第6章第4讲 数列的求和

第4讲数列的求和

基础知识整合

1．倒序相加法

如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．

2．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

3．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

4．分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．

5．并项求和法

一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．

常见的拆项公式

(1)

1

n(n＋1)

＝1

n

－1

n＋1

；

(2)

1

(2n－1)(2n＋1)

＝1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2n－1

－1

2n＋1

；

(3)

1

n＋n＋1

＝n＋1－n.

1．(2019·新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( )

A ．－200

B ．－100

C ．200

D ．100

答案 D

解析 根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D.

2．(2019·安徽六校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，则S 13的值是( )

A ．130

B ．65

C ．70

D ．75

答案 A

解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 2＋a 8＋a 11＝30，所以3a 7＝a 2＋a 8＋a 11＝30，则a 7＝10，S 13＝(a 1＋a 13)×132

＝13a 7＝13×10＝130.故选A.

3．数列1，12，2，14，4，1

8，…的前2n 项和S 2n ＝________. 答案 2n －1

2n

解析 S 2n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1

)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋14＋1

8＋…＋12n ＝2n －1＋1－12n ＝2n －12n .

4．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1

(2n )2－1＝________.

答案

n

2n ＋1

解析 通项a n ＝1(2n )2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n

＝1

2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n

2n ＋1

.

5．(2019·宁夏固原市模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.

答案 11

解析 利用“特殊值”法，确定公比．设公比为q ，因为对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则令式中n ＝1，得a 3＋a 2－2a 1＝0，所以a 1(q 2＋q －2)＝0.显然a 1≠0，所以由q 2

＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝

a 1(1－q 5)1－q

＝1－(－2)53

＝11.

6．已知a n ＝13n ，设b n ＝n

a n

，记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.

答案 (2n －1)·3n ＋1＋3

4

解析 b n ＝n ·3n ，

于是S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1，②

①－②，得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1， 即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，

S n ＝n 2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34＝

(2n －1)·

3n ＋1

＋3

4.

核心考向突破

考向一 分组转化法求和 例1 (2020·广东佛山教学质量检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝pn ＋1，其中p 为常数．

(1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求p 的值； (2)若p ＝1，求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)由a n ＋a n ＋1＝pn ＋1，得

a 1＋a 2＝p ＋1，a 2＋a 3＝2p ＋1，a 3＋a 4＝3p ＋1，

所以a 2＝p ，a 3＝p ＋1，a 4＝2p .

又因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 22＝a 1a 4，即p 2

＝2p ，又因为p ≠0，故

p ＝2.

(2)当p ＝1时，a n －1＋a n ＝n (n >1，n ∈N )， 当n 为偶数时，

S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4＋…＋n ＝(2＋n )n

22

＝n 2＋2n 4；

当n 为奇数时，

S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋3＋5＋…＋n ＝

(1＋n )n ＋12

2＝n 2＋2n ＋14

，

综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

n 2＋2n 4，n 为偶数，

n 2

＋2n ＋14，n 为奇数.

1．分组转化求和通法

若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．

2．分组转化求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．

(2)若a n ＝⎩⎨⎧

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数，

且数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采