化简，利用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．（四）Ｈａｄａｍａｒｄ不等式设ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的连续凸函数．求证：ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．提示㊀利用凸函数的性质，证明详细过程见下页．二㊁利用函数单调性与极值解决不等式问题（一）利用单调性解决不等式问题函数的单调性是较为简单直接的证明不等式的方法，对于可导函数ｆ（ｘ）可以通过ｆᶄ（ｘ）的正负判断ｆ（ｘ）的增减性，从而利用具体自变量的取值得到不等式．此类题目的关键在于构建合适的ｆ（ｘ）．（例题中涉及几类常用的构造函数的方法）㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀例３㊀（若尔当不等式）设０＜ｘɤπ２，则２πɤｓｉｎｘｘ＜１．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ，则ｆᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２；再令ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，则ｇᶄ（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ＜０，从而ｇ（ｘ）递减．又因为ｇ（０）＝０，所以ｇ（ｘ）＜０，则有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）递减．又因为ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝１，且ｆπ２()＝π２，所以，由ｆ（ｘ）的单调性可得２πɤｓｉｎｘｘ＜１．（二）利用极值与最值解决不等式问题对于在定义域内不单调的函数，极值和最值是解决这类函数不等式的一个突破口，构造合适的函数利用极值的定义来证明．例４㊀（利用条件极值）任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋＋１ａｎɤｎａ１ａ２ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ．证明㊀下面只证明ｎａ１ａ２ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ（另一不等号的证明见上一页）．设ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ＝ａ（∗），ｆ（ｘ１，ｘ２，，ｘｎ）＝ｘ１ｘ２ｘｎ，则只需证在条件（∗）下ｆ（ｘ）的最大值为ａｎｎｎ．令Ｌ（ｘ１，ｘ２，，ｘｎ，λ）＝ｘ１ｘ２ｘｎ＋λ（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ－ａ），则Ｌｘｉ＝ｘ１ｘｉ－１ｘｉ＋１ｘｎ＋λ＝０，Ｌλ＝ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ－ａ＝０，{解得λ＝－ｎａ（ｘ１ｘ２ｘｎ）；ｘｉ＝ａｎ．又因为ｆ（ｘ）有上界，所以所求点为最大值点，即最大值为ａｎｎｎ，结论得证．三㊁利用微分中值定理和泰勒公式解决不等式问题（一）利用拉格朗日定理解决不等式问题拉格朗日定理可以将函数在区间端点的函数值与导函数在某一点的值联系起来，从而利用单调性或已知条件得到不等式．例５㊀求证：ｂ－ａｂ＜ｌｎｂａ＜ｂ－ａａ，其中０＜ａ＜ｂ．证明㊀原不等式等价于１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ，由拉格朗日定理，得ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＝１ξ，其中ξɪ（ａ，ｂ）．因为１ｂ＜１ξ＜１ａ，所以１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ．（二）利用柯西定理解决不等式问题对于已知两个函数的端点函数值问题可利用柯西定理转换成导数比值形式，从而化简不等式．例６㊀设ｘ＞０，求证：２ａｒｃｔａｎｘ＜３ｌｎ（１＋ｘ）．证明㊀原不等式等价于ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２；∀ｘ＞０，在［０，ｘ］上由柯西中值定理，得∃ξɪ（０，ｘ），使得ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎ０ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）＝１＋ξ１＋ξ２，设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ１＋ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝１－２ｘ－ｘ２（１＋ｘ２）２，所以ｆ（ｘ）在ｘ＝２－１时取极大值（最大值），２＋１２＜３２，所以１＋ξ１＋ξ２＜３２，即ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２，结论得证．（三）利用泰勒公式解决不等式问题对于一些不等式中涉及高阶导数及其范围的问题，可尝试利用泰勒公式的近似展开式，而利用泰勒公式的重点在于找到一个合适的点展开．四㊁函数凹凸性（一）函数凹凸性的简单推论推论１㊀ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件为：对于定义域上，任意ｘ１＜ｘ２＜ｘ３，则有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ１）ｘ３－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）ｘ３－ｘ２．推论２㊀（此推论及其变形适用于许多涉及一阶导数的不等式证明）可导函数为凸（凹）函数当且仅当任意ｘ１，ｘ２有ｆ（ｘ２）ȡｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）（ｆ（ｘ２）ɤｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１））．推论３㊀若ｆ（ｘ）为二阶可导函数，则ｆ（ｘ）是凸函数的充分必要条件为ｆᵡ（ｘ）ȡ０．（此命题适用于涉及二阶导数的不等式证明）推论４㊀ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，则ｆ（ｘ）ȡ２ｆａ＋ｂ２()－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）．（二）运用函数凹凸性证明不等式例７㊀证明Ｈａｄａｍａｒｄ不等式．证明㊀设ｘ＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ，则１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ．同理可得１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ．因为ｆ（ｘ）为凸函数，所以１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔɤʏ１０（１－ｔ）ｆ（ａ）＋ｔｆ（ｂ）ｄｔ＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２，且１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝１２ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ＋１２ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ＝ʏ１０１２ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］＋１２ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔȡʏ１０ｆ[１２（１－ｔ）ａ＋ｔ２ｂ＋ｔ２ａ＋１２（１－ｔ）ｂ]ｄｔ＝ｆａ＋ｂ２()，所以ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．不等式的解法有许多，以上几种方法需要在数学分析的基础上研究不等式．在学习过程中抓住每种方法的要点并掌握相应的数学分析的基础知识才是关键．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］陈守信．考研数学分析总复习：精选名校真题：第５版［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１８．［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［４］蒙诗德．数学分析中证明不等式的常用方法［Ｎ］．赤峰学院学报（自然科学版），２００９（０９）：２０－２２．［５］舒斯会．数学分析选讲［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［６］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．。

Gronwall不等式

格朗沃尔不等式在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。

格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。

积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。

比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。

格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。

格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。

格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明[1]。

而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明[2]。

微分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或[a, b] 或[a, b)，其中a < b。

又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。

假设u 是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：注意：不等式对函数β和u的符号没有任何要求。

证明如果设是以下微分方程其中v(a) = 1 的解，那么对所有的t都有v(t) > 0，因此根据复合函数求导法则中的除法定则：对所有的t > a成立，因此于是格朗沃尔不等式得证。

积分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或[a, b] 或[a, b)，其中a < b。

又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。

假设β和u是连续的，则有：∙(a) 如果β是非负函数并且u满足如下的积分不等式：，那么(b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：∙不等式的成立条件里并没有限制α和u的符号；∙相比于微分形式，积分形式中对函数u的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：由于注意到括号中的部分小于α，可以得到相应的不等式，并进行积分。

若干重要积分不等式的等价性

(
∫
( f ( x) + g ( x) ) 2d x)
1
r
≤ ( f r ( x) d x)
∫
1
r
+ (
g ( x) d x) ∫
r a
1
r.
为了证明其等价性 , 需以下引理 . b 引理设 φ( x ) 为连续凸函数 , f ( x ) 与 p ( x ) 是 [ a , b ]上的连续函数 , 且 p ( x ) ≥ 0, ∫ a p ( x) d x > 0 , 则
a
b
若记
A ( f) =
∫ p ( x) d x ∫
a b a
b
p ( x) f ( x) d x
, Mr ( f ) = (
∫ p ( x) d x ∫
a b a
b
r p ( x) f ( x) d x
)
1
r
, G ( f ) = exp (
p ( x ) ln f ( x ) d x ∫ ) ( ) p x dx ∫
2 ( x) d x > 0 , 其中 τ( x) 是区间 [ a , b ] 上任一正值连续函数 . 等价于 τ
a b
∫
关键词 : 不等式 ; 积分不等式 ; 等价性中图分类号 :O172 文献标识码 :A
变量之间进行相互比较 , 对描述和分析变量的变化性状与相互制约关系是极为重要甚至是不可或缺的方法 . 正因为如此 , 不等式就成了基础数学乃至应用数学诸分支的一个重要工具 , 对不等式的研究与论述以及应用总是引人注目、经久不衰的 . 从有穷不等式推广到无穷不等式以及积分不等式的主要依据是通过极限手段 , 不等式不改变方向 ; 从无穷不等式过渡到积分不等式也是通过极限将加式改为积分. 文 [ 1 ]中 8 个重要不等式的积分形式如下 :

Gronwall不等式

格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。

积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。

比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。

格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。

格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。

格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明[1]。

而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明[2]。

微分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b。

又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。

假设u是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：注意：不等式对函数β和u的符号没有任何要求。

积分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b。

又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。

假设β和u是连续的，则有：(a) 如果β是非负函数并且u满足如下的积分不等式：，那么。

(b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：不等式的成立条件里并没有限制α和u的符号；相比于微分形式，积分形式中对函数u的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：，由于注意到括号中的部分小于α，可以得到相应的不等式，并进行积分。

定积分不等式

第三章一元积分学第三节定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等)也很多。

总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的:(i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()( 。

（ii ）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|.（iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(，则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()(。

（iv ）（柯西不等式）⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222(2）主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.（3）利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法．例１．判断积分⎰π202sin dx x 的符号分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负,那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值(实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2x t =，把积分变为dt ttdx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin +=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样,为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了．解:令2x t =，则dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin ＝+=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt对上式右端后一积分换元π+=u t 得⎰⎰⎰+-=+-=ππππππ2sin sin sin dt t t du u u dt tt从而=⎰π202sin dx x -=⎰π0sin (21dx tt)sin 0⎰+ππdt t t0sin )11(210>+-=⎰ππtdt t t 注:本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１)将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间,特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较．例２．设0>a ，证明:4320sin 0sin πππ≥⎰⎰-dx adx xaxx分析:：从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式⎰⎰=200)(sin )(sin πππdx x f dx x xf 变为]2,0[π上的积分，再用柯西不等式便可得结论. 解：⎰⎰=20sin 0sin πππdx a dx xax x4)1()()(32202022sin 202sin 20sin 0sin ππππππππ=≥=⎰⎰⎰⎰⎰--dx dx adx adx adx xax x xx例３．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明：（１)|)(|max 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰(２）dx x f a b dx x f bab a222])([2)()(⎰⎰'-≤分析：（１)该不等式实际上给出了左边积分的一个界。

【数学与应用数学专业】【毕业论文文献综述开题报告】一些不等式的证明及推广（可编辑）

【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】一些不等式的证明及推广（20_ _届）本科毕业论文一些不等式的证明及推广摘要：本文主要介绍了柯西不等式、Young不等式、赫尔德不等式和闵可斯基不等式的基本形式以及它们的证明，此外还对这几个重要不等式的推广做了比较系统的综述，并举例说明了这些不等式在各个方面的具体应用。

关键字：柯西不等式；Young不等式；赫尔德不等式；闵可斯基不等式The Proof And Generalization of Some Important InequalitiesAbstract: This paper summarized the basic form of several important inequalities and their proof, such as Cauchy inequality, Young inequality, Holder inequality and Minkowski inequality. In addition, this article introduces some generalizations of these inequalities and some applications in every aspect by taking examples.Key words: Cauchy inequality; Young inequality; Holder inequality;Minkowski inequality;目录1 引言 12 柯西不等式 32.1 柯西不等式的定义 32.2 柯西不等式的几种证明方法 33 柯西不等式的推广及应用 83.1 在实数域上柯西不等式的几个推广结论83.2 柯西不等式的推广形式83.3 柯西不等式在欧氏空间的推广形式 103.4 证明不等式103.5 用柯西不等式解释样本线性相关系数124 Young不等式144.1 Young不等式的定义144.2 Young不等式的几种证明方法144.3 带项的Young不等式 154.4 Young不等式（积分形式）的定义164.5 Young不等式（积分形式）的几种证明方法164.6 Young逆向不等式174.7 Young不等式与Young逆不等式的推广185 赫尔德积分不等式 205.1 赫尔德积分不等式205.2 赫尔德积分不等式的几种证明方法 20 5.3 赫尔德不等式的推广 23结论 26致谢 27参考文献281 引言不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

积分证明不等式的方法

积分证明不等式的方法例1、证明不等式 n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 证：考虑函数, 2 , 1 , 1 , 1)(=+<≤=n n x n nx f ,) , 1[ , 1)(∞+∈=x xx g .易见对任何n , 在区间 ] 1 , 1 [+n 上)(x g 和)(x f 均单调, 因此可积,且有)(x g ≤)(x f , 注意到)(x g ≡/ )(x f , 就有⎰⎰++<1111)()(n n dx x f dx x g . 而∑⎰∑⎰∑⎰=+=+=+===n i i i n i i i ni n idx i dx x f dx x f 111111111)()(,⎰+=11)(n dx x g ⎰+++==1111)1ln(|ln n n n x xdx . 因此有 1211 1 )1ln(1n in ni +++=<+∑= .取, 2 , 1 , 1 , 11)(=+<≤+=n n x n n x f ,) , 1[ , 1)(∞+∈=x xx g .在区间] 1 , 1[+n 仿以上讨论, 有⎰⎰>nndx x f dx x g 11)()(. 而⎰=nn dx x g 1,ln )(n i i dx x f nn i n i i i 13121 1111)(111111+++=+=+=⎰∑∑⎰-=-=+ ，⇒ n nln 1 1211+<+++. 综上 , 有不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ .例2、求极限∞→n lim )21( 21333444n n n ++++++ .[3]P167 E19解：)21( 21333444n n n ++++++ =∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛n i ni n i n n n i n 133144=∑∑==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni n n i n n i 131411.∞→n lim ∑⎰===⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni dx x n n i 11044511 ,∞→n lim ∑⎰=≠==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni dx x n n i 11330411 . 因此 , ∞→n lim )21( 21333444n n n ++++++ 54= .例3、试证明: 对任何+∈Z n , 有不等式nn n n ++++++12111 < 2ln .证：n n n n ++++++12111 =∑=⋅+nk n nk 1111是函数)(x f =x+11在区间[ 0 , 1 ] 上相应于n 等分分法n T 的小和)(n T s . 由函数)(x f =x+11在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有∞→n 时, )(n T s ↗⎰⎰=+=112ln 1)(x dxdx x f . 又易见)(n T s ↗↗. ⇒对任何n, 有)(n T s <2ln , 即nn n n ++++++12111 < 2ln . 例4、证明：当x x xxx <+<+>)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x+11，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x，原不等式等价于：11)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数tt f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，所以1)1ln(11<+<+x x x . 即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx. 例5、设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.分析：原不等式可等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数t a t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t ，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g c o s)(c o s )(,0s i n )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''aa x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a∈>ξ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得到ξξξξs i nln ln ,sin ln ln a a a a a a a a xx->-< ,因此 aa xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.例6:当)1,0(∈x ，证明x e xx211>-+. 证明：因xe x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx)1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x enn x．则左边的一般项为nx2，右边的一般项为!2n x nn ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xxx .。

柯西施瓦茨不等式

柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏指导老师:蔡改香摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy 不等式命题1 设,(1,2,,)i i a b R i n ∈=，则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤⋅∑∑∑ （1）其中当且仅当,(1,2,,)i i b ka i n ==（k 为常数）等号成立.证明由21()()0,,niii f x xa b x R ==+≥∀∈∑则222111)(2)0n n nii i i i i i a x a b x b ===-+≥∑∑∑（由于x R ∀∈,因此上述不等式的判别式大于零，即：2221114()4)()0n n ni i ii i i i a b a b ===-≤∑∑∑（易得（1）式成立.例1 设(1,2,...,),i a R i n +∈=求证21212111()(++n na a a n a a a ++++≥）证明由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之1212111)(+)n n a a a a a a +++++（22212222122211222111[()+][(+)]()()()111[](111)n n n na a a a a a a a a a a a n =++⋅++≥⨯+⨯++⨯=+++=（）（）柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski 不等式定理1 任意的2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有()111222222111nnni i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ （2）事实上，由（1）得()22211112nnnniiii i i i i i i a b aa b b ====+=++∑∑∑∑11111222222222221111112=nn n nn n i i i i i i i i i i i i a a b b a b ======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式. 定理2 对任意的非负数(),1,2,,i i a b i n =有11111()()nnnp q p q i i iii i i a b ab ===≤⋅∑∑∑其中,p q R +∈，满足111p q+=且1p >. 证明由杨格不等式pq ap b q ab +≥，其中,0a b ≥且111p q+=得111111111111111()()(())1111()()1nn n n n n p q p q pq q p i ii i i i i i i i i i i i p q nn n p q p qi i i i i i i a ba b a a b b a a b b p q p q =========⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑赫尔德不等式中，当2,2p q ==时为柯西施瓦茨不等式，若将n →∞则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数,i i a b ，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则()111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 证明()()()-1=p p i i i i i i a b a b a b ++⋅+()()()()==+pqi i i i p pq q i i i i i i a b a b a a b b a b +⋅+⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由杨格不等式()()()111nnnpp pqqiii i i i i i i i i a b a a b b a b ===+≤⋅++⋅+∑∑∑()111111n n np p q p p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑ 化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式：推论1 若对任意非负实数,i i a b ，有11,nnii i i ab ==<∞<∞∑∑，则11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑下面将上命题1进行推广：引理1 （算术-几何平均值不等式）设12,,,n a a a 为个n 正数，则111nnni ii i a an ==≥∑∏，等号成立的充要条件为12n a a a ===.引理2 设{}{}1212,,,,,,,,nnx x x y y y V k R αβ∀==∈∈,作定义：{}{}(){}1122121122,,,,,,,,,,,,n nnn nx y x y x y k kx kx kx x y x y x y αβααβ+=+++==，则在V 中定义了的加法、数乘、内积作成R 上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论2 设,,,,(1,2,)i i i x y z i n =是m 组实数，则有1111()()()()nn nnmm m m i ii iii i i i i x y z x y z ====⋅⋅≤∑∑∑∑ （2）等号成立的充要条件为111222::::=::n n n x y z x y z x y z ==.证明为方便起见，不妨设1,nmmxi i S x ==∑ 1,,nm myi i S y ==∑1,nm m zi i S z ==∑,ii xx a S =,,i i y y b S =,(1,2,)ii zz c i n S ==从而由引理1有i i i x y z i i i x y z S S S a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅m m mi i i x y z a b c S S S m+++≤⋅⋅⋅对上式进行n 的累次求和，可得11()mnm m m i ii x y z i i i ii x y z S S S a b c m=⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑即1111()mn nnmmm i ii x y z i i i ii i i x y z S S S a b c m===⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑∑∑ （4）由于111()1nmin nm m i i i m i i x xxx a S S ======∑∑∑ 同理11nmii b==∑，11n m i i c ==∑这样（4）式为mi ii x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑再两边m 同时次幂，得()mm m m m i i i x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑故证得（3）式成立.注1 在命题1中，除,,(1,2,,)i i i i x a y b i n ===，其余均为1，且2m =，则不等式（3）就是不等式（1）的推广.推论3 （将命题1推广为无限和不等式）设,,,,i i i x y z R i N ∈∈且1m i i x ∞=<∞∑，1m ii y∞=<∞∑，1,m i i z ∞=<∞∑，则1111()()()()mm m m i i i iii i i i i x y z x y z ∞∞∞∞====⋅⋅≤∑∑∑∑（证明过程可仿推论2的证法并结合引理2）.3 微积分中的Cauchy-Schwarz 不等式命题2 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ （5）证明类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为(),()f x g x 在[],a b 上可积，则由定积分的性质22,,f g fg 均在上[],a b 上可积，对区间[],a b 进行n 等分，分点为+,0,1,2,,i b ax a i i n n-==.由定积分的定义，有1()()lim ()()bni i n i a b af xg x dx f x g x n→∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i a b af x dx f x n →∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i ab ag x dx g x n→∞=-=∑⎰ 由（1）式知222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 再由极限的保号性易知（5）式成立.注 2 若对[],,()0x a b f x ∀∈=，或(),()f x g x 成正比，则（5）式等号成立，但其逆不真.例如，除有限点外，[]()(),,f x g x x a b =∈，有()()bbaaf x dxg x dx=⎰⎰，但(),()f x g x 并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设(),()f x g x 在[],a b 上连续，()0,()f x g x ≠有正下界，记()()(),1,2,bnn ad f x g x dx n ==⎰，求证：1limmax ()n n a x bnd f x d +→∞≤≤= .证明为了分析1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的变化趋势，研究n d 邻项之间的关系. n d =()()bna f x g x dx ⎰()()()()1122112211112211()()()()bn n a bbn n a a n n g x f x g x f x dxg x f x dx g x f x dx d d -+-+-+=⋅⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎰⎰⎰ 因为0n d >，平方得211n n n d d d +-≤，即11n n n n d dd d +-≥. 因为()f x 在[],a b 连续，所以存在0M >，使得()f x M ≤,故()()()()()()()()110bbbbn n nnn naaaadg x f x dxg x f x dx M g x f x dxg x f x dx Md ++≤=≤=⎰⎰⎰⎰因为1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调有上界，所以有极限. 即1limmax ()n n a x bnd M f x d +→∞≤≤==在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理4 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则Minkowski 不等式()111222222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明由（5）式()()222()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()2b a f x g x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰()()()()222b b b a a af x dx f xg x dx g x dx =++⎰⎰⎰ ()()()()1222222b b bba a a af x dx f x dxg x dx g x dx ⎛⎫≤+⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2112222()()b b aa f x dx g x dx ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰⎰因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有Holder 不等式定理5 (),()0f x g x >，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则11()()()()bbbpqp qa a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明11()()()()bbbpqp qa a a f x g x dxf x dxg x dx ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 11=()()()()()()()()111bb b p q p q a a a bpqbbp q aaaf x f x dxg x g x dx dx f x g x dxp f x dxq g x dxp q⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+⋅⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰得证.利用定理5，将定理4的幂指数进行扩充，有()111()()()()bbbppppp p a a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明可参考定理3 的证明，且p=2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广. 推论4 设()(1,2,,)i f x i n =是闭区间[],a b 上为正的n 个可积函数，则111()((()))bbn nnniii i a af x dx f x dx ==≤∏∏⎰⎰ （6）证明不妨设(())(1,2,,),bni i af x dx k i n ==⎰则11111()(())()bnibn ni a i n ni ia n ii f x dxf x dx k k====∏⎰∏⎰∏由引理1可得111(())(())1()()1b bn nnn i i ni i i i a a f x f x dx dx k n k ==≤=∑∏⎰⎰ 这样就证得不等式（6）成立.注3 在推论4中，取2n =，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）. 注4 不等式（5）可写成()()()()()()()()22b ba ab baaf x dxf xg x dx f x g x dxg x dx≥⎰⎰⎰⎰受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式：设(),()(,1,2,,)i j f x f x i j n =是闭区间[],a b 上的可积函数，则有det(()())0bi j af x f x dx ≥⎰即为()()()()()()()()()()()()()()()21121221222120bbbnaaabbbna a abbbn n n aaaf x dxf x f x dxf x f x dxf x f x dxf x dxf x f x dx f x f x dxf x f x dxf x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数12,,,m ααα使得1()0i i i f x α∞=≡∑.推论5 （将命题2再推广）设()()0()0,(1,2,,),0ni i f x i n f x dx ∞≥=≤<∞⎰则11100()((()))n nnniii i f x dx f x dx ∞∞==≤∏∏⎰⎰ （7）（可仿推论4并结合反常积分理论即证）.4 n 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz 不等式在n 维欧氏空间中，对任意的向量()()1212,,,,,,,,n n a a a b b b αβ==定义内积()()1122,,,,;n n a b a b a b αβ=定义的长度或范数为()12,ααα=.命题3 对任意的向量,αβ有(),αβαβ≤⋅ （8）当且仅当,αβ线性相关时等号才成立.证明若0α=，则()0,0β=，（8）式显然成立.若0α≠，则令()2,βαγβαα=-⋅，则(),0γα=，且()()2222,,0,βαβαγβαβααα⎛⎫≤= -⋅-⋅⎪ ⎪⎝⎭()()()2,,,βαββαβα=-⋅()222,αββα=-当,αβ线性相关时等号显然成立.反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或0α=或0γ=，即()2,βαβαα=⋅也就是说,αβ线性相关.根据上述在n 维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式αβαβ+≤+ （9）因为()()()()()2222,,2,,2=+αβαβαβαααβββααββαβ+=++=++≤++所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下例3 求证2221212++++nn a a a a a a nn++≤.证明这里可取()()12,,,,1,1,,1,n a a a αβ==由柯西施瓦茨不等式()()()()22222221212+++,=1+1++1+++n n a a a a a a αβαβ=≤⋅整理即得2221212++++nn a a a a a a nn++≤5 概率空间(),,F ΩP 中的Cauchy-Schwarz 不等式命题4 设(),X Y 为任意随机变量，若()()22,X Y E E 存在，则()XY E 也存在，且()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦ （10）式中等号成立当且仅当存在常数0t ，使得{}01Y t X P == （11）证明定义实变量t 的二次函数为()()()()()22222u t tX Y X t XY t Y =E -=E -E +E因为对一切t ，必然有()20tX Y -≥,从而有()0u t ≥，于是方程()0u t =要么无实根，要么就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而()()()2220XY XY E -E E ≤⎡⎤⎣⎦即 ()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦当等号成立时，方程()0u t =有一个重根0t ，使()200t X Y E -= 从而 ()()()()22000D t X Y t X Y t X Y -=E --E -()200t X Y ≤E -=即 ()00D t X Y -= 且 ()00t X Y E -= 于是 {}001t X Y P -== 即 {}01Y t X P ==反之，若存在常数0t ，使得（11）式成立，即{}001t X Y P -==从而 {}222001t X Y P -==，(){}001t X Y X P -== 于是 {}22200Y t X E -=，{}200YX t X E -= 即 ()()2220Y t X E =E ，且()()20XY t X E =E故 ()()()()222222200XY t X t X X ⎡⎤E =E =E E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22Y X =E E 即在（10）式中等号成立.例4 设随机变量i X 与j X 的相关系数i j ρ存在，则1i j ρ≤且1i j ρ=的充要条件为i X 与j X 以概率1线性相关.即存在常数(),0a b a ≠，使{}1j i X aX b P =+=，其中当1i j ρ=时，0a >；当1i j ρ=-时0a <.证明对随机变量()()i i i X X D X -E 与()()j j j X X D X -E 应用柯西施瓦茨不等式，有()()()()()()()()222i i i j j j i i i j i j X X X X X X X X D X D X D X D X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤-E -E -E ⎡⎤-E ⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦E ≤E E ⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭即21i j ρ≤，所以1i j ρ≤，此时等式成立当且仅当存在0t ，使得()()()()01j j i i i j X X X X t D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P ==⎢⎥⎣⎦其中0t 是方程2210i j t t ρ-+=当1i j ρ=时的解.显然，当1i j ρ=时，01t =，即()()()()1j j i i i j X X X X D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P ==⎢⎥⎣⎦当1i j ρ=-时，01t =-，即()()()()1j j i i i j X X X X D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P =-=⎢⎥⎣⎦该定理表明：当1i j ρ=时，i X 与j X 之间存在线性关系，从而相关系数i j ρ作为“标准尺度下的协方差”是随机变量i X 与j X 之间的线性强弱程度的度量，更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中，求直线趋势方程的两个待定系数时，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 （求方程系数中的应用）当函数(),1,2,,i i y f t i n ==（），是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程e y a bt =+的模型时，要求实际观察值i y 与趋势值e y 离差的平方和必须为最小.解设()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑，这里()()()2211,n ni i i i Q a b a bt y a bt y ===+-=+-∑∑令2112()10,2()0n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅==+-⋅=∂∂∑∑ 整理得到：112111nni i n n n i i i y na b t ty a t b t =====⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑∑∑∑消去a ,2211111n n n n n i i i i i n t t b n ty t y =====⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑.由柯西施瓦茨不等式2222111111n n nn i i i i n t t t ====⎛⎫=⋅≥⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑知22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12111nt t t ===时取等号. 由于t 是时间变量，故12n t t t ≠≠≠，所以22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑所以111221111()n n ni i i n ni i n n i i n ty t y b t t y t a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 在直线回归方程e y a bx =+中，,a b 均为回归系数.在求回归系数时，同样用Cauchy 不等式证明22110n ni i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑得到111221111()n n ni i i n ni i n ni i n xy x y b x x y x a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 事实上，如果，22110nn i i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，由柯西施瓦茨不等式我们得到12,n x x x x ====这时，总体回归直线就是一条平行于y 轴的直线了，这时x 与y 之间没有线性关系，从统计学的角度讲总体中没有变异，就没有必要进行统计了.例 6 （在判断极值存在中的应用）证明()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值.证明因为2112()1,2()n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅=+-⋅∂∂∑∑ 求二阶偏导得222222111212,2,2n n ni i i Q Q Q n t t a b a b ===∂∂∂====∂∂∂∂∑∑∑ 因为222222222211112224n n n n i i i i Q Q Q t n t t n t a b a b ====⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑由柯西施瓦茨不等式我们得到22110nn i i n t t ==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑ 所以222222221140n n i i Q Q Q t n t a b a b ==⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫∆=-⨯=-<⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑又因为2212120n i Q n a =∂==>∂∑，所以()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值，可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现，柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz 不等式定义1 设i j A a =为n 阶方阵，记'A A *=,即同时取共轭又转置.若A A *=,则称A 是一个Hermite 阵.当A 为实矩阵时，Hermite 阵就是实对称阵.命题5 设,nx y C ∈，则(a) 2x y x x y y ***≤⋅ 等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明当x 与y 至少一个为零向量时，结论显然不成立.不妨设0x ≠，定义x yz y x x*=-，则0x z *=.于是20z ≤22x y z y y x y x***==-222x y y x*=-此即222x y x y *≤⋅等号成立0z y ⇔=⇔与x 成比例.（b ）设A 为n n ⨯Hermite 阵且0A ≥,则2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明因为0A ≥，则由Hermite 阵的性质，存在矩阵B,使得A B B *=.命,u Bx v By ==，对u 和v 应用(a),便得到(b).(c)设A 为n n ⨯的Hermite 阵且0A >,则 ‘ 21x y x Ax y A y ***-≤⋅, 等号成立当且仅当x 与1A y -线性相关.证明因为0A >,所以12A -存在,对12u A x =和12v A y -=应用(a),即得欲证的(c).由上可知,nx y C ∈为任意的一对列向量，我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论6 C 表示复数域，x *表示x 的共轭转置向量，n n ⨯ 阶正定矩阵的全体记为(),C n >.设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意一对正交向量,n x y C ∈，有 2112n x Ay x Ax y Ay λλ***⎛⎫≤-⋅ ⎪⎝⎭证明不失一般性，令1x y ==，显然只需要证明当正交向量对1x y ==时，推论6成立.令()(),,B x y A x y *=那么，B 是一个22⨯Hermite 阵，令其特征值为12u u ≥，由Poincare 定理，有 1120n λμμλ≥≥≥> 所以(),B C n ∈>.同时21x Ayx Ax y Ay***-⋅()()()()()()212222222121244det 42x Ax y Ay x AyBx Ax y Ay x Ax y Ay TrB x Ax y Ay y Ay μμμμμμ**********⋅-===+----+-+-()()()1212121211212y Ay y Ay y Ay μμμμμμμμλμμμμ***=≥≥+++-所以()2121121x Axx Ax y Ayμμλμμ***≤-⋅+ 1121111λμμ=-⎛⎫+⎪⎝⎭又因为()()10f x x x=>是单调递减的函数，所以21112nx Axx Ax y Ayλλ***≤-⋅112n λλ=- 这样定理得证.例7 设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意非零向量nx C ∈，有()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤证明令()()211y xA x x A x x -*-=-，这样0x y *=同时()21Ay xx x A x Ax *-=-()()41x Ay x x A x x Ax **-*=-()()1y Ay x A x y Ax **-*=- （12）由（12）式，我们可以得到10y A x x Ay *-*=≤，将（11）式带入推论6，有 ()21112n x Ay x Ax x A x y Ax λλ***-*⎛⎫≤-⋅⋅- ⎪⎝⎭因为0x Ay y Ax **=≤，所以1112n x Ay x Ax x A x λλ***-⎛⎫≥--⋅ ⎪⎝⎭将上式用于()41x Ay x x A x x Ax **-*=-，我们得到()()4112n x x A x x Ax λλ*-*≥即()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b ）2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅，我们可得到21x Ayx Ax y Ay***≤⋅由推论621112nx Ayx Ax y Ayλλ***≤-≤⋅ （13）因此（13）式的结论较柯西施瓦茨不等式精确，所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式，并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用，特别是在概率统计中的实际应用，而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限，在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析，也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]吴传生.数学分析（上册）习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社，2004. [3]邓天炎，叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社，2004. [4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007. [6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京：北京大学出版社，2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学数学科学学院，2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz 不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:4(2009),28-29. [9]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz 不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequalityAuthor:Zha Min Superviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statistics. Keywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。

一个新的实齐次核的Hilbert型积分不等式及其等价形式

Ａｓｒｃ：Ｈａｉｇｉｔｄｃｄａｈｍｏｅｅｕｅｅｆｒａｕｅ — ｅｒｅｗｉｗｎｅｅｄｎａａｔｒｂｔｔａｖｎｎｒｕｅｏｇｎｏｓｋｒｌｏｅｌｎｍｂｒｄｇｅｔｔｏｉｄｐｎｅｔｐｒｍｅｅｓｏｎｈ
设ｐ１１，１＝，）（ ≥ ，＜（）＜，＜ｌｑ）＜则如＞，ｔ／１，ｏ且０ｌｄ ∞ ０（ｄ ∞，有下／＋ｇｇ）ｆｘｘｇｘｘ
Ｈｄ．ｉｅ积分不等式：ｒａｙＨｌｒｂｔ
ＪＩ
这里常数因子－－
第５０卷
第４期
吉林大学学报（理学版）ＪｕｎｌｆｉｎＵｉｅｉＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏｌｎｖｒｔｃｃｄｉＪｉｓｙ（ｅｔｎ
Ｖｏ．Ｎｏ．１５Ｏ４
２１０２年７月
Ｊｌ２２ｕｙ０１
一
个新的实齐次核的Ｈｉｅｔ积分不等式ｌｒ型ｂ及其等价形式
ＳｎＩ，／ＰＩｆｉ
ｄｙ上＇）厂｛ｇ）），＜ｉｔ｛））ｑｄｄｓｒ（ｄ（ｎ／（ｐ
（１）
为最佳值．
近年来，括积分型和级数型的Ｈｉｅ型不等式已有许多推广，但这些推广基本上是负齐次包ｌｒｂｔ
ｗｉｅｔｃｎｔｎａｔｒｔｉｖｌｅｈｑｉａｅｔｉｅｕｌｙｗｉｅｅｓｏｍｓｃｎｉｅｅ．Ｉｉｖｌｅｈｔａｂｓｏｓａｔｆｃｏ，ｉｎｏｖｓｔｅｅｕｖｌｎｎｑａｉｔｒｖｒｅｆｒｏｓｄｒｄｔｎｏｖｓｔｅｈｔｈｆｎｔｎｕｃｉ．Ｔｅｒｖｒｅｉｅｕｌｙａｄｔｅｒｃｒｅｐｎｉｇｅｕｖｌｎｒｓｗｒｉｅ．ｏｈｅｅｎｑａｉｎｈｉｏｒｓｏｄｎｑｉａｅｔｆｍｅｅｇｖｎｓｔｏＫｙｗｏｒｓ：Ｈｉｅｔｔｐｎｅｒｌｎｑａｉｅｄｌｒ－ｅｉｔｇａｅｕｌｙ；ｗｉｈｕｃｉｎ；Ｈ￣ｄｒＳｉｅｕｔｆｎｔｎｂｙｉｔｅｇｔｆｎｔｏｌｅ ’ ｎｑＭｉｙ；ｕｃｉｏ

关于推广的Hardy-Hilbert积分不等式的一个等价式

ｎ＝ｌ
１
口＜：
、Ｊ０
（）ｄ
／
（．）０２
∞。＜０
＜ ∞ ，有则
舯
’
’
酹
傩
鲫
・
ｏ１．
＜
ｓ口（６）ｉ）：壹：｛ｎ（ｐ）
ｎ＝ｌ
（．）０２在分析学中有重要的应用ｎ．于式（．）文］关０２。献［．］了不同形式的推广．２４作文献［］４引进参数ａ、
Ａｓａｔｎｔｓａｒｂｔｄｃｎｅｈｎｔｎ（ｒｔ，ａｑｉｌｎｆｍｏｅｅｔｎｅｂｔｃ：Ｉｉｐｐ，ｙｉｒｕｉａｗｉｔｕｃｏＰ，，）ｎｅｕｖｅｔｏｆｈｘｄｄｒｈｏｎｏｇｇｆｉａｒｔｅ
维普资讯
５２
上海大学学报（然科学版）自
第ｌ卷３
））（＋等
故有
Ｔ（）ｄ＝ｒｒｐ，＿ｕ（，＝，一）ｇ
０＜（Ｐ）一（）≤ Ｃ（ｒｔｒＯＰ，，）≤ ｋ（，Ｐ）ｒ＝Ｐ，．ｑ（．）１３
Ｔ得到了以下推广式：，
设ｐ＞１＋：１＞２ｉ｛ｇ｝口＜ ≤ ，，一ｍｎｐ，，
‘ Ｐｑ ‘ ‘
（．）０１
、
舯
’
昕
胍
雠
・
ｏ．）１
ＨｒｙＨｌｒ不等式，对应的积分形式为：ａ．ｉｅｄｂｔ其
Ｈａｄ－ｌｅｔｉｔｇａｎｑａｉｙｉｒｓｎｅｒｙＨｉｒｎｅｒｌｉｅｕｌｓｐｅｅｔｄ．Ｉｓｓｏｎｔａｏｓａｔｆｃｏｓｔｅｂｓｏｓｂｌｔ．ｂｔｔｉｈｗｈｔａｃｎｔｎａｔｒｉｅｔｐｓｉｉｙｈｉ

若干重要不等式等价性证明及其应用

若干重要不等式等价性证明及其应用
赵焕光，王娜
（温州大学数学与信息科学学院，浙江温州３５３）２０５
摘要：证明了平均值不等式、Ｙｕｇ不等式、ＨｌｅｏｎＯｄｒ不等式、柯西不等式、Ｒｄｎ不等式与幂平均ａｏ
不等式等一系列重要不等式的相互等价，并举例说明其应用．
关键词：重要不等式；等价：证明中图分类号：Ｏ１２３２．文献标志码：Ａ文章编号：１７ —５３２１）２００．５６４３６（０００ —０６０
本文的ＰＦ文件可以从ｘｅａ．Ｈｄ．ＤｕｂｏＷＺ．ｕａ获得ｅｃ
ＤＯＩ１．８５．ｓ．７—５３０００．２：０３７￣ｉｎ１４３６．１．０ｓ６２２０
收稿日期：２０．９１０９０ —１
作者简介：赵焕光（９５）１５一，男，浙江瑞安人，教授，研究方向：数学教育，泛函分析
赵焕光等：若干重要不等式等价性证明及其应用
５ａｏ）Ｒｄｎ不等式之一
７
（）卅ｎ２，则， … 警）ｍ
数的定义或Ｊｎｅｅｓｎ不等式有：
Ａ￣ｎｎ一＝ｎ＋一Ｂ一＝Ａ．（ｎ
因此Ｙｕｇ不等式成立．下面证明等价性．ｏｎ
Ｉ）２：显然．）
＝
Ｏｌ＋ｆ一ＯｅＢ：ＯＡ＋（一ＯＢ，ｅｎＡ１）１ｎ１）
—
，
分别用ｆｆ代替口与易（：１，．，．，与ｆｆｆｆ，－－ｎ２）

带平方和积分的不等式

带平方和积分的不等式引言不等式是数学中一种重要的关系，描述了数值大小之间的关系。

带有平方和积分的不等式则是一类特殊的不等式，结合了平方运算和积分运算的特性，具有较高的复杂性和研究价值。

本文将对带平方和积分的不等式进行全面详细、完整且深入的介绍和分析。

基本概念平方运算平方运算是指将一个数自乘一次的运算，通常用符号”2”表示。

例如，数值a的平方可以表示为a2。

平方运算具有以下基本性质：•非负性：任意实数的平方都大于等于零，即a^2 ≥ 0。

•正负性：当a不等于零时，a^2 大于零；当a等于零时，a^2等于零。

•平方根：对于任意非负实数x，存在唯一的非负实数a，使得a^2 = x。

这个非负实数a称为x的平方根，通常用符号√x表示。

积分运算积分是微积分学中的重要概念，用于描述曲线下面的面积。

积分运算可以将一个函数从一个点到另一个点的变化量表示为一个数值。

在带平方和积分的不等式中，积分运算常常用于描述函数的整体特性。

积分运算具有以下基本性质：•线性性质：对于任意实数a、b和函数f(x)，有∫(a f(x) + b g(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

•区间可加性：对于任意实数a、b和函数f(x)，有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx，其中a ≤ c ≤ b。

•牛顿-莱布尼茨公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

不等式的性质带平方和积分的不等式结合了平方运算和积分运算的性质，具有一些特殊的性质和规律。

平方不等式平方不等式是指带有平方运算的不等式，形如f(x)^2 ≥ 0。

根据平方的非负性质，任意实数的平方都大于等于零，因此平方不等式的解集一般为整个实数集。

积分不等式积分不等式是指带有积分运算的不等式，形如∫f(x)dx ≤ ∫g(x)dx。

积分不等式描述了函数在一个区间上的整体特性，可以用于比较两个函数的大小关系。

重要不等式之间的互相等价性

重要不等式之间的互相等价性
景占策
【期刊名称】《湘南学院学报》
【年(卷),期】2007(028)005
【摘要】在实数集合的紧致性为已知的前提下,证明算术平均值与几何平均值不等式,Cauchy不等式,ЧебыⅢев不等式,H(o)lder不等式,三角不等式之间的互相等价性,而且它们都等价于一个实数的平方不小于零.
【总页数】5页(P19-23)
【作者】景占策
【作者单位】青海师范大学,数学与信息科学系,青海,西宁,810008
【正文语种】中文
【中图分类】O122.3
【相关文献】
1.带偏好锥的综合DEA模型与非支配解之间的等价性 [J], 宋宏业
2.若干重要不等式等价性证明及其应用 [J], 赵焕光;王娜
3.对凸函数定义之间等价性的进一步研究 [J], 古小敏
4.论若干重要不等式之间的互相等价性 [J], 王元江
5.建立党政之间和国家机构之间的互相监督 [J], 曹云华
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。