5-1线性方程组有解的充要条件

不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定
不为零。
一般的线性方程组概念：
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1a22x2 a2nxnb2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
注意：m和n不一 定相等！！！
(5.1)
若b1=b2=…=bm=0,则称方程组5.1为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
A,b
a21
a22
a2n
b2
am1
am2
amn
bm
称之为线性方程组 5.1的
增广矩阵
augmented matrix
齐次方程组的三种不同的表达形式分别为:
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22 x2 a2n xn 0
5.4
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
R A R A, b [1，2，n ]与[1，2，n，b]有相同的秩
即： RA RA,b
8
【例5.1】判断下列方程组是否有解:
（1）
x1 2x2 3x3 x4 1
（2） 3x1 x2 5x3 3x4 2
2x1 x2 2x3 2x4 3
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
3
表示非齐次线性方程组的其他形称式之：为线性
a11
令：
A
a21
a12
a22
wenku.baidu.coma1n
a2
n
方程组5.1的 系数矩阵
x
x1
x2
b1
b
b2
am1
am2
amn
xn
bm
为了便于研究，我们将线性方程组(5.1)表成矩阵形式：
Ax=b
5.2
a11
a12
x1 ξ 1,x2
ξ 2,,xn
ξ n
是方程组(5.1)的解 3.
ξ 1
1.
x
ξ 2
是方程组(5.2)的解向量
2.
ξ
n
向量 b 由向量组 1 , 2 ,, n 线性表示的系数为：
x1 ξ 1,x2 ξ 2 , x3 ξ 3 ,xn ξ n
7
非齐次线性方程组解的条件 对于非齐次线性方程组5.1，以下三种提法是等价的： ❖（1）方程组有解；
【解】
（1）对增广矩阵施行初等行变换，
1 2 3 1 1 r23r1
B A,b 3 1 5 3 2 r32r1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
r3 r2
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3
0 5 4 0 1
0 0 0 0 2
由此知R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.
第五 章
线性方程组
linear equations
1
本章主要内容
1. 线性方程组的一般概念; 2.线性方程组有解的充要条件; 3.线性方程组解的结构; 4.用初等变换解线性方程组阵; 5.线性方程组的应用.
2
第一节 线性方程组有解的充要条件
本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解
的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数
Ax 0 5.5
x11 x2 2 xn n 0 5.6
5
方程组的解 若将 x1 ξ 1 ,x2 ξ 2 , ,xn ξ n 代入方程组后 方程组中的每一个方程都成为恒等式，则称 x1 ξ 1,x2 ξ 2, x3 ξ 3 ,xn ξ n 为方程组的一组解。
因此， 以下三种提法是等价的：
10
141页（习题5- 1） 1）3）
11
（2）对增广矩阵施初等行变换，
1
B A,b 3
1 1
3 3
1 4
1 4
1 rr32 r31r1 0
1 4
3 6
1 7
1
1 1 3 1 1
1
r3r2 0
4
6
7 1
1 5 9 8 0
0 4 6 7 1
0 0 0 0 0
由于R（A）=R（B）=2，故原方程组有解.
注意(1)说明有矛盾方程，（2）没有矛盾方程
a1n
若记矩阵A的列向量为: 1
a21
,2
a22
,,
n
a2n
注：则5.由1、分5块.21、矩x,15阵.123的式,乘是x2法,同2,一方n线程a性组mxx112方(5x.程n2)又组nba可的m2表b不 成同以表下示5.3形形am式式n:！
xn
4
a11 a12 a1n b1
❖（2）向量 b 能由向量组 1 , 2 ,, n 线性表示；
❖（3）向量组1 , 2 ,, n 与向量组1 , 2 ,, n ,b 等价。
由方等程价组向有量解组的性质,立刻有以下结论:
【定理向5量.1组】1，非齐2，次线n与性方1，程 组2，(5.1n，) 有b等解价的，充 要 条 件 是 它的向系量数组矩阵1，的 2秩，与增n与广矩1，阵 2，的秩 n相，等b有,即相：同 的 秩