选修4-5不等式的基本性质(公开课精品课件)
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课件 选修4-5不等式的基本性质-经典公开课(优秀公开课件).ppt
用数学式子表示为:
a b a-b0 a b a-b0 a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
4.（1）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b，c<0⇒ac<bc. （2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
5.乘、开方法则：a>b>0⇒an>bn，n a n b (n∈N，n≥2)． 6.倒数性质：a>b，且ab>0⇒
1 1 ． a b
n 特别地，当 n为奇数时， 条件可放宽为： a > b， 也有a n > bn， a n b (n∈N， n ≥2)．
x 3 x - 3 0, x 1 0, x -1 0
A- B 0
故A B
作差比较法常见的变形手段是: 通分、因式分 解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式 的积或完全平方式等.
b, 试比较a abb与abba的大小。
注意： 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；
3.要会用自然语言描述上述基本性质；
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；
4.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础.
不等式的基本性质
【例2】 判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)若a > b， 则ac > bc ； a b ( 2)若 2 2 ，则 a b; c c 1 1 (3)若a b，ab 0, 则 ; a b (4)若a b，c d , 则ac bd； 1 1 (5)若a b 0， ,则 ; a b (6)若 | a | b， , 则a 2 b2 ;
人教B版数学选修4-5课件：1.1.1 不等式的基本性质
向可加性等;
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
选修4-5不等式的基本性质(公开课精品课件)
3. 不一定成立。例如，当 (a = -1, b = 0, d = 1) 时，满足 (frac{a}{d} = -1, frac{b - a}{d - a} = 0)， 但 (frac{a}{d} < frac{b - a}{d - a}) 不成立。
2. 成立。由于 (a < b < c < d)，则有 (frac{b}{d} < frac{c}{d})，进而有 (frac{c}{d} > frac{b}{d})。
决策分析
利用不等式描述各种因 素之间的优先关系，做
出最优决策。
05
习题与解答
习题
02
01
03
判断下列不等式是否成立，并说明理由 1. (a + b > c + d) 当且仅当 (a > c) 且 (b > d) 2. (|a| < b) 当且仅当 (a^2 < b^2)
习题
3. 若 (x > y > 0)，则 (frac{1}{x} < frac{1}{y})
解决波动问题
利用不等式描述波动现象的物 理量之间的关系，解决波动问 题。
解决电磁学问题
利用不等式描述电场、磁场之 间的关系，解决电磁学问题。
在实际生活中的应用
投资决策
利用不等式描述投资收 益、风险之间的关系，
做出最优投资决策。
资源分配
利用不等式描述资源分 配问题，实现资源的最
优配置。
价格策略
利用不等式描述商品价 格与市场需求的关系， 制定合理的价格策略。
定义2
能够表示不等关系的式子，也叫 做不等式。
不等式的性质
性质1
不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等 号的方向不变。
2. 成立。由于 (a < b < c < d)，则有 (frac{b}{d} < frac{c}{d})，进而有 (frac{c}{d} > frac{b}{d})。
决策分析
利用不等式描述各种因 素之间的优先关系，做
出最优决策。
05
习题与解答
习题
02
01
03
判断下列不等式是否成立，并说明理由 1. (a + b > c + d) 当且仅当 (a > c) 且 (b > d) 2. (|a| < b) 当且仅当 (a^2 < b^2)
习题
3. 若 (x > y > 0)，则 (frac{1}{x} < frac{1}{y})
解决波动问题
利用不等式描述波动现象的物 理量之间的关系，解决波动问 题。
解决电磁学问题
利用不等式描述电场、磁场之 间的关系，解决电磁学问题。
在实际生活中的应用
投资决策
利用不等式描述投资收 益、风险之间的关系，
做出最优投资决策。
资源分配
利用不等式描述资源分 配问题，实现资源的最
优配置。
价格策略
利用不等式描述商品价 格与市场需求的关系， 制定合理的价格策略。
定义2
能够表示不等关系的式子，也叫 做不等式。
不等式的性质
性质1
不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等 号的方向不变。
人教A版选修4-5课件：1.1.1不等式的性质(共12张PPT)
b ，n∈N*，且n≥2.
(7)同向不等式的可加性:a>b,c>d, 那么a+c>c+d (8)同向不等式的可乘性: a>b>0,c>d>0,那么ac>cd
试一试：利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d； a b (2)a＞b＞0，d＞c＞0⇒ c＞d.
人教A版选修4-5 第一章
1.1不等式的性质
知识回顾
• 1．对于任何两个实数a，b的大小比较 a－b＞0 • a ＞b ⇔ ； • a＜b⇔ a－b＜0 ； • a＝b⇔ a－b＝0 .
想一想：怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的 数学变形？ 步骤:①作差 ②变形 ③定号 ④下结论
通过分解因式、配方、通分、分母有理化等恒等变形， 转化成若干个因式的乘积或者商的形式
题型一 不等式的性质及应用
【例 1】 判断下列各题的对错 c c (1)a＜b且 c＞0⇒a＞b (2)a＞b 且 c＞d⇒ac＞bd (3)a＞b＞0 且 c＞d＞0⇒ a b (4)c2＞c2⇒a＞b a d＞ b c ( )． ( ( )． )．
【变式 1】 对于实数 a，b，c，给出下列命题： ①若 a＞b，则 ac2＞bc2； ②若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2； ③若 a＞b，则 a2＞b2； a b ④若 a＜b＜0，则b＞a. 其中正确命题的序号是________．
知识回顾 • 2．不等式有如下一些基本性质
(1)对称性：a＞b⇔ (3)加(减)：a＞b⇒
b＜a
；
a＞c
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒ (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ a＞b，c＜0⇒ (5)乘方：a＞b＞0⇒
(7)同向不等式的可加性:a>b,c>d, 那么a+c>c+d (8)同向不等式的可乘性: a>b>0,c>d>0,那么ac>cd
试一试：利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d； a b (2)a＞b＞0，d＞c＞0⇒ c＞d.
人教A版选修4-5 第一章
1.1不等式的性质
知识回顾
• 1．对于任何两个实数a，b的大小比较 a－b＞0 • a ＞b ⇔ ； • a＜b⇔ a－b＜0 ； • a＝b⇔ a－b＝0 .
想一想：怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的 数学变形？ 步骤:①作差 ②变形 ③定号 ④下结论
通过分解因式、配方、通分、分母有理化等恒等变形， 转化成若干个因式的乘积或者商的形式
题型一 不等式的性质及应用
【例 1】 判断下列各题的对错 c c (1)a＜b且 c＞0⇒a＞b (2)a＞b 且 c＞d⇒ac＞bd (3)a＞b＞0 且 c＞d＞0⇒ a b (4)c2＞c2⇒a＞b a d＞ b c ( )． ( ( )． )．
【变式 1】 对于实数 a，b，c，给出下列命题： ①若 a＞b，则 ac2＞bc2； ②若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2； ③若 a＞b，则 a2＞b2； a b ④若 a＜b＜0，则b＞a. 其中正确命题的序号是________．
知识回顾 • 2．不等式有如下一些基本性质
(1)对称性：a＞b⇔ (3)加(减)：a＞b⇒
b＜a
；
a＞c
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒ (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ a＞b，c＜0⇒ (5)乘方：a＞b＞0⇒
5.1不等式的基本性质 课件(人教A版选修4-5)
(开方法则)
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证：a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证： a b
1 1 思考 已知 a>b, 试判断 与 的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试 比较a、b、c的大小。
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：
a b ab0 a b ab0 a b ab0
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证：a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证： a b
1 1 思考 已知 a>b, 试判断 与 的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试 比较a、b、c的大小。
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应 的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左 边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：
a b ab0 a b ab0 a b ab0
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。 思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.1_1.1.1_不等式的基本性质
一分耕耘一分收获
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结 论”的程序进行，即： 作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中变形 是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当 符号不确定时，需进行分类讨论．
一分耕耘一分收获
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1b＜1， ∴loga1b＞0， logab＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②
一分耕耘一分收获
8．设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 满足 的条件是________________． 解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1 ＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0. ∴ab≠1 或 a≠－2. 答案：ab≠1 或 a≠－2.
一分耕耘一分收获
三、解答题 9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋2 β<π2. 又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.
一分耕耘一分收获
∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α＜β，∴α－2 β＜0.∴－π2≤α－2 β＜0. 即α＋2 β∈－π2，π2，α－2 β∈－π2，0. 10．已知 a，b∈{正实数}且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小． 解：∵ab2＋ba2－(a＋b)＝ab2－b＋ba2－a ＝a2－b b2＋b2－a a2＝(a2－b2)1b－1a
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结 论”的程序进行，即： 作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中变形 是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当 符号不确定时，需进行分类讨论．
一分耕耘一分收获
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1b＜1， ∴loga1b＞0， logab＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②
一分耕耘一分收获
8．设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 满足 的条件是________________． 解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1 ＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0. ∴ab≠1 或 a≠－2. 答案：ab≠1 或 a≠－2.
一分耕耘一分收获
三、解答题 9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋2 β<π2. 又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.
一分耕耘一分收获
∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α＜β，∴α－2 β＜0.∴－π2≤α－2 β＜0. 即α＋2 β∈－π2，π2，α－2 β∈－π2，0. 10．已知 a，b∈{正实数}且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小． 解：∵ab2＋ba2－(a＋b)＝ab2－b＋ba2－a ＝a2－b b2＋b2－a a2＝(a2－b2)1b－1a
5.1.1不等式的基本性质(1)课件(人教版选修4-5)
2
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 •求差比较大小 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 若 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 •求差比较大小 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 若 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
选修4-5不等式的基本性质ppt课件
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
.
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
例 2 .已 0 知 a1,A 1 a 2 ,B 1 a 2 , 2
C 1 ,D 1 1a 1a
(1)试猜测 A,B,C,D的大小关系； （2）证明你的猜测。
.
题型2：简单不等式的证明
例 3 ：a 已 b0 知 ,c0 ,求:c证 c ab
推论 ab ： 0,c 若 0,则 cc ab
.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例 4：已 12 知 a6,0 15 b3,6求 ab 及 a的取值范围。
b
例 5：已f(知 x)ax2c,且4f(1)1, 1f(2)5,求f(3)的取值范围
.
也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到
不等号的另一边 即：可加性
性质4 如果 a > b ห้องสมุดไป่ตู้且 c > 0，那么 ac > bc ； 如果 a > b，且 c < 0 ，那么 ac < bc .
即：可. 乘性
性质5 如果 a > b ，且 c > d，那么 a+c > b+d； 也就是说，两个同向不等式相加，所得不等式与 原不等式同向。
高中数学北师大版选修4-5课件：1.1不等式的性质3
-
>
.
-
分析由已知条件中的不等式结合不等式的性质进行推理,直至推
出欲证不等式.
证明因为a<b<0,所以-a>-b>0.
又因为c>d>0,所以c-a>d-b>0,
1
-
1
.
-
m<0,故 > .
-
-
所以 0<
又
<
-21-
§1
不等式的性质
探究一
探究二
首页
探究三
探究四
自主预习
合作学习
(2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
(3)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.
推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
推论2:如果a>b>0,那么a2>b2.
1.实数大小的比较
(1)求差比较法.
①a>b⇔a-b>0;
②a<b⇔a-b<0;
③a=b⇔a-b=0.
判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a-b的符号,至于差
究竟是多少则是无关紧要的.
(2)求商比较法.
当 a>0,b>0 时,① >1⇔a>b;② <1⇔a<b;③ =1⇔a=b.
>
.
-
分析由已知条件中的不等式结合不等式的性质进行推理,直至推
出欲证不等式.
证明因为a<b<0,所以-a>-b>0.
又因为c>d>0,所以c-a>d-b>0,
1
-
1
.
-
m<0,故 > .
-
-
所以 0<
又
<
-21-
§1
不等式的性质
探究一
探究二
首页
探究三
探究四
自主预习
合作学习
(2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
(3)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.
推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
推论2:如果a>b>0,那么a2>b2.
1.实数大小的比较
(1)求差比较法.
①a>b⇔a-b>0;
②a<b⇔a-b<0;
③a=b⇔a-b=0.
判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a-b的符号,至于差
究竟是多少则是无关紧要的.
(2)求商比较法.
当 a>0,b>0 时,① >1⇔a>b;② <1⇔a<b;③ =1⇔a=b.
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课堂互动讲练
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
基本方法
思考：
从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较 两个实数的大小？ 要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它 们的差a - b 与0的大小. 在这里，0为实数比较大 小提供了“标杆”.
例1 比较 x 2 3 与 3x的大小 解 ： ( x 2 3) - 3x 作差 2 x - 3x 3 变 ： 2 2 作差比较大 3 3 2 ( x - 3 x) - 3 小 2 2 2 3 3 分四步进行 x - 形 2 4 >0 2 x 3 3x
a b a-b0 用数学式子表示为: a b a-b0 表示“等价于” a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
(ii)如果a b, c d , 那么a c b d .(同向不等式相加
如果a b 0, c d 0, 那么ac bd . （ⅲ）
1 (ⅳ) 如果a ＞ b，ab ＞0则 a
(同向正数不等式相乘) ＜
（同号两数，大的倒数较小，小的倒数较大。）
1 b
例2
1 1 1 c-d 证明 : c d 0, cd 0, c - d 0, 0, - 0 cd d c cd 1 1 a a 性质4 0, 又a 0, 0, ① d c d c 1 a b 又 a b 0, 0, 0, ② 性质4 c c c
a b 还有其他方 a b 由①②可得 d c 0, d c
实数的大小与它们的差的关系
a b 已知a b 0, c d 0, 求证 d c
法吗？
性质6
性质2
c>d>0 {
1 1 c d 0 cd cd
c>d 性质cd 4o
1 1 0 d c
课堂互动讲练
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
⑴⑵与⑶⑷ 反向。
同向不等式: 在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边 或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同).
异向不等式： 在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而 另一个的左边小于右边(不等号的方向相反).
基本概念
ห้องสมุดไป่ตู้
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式. 其它重要概念: 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
课堂互动讲练
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
课堂互动讲练
(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)． n ＞ (6)如果a>b>0，那么 a b(n∈N，n≥2)． n
3．对上述不等式的理解
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条
件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得 同向不 等式；②c＝0时得 等式 ；③c<0时得 异向 不等式．
基本理论
研究不等式的出发点是实数的大小关系。 1.实数在数轴上的性质: 数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用 数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
数轴上 的点
一一对应
实数
2 O
p
x
基本理论
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别 是A 、B ，那么，当点A在点B的左边时，a < b； 当点A在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b， 那么a-b是正数；如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b， 那么a-b是负数；反过来也对.
断号 作结
常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等； 变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平 方式等.
课堂训练
例 2 比较（x+3)(x+7)和（x+4)(x+6)的大小
解：因为 （x+3)(x+7)-（x+4)(x+6) 作差
（x 2 10x 21） -（x 2 10x 24） -3 ＜ 0
乘法法则
(4)如果a b, c 0, 那么ac bc;如果a b, c 0, 乘方法则 那么ac bc. (5)如果a b 0, 那么a n b n ( n N , n 2). 开方法则 n n (6)如果a b 0, 那么 a b(n N , n 2).
基本性质 由两个实数大小关系的基本事实，得出不等 对称性 式的基本性质: (1)如 果a b, 那 么b a; 如 果b a , 那 么a b.即 传递性 abba (2)如果a b, b c, 那么a c.即a b ,b c a c 加法法则
(3)如果a b, 那么a c b c.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
课堂互动讲练
1 比较（x+1)(x+2)和（x-3)(x+6)的大小
解：因为 （x+1)(x+2)-（x-4)(x+6)
（x 2 3x 2） -（x 2 3x-18） 20 ＞ 0
所以 （x+1)(x+2) ＞ （x-3)(x+6)
课堂小结与作业
变形 断号 作结
所以 （x+3)(x+7) ＜（x+4)(x+6)
尝试探索，建立新知
等式有“等式两边加或减同一个数，等式仍 然成立”， “等式两边乘或除以同一个数，等式 仍然成立”等性质，类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
等式的基本性质是从数的运算的角 研究实数的关系时联 度提出的。同样的，由于不等式也研究 系实数的运算，是一 实数之间的关系，所以联系实数的运算 种基本的数学思想 （加，减，乘，除，乘方，开方等）来 思考不等式的基本性质非常自然的。
注意：
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问 题”； 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明； 2.要会用自然语言描述上述基本性质； 3.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问 题的理论基础.
例如，利用不等式的基本性质可以得到下 列结论： (i )如果a b c, 那么a c - b. (移项法则)
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式； 同解不等 式． 2.比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；
3.不等式的基本性质. （6条） 课外作业： 1.p9第一题（写在书上) 2.记忆并默写不等式的基本性质。 2.P9第二题（写在本上）
选修4-5
1.1.1 不等式的
基本性质
基本概念
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1 a+3 > 3a 3x+1< 2x+6 X<a --------------(1) -------------(2) --------------(3) --------------(4)
不等号的方 ⑴与⑵、⑶ 向之间有什 与⑷同向， 么关系？