§10.4高阶线性微分方程

1 cos2 x sin2 x 0
又如, 函数 1, x , x 2 在任何区间(a, b)内是线性相关
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因为当 x (a, b) 时, 要使
k1 k2 x k3 x 2 0
则必须 k1 , k2 , k3 全为零.
特别地, 对于两个函数 y1( x), y2 ( x) , 如果 y1 ( x ) 常数, 则是 2
所以该方程的通解为
y C1 sin x C2 cos x
( C1 , C2 为任意常数)
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定理2不难推广到 n 阶齐次线性方程 推论 如果 y1( x), y2( x), yn( x) 是 n 阶齐次线性方程
y( n) a1 ( x) y( n1) an1 ( x) y an ( x) y 0
线性无关的, 否则是线性相关的. 例如, y1 sin x 与 y2 cos x 在任何区间上都是线性无关的; 而 y1 x与 y2 3 x 是线性相关的.
y ( x)
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定理1 设函数 y1( x)、y2 ( x) 是齐次线性方程(10.4.2)的两
个解, 则
y( n) a 1 ( x) y( n1) an1 y an ( x) y 0
为n 阶齐次线性方程, 否则, 称为 n 阶非齐次线性方程. 本书以二阶线性微分方程为例讨论高阶线性微分方程的 求解问题.
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一. 线性微分方程的通的结构
二阶线性微分方程的一般形式为
§10.4 高阶线性微分方程
一. 线性微分方程通解的结构
二. 常系数齐次线性微分方程的解法
三. 常系数非齐次线性微分方程的解法 四. 欧拉方程
教学目标
1. 掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法. 2. 了解 n 阶常系数齐次微分方程的求解方法. 3. 掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法. 4. 了解欧拉方程的求解方法.
的 n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) Cn yn ( x )
其中 C1 , C2 ,, Cn为任意常数. 下面讨论二阶非齐次线性方程(10.4.1)的通解结构. 我们 把方程(10.4.2)称为与非齐次线性方程(10.4.1)对应的齐次方 程.
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )
也是方程(10.4. 2)的解, 其中 , C1 , C2 为任意常数. 注 虽然解中含有两个任意 C1 , C2 , 但它不一定是方程
(10.4.2) 的通解. 例如, 设 y1 ( x) 是方程(10.4.2) 的一个解 那么 y2 ( x ) 2 y1 ( x) 也是方程(10.4.2)的解, 但
y p( x) y q( x) y f ( x )
其中 p( x) , q( x ) , f ( x) 是 x 的已知连续函数.
(10.4.1)
若 f ( x) 0 ，则称方程(10.4.1)为二阶非齐次线性微分方程. 若 f ( x) 0 , 则称方程
y p( x ) y q( x ) y 0
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2 例如, 方程 y y x 是二阶非齐次线性微分方程. 由
例1知 Y C1 sin x C2 cos x是对应齐次方程 y y 0 的通解; 又容易验证 y x 2 2 是所给方程的一个特解 因此,
y C1 sin x C2 cos x x 2 2
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y Y y*
为非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.
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(10.4.5)
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证 把(10.4.5)式代入方程(10.4.1)的左端, 根据Y(x)是对应 齐次方程(10.3.2)的通解, 有

Yy
*


p( x) Y y

*


q( x) Y y*


定理4 (叠加原理) 设有二阶非齐次线性微分方程
y p( x) y q( x) y f k ( x)
k 1
* 如果 yk 为非齐次线性微分方程.
n
（10.4.6）
y p( x) y q( x) y f k ( x)(k 1,2,, n)
的一个特解, 那么
(10.4.7), 得
( 2 p q)e x 0
由于 e x 0 , 所以
2 p q 0
(10.4.8)
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由此可见, 只要 λ是代数方程(10.4.8)的根, 函数 e x 就是微
分方程(10.4.7)的解 . 我们把代数方程(10.4.8)叫做微分方程 (10.4.7)的特征方程, 其根称为微分方程(10.4.7)的特征根.
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在§10.2中, 我们看到: 一阶非齐次线性微分方程的通解 由两部分构成：一部分是它相应的齐次方程的通解; 另一部 分是它的一个特解. 实际上, 不仅一阶线性微分方程的通解
这样的结构, 二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解
也有同样的结构. 定理3 (非齐次线性方程通解结构) 设 y* ( x )是二阶非齐 次线性微分方程(10.3.1)的一个特解, Y是对应齐次方程(10.4.1) 的通解, 则
1 2
下面来求 u( x ), 对 y2 求导得,
y2 e 1 x ( u 1 u ) y2 e 1 x ( u 21 u 12 u )
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, y2 代入方程(10.4.7), 得 将 y2 , y2
的通解, 只需要求出它的两个线性无关的特解, 就可以由式
(10.4.4)构造出通解, 进而得到它的全部解.
例1 求微分方程 y y 0 的通解. 解 这是一个二阶齐次线性方程, y1 sin x 与 y2 cos x 是所给方程的两个线性无关的解. 因为
y1 sin x tan x 常数 y2 cos x
特征方程(10.4.8)是一个一元二次代数方程, 根据初等代数
学的知识，该方程有两个根 1, 2 可由求根公式
p p 2 4q 1,2 2
求得. 它们有三种不同的情形, 分别对应着微分方程(10.4.7 ) 的通解的三种不同情形, 分别讨论如下:
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k1 y1( x) k2 y2( x) kn yn( x) 0
(10.4.3)
在区间 I上恒成立, 则称 y1( x), y2( x),..., yn( x) 在区间 I上 线性相关; 否则, 称线性无关. 例如，函数 1,cos2 x,sin2 x 在整个数轴上是线性相关的, 因为
为方程(10.4.1)对应的二阶齐次线性微分方程.
(10.4.2)
为了研究二阶线性微分方程解的结构, 我们引入函数相关
性的概念.
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定义1 设 y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1 , k2 , , kn , 使得
=Y p( x )Y q( x )Y ( y* ) p( x )( y* ) q( x ) y*
=0 ( y* ) p( x)( y* ) q( x) f ( x)
所以 y Y y*为方程(10.4.1)的解. 另一方面, 我们注意
到 Y 的结构中包含了两个独立的任意常数, 所以式(10.4.5)为 二阶非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
(10.4.4)
为方程(10.4.2)的通解, 其中, C1 ，C2 为任意常数. 值得说明的是一般微分方程的通解不一定包含它的全部解,
而线性微分方程无论是齐次的, 还是非齐次的, 它的通解却包
含了它的全部解.
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定理2 指出了二阶线性微分方程通解的结构. 为了求它的通
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在微分方程中, 人们通常把二阶及二阶以上的微分方程,
统称为高阶微分方程. n阶微分方程的一般形式为：
y( n) a 1 ( x) y( n1) an1 y an ( x) y f ( x)
其中 a i ( x) (i 1, 2,..., n) 为给定的函数, f ( x ) 为 x 的已 知函数. 特别的, 当 f ( x ) 0 时, 称方程
(1) 特征根为互异实根
根据一元二次方程的求根公式, 当判别式 p2 4q 0 时, 特 特征方程(10.4.8)有两个不相等的实根 1 , 2 , 这时 y1 e x
1
和
y2 e
2 x
是微分方程(10.4.7)的两个线性无关的特解.
因此 , 微分方程(10.4.7)的通解为
y py qy f ( x )
方程(10.4.1)对应的齐次线性微分方程是
y py qy 0
(10.4.7)
1、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 由齐次线性微分方程通解结构定理10.4.2可知, 只要求出 方程(10.4.7)的两个线性无关的解, 就可以得到其通解.
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) (C1 2C2 ) y1 ( x) Cy1 ( x) (C C1 2C2 )
却不是方程(10.4.2)的通解, 因为 C C1 2C2 只能看成 一个任意常数.
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根据定理10.3.1, 我们可得齐次线性方程(10.3.2)的通解结 构定理. 定理2 设函数 y1( x)、y2 ( x) 是齐次线性方程(10.4.2)的 两个线性无关的解, 则
y C1e1 x C2e2 x
( C1 , C2 为任意常数)
(10.4.9)
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(2) 特征根为重根 当判别式 p2 4q 0 时, 特征方程(10.4.8)有两个相同 p 的实根 = , 这时方程 (10.4.7) 只有一个特解 2 y2 x y1 e , 我们需要再找一个解, 并使得 不是常数. y1 y 设 2 u( x ), 即 y2 ( x ) u( x ) y1 u( x )e 1 ( x ) , y1
* y* yk k 1 n
就是方程(10.4.6)的一个特解.
证
由假设知
* ) p( x)( y* ) q( x) y* f ( x)(k 1,2,, n) ( yk k k k
将
y*
n
k 1
* yk 代入方程(10.4.6)的左端, 有
n
n * * y p ( x ) y k q( x ) y k k 1 k 1
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由于方程(10.4. 7)的左端是关于 y, y, y 的线性关系式,
且系数为常数. 当 λ为常数时, 指数函数 e x 和它的各阶导 数最多只差一个常数因子, 因此我们用 y e x 尝试, 看能否 取到适当的常数 λ, 使 y e x 是方程(10.4.7)的解. 对 y e x 求导, 得 y e x , y 2e x . 将 y, y, y 代入方程
n k 1
* k
=
故
y*
n
k=1

* * * ( yk ) p( x)( yk ) q( x) yk
f ( x)
n k 1 k
k 1
* yk 为方程(10.4.6)的一个特解.
n
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二. 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为