圆周角定理的证明
直径所对圆周角为90度定理(3篇)
第1篇一、引言圆周角是圆中的重要概念之一，它是指圆周上任意两点所夹的角。
在圆中，许多性质和定理都与圆周角有关。
其中，直径所对圆周角为90度定理是圆周角性质中的重要定理之一。
本文将详细介绍该定理的定义、证明过程以及在实际问题中的应用。
二、定理内容直径所对圆周角为90度定理：设圆O中，AB为直径，P为圆上任意一点，连接AP、BP，则∠APB=90°。
三、证明过程证明一：圆内接四边形性质证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆内接四边形性质，圆内接四边形的对角互补，即∠APB+∠AOB=180°。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB+90°=180°。
（4）解得：∠APB=90°。
证明二：圆周角定理证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB=∠AOB/2=90°/2=45°。
（4）又因为∠APB是圆周角，所以∠APB=∠AOB=90°。
四、定理应用1. 圆周角定理的应用在解决与圆周角有关的问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来求解。
2. 构造圆周角在解决实际问题中，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角。
例如，在求解直角三角形中，我们可以利用圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角，进而求解直角三角形的边长。
3. 判断圆心位置在解决一些几何问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来判断圆心的位置。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过判断圆周角是否为90度来确定圆心的位置。
圆周角定理的证明
圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。
下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。
首先，我们需要给出圆周角的定义。
圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。
圆周角的单位是度或弧度。
接下来，我们来证明圆周角定理。
假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。
那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。
接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。
由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。
由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。
现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。
我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。
然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。
我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。
接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。
然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。
由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。
综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。
无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。
圆周角定理 课件
AD＝BD＝5
3 2 cm.
在 Rt△AOD 中，OD＝
OA2－AD2
＝
5 2
cm，所以
∠OAD＝30°，
所以∠AOD＝60°.
所
以
∠AOB
＝
2∠AOD
＝
120
°
，
所
以
∠ACB
＝
1 2
∠AOB＝60°.因为∠AOB＝120°，所以劣弧A︵EB的度数为
︵ 120°，优弧ACB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
(2)连接 AB，AC， 因为 BC 为直径， 所以∠BAC＝π2， 又因为 AD⊥BC， 所以∠BAD＝∠BCA，(8 分)
︵︵ 又因为AB＝AF， 所以∠ABF＝∠BCA，(9 分) 所以∠ABF＝∠BAD， 所以 AE＝BE.(10 分)
类型 2 利用定理及推论进行证明(规范解答)
[典例 2] 如图所示，BC 是半圆 O 的直径，AD⊥BC， ︵︵
垂足为 D，AB＝AF，BF 与 AD、AO 分别交于点 E、G. (1)证明：∠DAO＝∠FBC； (2)证明：AE＝BE.
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
反过来，弧的度数相等，它们所对圆心角的度数也相 等.2.由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周 角的度数等于它所对弧的度数的一半．
《圆周角定理》课件
[例2] 如图所示,已知点A,B,C为圆上三个点,且∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠CAB.
[导学探究]
由圆周角定理可得∠AOB=2∠
可得结论.
ACB
,∠BOC=2∠
CAB ,从而根据∠AOB=2∠BOC
证明:因为∠AOB 和∠ACB 对着,
所以∠AOB=2∠ACB.
因为∠BOC 和∠CAB 对着,
所以∠BOC=2∠CAB.
因为∠AOB=2∠BOC,
所以 2∠ACB=2×2∠CAB,
即∠ACB=2∠CAB.
[例3] 如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E在对角线AC上.
(1)若∠CBD=35°,∠CDB=30°,求∠BAD的度数;
[导学探究]
1.题(1)由同弧所对圆周角相等,可得∠CAD=∠
3.圆周角
第1课时
圆周角定理
一、圆周角
,并且两边都和圆 相交 的角叫做圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都 相等 ,都等于 90° (直角).
1.顶点在
圆上
二、圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角
一半 .相等的圆周角所对的弧 相等
相等 ,都等于该弧所对的圆心角的
.
探究点一
直径、半圆所对的圆周角
AC= -= - =8.
因为 PE⊥AB,所以∠APE=90°.
又因为∠ACB=90°,所以∠APE=∠ACB.
又因为∠PAE=∠CAB,
所以△AEP∽△ABC.
所以 = ,
×
即 =
.
所以 PE= = .
探究点二
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理是几何中著名的定理，亦即“每个三角形的外接圆的内切圆与它的最大外接圆所成的圆周角相等”。
此定理由古希腊数学家艾西法 (Euclid) 于其《几何原本》第六章首次提出数千年前，随着数学的发展，有许多其他的证明方法也被提出：
1、几何距离证明法：两个圆的圆心距离为2R的话，就可以让它们的相切线同时证明最大外接圆的圆周角和最小内切圆的圆周角相等。
可以用两等腰直角三角形向根据勾股定理来演算出，两个圆周角的圆心角度都是相等的。
2、数学归纳法：也就是艾西法于其《几何原本》所作的证明，即归纳法可以证明不论外接圆的半径有什么样的大小它们所成的圆周角都是相等的。
3、几何投影证明法：几何投影证明法通过找到三角形它的内切圆和最大外接圆，把两个圆投影到平面上，将圆心连线作为投影线，使投影线在它们之间形成一条射线，然后可以推出它们所成的圆周角相等。
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。
在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。
让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。
其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。
在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。
我们使用的单位是弧度，而不是度数。
弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。
因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。
现在，我们来看一个圆周上的任意角A。
假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。
我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。
这个等式是圆周角定理的基本公式之一。
接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。
假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。
因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。
这个结论可以进一步推广到任意个角度。
假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。
这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。
圆周角定理证明
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
图1
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
图2
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
图3。
课件3：一 圆周角定理
再见
点评：当题目结论与比例式有关时,可考虑证明三角形相似．
3．在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD，AC 与 BD 交于点 E， 求证：ABEE＝ABDC.
︵︵ 证明：由AB＝AB， 得∠ADE＝∠ACB. 又∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，即ABEE＝ABDC.
4．如图所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC，求 证∠ACB＝2∠BAC. 分析：利用圆周角定理证明． 证明：∵∠ACB＝∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC， ∴∠ACB＝∠BOC. 又∵∠BAC＝∠BOC， ∴∠ACB＝2∠BAC.
►变式BC＝4 cm,则OD ＝__2_c_m____． 2.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD＝4,BD＝8,圆 O的半径r＝___5_____．
题型二 证明问题
例2 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证： ∠BAE＝∠DAC. 分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角是直 角．因此，连接BE，得到∠ABE＝90°.同时，在△ABE与 △ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，从而结论 得以证明． 证明：如图，连接BE.
一 圆周角定理
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等. 推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的 弦是直径
题型一 角、弦、弧长计算
例1 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦AB,求此弦所对 的圆周角. 解析：如图所示，
【正解】根据题意画出大致示意图如图所示，∠AOB 为弦 AB 所对的圆心角，∠C 和∠D 是弦 AB 所对的圆周角． ∵AB＝OA＝OB， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，∴∠C＝30°，∴∠D＝150°， ∴弦 AB 所对的圆心角为 60°，所对的圆周角为 30°或 150°. 易错点：对圆周角的概念理解不清 【疑难点辨析】顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一 条弦所对的圆周角应有两种情况．
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。
它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。
圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。
本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。
一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。
它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。
也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。
以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。
其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。
此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。
三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。
它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。
此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。
2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。
圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。
圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。
四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。
圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它给出了圆内任意一对弧所对应的圆周角相等的条件。
本文将通过推理和证明，解释圆周角定理的原理和应用。
我们来回顾一下圆周角的概念。
圆周角是由两条弧所夹的角，其中一条弧是圆上的一段弧，另一条弧是连接该圆上两个端点的弦。
我们将这两条弧所夹的角称为圆周角。
下面，我们来证明圆周角定理。
假设在一个圆上有两条弧AB和CD，它们所对应的圆周角分别为∠AOB和∠COD。
我们要证明的是∠AOB = ∠COD。
我们连接线段AC和BD，将圆分成了两个扇形OAC和OBD。
由于扇形是圆的一部分，所以扇形OAC的圆心角等于∠AOB，扇形OBD的圆心角等于∠COD。
我们要证明的是∠AOB = ∠COD，即证明扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。
接下来，我们来证明线段AC和BD所夹的角等于圆心角。
首先，我们连接线段AO和BO，线段OC和OD，得到了两个三角形AOB和COD。
由于AO = BO，OC = OD，而且∠AOB和∠COD都是直角，所以三角形AOB和COD是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO，∠CDO = ∠COD。
而且，三角形AOB和COD的两个直角边分别是AO和BO，OC和OD，它们的长度相等。
根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BOA = ∠DOA，∠AOC = ∠COA。
现在，我们来看看扇形OAC和OBD的圆心角。
根据扇形的定义，圆心角等于弧所对应的圆周角的两倍。
所以扇形OAC的圆心角等于∠BOA，扇形OBD的圆心角等于∠DOA。
由于∠BOA = ∠DOA，所以扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。
根据我们之前的推理，我们已经证明了扇形OAC和OBD的圆心角相等。
由于圆周角是由扇形的圆心角所对应的，所以我们可以得出结论：圆周角∠AOB = ∠COD。
通过上述的推理和证明，我们证明了圆周角定理的正确性。
圆周角定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的角度问题时，它可以帮助我们简化计算和推导的过程。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理及推论
圆周角定理及推论圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证明：C B∥P D；（2）若B C＝3，，求⊙O的直径．1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，︒=∠80CEB,则CAB∠等于（）A．︒30B．︒40C．︒45D．︒602.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为120°那么它所对的弦长为( )A、3 34ΠL B、3 24ΠL C、3 32ΠL D、3 22ΠL（第3题图）3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（ ）A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．22C ．2D ．25.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ( )A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒C ABD （第5题） O（第4题图）。
圆周角定理证明过程
圆周角定理证明过程嘿，咱今儿个就来唠唠圆周角定理的证明过程哈！你想啊，圆那可是个神奇的玩意儿，里面的学问大着呢！圆周角定理就像是圆这个大宝藏里的一颗璀璨明珠。
咱先搞清楚啥是圆周角。
就是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角嘛。
那圆周角定理说的是啥呢？就是同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
那咋证明呢？咱就拿个具体例子来说。
比如说有个圆，圆心是 O，有个圆周角∠ABC 对着弧 AC。
然后呢，咱连接 OA、OC，这样就出来个三角形 ABC 和三角形 AOC 啦。
你看啊，OA=OC，这两条边相等吧，那这三角形 AOC 就是个等腰三角形，那两个底角∠OAC 和∠OCA 就相等呀。
然后呢，外角等于不相邻的两个内角和，那∠BOC 不就是∠AOC 的外角嘛，所以∠BOC就等于∠OAC 加∠OCA，也就是 2 倍的∠OAC 呀。
那∠ABC 是∠BOC 的一半，那不就证明出来圆周角等于圆心角的一半啦！这就好比你有一堆糖果，你要分给两个人，你发现不管怎么分，其中一个人得到的糖果总是另一个人的一半，这不是挺神奇的嘛！圆周角定理不就跟这个道理似的。
再换个例子，还是那个圆，这次有个不同的圆周角，咱还是用同样的方法去证明，你会发现，嘿，还是符合圆周角定理。
证明圆周角定理的过程就像是走一条路，有时候会遇到些小曲折，但只要咱一步一步走，总能走到终点，看到那美丽的风景，也就是证明出来这个定理呀。
咱学习圆周角定理的证明过程可不能死记硬背呀，得理解透彻，就像咱得知道为啥要这么走那条路一样。
这样以后遇到相关的问题，咱就能轻松应对啦，就跟咱熟悉了回家的路一样，闭着眼都能走回去。
所以啊，大家可别小瞧了圆周角定理的证明过程，这可是数学世界里的一个重要宝藏呢！好好去探索，你会发现更多的精彩哦！这可不是我瞎说，你自己试试就知道啦！。
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。
一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。
另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。
例如，考虑一个六边形。
由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。
另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。
此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。
同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。
由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。
总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。
圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．
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我们可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,
2
2
B
∴ ∠ABC= 1 ∠AOC.
2
同样我们可以写出这个命题： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时? A
2、圆周角定理的证明
我们如何来证明圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条
弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
同样可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD =1 ∠AOD,∠CBD =1 ∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
我们同样可以得出这样一个结论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
例题：
求圆中角X的度数
O.
C
70° x
A
B
（1）
D
C 120°
O.
X
B
A
（2）
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB，
A C
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?