3.4 晶格振动谱的实验测定方法
固体物理课件3.4
2) 光子与光学波声子的相互作用 —— 光子的拉曼散射 能量守恒 ℏω '−ℏω = ± ℏω ( q ) 动量守恒 ℏk '− ℏk = ± ℏq ± ℏK m —— 可见光或红外光波矢很小 要求声子的波矢必须很小 —— 光子的拉曼散射限于光子与长光学波声子的相互作用 散射光和入射光频率位移
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3 中子非弹性散射
p2 入射晶体时中子的动量和能量 p and E = 2M n p '2 出射晶体后中子的动量和能量 p ' and E ' = 2M n
能量守恒
p' p − = ± ℏω ( q ) 2M n 2M n + : ℏω ( q ) − : ℏω ( q ) Absorb a Phonon Emit a Phonon
p − p ' = ± ℏq ± ℏK m
—— 得到声子的振动谱 ω ( q ) ~ q —— 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近， 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，测 定中子散射前后能量变化， 定中子散射前后能量变化，直接给出声子能量的信息
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—— 入射光子受到声子散射， 入射光子受到声子散射，在晶格中放出一个声子 或者吸收一个声子
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结束
1) 光子与长声学波声子相互作用 —— 光子的布里渊散射 长声学波声子
ω ( q) = v p q
c 光子的频率 ω = k = v n k n
—— 可见光光子的波矢 ~104 cm-1
34晶格振动谱的实验测定方法
(B)
Diffuse X-Ray Scattering
远红外和红外光谱 喇曼光谱 布里渊散射谱 X 射线漫散射
Inelastic neutron Scattering Ultrasonic methods
(INS) 非弹性中子散射 (US) 超声技术
Inelastic electron tunnelling Spectroscope （IETS) 非弹性电子隧道谱
(2)(3n-3)支光学支格波 横波（TO） 纵波（LO） longitudinal optical wave
纵波：原子振动方向与波传播方向一样 横波：原子振动方向与波传播方向垂直
光学波
声学波
光学纵波
声学纵波
光学横波
声学纵波
光学波：相邻原子振动方向相反，即质心不变，原子相对运动 声学波：相邻原子振动方向相同，即质心运动
晶格振动的横波和纵波
三维晶格的振动： ? ms? 2 As? ? ??? 3n 个线性齐次方程
3n个? 的实根
(1)其中有3个当波矢q ? 0时, ? Ai ? vAi (q)q ,(i ? 1,2 ,3)
声学支格波 两支横波(TA) transverse acoustic 一支纵波(LA) wave
? 光折变效应首先是由贝尔实验室的 Ashkin 等人于
1965年发现的。
? 他们用LiNbO 3 和LiTaO 3 晶体进行倍频实验时意外地
发现，由于光辐照区折射率的变化破坏了产生倍频的 相位匹配条件，从而降低了倍频转换效率。
光折变效应的物理机制
? 光折变效应是发生在电光材料中的一种电光现 象。
固体光散射
? 弹性与非弹性散射 布里渊散射与喇曼散射
晶格振动谱的实验测定11
本节主要内容:
一、 中子的非弹性散射
二、 可见光的非弹性散射
晶格振动谱的实验测定
晶格振动的频率与波矢 q 之间的关系 (q )称为格波的色 散关系，也称为晶格振动谱。 实验方法主要通过中子、光子、 X射线与晶格的非弹性 散射；而热中子的非弹性散射是最常用的方法，因为热中子 的能量和动量与声子的产生或湮灭所需的对应值在同一数量 级，所以在散射时，入射中子的能量与动量有显著变化。 把晶格振动用准粒子—声子来描述，外部粒子和晶格相互作 用后的能量和动量的变化传递给了声子，则外部粒子和声子之 间满足能量和动量守恒(下面为简单，仅考虑一个声子的情况)。 设入射粒子能量为 ，初动量为P；和晶体相互作用后能量 为/ ，末态动量为： P/.则对入射粒子有：
Atot e
i ( k k ) Rn
it [1 i(k k ) un (t )]e
和项(亦即只考虑与非弹性散射有关的项)，得：
Atot e
inel n
i ( k k q ) Rn
i ( ( q )t s (k k ) u0 s e
e
i ( k k ) u n ( t ) 由于un (t )为小量，则：e 1 i(k k ) un (t )
Atot e
n
i ( k k ) Rn
it [1 i(k k ) un (t )]e
由此就解释了引入声子以后入射粒子发生非弹性散射时满足 能量和动量守恒的原因。
—这就是与非弹性散射有关的振幅。
中子的非弹性散射，即利用中子的德布罗意波与格波的相互作 用。 由于中子能量一般为0.02-0.04eV，与声子的能量是同数量级； 中子的德布罗意波长约为2-3×10-8cm，正好是晶格常数的数量 级。因此提供了确定格波q，ω 的最有利条件；实验上已经对相 当多的晶体进行了中子非弹性散射的研究。 中子的非弹性散射目前是测定声子谱最有效的方法。
固体物理：第三章 晶格振动总结-
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
第二项表示电场 E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W 表示离子位移引起的极化，第
..
m xn xn xn1 xn xn1
• 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相 邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其 它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个 原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动 相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的 运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了 很大的困难.
高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项
的近似)。
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk xnk
nk
d2u dr 2
r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n n+1 n+2
• (2) 与实验结果吻合得较好.
• 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻 不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条 件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为 了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定 是对晶格振动理论的最有力验证). 玻恩卡门条件是晶格振动理 论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
确定晶格振动谱的实验方法
域内的声子，即长波声子。
(1)布里渊散射：光子与长声学波声子的相互作用；
(2)拉曼散射：光子与光学波声子的相互作用；
(3)斯托克斯散射：散射频率低于入射频率的散射(发射声子)
(4)反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率的散射（吸收声子） 2.X-射线散射 X光光子能量---104eV 声子能量---102eV 能量变化很少，不易测量。
“-”表示发射一个声子
Ω Ω k k q K h
k 和代表入射光的波矢和能量，
代表出射光的波矢和能量。 Ω k 和
可见光范围，波矢为105cm-1的量级，故相互作用的声子的
波矢也在105cm-1的量级，只是布里渊区中心附近很小一部分区
“+”表示吸收一个声子
“-”表示发射一个声子
P ' P q K h
固定入射中子流的动量 p ， E
P2 ； 2M n 2 P 测出不同散射方向上的动量 p ， E 2M n
(q )
2.仪器
单色器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
Pb的声子谱
4.5.2 光的散射和X-射线散射
1.光的散射 光子与晶体 的相互作用 光子吸收或发射声子 非弹性散射 光子与晶体中声 子的相互作用
散射过程满足能量守恒和准动量守恒。
Ω Ω “+”表示吸收一个声子 k k q K h
中子源
准 直 器
2
准直器
样品
分析器
反应堆中产生 的慢中子流
探测器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
中子谱仪结构示意图
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
第三章--晶格振动
可以确定ω (q)，
—— 中子的能量 ~ 0.02~0.04 eV —— 声子的能量 ~ 10 –2 eV
测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
—— 确定声子的频率 E 'n En (q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系
—— 确定声子的波矢
第三章 晶格振动
X光子的频率比声子高得太多 X光子受到声子散射后，其频移非常小，
这在测量上是相当困难的。
第三章 晶格振动
目前最方便和有效的测量声子谱的方法是 用中子的非弹性散射方法。
慢中子的能量和动量都和声子相差不太远
可以较易测定被声子散射前后中子能量和 动量的变化，
较易获得声子能量（频率）和动量（波矢） 的信息，即能方便地获得声子谱
由于声子频率远小于光子，碰撞后光子的
频率改变很小，可以认为：
我们有k≈k′
第三章 晶格振动
这样据图3.5，声子波矢可由下式得到
q 2k sin
2
图3.5 光散射过程中晶 格动量守恒示意图
第三章 晶格振动
这样根据光子与声子碰撞后的频移，可以 得到声子的频率。
由光子波矢方向的改变，可得声子的波矢
表示在单位体积内，频率在ω 到ω +dω 范围内 的振动模式数目
E 0 (
1
1)g() d 2
ekBT 1
第三章 晶格振动
3.5.2频谱密度
如果知道g(ω )，积分是可以计算的。
定义： g() lim Δn dn 0 Δω dω
dn为频率在ω 到ω +dω 范围内的振动模式 数目
第三章 晶格振动
3.4 声子,声子谱的测定-cai071
2: 独立格波的总数=晶体中原子总自由度数
每一种格波都有一定的频率ω和波矢q ,由色散关系ω (q)决定二者关系 该种格波是所有原子都共同参与的集体运动形式,称为:简正振动模式
3NS
ωj (q) j=1,2,…3s 共有3s支 q=q1 q2…qN
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3.4声子,声子谱的测定 前面是按经典理论得出结果
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
量子理论处理：写出研究对象的哈密顿量，求解相应 的薛定谔方程，求解 哈密顿量=动能+位能 体系能量=格波能量 理论上可以证明： 格波总能量等价于N个简谐振子能量之和
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3.4声子,声子谱的测定
说明:振子能量的增减只能是
的整数倍, 3NS种独立格波, 3NS谐振子
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因此,与之等价的格波的能量也是量子化的 格波≠谐振子
3.4声子,声子谱的测定
1 E ( n) 2 1 E ( 2) 2 1 E ( 1) 2 1 E 2
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
描述晶格振动的基本成分----- 3NS种独立格波
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3.4声子,声子谱的测定 理论依据
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
运动方程是线性的
d 2 xn m 2 ( xn1 xn1 2 xn ) dt
方程特解为：
xn Ae
i (t naq )
普遍解=特解线性组合 实际运动情况=独立格波线性组合
3.4声子,声子谱的测定
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3.4 三维晶格振动
������������������������ ������������′������ ′ ������′
0
一、三维晶格振动
• 运动方程
������������ ������������������������ = − ������������������������,������′ ������ ′ ������′ ������������′ ������ ′ ������′
������������������ ������ −������������������������ ℏ������������
3.4 三维晶格振动 格波量子-声子
一、三维晶格振动
• • • • • 晶体中有N个元胞，每个元胞中有n个原子 元胞的位置：������������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ������3 ������3 第j个原子质量：������������ 晶体位移矢量分量：������������������������ 系统动能： 1 2 ������ = ������������ ������������������������ 2
������ ′ ������ ′ ������′
其中原子力常数
������������������������,������′ ������ ′ ������′
������ 2 ������ ≡ ������������������������������ ������������������′ ������ ′ ������′
ℎ������ ������ ������������ ������
因为������ ∈ 1������������，所以
晶格振动谱的实验测定方法 赵 邢 王
2.1.1实验测量方法
1.测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
—— 确定声子的频率
2.根据入射中子和散射中子矢量关系 —— 确定声子的波矢 —— 得到声子的振动谱
2.1.2 测量仪器---三轴中子谱仪
所谓三轴，是指单色器、样品，分析器三者都有各 自的轴可自由转动以实现测量。图 三轴Biblioteka 子谱仪2.2 光子非弹性散射
光子与晶体 的相互作 光子吸收或发射声子 非弹性散射 光子与晶体中声 子的相互作用
散射过程满足能量守恒和准动量守恒。
P '2 P2 s ( q ) 2M n 2M n
“+”表示吸收一个声子 “-”表示发射一个声子
P ' P q Gh
同样如果固定入射光，而测量不同方向散射光的 频率，就可以得到声子的频率和波矢。
可以利用其他波与格波的相互作用以实验的方法直接测定ω (q)。 一般用： —— 中子非弹性散射 —— X射线散射 —— 光子与晶格的非弹性散射
中子、x射线、光子与声子的比较
2.1中子非弹性散射
中子吸收或发射声子 非弹性散射
中子与晶体 的相互作用
中子与晶体中声 子的相互作用
散射过程满足能量守恒和准动量守恒。
理是相同的。 X射线的波矢与声子波失同数量级，因此测量的范 围可以遍及整个布里渊区，而不是局限在布里渊区中心
附近。
但是X射线的能量远大于声子的能量，发生散射以
后，频率的改变量相对很小，技术上很难直接测定前后
能量差，从而确定声子的能量是很困难的。
声学波声子的波矢近似地写成不同角度方向测得散射光子的频率得到声子频率声子的波矢声子的波矢声子振动谱散射光和入射光的频率位移布里渊散射2光子与光学波声子的相互作用光子的拉曼散射能量守恒动量守恒可见光或红外光k很小光子与光波声子发生相互光子的拉曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用作用要求声子的波矢q必须很小散射光和入射光的频率位移
确定晶格振动谱的实验方法课件
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斯托克斯散射：散射频率低于入射频率的散射； 反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率的散射。
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(1)布里渊散射：光子与长声学波声子的相互作用；
长声学波声子, q→0, q<<Ω
由
||ΩkurΩkr
| |
qv
，
ur r k k
Q=ck,' n
r k'
q2ksin k
P
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P'2 P2 (q )
固定入射中子流的动量 p，E P 2
测出不同散射方向上的动量
p
2M
，E
n
2Mn 2Mn
； P v ' P v h q v h K v h
P2
(q)
2.仪器
2M n
单色器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
中子源
反应堆中产生 的慢中子流
2
准 直 器 样品
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11
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12
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13
2.X-射线散射
为了能测出更大波矢范围内的振动谱，就得采 用更大波矢的光子
X光的波长范围为10-7-10-11m，可以用来测定相当大波矢
量范围内的振动谱。 当这时候，不满足q→0，
q2ksink不 再 适 用
2
由||ΩkurΩkr ||qv 来求
2
r
q
r
k
测出一系列的θ，可以求出q,从而得到ω与q的关系曲线
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(2)拉曼散射：光子与光学波声子的相互作用；
拉曼散射中所用的红外光的波长在10-3-10-6m的范围， 与红外光相互作用的格波的波长也应该是同数量级的。
3.4 三维晶格振动格波量子——声子 一、三维晶格振动
( ) d 2u
dt 2
= βa2 2m + M
∂2u ∂x 2
=
v
2
A
∂2u ∂x 2
上式即为宏观弹性波的波动方程，其中
β
vA = a 2(m + M )
是用微观参数表示的弹性波的波速。
固体中的长声学波就是弹性波。对于长声学波，晶格可以看作是连续介 质。波长λ比晶格常数a大得多。
这里的 变换形式，称为动力学矩阵。
是力常数 矩阵的傅里叶
以下方程是 3n 个有限的关于未知系数
的线性齐次方程组。要使
得该方程组有非零解，则其系数行列式等于0。
由此可以解除 3n 个色散关系：
这里的 3n 就是一个元胞内的自由度数目。 3支声学支（元胞的质心自由度，代表了原子的整体振动），其中包含 2 支横波，1支纵波。 3n-3支光学支（代表了元胞内原子的相对振动），其中包含 2（n-1）支横 波，（n-1）支纵波。
光学波的频率随q变化很小，在实际计算中，将其视为与波矢q无关的常数。 在三支声学波中一支是纵波，两支是横波。 当q 很小时， ω 与q 成比例，这 时，声学波与弹性波一样，波速为常数，而且就是弹性波的速度。
频率ω 和波矢q的关系曲线。 沿[100]及[111]轴两支横波 简并。 (图中横坐标以2π/l为单位， 其中l代表有关轴向的格点 间距)
=
, ������������������������������������−������������������������������������������������
∑������������ ������������������������������������−������������������������������������������������
晶格振动和晶体的热力学-To students
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑 到环链的循环性 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
则有 要求
2 q h —— h为整数 Na
波矢的取值范围
N N h 2 2
波矢
2 q h Na
3）选取Born-Von Karman边界条件，还可以抵消 有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏，从 而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的 内在禀性：平移对称性
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的
，每个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
晶格振动和晶体的热学性质
凌福日 lingfuri@
• • • • • • • •
3.1 一维晶格的振动 3.2 三维晶格的振动 3.3 简正振动 声子 3.4 晶格振动谱的实验测定方法 3.5 长波近似 3.6 晶格振动热容理论 3.7 晶格振动的非简谐效应 3.8 晶体的热力学函数
群速为0的波矢 的物理意义何在呢?
• 由于邻近原子振动的位相差为qa，即邻近原子散射的子波 的位相差为π，故被B反射的子波到达被A反射的子波时，
它们的位相相同（或相差2π的整数倍）。这种情形适用于
被其它晶格点所反射的子波，在 q= π/a 处，所有的散射子 波相长地干涉，结果反射取极大。这与X射线中的布拉格 条件相同，只不过这里是弹性波。从物理上看，由于反射 极大，它与入射波形成驻波，当然它的群速为零。可见，
预处理
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量 势场来描述电子对离子运动的影响。将电子的运动和离 子的运动分开 。基于将离子、电子划分为两个子系统 而分别加以处理的理论简化方案，分别形成了晶格动力 学和固体电子论两大分支。
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。
用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。
(2)振动方程和解平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ，t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。
) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解：()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω，同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位，相邻原子间的位相差为aq 。
高二物理竞赛确定晶格振动谱的实验方法课件
hwj ln exp njb hwj 1
1
E频0率不变的弹性散射hw光g，ω称d为wRa用yleig可h散射见；光散射方法只能测定原点附近的很小一部分
中子的de Broglie波长： 2 ~3×10－10 m （2 ~ 3Å）， 正好与晶格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动 谱的信息。
E1和p1 （E2和p2 ）长：入波射（声出射子）中的子的振能量动与动谱量 ，而不能测定整个晶格振动谱，这是
设： a ＝ a0 ＋ Da
光可见散射法的最根本缺点。 感应的偶极矩将向空间辐射电磁波，形成散射光。
入射光较弱时：p＝aE
§1、确定晶格振动谱的实验方法
将发生或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射。
三、X光的非弹性散射 X光光子的波长~1Å的数量级，其波矢与整个布里渊
区的范围相当，原则上说，用X光的非弹性散射可以研究 整个晶格振动谱。
缺点：一个典型X光光子的能量为~104 eV，一个典型声 子的能量为~10－2 eV 。一个X光光子吸收 （或发射）一个 声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为 10－6 ，在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。
局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况。
Pb的晶格振动谱
Si GaAs
二、可见光的非弹性散射 我们将发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射
； 将发生或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射。 能量守恒和准动量守恒 （单声子过程）：
{ hw2 hw1 hw q hk2 hk1 hq
Brillouin散射：频移w2－w1介于107 ~31010 Hz
2023年大学_固体物理基础第三版(阎守胜著)课后题答案下载
2023年固体物理基础第三版（阎守胜著）课后题答案下载固体物理基础第三版（阎守胜著）课后答案下载第一章金属自由电子气体模型1.1 模型及基态性质1.1.1 单电子本征态和本征能量1.1.2 基态和基态的能量1.2 自由电子气体的热性质1.2.1 化学势随温度的变化1.2.2 电子比热1.3 泡利顺磁性1.4 电场中的`自由电子1.4.1 准经典模型1.4.2 电子的动力学方程1.4.3 金属的电导率1.5 光学性质1.6 霍尔效应和磁阻1.7 金属的热导率1.8 自由电子气体模型的局限性第二章晶体的结构2.1 晶格2.1.1 布拉维格子2.1.2 原胞2.1.3 配位数2.1.4 几个常见的布拉维格子2.1.5 晶向、晶面和基元的坐标2.2 对称性和布拉维格子的分类2.2.1 点群2.2.2 7个晶系2.2.3 空间群和14个布拉维格子2.2.4 单胞或惯用单胞2.2.5 二维情形2.2.6 点群对称性和晶体的物理性质 2.3 几种常见的晶体结构2.3.1 CsCl结构和立方钙钛矿结构 2.3.2 NaCl和CaF、2结构2.3.3 金刚石和闪锌矿结构2.3.4 六角密堆积结构2.3.5 实例，正交相YBa2Cu307-82.3.6 简单晶格和复式晶格2.4 倒格子2.4.1 概念的引入2.4.2 倒格子是倒易空间中的布拉维格子 2.4.3 倒格矢与晶面2.4.4 倒格子的点群对称性2.5 晶体结构的实验确定2.5.1 X射线衍射2.5.2 电子衍射和中子衍射2.5.3 扫描隧穿显微镜第三章能带论I3.1 布洛赫定理及能带3.1.1 布洛赫定理及证明3.1.2 波矢七的取值与物理意义3.1.3 能带及其图示3.2 弱周期势近似3.2.1 一维情形3.2.2 能隙和布拉格反射3.2.3 复式晶格3.3 紧束缚近似3.3.1 模型及计算3.3.2 万尼尔函数3.4 能带结构的计算3.4.1 近似方法3.4.2 n(K)的对称性3.4.3 n(K)和n的图示3.5 费米面和态密度3.5.1 高布里渊区3.5.2 费米面的构造3.5.3 态密度第四章能带论Ⅱ4.1 电子运动的半经典模型 4.1.1 模型的表述4.1.2 模型合理性的说明4.1.3 有效质量4.1.4 半经典模型的适用范围4.2 恒定电场、磁场作用下电子的运动4.2.1 恒定电场作用下的电子4.2.2 满带不导电4.2.3 近满带中的空穴4.2.4 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4.2.5 恒定磁场作用下电子的准经典运动 4.3 费米面的测量4.3.1 均匀磁场中的自由电子4.3.2 布洛赫电子的轨道量子化4.3.3 德哈斯一范阿尔芬效应4.3.4 回旋共振方法4.4 用光电子谱研究能带结构4.4.1 态密度分布曲线4.4.2 角分辨光电子谱测定n(K)4.5 一些金属元素的能带结构4.5.1 简单金属4.5.2 一价贵金属4.5.3 四价金属和半金属4.5.4 过渡族金属和稀土金属第五章晶格振动5.1 简谐晶体的经典运动5.1.1 简谐近似5.1.2 一维单原子链，声学支 5.1.3 一维双原子链，光学支 5.1.4 三维情形5.2 简谐晶体的量子理论5.2.1 简正坐标5.2.2 声子5.2.3 晶格比热5.2.4 声子态密度5.3 晶格振动谱的实验测定 5.3.1 中子的非弹性散射5.3.2 可见光的非弹性散射 5.4 非简谐效应5.4.1 热膨胀5.4.2 晶格热导率第六章输运现象6.1 玻尔兹曼方程6.2 电导率6.2.1 金属的直流电导率6.2.2 电子和声子的相互作用 6.2.3 电阻率随温度的变化 6.2.4 剩余电阻率6.2.5 近藤效应06.2.6 半导体的电导率6.3 热导率和热电势6.3.1 热导率6.3.2 热电势6.4 霍尔系数和磁阻第七章固体中的原子键合7.1 概述7.1.1 化学键7.1.2 晶体的分类7.1.3 晶体的结合能7.2 共价晶体7.3 离子晶体7.3.1 结合能7.3.2 离子半径7.3.3 部分离子部分共价的晶体7.4 分子晶体、金属及氢键晶体7.4.1 分子晶体7.4.2 量子晶体7.4.3 金属……第八章缺陷第九章无序第十章尺寸第十一章维度第十二章关联固体物理基础第三版（阎守胜著）：基本信息阎守胜，1938生出生，1962年毕业于北京大学物理系，现任北京大学物理学院教授，博士生导师，兼任中国物理学会《物理》杂志主编，他长期从事低温物理，低温物理实验技术，高温超导电性物理和介观物理方面的实验研究，并讲授大学生的固体物理学，低温物理学和现代固体物理学等课程。
确定晶格振动谱的实验方法
§3-9 确定晶格振动谱的实验方法3. 9. 1 中子非弹性散射晶格振动频率与波数矢量之间的函数关系ω(q )，称为格波的色散关系，也称为晶格振动谱。
晶体的许多性质都与函数ω(q )有关，因此确定晶格振动谱是很重要的。
可能利用波与格波的的相互作用，以实验的方法来直接测定ω(q )。
最重要的实验方法是中子的非弹性散射，即利用中子的德布洛依波与格波的相互作用。
另外，还有X 射线散射，光的散射等。
目前，最常用的方法是中子非弹性散射。
设想有一束动量为p 、能量为22nM =p E 的中子流入射到样品上，由于中子仅仅和原子核之间有相互作用，因此它可以毫无困难地穿过晶体，而以动量p ′、能量22n M ''=p E 射出。
当中子流穿过晶体时，格波振动可以引起中子的非弹性散射，这种非弹性弹射也可以看成是吸收或发射声子的过程。
散射过程首先要满足能量守恒关系：()2222n np p M M ω'-=±q …………………………………………………（3-9-1） ħω( q )表示声子的能量，“+”号和“-”号分别表示吸收和发射声子的过程。
散射过程同时要满足准动量守恒关系：n '-=±+p p q G ………………………………………………………（3-9-2） 其中12233n n n n =++G b b b 1为倒格子矢量，ħq 称为声子的准动量。
一般说来，声子的准动量并不代表真实的动量，只是它的作用类似于动量，如式（3-9-2）所示，在中子吸收和发射声子过程中，存在类似于动量守恒的变换规律，但是，多出n G 项。
动量守恒是空间均匀性（或者称为完全的平移不变性）的结果，而上述准动量守恒关系实际上是晶格周期性（或者称为晶格平移不变性）的反映。
一方面，由于晶格也具有一定的平移对称性（以布拉伐格子标志），因而存在与动量守恒相类似的变换规律；另一方面，由于晶体平移对称性与完全的平移对称性相比，对称性降低了，因而变换规则与动量守恒相比，条件变弱了，可以相差n G 。
固体物理考试要点及部分答案
名词解释1、什么是简单晶格和复式晶格？答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。
复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。
5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。
答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。
24、引入玻恩卡门条件的理由是什么？答：(1)方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2)与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4).玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.固体物理复习要点名词解释1、基元、布拉伐格子、简单格子。
2、基矢、原胞3、晶列、晶面4、声子5、布洛赫定理（Bloch定理）6、能带能隙、晶向及其标志、空穴7、紧束缚近似、格波、色散关系8、近自由近似9、振动模、10、施主，N型半导体、受主，P型半导体11、本征光吸收；本征吸收边12、导带；价带；费米面简单回答题1、倒格子是怎样定义的？为什么要引入倒格子这一概念？2、如果将等体积的刚球分别排成简单立方、体心立方、面心立方结构，则刚球所占体积与总体积之比分别是多少？3、在讨论晶格振动时，常用到Einstein模型和Debye模型，这两种模型的主要区别是什么？以及这两种模型的局限性在哪里？6、叙述晶格周期性的两种表述方式。
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光折变效应的物理机制
光折变效应是发生在电光材料中的一种电光现 象。
光折变过程及物理机制可以概括为以下五个步 骤：
电光晶体内的杂质、缺 陷和空位作为电荷的施主 或受主。在不均匀辐照下， 施主杂质被电离产生光激 发载流子。Biblioteka 光折变效应的物理机制
光激发载流子（在导带中的电子或价带中的空穴） 通过浓度扩散或在外加电场或光生伏打效应作用 下的漂移而运动。
Infrared Spectroscope Raman Spectroscope
Brilouin Spectroscope
Diffuse X-Ray Scattering
Inelastic neutron Scattering
Ultrasonic methods
(US)
超声技术
Inelastic electron tunnelling Spectroscope （IETS)
qy
Kh
碰撞后，声子准动量和热流反向
q1
q3 q2
q1 + q 2
qx
正常散射过程的结论
p 2 p 2 (q) 2m 2m
p p' q Gn
1 2 2 p p 2m
1 q p p
晶格振动谱的测定
（1）测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
k k
☆声子振动谱 ☆散射光和入射光的频率位移
喇曼散射
光子与光学波声子的相互作用 —— 光子的喇曼散射
可见光或红外光波长较长，光子
与光波声子发生相互作用，要求
声子的波矢q必须很小
光子的喇曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用
散射光和入射光的频率位移
固体光散射
弹性与非弹性散射
布里渊散射与喇曼散射
布里渊散射
☆光子与长声学波声子相互作用 --光子的布里渊散射 长声学波声子
光子的频率
k q k
光子被长声学波声子散射，入射光子与散射光子的波矢大小近似相等
☆长声学波声子波矢的模：
k k q
☆长声学波声子波矢的方向：
倒格子矢量
正常过程与倒逆过程
声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒
1 2 3 q1 q2 q3 + K h
(1) K h 0 ---正常过程( N过程) 碰撞前后系统准动量不变，
qy
q1
q3 q2
对热流无影响。
qx
(2) K h 0 ---反常过程( U过程)
不同种类晶格振动
一维单原子链：一支声学纵波 一维双原子链：一支声学纵波，一支光学纵波 三维简单晶格：两支声学横波，一支声学纵波 三维复式格子：两支声学横波，一支声学纵波， 3(n-1)支光学波（包括横波和纵波）
金刚石的振动谱
晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn
c
c
Pb和Cu的振动谱
如果晶体不存在对称中心，则空间电荷场 通过线性电光效应（泡克耳斯效应）引起 折射率变化； 如果晶体存在对称中心，则空间电荷场会 通过平方电光效应（克尔效应）引起折射 率的变化。
格波与光波的相互作用模型
光子—声子碰撞 碰撞过程中，能量守恒，准动量守恒
格波与光子相互作用的规律
☆入射光子的频率和波矢 ☆入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在晶 格中产生，或者吸收一个声子 ☆散射光子的频率和波矢
(ω) = f (ω)
测定的原理：通过辐射波和晶格振动的相互作用来完成。
研究声子谱（振动谱）的实验方法
其中最重要、最普遍的方法是：
Far- Infrared and
电 磁 波
(FIR) (IR) (R) (B) 远红外和红外光谱 喇曼光谱 布里渊散射谱 X 射线漫散射 (INS) 非弹性中子散射
光折变效应的物理机制
迁移的载流子又可以被陷阱中心俘获，它 们经过激发、迁移、俘获、再激发……直 至到达暗区被处于深能级的陷阱重新俘获。 形成了正、负电荷的空间分离，这种空间 电荷的分离与光强的空间分布相对应。
这些光致分离的空间电荷在晶体内建立了 空间电荷场。
光折变效应的物理机制
空间电荷场又通过电光效应在晶体内形成 了与光强的空间分布相对应的折射率变化。
中子的非弹性散射目前是测定声子谱最有效的方法。
下图为90K下钠晶体[110]方向的振动谱．最高 的—支是声学纵波，以下两支是声学横波．
思考题：
1. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？
0 ± (q)
为区分清楚，这里电磁波频率
和波矢用 声子用
, k 表示，
表示 。
, q
电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子 的色散关系：
j f (q)
X-射线被声子散射的示意图
(q)
0
+ (q)
振动着的晶格起着一组间距 等于λ的平面的作用，吸收q 声子和发射 q声子导致相同 的动量守恒。两个过程在检 测器内可以同时观察到，不 过他们的频率不同。
（2）确定声子的频率
E 'n En ( q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系 确定声子的波矢
p p' q Gn
（3）得到声子的振动谱
( q) ~ q
对于中子非弹性散射实验，入射中子的动量（包括方向） 和能量是已知的，散射中子的动量和能量也是可以测定的。 在一个选定的方向测量散射中子，会发现只能得到特定 能量的中子，由此可以确定出具有特定波矢的声子能量。 变化入射中子相对于晶体的方向以及探测散射中子的方向， 最终可以确定出整个声子谱。
晶格振动谱的实验测定方法
实验测定晶格振动谱的意义
☆晶格振动是影响固体很多性质的重要因素， 而且只要 T≠0K，原子的热运动就是理解固体 性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格 振动的规律是固体微观结构研究的重要内容。 ☆晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映：
1. 晶格振动色散关系 ω = ω j (q) 2. 态密度： g
X-射线频率的频移 等于所含声子的频率。 正漂移相当于声子的吸 收，负漂移是声子的发 射。
X射线漫散射测出的Al晶体的色散曲线
需要说明的几点：
1. 角度θ通常不满足Bragg条件，因此监测器中测不到入射
频率 0 ，只检测到漂移后的频率，如前面图所示。违背
Bragg条件的 X 射线散射类型称为漫散射。
非弹性电子隧道谱
晶格振动的横波和纵波
ms 2 As
三维晶格的振动：
3n 个线性齐次方程
3n个 的实根
(1)其中有3个当波矢q 0时, 声学支格波
(2)(3n-3)支光学支格波
Ai v Ai (q)q , (i 1,2 ,3)
两支横波(TA) 一支纵波(LA)
探测器
布拉格反射产生单色 的动量为P’ 的中子
中子谱仪结构示意图
中子散射的特点
只与原子核相互作用
探测要求较高
☆中子散射的规律
入射晶体时中子的动量和能量
出射晶体后中子的动量和能量
能量守恒
p p (q) 2m 2m
2 2
动量守恒
p p' q Gn
在晶体结构的实验研究中，我们已经讨论了 X射线衍射花 样和结构之间的关系，关注的是入射波被晶体散射后方向的变 化，实际上 X 射线是在同振动着的晶格发生作用，因此除了 衍射现象外，电磁波还会和晶格发生能量的交换，入射波吸收 或者发射一个声子而发生能量和波矢的变化，这就是X射线的 非弹性散射。
①
k k 0+ q
transverse acoustic wave optical wave
横波（TO）
纵波（LO） longitudinal
纵波：原子振动方向与波传播方向一样 横波：原子振动方向与波传播方向垂直
光学波
声学波
光学纵波
声学纵波
光学横波
声学纵波
光学波：相邻原子振动方向相反，即质心不变，原子相对运动
声学波：相邻原子振动方向相同，即质心运动
2. 用X射线测量晶格振动的主要困难在于频率漂移难以确定， 不过 X 光源普遍，且入射光光源强度大，特别是同步辐射光源的建
立为晶格振动的研究带来很多方便。
光与TO声子以及LO声子相互作用示意图
中子散射
单色器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
中子源
准 直 器
2
准直器
样品
分析器
反应堆中产生的 慢中子流
几种散射的性质
散射类型 瑞利散射 喇曼散射(S) 喇曼散射(AS) 布里渊散射 频 率 S= I 波 矢 KS=KI KS=KI-q KAS=KI+q 同上 强 度 I4 IS3 IAS3 同上 偏 振 改变 改变 改变 同上
S=I-q AS=I+q
同上
非弹性X-射线散射
ak
aj
ai
光波与晶格作用的现象
固体的红外波段吸收
固体吸收光谱的主要特征
基本吸收区：
价带（电子）导带，伴随光电导，105~106 cm-1
激子吸收峰：激子态 自由载流子吸收：导带（价带）中的电子（空穴） 声子吸收带：
光与晶格振动模式间的作用,
离子晶体：105cm-1
非极性晶体：101-102cm-1
杂质吸收 自旋波量子吸收和回旋共振吸收
光折变效应
光折变效应(photorefractive effect)是光致折射率改 变效应(light-induced refractive index change effect) 的简称。 它是电光材料在光辐照下由光强的空间分布引起 材料折射率相应变化的一种非线性光学现象。 光折变效应首先是由贝尔实验室的Ashkin等人于 1965年发现的。 他们用LiNbO3 和LiTaO3 晶体进行倍频实验时意外地 发现，由于光辐照区折射率的变化破坏了产生倍频的 相位匹配条件，从而降低了倍频转换效率。