高三数学一模理科试题汇编

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高三数学一模试题理含解析试题

武功县2021届高三数学一模试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.集合{}1A x R x =∈≤，{}24B x R x =∈≤，A B ＝〔〕A. [－2，1]B. [－2，2]C. [1，2]D. 〔－∞，2] 【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质先求出集合B ，再由交集定义求出A B ．【详解】解：∵集合{}1A x R x =∈≤，{}{}2422B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{|21}[2,1]A B x x ∴⋂=-≤≤=-．应选A ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．2.假设(12)5i z i -=〔i 是虚数单位〕，那么z 的值是〔〕A. 3B. 5【答案】D 【解析】直接利用复数的模的求法的运算法那么求解即可. 【详解】() 125i z i -=〔i 是虚数单位〕可得()125i z i -= 解得5z = 此题正确选项：D【点睛】此题考察复数的模的运算法那么的应用，复数的模的求法，考察计算才能.()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-.假设λ为实数且()a b c λ+⊥，那么λ=〔〕A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：1+2a b λλ+=（，），因为()a b c λ+⊥，那么()1=41+-6=0=2a b c λλλ+⋅（），，选B ；考点：向量的坐标运算；4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图，那么新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为〔〕A. 0.25B. 0.3C. 0.4D. 0.45【解析】【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是频率组距，所以结合组距为300可得频率．【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为：0.0013000.3⨯=．应选B ．【点睛】解决此类问题的关键是纯熟掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义． 5.命题:12p x -<<，2:log 1q x <，那么p 是q 成立的〔〕条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要【答案】B 【解析】【分析】解对数不等式得到命题q 中x 的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义断定即可得到结论．【详解】由2log 1x <，得02x <<． ∵()0,2 ()1,2-，∴p 是q 成立的必要不充分条件．应选B ．【点睛】充分、必要条件的判断方法〔1〕利用定义判断：直接判断“假设p ，那么q 〞、“假设q ，那么p 〞的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．〔2〕从集合的角度判断：利用集合中包含思想断定．抓住“以小推大〞的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．〔3〕利用等价转化法：条件和结论带有否认性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设420S =，510a =，那么16a =〔〕 A. 32- B. 12C. 16D. 32【答案】D 【解析】()14414420,20,10,2a a S a a +=∴=∴+= 又510a =.可得14511,,2a a a a d a d +==∴==，那么()162161232.a =+-⨯=应选D.7.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的选项是〔〕A. //BD 平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 【答案】D【解析】【详解】在正方体中与11B D 平行，因此有与平面平行，A 正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B 正确；与B 同理有与垂直，从而平面，C 正确；由知与所成角为45°，D 错．应选D ．8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象〔局部〕如下，那么按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是〔〕A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D.③④②① 【答案】A 【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值是正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值是负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2xy x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，应选A ．【点睛】此题主要考察函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 9.tan 2θ=，那么22sin sin cos 2cos θθθθ+-=〔〕 A. 43-B.54C. 34-D.45【答案】D 【解析】试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－考点：同角间三角函数关系【此处有视频，请去附件查看】10.直线l 过点〔0，2〕，被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是〔〕A. 423y x =+ B. 123y x =-+C. 2y =D. y=423x +或者y=2 【答案】D 【解析】【分析】根据垂径定理得圆心到直线间隔 ,再设直线方程点斜式,利用点到直线间隔公式求斜率,即得结果.【详解】因为直线l 被圆C ：224690x y x y +--+=，22(2)(3)4-+-=x y 截得的弦长为1=，设直线l 的方程为2y kx =+，〔斜率不存在时不满足题意〕那么10k =∴=或者43k =，即直线l 的方程是423y x =+或者2y =,选D. 【点睛】此题考察垂径定理，考察根本转化求解才能，属根底题.11.椭圆长轴上的两端点()13,0A -，()23,0A ，两焦点恰好把长轴三等分，那么该椭圆的HY 方程为〔〕A.22198x yB. 2219x y +=C. 2213632x y += D. 22136x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，3a =，且12223c a ==，可得3a =且1c =，再根据椭圆中a 、b 、c 的平方关系得到2b 的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的HY 方程．【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且3a =由两焦点恰好把长轴三等分可得26a c =即33a c ==1c =，b =故所求的椭圆方程为：22198x y应选A ．【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出a ，b 的值．3()1f x ax x =++有极值的充要条件是〔〕A. 0a >B. 0a ≥C. 0a <D. 0a ≤【答案】C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x=+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C ．第二卷二、填空题13.某校邀请6位学生的父母一共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，假如这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种. 【答案】240 【解析】【分析】先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，那么先从6对夫妇中选一对，有16C 6=种结果，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有215122C 40C C =种结果，根据分步计数原理得到结果是6×40＝240，故答案为240．【点睛】此题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原那么．{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，那么7a = ．【答案】64 【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，根据题意可得23122a a q a a +==+，所以111.31a a q a +=⇒=，所以6671264a a q =⨯==考点：等比数列性质15. 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是___________. 【答案】36 【解析】【分析】根据题中定义“正交线面对〞的含义，找出正方体中“正交线面对〞的组数，即可得出结果. 【详解】假如一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下列图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12224⨯=个；②对于正方体的每一条面对角线〔如11A C ，那么11A C ⊥平面11BB D D 〕，均有一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12112⨯=个. 综上所述，正方体中的“正交线面对〞一共有36个. 故答案为36.16.如图，,A B 是函数2()log (16)f x x =图象上的两点，C 是函数2()log g x x =图象上的一点，且直线BC 垂直于x 轴，假设ABC ∆是等腰直角三角形〔其中A 为直角顶点〕，那么点A 的横坐标为__________．【答案】23【解析】【详解】设()020,l g ,C x o x 因为()2020l g 164l g o x o x =+ ，所以()020,4l g ,4B x o x BC += ，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以可得()0202,2l g A x o x -+ ，又因为在()0202,2l g A x o x -+函数()()2log 16f x x =图象上，所以()()202020l g 1622l g l g 4o x o x o x -=+=，解得08,3x =点A 的横坐标为82233-= ，故答案为23.三、解答题〔本大题一一共70分解容许写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须答题第22 23题为选考题，考生根据要求作等〕〔一〕必考题17.在ABC ∆中，0120,,21,3ABC A c b a S ∆=>==求,b c 的值. 【答案】【解析】【详解】由2221sin ,{22cos ABC S bc A a b c bc A ==+-即22133,22{12122bc b c bc=⨯⨯=++⨯⨯，解得：〔因为c b >舍去〕或者.18.如下图,在直三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；〔2〕155.【解析】【详解】(1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得,,即,平面,又平面,.(2)如图,作交于D点,连接BD,由三垂线定理知,为二面角的平面角.在中,,在中,,15cos 5ADB ∴∠=即二面角的余弦值为.19.盒中装有一打〔12个〕乒乓球，其中9个新的，3的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求ξ的分布列. 【答案】详见解析【解析】【分析】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2的1个新的，1的2个新的或者全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6．ξ取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可．【详解】解：ξ的可能取值为3，4，5，6333121(3)220CPCξ===，129331227(4)220C CPCξ⋅===，219331227(5)55C CPCξ⋅===，3931221(6)55CPCξ===.∴此时旧球个数ξ的概率分布列为【点睛】此题考察排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件的概率．20.双曲线的中心在原点，焦点12,F F在坐标轴上，一条渐近线方程为y x=，且过点(4,．〔Ⅰ〕求双曲线方程；〔Ⅱ〕假设点()3,M m在此双曲线上，求12MF MF⋅．【答案】〔Ⅰ〕226x y-=〔Ⅱ〕0【解析】【详解】试题分析：〔1〕设双曲线方程为22(0)x yλλ-=≠，由双曲线过点(4,，能求出双曲线方程；〔2〕由点()3,M m在此双曲线上，得m=由此能求出12MF MF⋅的值试题解析：〔Ⅰ〕由题意，设双曲线方程为22(0)x yλλ-=≠将点(4,代入双曲线方程，得(224λ-=，即6λ=所以，所求的双曲线方程为226x y -=〔Ⅱ〕由〔1〕知()()12,F F -因为()3,M m ，所以()()12233,,233,MF m MF m =---=-又()3,M m 在双曲线226x y -=上，那么23m =()()2123312930MF MF m ⋅=-+=-++=考点：双曲线的HY 方程；直线与圆锥曲线的关系4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> 〔1〕求函数()y f x =的单调区间；〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．【答案】〔1〕()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，〔2〕a >01a ≤<. 【解析】试题分析：〔1〕利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-,令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <，即a >01a <<. 解：〔1〕因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-2分令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与6分 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，8分〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <， 14分即a >01a <<. 16分考点：利用导数研究函数性质【此处有视频，请去附件查看】〔二〕选考题〔一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，按所做的第一题计分〕22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．【答案】P 点的直角坐标为()0,0 【解析】【分析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．【详解】解：直线l 的普通方程为y =，① 曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，②联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或者6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为()0,0．【点睛】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属根底题． 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2x a -<〔*a N ∈〕的解集为A ，且32A ∈，12A ∉.〔1〕求a 的值；〔2〕求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】〔1〕1a = 〔2〕()f x 的最小值为3 【解析】试题分析：利用31,22A A ∈∉，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值；〔2〕利用a 的值化简函数()f x ，利用绝对值根本不等式求出12x x +++的最小值. 试题解析：〔1〕因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a =.〔2〕因为12x x ++-≥ ()()123x x +--= 当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时获得等号，所以()f x 的最小值为3.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2024届高三第一次模拟数学(理科)试卷答案

银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案1．【答案】C 由2230x x --≤,解得13x -≤≤，又因为x N ∈，所以{}0,1,2,3A =，又由2023log 0x ≤，可得20232023log log 1x ≤，解得01x <≤，所以{R |01}B x x =∈<≤，所以A B =I {1}，2．由z 1+i =1−1i =1+i ，得z =(1+i)2=2i ，则z =−2i ，所以|z |=2.故选：C.3．A4．【答案】C 【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． 5.【答案】B【解析】对于A ，若a b r r∥，则有142t ⨯=-⨯，所以8t =-，A 错误；对于B ，若a b ⊥r r，则有420t -+=，所以2t =，B 正确；对于C ，(3,2)a b t +=-+r r ，所以||5a b +==r r，解得2t =或6t =-，C 错误；若a r 与b r 的夹角为钝角，则420a b t ⋅=-+<r r ，即2t <，且a r 与b r不能共线且反向，由A 选项可知，当8t =-时，4b a =-r r ，此时a r 与b r共线且反向，所以若a r 与b r的夹角为钝角，则2t <且8t ≠-，D 错误，故选:B.6．【答案】A【详解】由点P 在单位圆上，则22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得45y =±，由锐角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则45y =，故π3π4cos ,sin 4545αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin cos444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-=.故选A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得2≤，知A 错误；由()2,0x ∈-时，0y =<可知B 错误；根据y =、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知D【详解】对于A ，2=≤=Q （当且仅当224x x =-，即x∴在()2,2-上的最大值为2，与图象不符，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，0y =<，与图象不符，B 错误；对于C ，y =Q ∴当1x =±时，max 1y =；又y =()()()2,0,2,0,0,0-；由220x x -+≥得：()20x x -≤，解得：22x -≤≤，即函数定义域为[]22-,；y ∴=[]22-,上的偶函数，图象关于y 轴对称；当[]0,2x ∈时，y =，则函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：y=C正确；对于D，由220x x-+≥得：02x≤≤，y∴=不存在()2,0x∈-部分的图象，D错误.故选：C.8.【答案】B【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B-且满足2PA PB-=，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以,A B为焦点的双曲线C的右支，其中22,24a c==，可得1,2a c==，则b==可得双曲线C的渐近线方程为by xa=±=，又因为点P满足方程0(0,0)nx my m n±=>>，即ny xm=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<<nm的取值范围是.故选：B.9.【答案】A解：“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”，取1m=，则11n na a+=-，{}na∴为等比数列．反之不成立，{}n a为等比数列，设公比为q()0q≠，则1m nm na q+-+=-，()()112nnmmm na a q q q--+-=-⨯-=，只有1q=-时才能成立满足m n m na a a+=．∴数列{}na满足11a=-，则“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”是“{}na为等比数列”的充分不必要条件．10.【答案】D设切点()00,lnP x x．因为lny x=，所以1yx'=，所以点P处的切线方程为()001lny x x xx-=-，又因为切线经过点(),a b，所以()001lnb x a xx-=-，即1lnab xx+=+.令()ln(0)af x x xx=+>，则1y b=+与()ln(0)af x x xx=+>有且仅有1个交点，()221a x af xx x x'-=-=，当0a≤时，()0f x¢>恒成立，所以()f x单调递增，显然x→+∞时，()f x→+∞，于是符合题意；当0a>时，当0x a<<时，()0f x'<，()f x递减，当x a>时，()0f x¢>，()f x递增，所以()min()ln1f x f a a==+，则1ln1b a+=+，即lnb a=．综上，0a≤或lnb a=．故选：D11. 【答案】B12.【答案】C对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A()2221π322322π23ABC ABCABCS S S S⎛⎫=-⋅+=⨯⨯⨯=-⎪⎪⎝⎭V V截扇形故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：正BCD △外接圆半径122cos303O B =⋅⋅=o 正四面体ABCD 的高1AO==令正四面体ABCD 的外接球半径为R ,在1Rt BOO V 中,222R R⎫=-+⎪⎪⎭，解得R =,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ,连接BO交平面ACD 于点E ，交»AD于点F ，其中»AD 与ABD△共面，其中BO 即为正四面体外接球半径R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则由图得2r OF BF BO ==-=，故B 错误；对于C 某三个顶点的截面，由对A 的分析知()max 2S π=-截C 正确；对于D ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,,所以勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的半径为2D 错误.故选：C ．13.π314.54由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种，故答案为：54.15. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则1201202,2.x x x y y y +=⎧⎨+=⎩又2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-121212042y y k x x y y y -===-+.设圆心为C （5，0），则kOM =005y x -，因为直线l 与圆相切，所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，代入22(5)9x y -+=得002y k y ====16．先对函数化简变形，然后由题意可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得b =，再由()085f x a =可得04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()sin cosf x a x b x x ϕ=+=+，0ab ≠其中sin ϕ=，cos ϕ=，由于函数的图象关于6xπ=对称，所以6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，即12a+，化简得b=，所以()00008sin cos2sin35f x a x x a x aπ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，即4sin35xπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以20000227sin2sin2cos22sin16323325 x x x xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.17. （1）()11n nna n a-=+，11n na an n-∴=+，且112a=，∴数列1nan⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11nan=+，即()*1na n n N=+∈；（2）由（1）得1na n=+，()()2222211221na n n n nn∴=<=-+++，11111111113113243522122nTn n n n∴<-+-+-++-=+--<+++L.18.（1）证明：菱形ABCD中，AC BD⊥，设AC，BD交于点O，连接EO，FO，则EO BD⊥，FO BD⊥，又EO FO O=I，EO⊂平面EOF，FO⊂平面EOF，所以BD⊥平面EOF；又EF⊂平面EOF，所以BD EF⊥；（2）因为菱形ABCD边长为1，AC=，所以12OE OF OA OC AC=====，则1BD==，又32EF=，所以2221cos22OE OF EFEOFOE OF+-∠==-⋅，则120EOF∠=o，所以1sin1202OEFS OE OF=⋅⋅=oVDEFV中，1DE DF==，32EF=，则2221cos28ED DF EFEDFDE DF∠+-==-⋅，所以sin EDF∠=，所以1sin2DEFS DE DF EDF∠=⋅⋅=V；设点B到平面DEF的距离为h，由题意，B DEF B OEF D OEFV V V---=+即11113333DEF OEF OEF OEFS h S OB S OD S BD⋅=⋅+⋅=⋅V V V V，则1OEFDEFS BDhS⋅===VV.19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==，所以随机变量ξ的分布列为：ξ1.5 3.5 5.5P0.150.450.4所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i i i uu bu uυυ==--===-∑∑，则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=，所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增，当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x=时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.20.【小问1详解】因为2x =的焦点坐标为(，所以(F ，所以22,b MN OF c a ===．因为MN OF =2=，化简可得2b a =，又2222a b c -==，解得223,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213y x +=．【小问2详解】由（1）可知()2,0P ，可知过点P 的直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()2y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()222234430k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212243k x x k +=+，2122433k x x k -=+，由()()()2222Δ443430k k k =--+->，解得201k <<．根据弦长公式可得2AP BP x⋅=()()()22121212122142k x x k x x x x=+-⋅-=+-++()()()()22222224384391133k k k kkk k+-+-+=+⋅=++．因为APEV的面积为1,S BPE△的面积为2S，设点E到直线l的距离为d，根据点到直线的距离公式可得d=所以1211,22S AP d S BP d=⋅=⋅，因此()22221222291118181314434343k kS S AP BP dk k k+⎛⎫⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=-⎪+++⎝⎭，因为201k<<，所以2334k<+<，则281381014316k⎛⎫<-<⎪+⎝⎭，从而94<<，的取值范围是90,4⎛⎫⎪⎝⎭．21．【解析】（1）由()f x有两个零点，得方程13e xxa=有两个解，设()3e xxr x=，则()()31e xxr x-'=，由()0r x'>，可得1x<，()r x单调递增，由()0r x'<，可得1x>，()r x单调递减，所以()r x的最大值为()31er=，当x→+∞时()0r x→，当x→-∞时，()r x→-∞，所以可得函数()r x的大致图象，所以13ea<<，解得3ea>，所以，()f x有两个零点时，a的取值范围是e,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）设()()()12sing x f x a x=--，（3）即()()1e312sinxg x x a xa=---，则()0g x≥恒成立，由()100g aa=-≥，π6π1πe3066ga=-⨯⎫⎪⎝⎭≥⎛，可得01a<≤，下面证明当01a<≤时，()()1e312sin0*x x a xa---≥，即证213e2sin10x x xa a-+-≥，令1b a=，则证2e 32sin 10x b bx x -+-≥，[)1,b ∈+∞，令()2e 32sin 1xh b b bx x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xxb =，由（1）可知3312e 2e x x b =≤<，故()h b 在[)1,b ∈+∞时单调递增，则()()1e 32sin 1xh b h x x ≥=-+-，下面只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos exx x xF x -+-'=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x ⎛⎫'=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F ≤=，即32sin 110exx x -+-≤，从而不等式()*得证，综上，a 的取值范围是(]0,1．22.【答案】解：(1)依题意，曲线C 1:(x−2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0,故ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ,因为ρ2=41+3sin 2α，故ρ2+3ρ2sin 2α=4.即x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1.将θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2α得，ρ2Q =41+3sin 2θ0.将θ=θ0代入ρ=4cos θ得，ρP =4cos θ0.由|OQ|=|PQ|，得ρP =2ρQ ，即(4cos θ0)2=161+3sin 2θ0.解得sin 2θ0=23，则cos 2θ0=13又0<θ0<π2，故ρQ =41+3sin 2θ0=233，ρP =4cos θ0=433故△PMQ 的面积S △PMQ =S △OMP −S △OMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sin θ0=12⋅233⋅63=23.23. 【详解】（1）,,0a b c >Q ，()()494949f x x a x b c x a x b c a b c ∴=-+++≥--++=++，当且仅当()()490x a x b -+≤时取等号，494a b c ∴++=，要证9ab bc ca abc ++≥，只要证1119a b c++≥，由柯西不等式得()2211149(231)36a b c a b c ⎛⎛⎫++++≥=++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当2233a b c ===时取等号，1119,9ab bc ca abc a b c∴++≥∴++≥．（2）由基本不等式得494a b b c c a +≥+≥+≥以上三式当且仅当4493a b c ===时同时取等号，将以上三式相加得49948a b b c c a ≤+++++=，即4≤．。

高三年级第一学年度考试数学模拟试卷(理科)

高三年级第一学年度考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q = （） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知i 为虚数单位，复数z满足()2311i z =-，则z 为（）A ．12BC．4D3. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（） A ．8B ．12C ．18D ．244. 已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝．则其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．45.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103 B ．4C ．163D ．66. 函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（） A ．B ．CD ．7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．1321B ．2113C ．813D ．1388. 定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞9. 若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（）AB ．2C．D ．810. 已知()21,01,3log ,1,2x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（）A ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭11. 设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（）A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2- 12. 设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．15. 已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 16. 定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值． 18.（本小题满分12分）函数21()ln 22f x x ax x =--．（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围． 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值． 20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）．（1）若函数()y f x =存在极大值和极小值，求ba的取值范围；（2）设m ，n 分别为()f x的极大值和极小值，若存在实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()e xxg x =．（1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由；（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=．（1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-．（1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．。

高三年级第一次模拟考试理科数学

高三年级第一次模拟考试（三）1．设集合}30|{},01|{<<=<-=x x B x xx A ，则=⋂B A A ．}31|{<<x x B ．}30|{<<x x C ．}10|{<<x x D ．∅ 2．a 为实数，12ia i++为实数，则a = A ．1B ．12C ．13D ．2-3．直线1:1+=mx y l ，直线2l 的方向向量为)2,1(=a ，且21l l ⊥，则=mA ．21B ．21-C ．2D ．2-4．已知,m n 为直线，,为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩其中的正确命题序号是A ．③④ B ．②③C ．①②D ．①②③④5．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 若58215a a a -=+，则9S 等于A ．60B ．45C ．36D ．186．已知函数23)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是A ．)3,(--∞B ．]3,(--∞C ．)0,3(-D ．)0,3[-7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．238．4名不同科目的实习教师被分配到三个班级，每班至少一人的不同分法有A ．144 种B ．72种C ．36 种D ．24种9．已知O 为直角坐标系原点，,P Q 的坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则POQ ∠tan 的最大值等于A ．21B ．1C ．23D ．０10．设函数1(0)()1(0)x f x x ->⎧=⎨<⎩A ．aB ．bC ．b a 、中较小的数D ．b a 、中较大的数11．已知函数()f x 在R 上可导，且2'()2(2)f x x xf =+，则(1)f -与(1)f 的大小A ．(1)(1)f f -=B ．(1)(1)f f ->C ．(1)(1)f f -<D ．不确定12．正三棱柱111ABC A B C -的棱长都为2，,,E F G 为111,,AB AA AC 的中点，求1B F 与面GEF 成角的正弦值 A ．53B ．65C ．1033 D ．1063 13．已知nxax )1(-的展开式的第五项是常数项，则n = 14．已知三点A ，B ，C 在直线l 上，,l O ∉且OC OB OA λ+=21，则=λ 15．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率是2，则a b 312+的最小值是16．如图，是将B ∠=3π,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角D AC B --,若2[,]33ππθ∈,N M ,分别为,AC BD 的中点，则下面的四种说法中：①;MN AC ⊥②DM 与平面ABC 所成的角是;θP③线段MN 的最大值是,43最小值是;43 ④当2πθ=时，BC 与AD 所成的角等于2π其中正确的说法有（填上所有正确说法的序号）．17．在ABC ∆中，4,,3b A π==面积S =（1）求BC 边的长度；（2）求值：2sin ()cos 244cot tan22A BC C π+++．18．设{}(,)16,16,,A x y x y x y N *=≤≤≤≤∈（1）求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率；（2）从A 中任取一个元素，求10x y +≥的概率；（3）设η为随机变量，x y η=+，求E η19．如图,P ABCD -四棱锥中，,ABCD PA ABCD 平面为菱形，⊥ ︒=∠60BCD ，,1=BC 的中点为CD E ,.60︒成角与平面ABCD PC（1）求证：平面EPB ⊥平面PBA ；（2）求二面角A PD B --的大小．20． {}项和，的前为数列已知n a S n n a →=()1,n S , b →=()122,1++-n n a ,a b →→⊥（1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列；（2）若n n a n n b 12011+-=,问是否存在0n , 对于任意k （k N *∈），不等式0n k b b ≤成立．21．已知xe a x xf )()(2-=（1）若a =3,求f （x ）的单调区间和极值；（2）若的两个不同的极值点，为)(,21x f x x 且211222121212()()4xxx x e f x e f x e x x x x +-≥-，若3b a a a a f +-+<323)(23恒成立，求.的取值范围实数b22．如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线12++=k kx y 与（1）中所求点N 的轨迹E 交于不同两点O H F ，、是坐标原点，且2334OF OH ≤⋅≤，求△FOH 的面积的取值范围．23．函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t -（2t >-）,设(2),()f m f t n -==．（1）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；（2）试判断,m n 的大小并说明理由；（3）求证：对于任意已知的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数．参考答案1C .2C .3B .4B .5B .6B .7D .8C .9B .10C .11A .12A 13．8 ； 14．21； 15．332；16．①③ 17．解：（1）在ABC ∆中11sin 4222S bc A c ==⨯⨯⨯，2c=2分a ==4分4sin 1sin sin sin 2a bB A BB === 0B π<< 2B π=6C π=6分（2）2sin ()cos 244cot tan 22A B C C π+++=2sin cos 3113(1)sin 4216cos sin 22sin cos22C C C C C ππ+=-=-+10分18．解：（1）设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为BP （B ）=136所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为1363分（2）设从A 中任取一个元素,10x y +≥的事件为C ，有（4，6）（6，4）（5，5）（5，6）（6，5）（6，6） P （C ）=16所以从A 中任取一个元素10x y +≥的概率为166分（3）η可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，128分1(2)36p η==，2(3)36p η==，3(4)36p η==，4(5)36p η==，5(6)36p η==6(7)36p η==，5(8)36p η==，4(9)36p η==，3(10)36p η==， 2(11)36p η==，1(12)36p η==10分12345654321234567891011123636363636363636363636E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=712分19．解：（1）的中点为CD E ，为菱形，ABCD 21=∴CE 又︒=∠60BCD ，︒=∠∴90BEC ，AB BE ⊥∴，又ABCD PA 平面⊥，BE PA ⊥∴，PA ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ，PA AB A =,,BE PAB BE PBE PBE PAB ∴⊥⊂∴⊥面面面面4分（2）过B 点作BF ⊥AD 于F ，过F 作FM ⊥PD 于M ，联结BMBF ⊥AD ，BF ⊥PA ，∴BF ⊥面PADBM 为面PAD 的斜线，MF 为BM 在面PAD 的射影，∴BM ⊥PD∠BMF 为二面角B-PD-A 的平面角8分PC 与面ABCD 成角060，∠PCA=060 PA=3BF=2tan 3BMF ∠= 所以二面角B-PD-A为12分20．解：（1） a b →→⊥，∴0221=++-+n n n a S ，022211=++-+++n n n a S1122++-=∴n n n a a ，12211-=∴++n n n n a a ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列6分（2）)1()1(22+-=---=n n a n n， ()()()11201020090201122010220112200920092010n n nn n nn b n b b n n n b b b n ++∴=-≥-≥-≤=∴=令的最大值为或12分21．解：（1）xxe x e a x xf )3()()(22-=-=()()x x e x x e x x x f 13)32()(2-+=-+='2分3(3)6(1)2f e f e --==-4分（2）12,()x x f x 为的两个极值点，的两个根，）（为02)(,221=-+='x e a x x x f x x 12122x x x x a +=-=-211222121212()()4x x x x e f x e f x e x x x x +-≥- 2112122222121221()()4x x x x x x e x a e e x a e e x x x x +---≥-12121212()()4()x x x x x x x x -+≥- 24a -≥-12a ∴≤7分3b a a a a f +-+<323)(23恒成立∴3()b a a a e a a a +-+<-323232恒成立∴()⎪⎭⎫⎝⎛-+-->a a a e a a b a 3233232恒成立∴()⎪⎭⎫⎝⎛-+--=a a a e a a a h a 3233)(232令()()()()11333313)(222--+=-+--+='a a e a a a a e a a a h为减函数时，为增函数，当时，当)(,0)(021)(,0)(021x h x h a x h x h a <'>>>'<<-0()0,0a h ab ∴==>当时， 12分22．解：（1）AP AM 2=，0=•AM NP 所以NP 为线段AM 的垂直平分线，NM NA =CA NM NC NA NC =>=+=+222所以动点N 的轨迹是以()0,1-C ，()0,1A 为焦点的椭圆，且长轴长为222=a ，焦距22=c ，所以2=a ，1=c ，12=b曲线E 的方程为1222=+y x ．4分（2）设Ｆ（x 1，y 1）H （x 2，y 2），则由⎪⎩⎪⎨⎧++==+112222k kx y y x ，消去y 得)0(08,0214)12(22222≠>=∆=++++k k k x k k x k122,121422212221+=++-=+∴k k x x k k k x x12121212221212222222222((1))1(1)24(1)11212121OF OH x x y y x x kx kx k x x x x k k k k k k k k k k ⋅=+=++=++++++⋅++=-++=+++22221311,32142k k k +∴≤≤∴≤≤+8分||FH ==又点O 到直线FH 的距离1=d ，1||2S d FH ∴==22121[2,3],(1),2t k t k t =+∈=-令 S∴==211123,94t t ≤≤∴≤≤≤≤243S ≤≤12分23．解：（Ⅰ）因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅……1分由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<, 所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减……3分要使)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤……4分（Ⅱ）n m >．因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e ……6分又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f - ……8分从而当2t >-时,(2)()f f t -<，即m n <……9分（Ⅲ）证：因为0'2000()x f x x x e =-，所以0'20()2(1)3x f x t e =-，即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---, 从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解, 并讨论解的个数……10分因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-, 221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解……12分 ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解……13分③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或,所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解……14分综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意．……15分（说明:第（Ⅱ）题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内, 并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数）。

高三数学理科一模试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）。

A. √2B. πC. √3 - 2D. -√(-1)2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）。

A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 直线D. 双曲线3. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）。

A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于原点D. 位于直线y = x上4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 3n - 2，则S10的值为（）。

A. 145B. 150C. 155D. 1605. 下列各式中，正确的是（）。

A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα - cotβ6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，公差d = 3，则S10的值为（）。

A. 55B. 60C. 65D. 707. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f(-1) = 5，则a + b + c的值为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列各图中，能表示函数y = log2x的图像是（）。

9. 已知函数f(x) = e^x，则f'(x)的值为（）。

A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x - 210. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2n - 1，则S10的值为（）。

A. 90B. 95C. 100D. 105二、填空题（每题5分，共50分）11. 若sinα = 1/2，cosα = √3/2，则tanα的值为______。

12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10的值为______。

2024年上海市高考数学一模考试题分类(三角与三角函数 )汇编(附答案)

1一、三角定义、常用三角公式1.（2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限9.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.210B.25 C.325D.7210二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.2.（2024 高三一模松江 9）在 ∆ABC 中，设角 A , B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ，若a =3,c =5, B =2A ，则边长b =______.2024年上海市高考数学一模考试题分类（三角与三角函数）汇编3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n ．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =c 和ABC ∆的面积S .6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a ，求cbb c +的最大值.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若23b =，求△ABC 的周长的最大值.三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若OB d<且OM ODw=，<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570l=.2.680问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图24.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．图15.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．参考答案1一、三角定义、常用三角公式1. （2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.【答案】13【解析】诱导公式，()1sin sin 3παα-==.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.【答案】m【解析】由诱导公式πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，所以答案为m .3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.【答案】725【解析】27cos 212sin 25αα=-=.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】12-【解析】11tan cot 2tan 2πααα⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.【答案】1-【解析】角α、β的终边关于原点O 对称，所以()21,k k αβπ-=+∈Z ，所以()cos 1αβ-=-.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.【答案】17-【解析】343sin ,0,,cos ,tan 5254πθθθθ⎛⎫=∈∴== ⎪⎝⎭，3tan tan1144tan 3471tan tan 144πθπθπθ--⎛⎫∴-===- ⎪⎝⎭++.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.【答案】427-【解析】1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则sin 3x =-，tan x ∴=，()222tan 22242tan 21tan 71x x x ⨯∴===---.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限【答案】C【解析】由题意，222k k ππαπ<<+，k ∈Z ，则24k k απππ<<+，k ∈Z ，当k 为奇数时，2α在第三象限，当k 为偶数时，2α在第一象限，故选C.8.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.10B.5C.5D.10【答案】D【解析】由题意可知3cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3444πππα<+<，所以4sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭24372sin sin sin cos cos sin 44444425510ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+-=+-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.【答案】2425【解析】222222655650,5bca b bc c b c a -+-=∴+-=，222635cos 225bcb c a A bc bc +-∴===，4sin 5A ∴=，4324sin 22sin cos 25525A A A ∴==⨯⨯=.2.（2024高三一模松江9）在ABC ∆中，设角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，若3,5,2a c B A ===，则边长b =______.【答案】【解析】由正弦定理sin sin sin 22sin cos a b b b A B A A A ===得cos 2bA a=①，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=②，则2222225322625b bc a b b b a bc b +-+-=⇒=⇒=⨯.3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】20c b C -+=，因为a =22cos 0c b a C -+=，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos 0C B A C -+=，即()sin 2sin 2sin cos 0C A C A C -++=，化简可得1cos 2A =，所以sin 2A =，由正弦定理可得2sin aR A=（R 为外接圆半径），解得1R =.故选A.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）32,⎛ ⎝【解析】(1)因为m //n，所以()()sin sin sin sin A B C b c a c A +-⋅+-=⋅，由正弦定理，可得()()a b c b c a ac +-⋅+-=，即222ac a c b =+-.于是，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-==，又()0,B π∈，所以3B π=．（2）由（1）可知2,3A C π+=所以2sin sin sin sin()3y A C A A π=+=+-3sin cos )226A A A π=+=+……11分由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<-<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =时，求边长c 和ABC ∆的面积S .【答案】（1）3π=B ；（2）3+【解析】（1）由正弦定理得B A A B C sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=由于()B A C +-=π，得()BA AB B A sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=+展开得B A A B B A B A sin sin cos sin 3sin cos 3cos sin 3⋅+⋅=⋅+⋅化简得B B sin cos 3=，则3tan =B ，所以3π=B （2）由正弦定理，得2322sin sin sin3π==cA C Cc A sin sin 2260sin 32==，22sin =A ，因为<a b ，所以A 是锐角，即4π=A 因为32π=+C A ,所以，5,sin 12sin 3π===C c C所以115sin sin32212ABC S ab C π∆==⨯=+6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .【答案】（1）34π；（2）c =【解析】（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.（2）sin cos sin 242A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =，所以π12B =，sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=，所以22sin sin sin abc C A B=，由（1）ab =所以22c=+即c =7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a，求c b b c +的最大值.【答案】（1）323ππ或=A ；（2）22【解析】（1）根据正弦定理得2sin sin A B B =，所以23sin =A ，所以323ππ或=A .（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅，即A bc a sin 22=，又由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得A bc c b A bc cos 2sin 222-+=，解得()A A bc c b cos sin 222+=+，从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b .当24ππ=+A 即4π=A 时bc c b 22+有最大值22，即cbb c +的最大值为22.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =【解析】（1）因为4cos 5B =-，()0,B π∈，所以3sin 5B ==，由正弦定理，得2sin sin a bR A B==，即5623sin 5R A ==，所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =（2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，于是3cos 4C ==±，当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.【答案】（1）b =；（2）1sin (,)22C ∈【解析】（1）将1cos 3B =,3c =带入条件中可得5a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得b =；（2）2cos a c B c -= ，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A C B C -=,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ,sin cos sin cos sin B C C B C ∴-=,sin()sin B C C -=，(,),(0,)222B C C πππ-∈-∈ ,所以B C C -=,即2B C =,又因为ABC △为锐角三角形，(,)64C ππ∴∈,1sin (,22C ∈10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 的周长的最大值.【答案】（1）120B ∠=︒；（2）4+【解析】（1）因为222a cb ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-∠==-，120B ∠=︒．（2）由正弦定理得，a =4sin A ，c =4sin (600 −A )，所以，∆ABC 的周长为a +b +c =4sin A +4sin (600−A +)=4sin (A +600 +)200 <A <600当 A =300 时，∆ABC 的周长的最大值为4 +．三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.【答案】2【解析】22T ππ==.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由题意，32666m m m ππππ⎧>-⎪⎪⇒-<<⎨⎪<⎪⎩.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.【答案】23π【解析】函数向右平移3π个单位可以得到2sin 23y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，此时函数为奇函数，则有2sin 003πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2,3k k πϕπ-=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23πϕ=.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）【答案】cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意知12243124T T πππππωω=-=⇒==⇒=，将,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入，解得cos 21126ππϕϕ⎛⎫⨯+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.【答案】π,x k k =∈Z【解析】函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则,2k k Z πϕπ=+∈，cos()sin y x x ϕ=+=±，所以函数零点为π,x k k =∈Z .6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.【答案】5744⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】cos y x ωω'=，令0y '=，即cos 0x ω=，即,2x k k πωπ=+∈Z ，因为函数在区间()0,2π上恰有三个极值点，则2257244232ππωπωππωπ⎧>+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.【答案】14或12【解析】因为函数在区间[]0,π上是严格增函数，所以2πωπ≤，所以12ω≤，又图像关于()4,0π对称，所以4,k k πωπ=∈Z ，即,4k k ω=∈Z ，所以14k =或12.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.【答案】0,6π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意知()0,ϕπ∈，因为函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则2,23x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，则220,632ππϕπϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎡⎤⇒∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪+≤⎪⎩，0,6πϕ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.【答案】0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当0ω≠时，函数在x ∈R 上显然不具备单调性，故0ω=，又函数关于原点对称，所以函数值为0，所以cos 0ϕ=，又()0,2ϕπ∈，所以2πϕ=或32π，因此满足条件的数对为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.【答案】12【解析】由题意可得T π=，函数与y t =()0t >相交图像如图所示，可知C A x x π-=，又2BC AB =，所以3B A x x π=+，()sin 2A t x ϕ=+，()2cos 21A x t ϕ+=-则()()2sin 2sin 2sin 23A B A x x x πϕϕϕ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭()()22sin 2coscos 2sin 33A A x x ππϕϕ=+++，即12t t =-+12t =或12t =-（舍），所以12t =.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【解析】由题意2A =，()00222T x x ππ=+-=，所以2142T ππωω==⇒=，()02sin 16f πϕϕ==⇒=，所以()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 366f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】3⎡-⎢⎣【解析】()cos sin x x a x f '=-，因为函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，所以()0f x '≥或()0f x '≤，当x π=时，()1f π'=-，则()0f x '≥不符合题意，由()0f x '≤，得sin cos a x x ≥，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0x >，所以1tan a x ≥在2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求max 1tan a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，因为2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan x ∈，1,tan 3x ⎛∈-∞- ⎝⎭，所以33a ≥-；当7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x <，所以1tan a x ≤在7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求min 1tan a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，)1tan x ∈+∞，所以a ≤；综上，33a ⎡-⎢⎣∈.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．【答案】（1）π；（2）最大值1，最小值2-【解析】（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．所以，函数)(x f y =的最小正周期π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-．∴π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令π26x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，min 2f =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max 1f =．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）【答案】7.8【解析】由图可知130CAB ∠=，30ABC ∠=，20ACB ∠=2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.【答案】22-【解析】分别以,OB OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系如图所示，则()3,3M ，令()0,A b ，(),0B a ，()0,0a b >>，则直线AB 的方程为1x ya b+=，则点M 直线上方，且到AB 的距离为1，即22331331111a b a b a b ⎧+>⎪+-=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2233111a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得223()a b a b ab +=+-，设AB r =，0,0,2OAB r πθθ⎛⎫⎡⎤∠=>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则sin a r θ=，cos b r θ=，223()a b a b ab +=+-可化为23(sin cos )sin cos r r r θθθθ=+-，令sin cos 0,2t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则224t πθ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则223(sin cos )131121281sin cos (31)(31)999231t r t t t t θθθθ+--===⨯--+---188(31)231t t =--+-，由1,2t ⎡⎤∈⎣⎦，得312,321t⎡⎤-∈-⎣⎦，所以889(31)2321231321321t t --+≤--+=---，所以()1823218(31)231t t ≥---+-，当且仅当2t =时等号成立，该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过622-米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =，2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图2【答案】（1）tan tan llw βα=+；（2）选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道【解析】（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，进而tan tan llw βα=+.（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --.3 4.642tan lOD l α===，()223 6.766OB l l w=++=，设(),O a b ()0,0a b <<，32 6.642a l =--=-，d b =-，()()()2223.5 3.59.872 3.5OM a b b =+++=++，由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.4.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．【答案】（1）若选择①，挡雨板材料的面积为1.8平方米；若选择②，挡雨板材料的面积为图13π5平方米，约为1.9平方米；（2）OA 的最大值为0.3米【解析】（1）若选择①，结合π6AOB ∠=，得OBC △是直角三角形，10.92BC OC ==米，挡雨板材料的面积为1.8平方米．若选择②，则COB 是一个圆心角为π6的扇形，BC 弧长为π3π1.8610⨯=，挡雨板材料的面积为3π5平方米，约为1.9平方米．（2）在直角ABC △中，由cos AB AC θ=；在ABO △中，由正弦定理，ππsinsin 66AO ABθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π6π2sin sin cos 656AO AB θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2631sin cos cos 522θθθ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭3311sin 2cos25222θθ⎛⎫=⋅-⋅- ⎪⎝⎭3π3sin 25610θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中ππ62θ<<．当ππ262θ-=，即π3θ=时，AO 取得最大值310．综上所述，有效遮挡区域高OA 的最大值为0.3米．5.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．【答案】（1）231米；（2）见解析【解析】（1）休闲步道总长为 2AC OA OD CD+++π301203=⨯++10π120=++231≈米.所以休闲步道总长为231米.（2）方案一：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的面积15π5π3060sin sin 900sin sin 266S θθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π450sin 23θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4π2333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当ππ232θ-=，即5π12θ=时有max S 450=+平方米因此，当亲水平台区的面积最大时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.方案二：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的周长5π60sin 60sin 306L θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(60sin 30cos 30θθ=+++π233012θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ11π121212θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当ππ122θ+=，即5π12θ=时有max L 60233030630230=+=+米因此，当亲水平台区的周长最长时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.（本题也可用余弦定理、均值不等式解决）6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.【答案】（1）50cos2OD α=；（2）当0α=时，花卉育苗区的面积最大，为12503平方米【解析】（1）由πππ()333DOC αα∠=+-<<，2π3AOB ∠=,可知π3COE α∠=-,作OF CD ⊥,垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+，在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin(62CD OD α=+，同理可得ππ2sin(2sin()6262EC OC OD αα=-=-，所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α-=，可得OD =5050ππsin()sin()cos62622ααα=++-(米).（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++-22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++-.501]1cos1cos2Sα=α==-+α+α.当且仅当cos1α=且ππ33α-<<，即0α=时，S取最大值，此时50OD=米.故使π3DOC∠=，且50OD=米，可使花卉育苗区的面积最大.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，0.8mAD=， 2.4mAB=，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH， 1.2mEH=．设PHGβ∠=，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）【答案】（1）能；（2）2.6m【解析】（1）当倾斜角π4α=时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)ππ820.8sin 2.4cos 2.3445h=+=<，故冰箱能够按要求运送入客户家中．（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，则 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，设()EF f β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 1.8 1.81() 1.2(tan )sin cos tan f =+-+βββββ1.8(sin cos ) 1.2sin cos ββββ+-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．2222332222221.8(cos sin )(sin cos )(1.8(sin cos ) 1.2)(cos s in )()sin cos 1.8(cos sin ) 1.2(cos sin ) 1.8(sin cos )(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos f βββββββββββββββββββββββ--+--'=⋅--+----==⋅⋅求得驻点π4β=，作表格得βπ(0,)4π4ππ(,)42()f β'-0+()f β严格减极小值严格增所以()f β最小值π18212() 2.6945f -=≈．由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．【答案】（1）2sin cos 52502,,sin 48y θθππθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）()2503263PO =-【解析】（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.所以500sin 42sin y AP BP OP AP OP πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=++=+=2sin cos sin θθθ+-=，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-=⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得tt 5sin()1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=+，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x --+⎛⎫+===+≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．。

高三数学下学期一模考试试题理含解析试题

2021-2021学年度第二学期高三年级一模考试数学〔理科〕试卷第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，那么RA B =〔〕A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D.}1,0,1{-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合B,再求RAB 得解.【详解】由题得B={x|x ≥2或者x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<，所以{0,1}RA B =.应选：B【点睛】此题主要考察集合的交集和补集运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.假设复数z 满足(1i)|1|z +=+，那么在复平面内z 的一共轭复数对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和z,再求出在复平面内z的一共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)iz ii i-===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的一共轭复数对应的点为〔1,1〕，在第一象限.应选：A【点睛】此题主要考察复数的模和复数的除法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3. 某单位一共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，那么青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为〔〕A. 25B.35C.2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组一共有人,这六人中抽取两人的根本领件一共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，根本领件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，应选B ．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2021年第一季度五GDP 情况图，那么以下陈述中不正确的选项是〔〕A. 2021年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是.B. 与去年同期相比，2021年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决此题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，根据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的有均第一；均第四，一共2个.故D 错误. 应选D.点睛：此题考察条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 那么||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 25+C. 45+D.122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，那么12PF PQ PF PQ +=+d ≥〔d 为点2F 到渐近线0x =的间隔1=〕，即1PF PQ +的最小值为122+；应选D.点睛：此题考察双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或者双曲线的点到两焦点的间隔问题时，往往利用椭圆或者双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的间隔合理转化到另一个焦点间的间隔 .6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐〕二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB 〔〕A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，那么(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐)二面角为6π， 22||cos6||||1m n m n a b π∴==++，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．应选：B ．【点睛】此题考察角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．7.函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如下图，那么aω可取〔〕A. 2π B. πC. 2πD. 4π【答案】B分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==．因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ．综上()21k aωπ=+，k ∈N ，应选B ．点睛：此题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的才能，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或者取值范围．8.?九章算术?中描绘的“羡除〞是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，那么该羡除的体积为〔〕A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的间隔为4d =，,AD BC 间的间隔为3.如以下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，那么棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.应选A.【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规那么几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规那么的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,那么c b b c +的最大值是〔〕A. 8B. 6C. D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高〞容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )， ∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时获得最大值4，应选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合条件灵敏转化边和角之间的关系，利用根本不等式或者函数方法求最值. 在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.10.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设12>0x x ，且()()120f x f x +=，那么12x x +的最小值为〔〕A.6π B.3π C. 2πD.23π 【答案】D 【解析】【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π，故12x x +的最小值为23π. 应选：D【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，那么ABC ∆的边长是〔〕 A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||2MC AB =，1||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||1cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)2y x =-，联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 应选：C ．【点睛】此题考察抛物线的方程与性质，考察抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是12.设函数()(1x g x e x a =+--〔a R ∈，e 为自然对数的底数〕,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．假设存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，那么实数a 的取值范围为〔〕A. ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D.⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-，因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +≥-+，所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点，所以()h x 在12x ≤时有一个零点因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥ 所以a的取值范围为2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，应选D. 【点睛】此题主要考察函数与方程的综合问题，难度较大.第二卷〔一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，那么3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】【分析】先画出可行域，利用目的函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域〔如图示：阴影局部〕：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A 〔12,1 2〕，由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3z x y =+的最小值为32+122=．故答案为：2．【点睛】此题考察了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目的函数的几何意义．110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，那么2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是___________．【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22222sin 2cos 22cos 2sin cos 22cos 222αααααα=++=+-2222sin cos 22cos 2sin cos 2ααααα+=-+22tan 2220tan 12αα+=-=+．考点：三角函数的化简求值．()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间间隔，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率〞，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率〞为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，那么 “曲率〞(,)3A B ϕ>；③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间的“曲率〞(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，假设·(,)1t A B ϕ<恒成立，那么实数t 的取值范围是(,1)-∞。

高三数学试卷理科一模

高三数学试卷理科一模一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确选项的字母填在题后的括号内。

）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值为（）A. 3B. 1C. -3D. -12. 已知集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|-2<x<4}，则A∩B=（）A. {x|-2<x≤2}B. {x|-3≤x<2}C. {x|-3≤x<4}D. {x|-2≤x≤2}3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S5=（）A. 15B. 25C. 30D. 354. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)=（）A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x5. 若直线y=2x+1与曲线y=x^3-3x^2+2x+1相切，则切点的横坐标为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则角C的余弦值为（）A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/67. 已知复数z=1+i，则|z|=（）A. √2B. 2C. √3D. 38. 已知向量a=(3,-4)，b=(2,1)，则a·b=（）A. -2B. 2C. 10D. -109. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)≥0，则x的取值范围为（）A. (-∞,1]∪[3,+∞)B. (-∞,1)∪(3,+∞)C. [-1,3]D. [1,3]10. 若sinθ=3/5，且θ为锐角，则cosθ=（）A. 4/5B. √7/5C. -√7/5D. -4/5二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在题后的横线上。

）11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，q=3，则S3=______。

高考数学一模模拟试卷及参考答案(理科)

高考数学一模模拟试卷及参考答案(理科)你的努力换来的是成功，你的汗水换来的是收获，你的苦读换来的是美梦成真，高考到了，愿你考出好成绩，握住成功的手，实现梦想。

下面就是小编给大家带来的高考数学一模模拟试卷及参考答案(理科)，希望大家喜欢!一、选择题(本大题共10个小题.每小题5分，共50分)1.已知集合A={x|xA.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>22.下列命题①?x∈R，x2≥x;②?x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.33.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}4.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上()A.既没有值也没有最小值B.最小值为-3，无值C.最小值为-3，值为9D.最小值为-134，无值5.函数与的图像关于直线()对称;A.BCD6.已知函数，这两个函数图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.47.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=ax+b的图象是()8.如下四个函数：①②③④，性质A：存在不相等的实数、，使得，性质B：对任意，以上四个函数中同时满足性质A和性质B的函数个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个9.若定义在上的函数满足：对任意有，且时有，的值、最小值分别为M、N，则M+N=()A.2009B.2010C.4020D.401810.幂指函数在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边同时求导得，于是，运用此方法可以探求得知的一个单调递增区间为()A.(0,2)B.(2,3)C.(e,4)D.(3,8)二、填空题(本大题共有5个小题，每小题5分共25分)11.设集合，，若，则_________.12.则.13.已知函数在上为增函数，则实数a的取值范围为___________14.已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[-2，2])，函数g(x)=ax-1，x∈[-2,2]任意x1∈[-2,2]，总存在x0∈[-2,2]，使得g(x0)=f(x1)成立，则实数a的取值范围是________.15、已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，g(x)=f[f(x)]，其中真命题的个数是_________个。

高三数学试卷理科_一模

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3.14C. 0.1010010001...D. √92. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = f(b)，则a和b的关系是（）A. a = bB. a = b + 1C. a = b - 1D. a + b = 03. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 12，S5 = 25，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是（）A. 任意两个等差数列都是等比数列B. 任意两个等比数列都是等差数列C. 如果一个数列既是等差数列又是等比数列，那么它一定是常数数列D. 等差数列的通项公式一定为an = a1 + (n - 1)d5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 顶点在x轴上的抛物线B. 顶点在y轴上的抛物线C. 顶点在原点上的抛物线D. 顶点在x = 2上的抛物线6. 已知复数z = 3 + 4i，其共轭复数是（）A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. -3 - 4iD. -4 - 3i7. 已知数列{an}的通项公式an = n^2 - n + 1，则数列的前10项之和S10为（）A. 385B. 390C. 400D. 4058. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l的斜率为（）A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/29. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 16，则圆C的半径为（）A. 2B. 4C. 8D. 1610. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的图像是（）A. 两段斜率为1的直线B. 两段斜率为-1的直线C. 一段斜率为1，一段斜率为-1的直线D. 一段斜率为0，一段斜率为1的直线二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的图像的顶点坐标是______。

高三数学模拟统一考试试题一理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校内蒙古2021届高三数学模拟统一考试试题〔一〕理〔含解析〕本卷须知：2.答题时，必须将答案写在答题卡上，写在套本套试卷及草稿纸上无效。

3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1.集合{}2log1A x x =>，{}1B x x =≥，那么A B =〔〕A.(]1,2 B.()1,+∞C.()1,2D.[)1,+∞【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果.【详解】由{}{}2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，那么[)1,A B ∞=+，应选D.【点睛】此题主要考察了对数不等式的解法，并集的概念，属于根底题.2.复数z 满足()11z i -=-，那么复数z 等于〔〕A.1i -B.1i +C.2D.-2【答案】B 【解析】【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数z 满足()112zi -==，∴()()()2121111i z i i i i +===+--+，应选B.【点睛】此题主要考察复数的根本运算，复数模长的概念，属于根底题． 3.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，那么数列{}n a 前6项和6S 为〔〕A.18B.24C.36D.72【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果.【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a=，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=，应选C.【点睛】此题主要考察了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于根底题. 4.菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，那么BD CD ⋅=〔〕A.4B.6C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如下列图，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=，∴BD=30BDC ∠=︒，∴||| 30|262BD CDBD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅，应选B ．【点睛】此题主要考察了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于根底题.．5.双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A.y =B.y =C.y x=±D.2y x =±【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线C：()222210,0x y a b a b-=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的间隔为2，可得：2c =，可得2b c =，ba=C 的渐近线方程为y =．应选A ．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考察计算才能，属于中档题.6.定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，那么()2019f =〔〕A.-1B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，应选C ．【点睛】此题主要考察函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 7.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红〔朱〕色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+(股-勾)24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1000颗图钉〔大小忽略不计〕，那么落在黄色图形内的图钉数大约为〔〕 A.866 B.500C.300D.134【答案】D 【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为1，那么所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，应选D. 8.函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，那么函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为〔〕A. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值．【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦应选B ．【点睛】此题主要考察函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考察了正弦函数最值的求法，解题的关键是纯熟掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于根底题． 9.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，那么MN =〔〕B. 【答案】D 【解析】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，那么112OM y =，212ON y =，1212MN y y =-，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，那么112OM y =，212ON y =，直线AB 的方程为：)1y x =-，联立)21 4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得23120y --=，∴12y y +=，124y y =-，∴1212MNy y =-==，应选D ．【点睛】此题考察直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要擅长运用抛物线的定义解决问题，属于中档题.10.函数1()ln 1f x x x =--，那么=()y f x 的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值，对函数图像进展排除，由此得出正确选项.【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >()10010020101f e e =>-，排除D 选项.应选A.【点睛】本小题主要考察详细函数的解析式，判断函数的图像，属于根底题.11.一个三棱锥的三视图如下列图，其中俯视图是等腰直角三角形，那么该三棱锥外接球外表积是〔〕 A.43πB.20πC.4πD.12π【答案】D 【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，求出三棱锥外接球的半径，进一步利用几何体的外表积公式的应用求出结果．【详解】根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以该几何体的球心为O ，R=2412S ππ==，应选D ．【点睛】此题考察的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于根底题型． 12.236ab ==，那么a ，b 不可能满足的关系是〔〕A.a b ab +=B.4a b +>C.()()22112a b -+-<D.228a b +>【答案】C 【解析】【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】∵236a b ==；∴226log 1og 3l a==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b+=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2ab =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ．【点睛】此题主要考察指数式和对数式的互化，对数的运算，以及根本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

高三数学试卷理科一模

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = |x - 2| + 1的图像与x轴的交点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 + a5 = 10，a3 + a7 = 20，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 线段ABB. 线段BCC. 线段CDD. 线段DA其中A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(0,-1)4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，a1 + a2 + a3 = 9，则数列的公比q为（）A. 1B. 2C. 3D. 3/25. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是（）A. (-√2,√2)B. (-√3, √3)C. (-√2, √2]D. (-√3, √3]6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的图像关于点（1，-1）对称，则f(x)的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值为2，则f(x)在区间[3, 5]上的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前10项和S10为（）A. 210B. 220C. 230D. 24010. 若不等式x^2 - 2ax + a^2 < 0的解集为(0, 2)，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则a，b，c的符号分别为_________。

高考数学理科模拟试题(附答案)

高三年级第一次模拟考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。

1．复数23()1i i +-= （）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则的值为（）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。

2021-2022年高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三第一次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合若,则为.( )A． B． C． D．2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）A． B．C．1 D．33. 设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）A．B．1C．D．25．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A. B.4 3C. D.58．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于（）A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 39. 若抛物线的焦点是F ，准线是，点M （4，4）是抛物线上一点，则经过点F 、 M 且与相切的圆共有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个10. ，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（） A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12．把曲线C ：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（）A ．1 Ｂ． 2 Ｃ．3 Ｄ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 的展开式的常数项为．14．设x ，y 满足约束条件，向量，且a ∥b ，则m 的最小值为．f (x+k )>f (x ) 恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”。

高三数学理科第一次模拟考试卷试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年浙东北三校联考(DZB)高三数学理科第一次模拟考试卷本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．一共150分，考试时间是是120分钟．第I 卷(选择题，一共50分)一、选择题〔此题一共10个小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的〕 1．复数()为虚数单位i iiz--=121在复平面上对应的点位于〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．假设函数)()(3x x a x f --=的递减区间为〔33-，33〕，那么a 的取值范围是〔〕A ．a ＞0B ．-1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1 3．以下判断错误的选项是．．．．．．〔〕“⊆{}657，或∈为空集〕“假设q 那么p 〞与“假设p 那么qC ．在ABC ∆中，“B A >〞是“tanA>tanB 〞的必要不充分条件D ．“4．函数2121),32sin(4),32sin(3y y y x y x y +=+=-=则函数ππ的振幅A 的值〔〕A ．5B ．7C ．13D ．135．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，假设按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，那么不同的抽样方法数是〔〕 A ．2539C C B ．25310C CC ．25310A AD ．25410C C6．三棱柱111C B A ABC -中，侧面B B AA 11⊥底面ABC ，直线C A 1与底面成︒60角，2===CA BC AB ，ABCA 1BC 1B A AA 11=，那么该棱柱的体积为〔〕A ．34B ．33C ．4D ．37．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是〔〕A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[8．函数a ax x x f +-=22)(在区间),(1-∞上有最小值，那么函数xx f x g )()(=在区间),(∞+1上一定〔〕A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数9．实数q p ,满足012=+-qp p ，那么代数式pq 4-的取值范围是〔〕A ．[)+∞-,3B ．()+∞,3 C ．[)+∞-,2D ．()+∞,110．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=10,S 5=55,那么过点P(n,n a )和Q(n+2,2+n a )(n ∈N +)的直线的一个方向向量的坐标可以是〔〕A ．〔2，21〕 B ．〔2,21--〕 C ．(21-,-1)D ．(-1,-1)第二卷(非选择题，一共100分)二、填空题：〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分〕11．函数)24(log )(3+=xx f ，那么方程4)(1=-x f 的解=x 。

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