5-1线性方程组有解的充要条件
第三章 线性方程组
例1 解方程组：
2x1 x2 x3 x4 2, (1)
4xx1 1x62x2
2 x3 2
x3
x4 4, 2x4
4,
( 2) ( 3)
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, (4)
解: 将第一个方程与第二个方程交换位置，并 将第 三个方程÷2， 得
x1 x2 2x3 x4 4, (1)
第三章 线性方程组
本章将讨论一般线性方程组解的理论和求解方法。 本章基本要求： 1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 4、掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
x4 3,
x2
x3
3,
x1
x3
4
x3 R 这 即 为 原 方 程 组 的 解
上述对方程组的消元变形过程中，实际上是对方 程组反复施行了下列三种运算： (1) 交换两个方程在方程组中的位置； (2) 一个方程的两端同乘以一个不等于零的数； (3) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方 程上去。
x1 x2 5 x3 x4 0
例3
解齐次线性方程组：
3
x1 x1
x2 x2
2 x3 8 x3
3x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为阶梯
形矩阵。
1
A
1 3 1
1 1 1 3
5 2 8 9
1 L2 L1 3
L4 3L2
0 0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4
线性代数及其应用第5节线性方程组的解
x1
c1,r1
c1n
d1
xr
xr1
k1
cr,r1
1
knr
crn
0
dr
0
xn
0
1
0
可表示线性方程组的任一解，称之为线性方程组
的通解.
下面我们利用线性方程组有解的判别定理研究 线性方程组的解法．
由定理8的证明过程易得线性方程组的求解步 骤，现归纳如下：
Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出 R(A) 和R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形矩阵. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩 阵 A化成行最简形矩阵.
0 1 2 2 6 3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
b
a
2
例14 求下列齐次线性方程组的通解
x1 x2 x3 4x4 3x5 0,
2x1x1xx2 233xx3 352x4x45xx55
0, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.
解
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束束单若回束课 课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束课.内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节节已击想 想 想按本,容束单 单单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内内!结返结 结 结钮堂已击 击击按本,容束回束.课结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容 容束回束 束 束课.结!返返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已已按本本本,束回 回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
线性方程组有解的判别定理
用向量和矩阵的理论分析讨论线性方程 组是否有解的问题
设非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2n xn
b2
(2)
as1x1 as2x2 asnxn bs
b2
as1 x1 as2 x2 asn xn bs
中, 如果方程式的个数大于未知元的个数
方程组是否无解？
2.对齐次线性方程组你能得到什么结论？
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增 广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结 论.
• 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的 秩小于未知元的个数时,线性方程组有无 穷多组解(非零解).
0
dr1
0 0 0 0
当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组有解； 当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组没有解。 当R(A) R(A)＝r 时，线性方程组1（ ）独立 方程式的个数为 r，不妨设线性方程组1）（ 同解与线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
量方程
x1 1 x 2 2 x n n ,
则线性方程组有解的充
分必要条件是
向量 可以表示成向量组 线性组合。
，
1
2
，
的
n
记系数矩阵 为
a11 a12 a1n
A
a 21
a
s1
a 22 a 2n
a s 2 a sn
4.1 线性方程组有解的条件
(1) 0, 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解； 故： (2) 0, R( A) 1, R(B) 2, 方程组无解；
(３) 3, R( A) R(B) 2, 方程组有无限多个解。
1 1 2 3 1 0 1 1
此时
B
r
0
3
3
6
r
0
1
1
2
,
0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 1 1 2
x2 x3
c1
1
0
c2
0
2
0
1 2
, c1
, c2
R.
x4 0 1 0
例4
对于线性方程组
(1 x1
)
(1
x1
)
x2 x2
x3 x3
0, 3,
书本P112,T6
x1 x2 (1 )x3 ,
问取何值时,有解?有无穷多个解? 并求无穷多解的通解。
c1n d1
c2n
d2
M M
crn
dr
0 0
d
r 1
0
M M
0 0
初等变换不改变矩阵的秩，故有：R( A) R( A) r,
增广矩阵B 通过初等行 变换化为阶
梯型矩阵B
R(B)
R(B)
r, r
1,
当dr1 0, 当dr1 0.
故：
方程组(1)有解的充分必要条件为 dr1 0 ，此时R(A)=R(B)。
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
21
4 3
c2
,
x3 c1,
x4
c2 ,
5
线性代数重要知识点和典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
第二章线性方程组
第7次课 2学时一、课程章节 §2.1 线性方程组 二、教学重点克拉默法则，高斯消元法，线性方程组有解的判定定理 三、教学难点高斯消元法，线性方程组有解的判定定理 四、教学要求（1）了解克莱默法则，掌握高斯消元法。
（2）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
五、教学内容第二章 线性方程组线性方程组理论是数学中一个重要的基础理论，是线性代数研究的重点.科学技术和经济管理中的许多问题，经常可以归结为求解一个线性方程组.本章主要讨论线性方程组的求解方法、线性方程组有解的充要条件、向量间的线性关系和性质、线性方程组的性质和解的结构．§1 线性方程组一、线性方程组的概念 一般的线性方程组的形式为11112211211222221122 n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1） 式中ij a （1,2,,;1,2,,i m j n == ）称为方程组的系数，12,,,n x x x 称为未知量，i b （1,2,,i m = ）称为方程组的常数项，这是一个含有n 个未知量，m 个方程的线性方程组.如果线性方程组（1）的常数项i b （1,2,,i m = ）全为零，则称它为齐次线性方程组，常数项不全为零的方程组称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组形式为11112212112222112200n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2） 称（2）为与（1）相对应的齐次线性方程组，或（1）的导出方程组. 如果令111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ， 12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0 则线性方程组（1）可以写成矩阵方程b Ax =. 齐次线性方程组（2）可以写成矩阵方程0=Ax ，称A 为线性方程组的系数矩阵，x 为未知量矩阵，b 为常数项矩阵.由线性方程组的系数和常数项构成的矩阵11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 称为线性方程组的增广矩阵，显然，线性方程组由其增广矩阵所确定.如果1122,,,n n x c x c x c === 使得线性方程组（2）中的每一个方程都成立，则称这n个数12,,,n c c c 是线性方程组（2）的解，或者说12n c c c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 是线性方程组（2）的解.一个线性方程组的解的全体构成的集合称为这个线性方程组的解集合.两个具有相同解集合的线性方程组称为同解的(或等价的). 表示线性方程组的全部解的表达式称为线性方程组的通解.二、克拉默(Cramer)法则前面我们已经讨论过二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ 当系数行列式111221220a a a a =≠A 时，二元线性方程组有唯一解，并且它的解可以表示为2221121122212111a a a a a b a b x ==AB ，2221121122111122a a a a ba b a x ==AB上式给出了二元线性方程组的求解公式．这一结果可以推广到一般的n 元线性方程组.定理1（克拉默法则） 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3） 的系数行列式1112121222120nn n n nna a a a a a a a a =≠A，则线性方程组（3）有唯一解，且AB ii x =，1,2,,i n = ，其中i B 为系数行列式A 的第i 列元素换成常数项元素其它元素不变所得到的行列式.例3 解线性方程组 1231231232323425x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+=-⎩如果将克拉默法则运用的n 元齐次线性方程组上，则有下面定理. 定理2 若n 元齐次线性方程组1111221211222211220n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （4） 的系数行列式0≠A ，则齐次线性方程组（4）只有零解.推论 若n 元齐次线性方程组（4）有非零解（即解不唯一），则其系数行列式0=A .例4 已知齐次线性方程组1231231230020x kx x x x x kx x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩有非零解，求k 的值.解 由推论知，方程组的系数行列式必为零，即22111110111010(1)(2)01212012k k k kk k kkkk k--=-=--==-+-=----A解得 1k =-或2k =.三、高斯(Gauss)消元法求解线性方程组的最基本方法就是中学代数中介绍的消元法. 即先通过方程组中方程之间的一些运算，将某些方程中的一些未知量消去，然后再求方程组的解的方法.例5 解线性方程组 123123132 3142542 26x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩在上述求解线性方程组的过程中，我们对方程组反复进行了3种类型的变换，这3种变换称为线性方程组的初等变换，即定义1 对线性方程组施行下列三种变换：（1）交换线性方程组中第i 个和第j 个方程，记作i j r r ↔； （2）用非零数k 乘以线性方程组中的第i 个方程，记作i r k ⨯；（3）将线性方程组中第j 个方程乘以数k 加到第i 个方程上，记作i j r kr +. 称此三种变换为线性方程组的初等变换.定理3 对线性方程组=Ax b ，若将其增广矩阵()A b 经初等行变换化为()C d ，则方程组=Ax b 与=Cx d 是同解方程组.据此，求解线性方程组的解，就是用矩阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，这种消元过程就称为高斯消元法.例6 解线性方程组12341234123423 13 5322 223x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪++-=⎩例7 解线性方程组1234123412341234 3+ 1 2 344 3210221140x x x x x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩上述例题给出了线性方程组解可能出现的三种情况：唯一解、无穷多解和无解，那么如何判别线性方程组是否有解？下面给出线性方程组有解的判定定理.四、线性方程组有解的判定定理 对于n 元线性方程组11112211211222221122 n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵方程形式为=Ax b ，其中A 为系数矩阵，x 为未知量矩阵，b 为常数项矩阵，A 为增广矩阵.定理4 设A 为m n ⨯矩阵，n 元线性方程组=Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即()()R R =A A .定理5 设A 为m n ⨯矩阵，对于n 元线性方程组=Ax b ,有 （1）当()()R R n ==A A 时，线性方程组=Ax b 只有唯一的解； （2）当()()R R r n ==<A A 时，线性方程组=Ax b 有无穷多个解； （3）当()()R R <A A 时，线性方程组=Ax b 有无解. 对于n 元齐次线性方程组11112212112222112200n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵方程形式为=Ax 0，由于其增广矩阵A 的最后一列元素全为零，因此有()()R R =A A ，将定理4和定理5运用到n 元齐次线性方程组上可得下述定理.定理6 设A 为m n ⨯矩阵，n 元齐次线性方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是()R A n <定理7 若n 元齐次线性方程组=Ax 0系数矩阵的秩为r ，即()R r =A ，则 （1）当r n =时，齐次线性方程组=Ax 0仅有零解；（2）当r n <时，齐次线性方程组=Ax 0有非零解，即有无穷多个解. 由于对于m n ⨯矩阵A 有()min(,)R m n ≤A ，由此可得推论 设A 为m n ⨯矩阵，如果n 元齐次线性方程组=Ax 0中，方程的个数少于未知量的个数，即m n <，则齐次线性方程组=Ax 0必有非零解.特别地，对于含有n 个方程的n 元齐次线性方程组=Ax 0，由定理2和定理6可得 定理8 设A 为n n ⨯矩阵，n 元齐次线性方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是0=A一般地，在求解线性方程组时，都是先通过消元过程用矩阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，然后用线性方程组有解的判定定理判别解的存在性，如果线性方程组有解，那么再通过回代过程将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，进而得到线性方程组的解.例8 讨论k 取何值时，线性方程组12341234123412342 + 22453036433481711x x x x x x x x x x x x x x x x k--=⎧⎪-++=⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩ 有解，有解时求出其解.。
线性方程组有解的判定条件
非齐次线性方程组 Ax b RA RB n Ax b有唯一解;
RA RB n Ax b有无穷多解.
思考题
讨论线性方程组 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1, x 1 3 x 2 6 x 3 x 4 3, 3 x1 - x 2 - p x 3 15 x 4 3, x1 - 5 x 2 - 10 x 3 12 x 4 t 当p, t取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的 情 况下, 求出一般解.
例５ 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时, 有解? 有无穷多个解?
解 对增广矩阵 B ( A, b) 作初等行变换，
B 1 1
1
1 1
1
1 1 ~1 2
其余 n - r个作为自由未知量, 并令 n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
定义：含有个参数的方 程组的任一解，称为线 性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，
讨论线性方程组 Ax b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
证 必要性. 设方程组元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
《线性代数》期末复习大纲及参考答案(最新)
07-08(1) 线性代数总期末考试复习大纲及复习题： 期末考试题型：判断(约占30%)与选择(约占70%) 期末考试形式：开卷 期末复习各章重点第一章 知道行列式的定义并会用定义计算简单的行列式；熟悉并会用行列式的性 质计算行列式，掌握行列式的依行依列展开定理。
第二章掌握向量线性相关与线性无关的定义并会用定义判断向量组相关与无关；会求向量组的极大无关组以及用极大无关组表示其余的向量；熟悉线性方程组解的一般理论，掌握矩阵的初等变换并会用初等变换求解线性方程组；会用初等变换求矩阵的秩.第三章熟悉矩阵的运算性质，特别是矩阵乘法的特殊性（不满足交换律），知道分块矩阵；掌握逆矩阵的定义、伴随矩阵的概念以及关系式E A A A AA ==**，会用伴随矩阵和初等变换求矩阵的逆矩阵；了解初等矩阵及其性质,会解简单的矩阵方程。
第四章 知道向量空间的定义，掌握基变换公式和向量坐标变换公式。
第五章 掌握矩阵的特征值与特征向量的概念以及矩阵能够对角化的条件，会判断一个矩阵能否对角化；掌握相似矩阵的概念及其性质。
第六章 掌握二次型的概念，掌握二次型与矩阵的对应关系，掌握合同矩阵的概念，会判断简单矩阵的合同，掌握二次型正定负定的条件并会判定二次型是否正定。
复习题1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 3 （对） 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=1或-2 。
（对）3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 0（对）4．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数余子式12A = -1 ；（错）5.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
第四讲 线性方程组
(1)
a11
a12 a 22 M
根据定理2的推论， 的列向量组等价， 根据定理 的推论，知AT与BT的列向量组等价， 的推论 即A与B的行向量组等价 证毕 与 的行向量组等价. 的行向量组等价
3) 证
证明R( AT A) = R( A).
设A为m × n矩阵, x为n维列向量 .
若x满足Ax = 0, 则有AT ( Ax ) = 0,即 ( AT A) x = 0;
例4 问
取何值时， λ 取何值时，齐次方程组
(1− λ)x1 − 2x2 + 4x3 = 0 2x1 + (3 − λ)x2 + x3 = 0 x + x + (1− λ)x = 0 2 3 1
有非零解？ 有非零解？
要使方程组有非零解，系数行列式必须等于零， 解 要使方程组有非零解，系数行列式必须等于零，
若x满足( A A) x = 0, 则 x ( A A) x = 0,即
T T T
( Ax )T ( Ax ) = 0, 从而推知 Ax = 0.
综上可知方程组 Ax = 0与( A A) x = 0同解,
T
因此
R( AT A) = R( A).
非齐次性线性方程组 Am×n xn×1 = bm×1
[
]
= (5λ − 7 ) + (1 − λ )(7 − 4λ + λ2 ) = λ ( − λ2 + 5λ − 6) = − λ (λ − 2)(λ − 3) = 0
高等代数填空题
29. 设 A 为 4 阶矩阵，且 A = 2 ,则 2 AA* = ___ 28 ___。
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山东科技大学高等代数课程
【解】由 A −1 =
A* n −1 n 得， A ∗ = A ，所以 2 AA* = 2 n A A
） 。
30. A 为 3 阶矩阵， A = 0.5 ，则 ( 2 A) −1 − 5 A ∗ =（ -4 【解】因为 A −1 =
【解】 M 21 + M 22 + M 23
1 1 1 1 1 1 + + = 16 。 4 9 1 9 1 4
20.设矩阵 A 可逆，且 A = 1 ，则 A 的伴随矩阵 A∗ 的逆矩阵为 【解】由 A −1 =
A
。
A* ，所以 A
1 A A ,即为 A 。
A* = A A−1 , 所以( A* ) −1 = ( A A−1 ) −1 =
0 0 0 0 0 2x 0 3x 0 4 0 0 0 0 0
x 0 0 = −120 x 5 ，所以易得 x 。 0 0
⋯ 0 1 ⋯ 2 0 ⋯ ⋯ ⋯ = (-1) n n!。 ⋯ 0 0 ⋯ 0 0
【解】此题容易，关键在于确定正负号。
⎡ 1 0⎤ ⎡1 0 2 ⎤ ⎢ ⎥ 16． A = ⎢ , B = 0 1 ，则 AB = 。 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 1 3 ⎦ ⎢ ⎥ 4 5 ⎣ ⎦ ⎡1 0⎤ ⎡1 0 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 9 10⎤ ⎢0 1 3⎥ ⎢0 1 ⎥ = ⎢12 16⎥ 【解】 AB = ⎣ ⎦ ⎢ 4 5⎥ ⎣ ⎦。 ⎣ ⎦ 1 2 a 17. 设行列式 2 0 3 中，余子式 A21 = 3 ，则 a ＝_2.5_。 3 6 9 1 2 a 18. 设行列式 2 0 3 中，余子式 M 22 = 3 ，则 a ＝_2__。 3 6 9 1 1 1 19.行列式 1 2 3 的余子式 M 21 + M 22 + M 23 的值为 16 。 1 4 9
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性方程组的理论及应用
线性方程组的理论及应用数学0801 彭纪荣摘要：线性代数起源于研究线性方程组，试图找到一般的方法求它们的解。
线性方程组的理论是线性代数的基础部分。
这个理论包括三个方面：线性方程组的求解方法；线性方程组解的情况的判定；线性方程组的解的结构。
线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。
因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之一。
在高等代数的研究中一般常用矩阵作为研究工具，该文系统地从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具。
在线性空间的讨论中不但给出了替换定理的一个推广，而且应用线性方程的知识给出了线性空间中的替换定理的一个新证法，进而推出了一个新结论，并得到了一些有使用价值的应用。
关键词：线性方程组，求解方法，判定，结构，非零解，替换定理，秩一、线性方程组的解法解线性方程组的最基本最有效的方法是消元法。
它的做法是：先把线性方程组的增广矩阵经过矩阵的初等行变变换化成阶梯形，然后去解相应的阶梯形方程组。
或者把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成行简化阶梯形，从而可立即写出方程组的解。
例1 解线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-+-=++-+-=---+-=++-+2573431272327225354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成行简化阶梯形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------257343112111721132712253→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------000000666100545110112111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------000000666100121010875001 从而得到此方程组的一般解为：⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=-+=66662875543542541x x x x x x x x x 其中x 4、x 5是自由未知量。
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
线性方程组有解
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ 0 ( −1) r4 + r3 ⎜ → ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
−2 5 ⎞ ⎛1 r + ⎟ (2−21) rr21+ r3 ⎜ 0 1 1 ⎟ ( −2) r2 + r4 ⎜ 1 −2 ⎟ → ⎜ 0 ⎜ ⎟ 2 −5 ⎟ ⎜0 ⎜0 ⎟ ⎝ 0 0⎠ ⎛1 0 0 7 ⎞ ⎟ r2 ↔ r3 ⎜ 0 1 1 1 ⎟ r3 ↔ r4 ⎜ 0 4 ⎟ → ⎜0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 −7 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ 0 0 ⎠
故秩A=秩 A 。
第三章 线性方程组
充分性。若秩A=秩 A, 于是向量组 α 1 , α 2 , , α n 与向量组 α 1 , α 2 , , α n , β 有相同的秩，设为 r。不妨设 α 1 , α 2 , , α r 是 α 1 , α 2 , , α n 的一个极大线性无关组。显然 α 1 , α 2 , , α r 也是
, amn )′, β = ( b1 , b2 , + xnα n = β
, bm )′ 是增广矩阵
—（3.5.2）
于是方程组（3.5.1）可表为： 的列向量，
x1α 1 + x2α 2 +
必要性。若方程组（3.5.1）有解， 由（3.5.2）知β可由
α 1 , α 2 , , α n 线性表示，因此向量组 α 1 , α 2 , , α n 与向量组 α 1 , α 2 , , α n , β 等价。 α 1 , α 2 , , α n 是A的列向量组， 1 , α 2 , α , α n , β 是 A 的列向量组，由于等价的向量组有相同的秩，
线性方程组的解
x1 x 2 xn
故方程组有唯一解, 故方程组有唯一解
= d1 , = d2 , M = dn ,
~ 3. 若R(A) =R(B)= r ＜n,则B中的 r+1= 0 中的d 则 中的 ~ 不出现),于是B对应的方程组 ),于是 对应的方程组B (或dr+1不出现),于是 对应的方程组
d1 d2 M dr d r +1 0 M 0
1. 若R(A)＜R(B), 则r+1行对应矛盾方程 行对应矛盾方程0=1, ＜ 行对应矛盾方程 故方程组无解. 故方程组无解 2. 若R(A) =R(B)= r = n,则B中的 r+1=0(或dr+1 中的d 则 ~中的 ( ~ 不出现), ),且 都不出现,于是B对应方程组 不出现),且bij都不出现,于是 对应方程组
由于参数c 可取任意值, 由于参数 1,···, cn-r可取任意值, 故方程组有 无限多个解.证毕. 无限多个解.证毕. 称为线性方程组的通解. 解(6)称为线性方程组的通解 称为线性方程组的通解
(6)
由定理4容易得出线性方程组理论中两个最 由定理 容易得出线性方程组理论中两个最 基本的定理: 基本的定理 定理5 定理5 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解
的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩.
定理6 定理 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n.
下面把定理5推广到矩阵方程 下面把定理 推广到矩阵方程 定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 定理 矩阵方程 有解的充分必要条件是 R(A) =R(A, B) . 矩阵, 矩阵, 证 设A为m×n矩阵 X为n×l矩阵 则B为m×l 为 × 矩阵 为 × 矩阵 为 × 矩阵. 按列分块, 矩阵 把X和B按列分块 记为 和 按列分块
01-6.2 线性方程组的解
(iii)有无限多解的充分必要条件是R A R A,b
n.
证 只需证明条件的充分性. 设R A r .
设 B A,b 的行最简形矩阵为
1
0
B 0
0
0
0 1 0 0 0
0 b11 0 b21
1 br1 0 0 0 0
0
1
1
00
BB 00
00 0
0
0
0
1
1
0
0 0
0 0 0
b11
0b 21
0b
d1 d2
r1
0
10
d
n
0
b1,nr b2,nr
b r,nr 0
0
0
(i) R A R B
d1
d
2
dr 1 1
无解
dr
(iii)R A R B
0
0
r n
0
(ii)
R A
R B n
b1,nr b2,nr
br ,nr 0 0
(i) R A R B
d1
d2
dr 1 1
无解
dr
d r1
0
0 0 0 0
0
0
证 只需证明条件的充分性. 设R A r.
设 B A,b 的行最简形矩阵为
1
0
B
0
0
0
0 1 0 0 0
0 b11 0 b21
1b r1
1 4 8
1 4 0
r
~
1 0 0
1 1 0
3 3
2 0
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。
下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出11121121222212n n m m mn ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，b= 12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
即非齐次线性方程组可写成Ax b =。
一 、线性方程组同解的性质引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为212,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。
从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.引理[1]2 设A 、B 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.证明 充分性显然成立。
线性方程组有解的判定定理
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
-5 3 4
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c1
5 3
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 - 2 3 - 1 1 B 3 -1 5 - 3 2
2 1 2 - 2 3
1 - 2 3 - 1 1
0 5 - 4 0 -1
0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4
c2
,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
线性方程组有解的条件
1 c1,r1 c1,r2 1 c2,r1 c2,r2ຫໍສະໝຸດ 1 cr,r1 cr,r2
00
0
00
0
c1n d1
c2n
d2
crn dr .
0 0
0 0
（２）
x1 2 x1
x2 2x3 x4 5， 3x2 x3 2x4 2，
4x1 5x2 3x3
7.
定理6.3 设含有n个未知量的线性方程组
(6.1)有解,其系数矩阵的秩为r.那么
(i) 当r = n 时,方程组有唯一解;
(ii) 当 r<n 时,方程组有无穷多个解.
6.2 线性方程组有解的条件
定理6.2(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(6.1)有解的充分必要条件 是 其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
例6.4 判断下列线性方程组是否有解
（１）
x1 x2 2x3 x4 3x5 1, 2x1 x2 2x32x46x52,
3x12x24x33x49x53;
推论6.3.1 齐次线性方程组有非零解的充分 必要条件是其系数矩阵的秩r小于未知量的个数n.
推论6.3.2 含有n个未知量n个方程的齐次线 性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式 等于零.
推论6.3.3 如果在一个齐次线性方程组中,方
程的个数m小于未知量的个数n,那么这个方程组必
有非零解.
1 1 1 1 A行 1 1 0 0 0 0
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【解】
（1）对增广矩阵施行初等行变换，
1 2 3 1 1 r23r1
B A,b 3 1 5 3 2 r32r1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
r3 r2
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3
0 5 4 0 1
0 0 0 0 2
由此知R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.
R A R A, b [1，2，n ]与[1，2，n，b]有相同的秩
即： RA RA,b
8
【例5.1】判断下列方程组是否有解:
（1）
x1 2x2 3x3 x4 1
（2） 3x1 x2 5x3 3x4 2
2x1 x2 2x3 2x4 3
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
❖（2）向量 b 能由向量组 1 , 2 ,, n 线性表示；
❖（3）向量组1 , 2 ,, n 与向量组1 , 2 ,, n ,b 等价。
由方等程价组向有量解组的性质,立刻有以下结论:
【定理向5量.1组】1，非齐2，次线n与性方1，程 组2，(5.1n，) 有b等解价的，充 要 条 件 是 它的向系量数组矩阵1，的 2秩，与增n与广矩1，阵 2，的秩 n相，等b有,即相：同 的 秩
A,b
a21
a22
a2n
b2
am1
am2
amn
bm
称之为线性方程组 5.1的
增广矩阵
augmented matrix
齐次方程组的三种不同的表达形式分别为:
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22 x2 a2n xn 0
5.4
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定
不为零。
一般的线性方程组概念：
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1a22x2 a2nxnb2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
注意：m和n不一 定相等！！！
(5.1)
若b1=b2=…=bm=0,则称方程组5.1为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
（2）对增广矩阵施初等行变换，
1
B A,b 3
1 1
3 3
1 4
1 4
1 rr32 r31r1 0
1 4
3 6
1 7
1
1 1 3 1 1
1
r3r2 0
4
6
7 1
1 5 9 8 0
0 4 6 7 1
0 0 0 0 0
由于R（A）=R（B）=2，故原方程组有解.
注意(1)说明有矛盾方程，（2）没有矛盾方程
Ax 0 5.5
x11 x2 2 xn n 0 5.6
5
方程组的解 若将 x1 ξ 1 ,x2 ξ 2 , ,xn ξ n 代入方程组后 方程组中的每一个方程都成为恒等式，则称 x1 ξ 1,x2 ξ 2, x3 ξ 3 ,xn ξ n 为方程组的一组解。
因此， 以下三种提法是等价的：
第五 章
线性方程组
linear equations
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本章主要内容
1. 线性方程组的一般概念; 2.线性方程组有解的充要条件; 3.线性方程组解的结构; 4.用初等变换解线性方程组阵; 5.线性方程组的应用.
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第一节 线性方程组有解的充要条件
本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解
的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数
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141页（习题5- 1） 1）3）
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x1 ξ 1,x2
ξ 2,,xn
ξ n
是方程组(5.1)的解 3.
ξ 1
1.
x
ξ 2
是方程组(5.2)的解向量
2.
ξ
n
向量 b 由向量组 1 , 2 ,, n 线性表示的系数为：
x1 ξ 1,x2 ξ 2 , x3 ξ 3 ,xn ξ n
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非齐次线性方程组解的条件 对于非齐次线性方程组5.1，以下三种提法是等价的： ❖（1）方程组有解；
a1n
若记矩阵A的列向量为: 1
a21
,2Βιβλιοθήκη a22,,n
a2n
注：则5.由1、分5块.21、矩x,15阵.123的式,乘是x2法,同2,一方n线程a性组mxx112方(5x.程n2)又组nba可的m2表b不 成同以表下示5.3形形am式式n:！
xn
4
a11 a12 a1n b1
3
表示非齐次线性方程组的其他形称式之：为线性
a11
令：
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
方程组5.1的 系数矩阵
x
x1
x2
b1
b
b2
am1
am2
amn
xn
bm
为了便于研究，我们将线性方程组(5.1)表成矩阵形式：
Ax=b
5.2
a11
a12