§10.4高阶线性微分方程
第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
高阶线性微分方程
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
高阶线性微分方程
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
《高阶微分方程》PPT课件
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
10-4 高阶线性微分方程
r1， 2 1 2i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
故所求通解为
例 4 求微分方程
y 2 y 8 y 0
的通解
解 特征方程为
r 2r 8 ( r 4)(r 2) 0
2
解得
r1 4, r2 2
在任何区间 I 上都 线性无关.
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的
使
y1 ( x) k2 y2 ( x) k1
线性无关
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
定理 2 ： 如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的 通解. （ C1 , C 2 是任意常数）
解的叠加原理
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
的特解, 那么 y y 就是原方程的特解.
* 1 * 2
例1 已 知 y1 3，y 2 3 x 2，y 3 3 x 2＋e x 都 是 微 分 方 程
x
2
2 x y x 2 2 y 2 x 2 y 6 x 1
2) 有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
高阶线性微分方程
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分 布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值 解法
对于难以找到解析解的非线性微 分方程，数值方法成为求解的主 要手段，如有限元法、有限差分 法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定 义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方 程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛 应用于物理、工程、经济等领域。高阶 线性微分方程作为微分方程的一种特殊 类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解， 则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解， 则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应齐次方程的通解加上一个特解。
高等数学高阶线性微分方程
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
高阶线性微分方程的解法和特解法
高阶线性微分方程的解法和特解法微分方程作为数学中的一门重要的分支和研究方向，已经被广泛地应用于生产、科研、教育等各个领域。
其中，高阶线性微分方程作为微分方程中的一种常见形式，其解法及特解法也是应用最广泛的一个方向。
本文将从高阶线性微分方程的定义入手，一步一步地介绍它的解法和特解法。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如以下形式的方程：$y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+a_2y^{(n-2)}(x)+\cdots+a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=f(x)$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n$为已知函数，$f(x)$为已知函数。
其中，$y^{(n)}(x)$表示$y(x)$的$n$阶导数。
二、高阶线性微分方程的解法针对高阶线性微分方程，其解法主要可以分为两种方式：齐次方程和非齐次方程。
1.齐次方程齐次方程指的是当$f(x)=0$时的高阶线性微分方程，它的通解的形式为：$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)$其中，$C_1,C_2,\cdots,C_n$为常数，$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$为$n$个线性无关的特解。
解法如下：（1）特征方程法：通过求解高阶线性微分方程的特征方程，可以求得其通解。
（2）常数变易法：设$y(x)$为齐次方程的一个特解，则其通解可表示为$y=C(x)y(x)$，其中$C(x)$为任意常数函数。
将通解代入方程中，用待定常数法求解出$y(x)$。
2.非齐次方程非齐次方程指的是当$f(x)\neq 0$时的高阶线性微分方程，它的通解的形式为：$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$其中，$y_h(x)$是对应的齐次方程的通解，$y_p(x)$为非齐次方程的一个特解。
解法如下：（1）常数变易法：设$y_p(x)$为非齐次方程的一个特解，则其通解可表示为$y_p(x)=C(x)y_h(x)$，其中$C(x)$为任意常数函数。
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程高阶线性微分方程是微积分中的重要部分，其解决了许多实际问题中的数学模型。
本文将介绍高阶线性微分方程的定义、解法和应用。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=g(x)\]的微分方程，其中 $y^{(n)}$ 代表 $y$ 的 $n$ 阶导数，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ 均为常数，$g(x)$ 是已知的函数。
二、高阶线性微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法首先考虑齐次线性微分方程\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y = 0\]将其特征方程设为 $a_n r^n + a_{n-1}r^{(n-1)}+...+a_{1}r+a_{0} = 0$，解出特征方程的 $n$ 个根 $r_1, r_2, ..., r_n$。
根据齐次线性微分方程的性质，可以得出其解的形式为 $y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} + ... + C_n e^{r_nx}$，其中 $C_1, C_2, ...,C_n$ 为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法若已知非齐次线性微分方程的一个特解 $y_p(x)$，则非齐次线性微分方程的通解可以表示为 $y(x) = y_p(x) + y_h(x)$，其中 $y_h(x)$ 为齐次线性微分方程的通解。
为了求得非齐次线性微分方程的特解，可以通过常数变易法、待定系数法等方法。
3. 常数变易法当非齐次线性微分方程的右侧函数 $g(x)$ 为常数时，可采用常数变易法。
假设非齐次线性微分方程的特解为 $y_p(x) = A$，将其代入原方程得到 $a_0 A = g(x)$，解得 $A = \frac{g(x)}{a_0}$，进而得到特解$y_p(x) = \frac{g(x)}{a_0}$。
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程函数组的线性相关与线性无关线性微分方程的一般形式齐次线性微分方程的解的结构非齐次线性微分方程的解的结构函数组的线性相关与线性无关设)(1x y ,2()y x , ,()n y x 为定义在区间I 上的n 个 如果存在n 个不全为零的常数1k ,2k , ,n k , 当x I ∈时有恒等式11220n n k y k y k y +++≡成立， 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关； 否则称为线性无关.函数, 使得函数1，2cos x ，2sin x 在整个数轴上是线性相关的. 例如,取11k =，231k k ==-，就有恒等式 221cos sin 0x x --≡.函数1，x ，2x 在任何区间(,)a b 内是线性无关的. 如果1k ，2k ，3k 不全为零, 在该区间内至多只有两个x 值能使2123k k x k x ++为零. 要使21230k k x k x ++≡， 必须1k ，2k ，3k 全为零.对于两个函数1()y x ,2()y x的情形:如果21() ()y x y xk=,k为常数，1()y x与2()y x线性相关；如果21()(() )y x y xxϕ=,1()y x与2()y x线性无关.线性微分方程的一般形式n 阶线性微分方程的一般形式是： ()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= 二阶线性微分方程的一般形式是： 22d d ()()()d d y y P x Q x y f x x x ++=当方程右端()0f x≡时，方程22d d()()0d dy yP x Q x yx x++=叫做齐次的；当方程右端()0f x≠时，方程22d d()()()d dy yP x Q x y f xx x++=叫做非齐次的.齐次线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++= (1) 定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解, 那么)()(2211x y C x y C y +=也是方程(1)的解,其中21,C C 是任意常数.证 将y ,y ',y ''代入方程左端，得112211221122[]()[]()[]C y C y P x C y C y Q x C y C y ''''''+++++ 11112222[()()][()()]C y P x y Q x y C y P x y Q x y ''''''=+++++ 0= 0= 0=()()0y P x y Q x y '''++= , )()(2211x y C x y C y +=从形式上来看)()(2211x y C x y C y +=含有1C 与2C 两个任意常数， 但它不一定是方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解. 例如,设1()y x 是该方程的一个解,则21()2()y x y x =也是该方程的解.1121()2()y C y x C y x =+ 1()Cy x =, 其中122C C C =+定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解， )()(2211x y C x y C y +=(1C ,2C 是任意常数） 就是方程(1)的通解.()()0y P x y Q x y '''++= (1)那么例如， 方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程， 容易验证， 1cos y x =，2sin y x =是所给方程的两个解， 21sin tan cos y x x y x==≠常数， 即1y 与2y 线性无关, 因此所给方程的通解为12cos sin y C x C x =+.推论 如果)(1x y ,2()y x , ,()n y x 是n 阶齐次 线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= 的n 个线性无关的解， 那么此方程的通解为1122()()()n n y C y x C y x C y x =+++ 其中1C ，2C ， ，n C 是任意常数.非齐次线性微分方程的解的结构二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)与非齐次方程对应的齐次方程.定理3 设*y 是二阶非齐次线性方程(1)的一个特解, ()Y x 是与(1)对应的齐次方程(2)的通解,则 ()()y Y x y x *=+是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)证 ***()()()()()Y y P x Y y Q x Y y ''''''+++++ ***[()()][()()]Y P x Y Q x Y y P x y Q x y ''''''=+++++()f x =y Y y *=+中也含有两个任意常数，将y ,y ',y ''代入方程左端，得0= ()f x = 从而它就是二阶非齐次线性方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1)例如，齐次方程0y y ''+=的通解为 12cos sin Y C x C x =+, 容易验证 方程2y y x ''+=是二阶非齐次线性微分方程. *22y x =-是所给方程的一个特解. 所给方程的通解为 212cos sin 2y C x C x x =++-.12,,,n y y y ()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x --'++++= ()(1)11()()()0n n n n y P x y P x y P x y --'++++= *1122n n y C y C y C y y =++++ 是非齐次线性微分方程 所对应的齐次线性微分方程 而*y 是非齐次线性微分方程的特解, 的n 个线性无关解， 如果 则 就是非齐次线性微分方程的通解.定理4 设非齐次线性方程的右端()f x 是两个函数之和，即 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 1()y x *是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 2()y x *是方程)()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 则12()()y x y x **+就是原方程的特解. 解的叠加原理证 将12y y y**=+代入原方程的左端，得 ******121212()()()()()y y P x y y Q x y y '''+++++******111222[()()][()()]y P x y Q x y y P x y Q x y ''''''=+++++ 12()()f x f x =+因此**12y y +是原方程的一个特解. 1()f x =2()f x = )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''。
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(10.4.7), 得
( 2 p q)e x 0
由于 e x 0 , 所以
2 p q 0
(10.4.8)
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由此可见, 只要 λ是代数方程(10.4.8)的根, 函数 e x 就是微
分方程(10.4.7)的解 . 我们把代数方程(10.4.8)叫做微分方程 (10.4.7)的特征方程, 其根称为微分方程(10.4.7)的特征根.
=Y p( x )Y q( x )Y ( y* ) p( x )( y* ) q( x ) y*
=0 ( y* ) p( x)( y* ) q( x) f ( x)
所以 y Y y*为方程(10.4.1)的解. 另一方面, 我们注意
到 Y 的结构中包含了两个独立的任意常数, 所以式(10.4.5)为 二阶非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.
* y* yk k 1 n
就是方程(10.4.6)的一个特解.
证
由假设知
* ) p( x)( y* ) q( x) y* f ( x)(k 1,2,, n) ( yk k k k
将
y*
n
k 1
* yk 代入方程(10.4.6)的左端, 有
n
n * * y p ( x ) y k q( x ) y k k 1 k 1
定理4 (叠加原理) 设有二阶非齐次线性微分方程
y p( x) y q( x) y f k ( x)
k 1
* 如果 yk 为非齐次线性微分方程.
n
（10.4.6）
y p( x) y q( x) y f k ( x)(k 1,2,, n)
的一个特解, 那么
y C1e1 x C2e2 x
( C1 , C2 为任意常数)
(10.4.9)
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(2) 特征根为重根 当判别式 p2 4q 0 时, 特征方程(10.4.8)有两个相同 p 的实根 = , 这时方程 (10.4.7) 只有一个特解 2 y2 x y1 e , 我们需要再找一个解, 并使得 不是常数. y1 y 设 2 u( x ), 即 y2 ( x ) u( x ) y1 u( x )e 1 ( x ) , y1
§10.4 高阶线性微分方程
一. 线性微分方程通解的结构
二. 常系数齐次线性微分方程的解法
三. 常系数非齐次线性微分方程的解法 四. 欧拉方程
教学目标
1. 掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法. 2. 了解 n 阶常系数齐次微分方程的求解方法. 3. 掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法. 4. 了解欧拉方程的求解方法.
1 cos2 x sin2 x 0
又如, 函数 1, x , x 2 在任何区间(a, b)内是线性相关
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因为当 x (a, b) 时, 要使
k1 k2 x k3 x 2 0
则必须 k1 , k2 , k3 全为零.
特别地, 对于两个函数 y1( x), y2 ( x) , 如果 y1 ( x ) 常数, 则是 2
y Y y*
为非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.
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(10.4.5)
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证 把(10.4.5)式代入方程(10.4.1)的左端, 根据Y(x)是对应 齐次方程(10.3.2)的通解, 有
Yy
*
p( x) Y y
*
q( x) Y y*
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在微分方程中, 人们通常把二阶及二阶以上的微分方程,
统称为高阶微分方程. n阶微分方程的一般形式为：
y( n) a 1 ( x) y( n1) an1 y an ( x) y f ( x)
其中 a i ( x) (i 1, 2,..., n) 为给定的函数, f ( x ) 为 x 的已 知函数. 特别的, 当 f ( x ) 0 时, 称方程
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
(10.4.4)
为方程(10.4.2)的通解, 其中, C1 ，C2 为任意常数. 值得说明的是一般微分方程的通解不一定包含它的全部解,
而线性微分方程无论是齐次的, 还是非齐次的, 它的通解却包
含了它的全部解.
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定理2 指出了二阶线性微分方程通解的结构. 为了求它的通
y py qy f ( x )
方程(10.4.1)对应的齐次线性微分方程是
y py qy 0
(10.4.7)
1、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 由齐次线性微分方程通解结构定理10.4.2可知, 只要求出 方程(10.4.7)的两个线性无关的解, 就可以得到其通解.
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )
也是方程(2)的解, 其中 , C1 , C2 为任意常数. 注 虽然解中含有两个任意 C1 , C2 , 但它不一定是方程
(10.4.2) 的通解. 例如, 设 y1 ( x) 是方程(10.4.2) 的一个解 那么 y2 ( x ) 2 y1 ( x) 也是方程(10.4.2)的解, 但
1 2
下面来求 u( x ), 对 y2 求导得,
y2 e 1 x ( u 1 u ) y2 e 1 x ( u 21 u 12 u )
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, y2 代入方程(10.4.7), 得 将 y2 , y2
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在§10.2中, 我们看到: 一阶非齐次线性微分方程的通解 由两部分构成：一部分是它相应的齐次方程的通解; 另一部 分是它的一个特解. 实际上, 不仅一阶线性微分方程的通解
这样的结构, 二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解
也有同样的结构. 定理3 (非齐次线性方程通解结构) 设 y* ( x )是二阶非齐 次线性微分方程(10.3.1)的一个特解, Y是对应齐次方程(10.4.1) 的通解, 则
的 n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) Cn yn ( x )
其中 C1 , C2 ,, Cn为任意常数. 下面讨论二阶非齐次线性方程(10.4.1)的通解结构. 我们 把方程(10.4.2)称为与非齐次线性方程(10.4.1)对应的齐次方 程.
y p( x) y q( x) y f ( x )
其中 p( x) , q( x ) , f ( x) 是 x 的已知连续函数.
(10.4.1)
若 f ( x) 0 ，则称方程(10.4.1)为二阶非齐次线性微分方程. 若 f ( x) 0 , 则称方程
y p( x ) y q( x ) y 0
n k 1
* k
=
故
y*
n
k=1
* * * ( yk ) p( x)( yk ) q( x) yk
f ( x)
n k 1 k
k 1
* yk 为方程(10.4.6)的一个特解.
n
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二. 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
特征方程(10.4.8)是一个一元二次代数方程, 根据初等代数
学的知识，该方程有两个根 1, 2 可由求根公式
p p 2 4q 1,2 2
求得. 它们有三种不同的情形, 分别对应着微分方程(10.4.7 ) 的通解的三种不同情形, 分别讨论如下:
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由于方程(10.4. 7)的左端是关于 y, y, y 的线性关系式,
且系数为常数. 当 λ为常数时, 指数函数 e x 和它的各阶导 数最多只差一个常数因子, 因此我们用 y e x 尝试, 看能否 取到适当的常数 λ, 使 y e x 是方程(10.4.7)的解. 对 y e x 求导, 得 y e x , y 2e x . 将 y, y, y 代入方程
的通解, 只需要求出它的两个线性无关的特解, 就可以由式
(10.4.4)构造出通解, 进而得到它的全部解.
例1 求微分方程 y y 0 的通解. 解 这是一个二阶齐次线性方程, y1 sin x 与 y2 cos x 是所给方程的两个线性无关的解. 因为
y1 sin x tan x 常数 y2 cos x
k1 y1( x) k2 y2( x) kn yn( x) 0
(10.4.3)
在区间 I上恒成立, 则称 y1( x), y2( x),..., yn( x) 在区间 I上 线性相关; 否则, 称线性无关. 例如，函数 1,cos2 x,sin2 x 在整个数轴上是线性相关的, 因为
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) (C1 2C2 ) y1 ( x) Cy1 ( x) (C C1 2C2 )
却不是方程(10.4.2)的通解, 因为 C C1 2C2 只能看成 一个任意常数.
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根据定理10.3.1, 我们可得齐次线性方程(10.3.2)的通解结 构定理. 定理2 设函数 y1( x)、y2 ( x) 是齐次线性方程(10.4.2)的 两个线性无关的解, 则