利用多项式拟合获得汽车发动机外特性曲线的几种方法

利用多项式拟合获得汽车发动机外特性曲线的几种方法
发动机外特性是汽车动力性计算的主要依据，基本车型的发动机外特性应由制造厂提供。

发动机外特性为非线形曲线，通过多项式拟合的方法可以获得描述发动机外特性的数学方程。

已有研究结果证明标明再工程应用上采用二次方程来描述汽车发动机外特性已具足够精度，即
2
e e e T an +bn c =+ (1-1)
式中：e T
——发动机输出扭矩，N m ；
e n ——发动机输出转速，r min 。

式(1-1)中系数a ，b ，c 可以由外特性确定，获得途径有多少种： 1.多点拟合法
如果已知发动机外特性确定曲线N 个点（ei ei n ,T ），i=1，2，3，……,N,则利用最小二乘法可以获得系数a,b,c 的估计值，令：
()()
2
2
N
N
2
ei ei ei ei i 1
i 1
e
E T T an
+bn c T ===
-=
+-∑∑
由
()()(
)
N
22
ei ei ei ei i 1
N 2
ei ei ei ei i 1N 2
ei ei ei i 1E
2an +bn c T n 0a
E 2an +bn c T n 0a E 2an +bn c T 0a ===⎫∂=+-=⎪∂⎪
⎪∂=+-=⎬∂⎪
⎪∂=+-=⎪∂⎭∑∑∑ (1-2) 得
N N N N
4322
ei ei ei ei ei i 1i 1i 1i 1N N N N
32ei ei ei ei ei i 1i 1i 1i 1N N N
2ei ei ei
i 1i 1i 1n a n b n c T n n a n b n c T n n a n b N c T ===========⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪
⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪
++=⎬
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪
⎪⎛⎫⎛⎫
⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (1-3) 解此线性方程组，即可以求出系数a,b 和c 。

2.三点插值法
如果已知发动机外特性曲线上的三个点（ei ei n ,T ），i=1，2，3，则利用拉格朗日插值法可以求出系数a,b 和c 。

拉格朗日插值三项式可以写成
()()
()()
()()
()()
()()
()()
e
e2e e3e
e1e e3e
e1e e2e1
e2e1e3e2
e1e2e3e3
e1e3e2e e1
e2
e3
n n n n n n n n n n n n T T T T n
n n n n
n n n n
n n n ------=++------ (1-4)
由式（1-1）和（1-4）可以得
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()e1e2e1e3e2e1e2e3e3e1e3e2e2e3e1e3e1e2e1e2e1e3e2e1e2e3e3e1e3e2e2e3e1e3e1e2e1e2e1e3e2e1e2e3e3e1e e1
e2
e3
e1e2e3e1e2e3
T T T a n n n n n n n n n n n n n n T n n T n n T b n n n n n n n n n n n n n n T n n T n n T c n n n n n n n n n n n =
+
+
------+++=---------=+-
-----()3e2n ⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
⎪⎪-⎭
(1-5)
3.经验公式
如果仅仅知道发动机的最大输出功率，最大输出转矩及其相应的转速，常用下列经验公式描述发动机的外特性：
()
()2
T e 2
T
P em p
e em T T T T n n n
n -=-
-- (1-6)
式中：em T —发动机最大输出转矩N m ；
T n ——发动机最大输出转矩时的曲轴转速，r min ； P
n ——发动机最大输出功率时的曲轴转速，r min ； p
T ——发动机最大输出功率时的输出转矩，N m ；
em P
p p T 9549
n =，
em
P 为发动机最大输出功率，kW 。

由式（1-1）和式（1-6）可得：
()()()
()2
T P T 2
T P 2T 2
T P em p
em p em p em T T a n n 2n T T b n n T T c T n n n ⎫
-+=⎪⎪-⎪⎪-⎪
=⎬-⎪⎪
-⎪
=-⎪-⎪⎭
(1-7) 在以上介绍的三种确定系数a,b,c 的方法中，三点插值法既有较高是精度，其计算也比较简单。

应该指出的是技术文件中给出的发动机外特性曲线是台架试验测量出来的，
台架试验室时发动机处于相对稳定工况，且为带来风扇，水泵分、等附件，因此对台架试验数据用修正系数μ加以修正，才能得到发动机使用外特性。

各国的台架试验所执行的标准不同，故修正系数μ的取值也不同。

按SAE标准试验（美法意）μ=0.81~0.84
按BS标准试验（英）μ=0.83~0.85
按GB标准试验（中）μ=0.85~0.91
按JIS标准试验（日）μ=0.88~0.91
按DIN标准试验（德）μ=0.90~0.92。