圆周角定理的证明
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2、圆周角定理的证明
我们如何来证明圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条
弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
AD
我们可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,
2
2
B
∴ ∠ABC= 1 ∠AOC.
2
同样我们可以写出这个命题： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
例题：
求圆中角X的度数
O.
C
70° x
A
B
（1）
D
C 120°
O.
X
B
A
（2）
同样可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●Owk.baidu.comB
∠ABD =1 ∠AOD,∠CBD =1 ∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
我们同样可以得出这样一个结论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB，
A C
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
我们如何来证明圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条
弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
AD
我们可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,
2
2
B
∴ ∠ABC= 1 ∠AOC.
2
同样我们可以写出这个命题： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
例题：
求圆中角X的度数
O.
C
70° x
A
B
（1）
D
C 120°
O.
X
B
A
（2）
同样可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●Owk.baidu.comB
∠ABD =1 ∠AOD,∠CBD =1 ∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
我们同样可以得出这样一个结论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB，
A C
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?