弧度制-PPT课件
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任意角和弧度制PPT课件
轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
5.1.2弧度制课件(人教版)
角度数=弧度数×
一、角度制和弧度制的互化
例1【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′=
67°30′=
【2】把1.5π化成角度.
【解】1.5π=
，所以
一、角度制和弧度制的互化
常见特殊角的角度与弧度对应表：
一、角度制和弧度制的互化
【跟踪训练】把下列角度与弧度进行互化：
（1）20°
（3)
5
5
二、用弧度制表示角的集合
【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影
部分内的角的集合（如图所示）.
二、用弧度制表示角的集合
3
解：终边为OA的角的集合： 2k，k Z
4
4
终边为OB的角的集合： 2k，k Z
3
阴影部分可以看成由OA逆时针旋转至OB形成，
5
2k，k Z
| 2k
6
12
二、用弧度制表示角的集合
解：x轴下方图像可视为x轴上方旋转rad而来；
阴影部分可表示为：
| k k，k Z
2
解：将第四象限的阴影部分视为第二象限旋转 rad而来；
5
n
l
n
n
| | ，
l | | R.
由初中所学可知，弧长l
2R
R 又
180 r
360
180
n
n
2
由初中所学可知，面积S
R
R2
360
180 2
n
l
1
弧度制ppt课件
• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．
弧度制ppt课件
将l=aR 代人上式，即得
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
弧度制 课件 (共 26张PPT)人教A版(2019)必修第一册
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始 边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆 交于点B.请在下表格中填空.
y B
αA ox
探思考究：弧如果度一个制半的径为性r的质圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么α的弧度数是多少?
AB的长
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度
方向
度数
数
πr
逆时针方向
180
关键
1 rad
180
57.30 5718
方法总结：
度化为弧度：180
rad
度数
弧度化为度：弧度数（180）
正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是零
正角
零角
在弧度制下，角
的集合与实数集R
之间建立了一一 对应关系．
负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
注：今后在用度制
C B
AOC的弧度数就是
表 弧示度角二的字时或r候ad，可以略去不写rl。=
2r r
= 2rad
l=r
1rad
Or
A
弧度制实质上是用弧长与其
半径的比值来反映弧所对圆
心角的大小．
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
5.1.2 弧度制 课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
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学习目标:
1、理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与 角度的换算，熟记特殊角的弧度数。
2、掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公 式，会利用弧度制解决实际问题。
3.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一 对应的关系。
探究1：弧度的概念
思考1：在平面几何中，1°的角是怎样 定义的？
周角的 1 规定为1度角 360
l R
S 1 lR 1 R2
2
2
合作交流
题型一、(1)把下列各角从度化为弧度：
6730
210
（2）把下列弧度化为角度
2rad
rad
12
题型二、已知扇形的圆心角为72°，半 径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
课堂小结：
今天我们学习了一种新的度量角的单位制—弧 度制：
（1）我们定义了1弧度的角，在这个定义下，角的
1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制
问题提出
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到 另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别 是怎样规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？
3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单 位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单 位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以 度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进 一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单 位制.
负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条 A 2r
半径OA，绕圆心顺时针旋转到 r
B
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB O
的大小为多少弧度？ －2rad.
思考5：如果半径为r的圆的圆心角α 所对的弧长为l，那么，角α的弧度 数的绝对值如何计算？| | l
r
思考6：请填写下面的表格并思考：如图，半径为r的 圆，圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合， 交圆于点A，终边与圆交于点B，填写下表：
弧度数 的绝对值
| | l
r
（2）弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一
对应关系； （3）角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之
间可以进行换算；
（4）在弧度制下，发现弧长公式与扇形面积公式 特别简 洁，由此今后的学习中，我们将尽量采用弧度制。
作业：
P10 习题1.1 A组： 6，7，8，9，10.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所 对的圆弧长如何计算？
弧长公式：l n • 2r nr
360
180
思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度 圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？
A rB r 1ra O
思考4：约定：正角的弧度数为正数，
2 3 5 3 234 6
3
2
2
思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一
个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？
正角 零角
正实数 零
对应角的 弧度数
负角
负实数
角的集合
实数集R
思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆 心角为α那么扇形的弧长公式和面积如何计算？
(0 2 )
AB的弧长
r
2r
r
OB旋转的方向 AOB的弧度数
逆时针方向
逆时针方向 pr 2 2pr
逆时针方向
1
2r
2 顺时针方向
0
未旋转
0
y B
O Ax
3pr
-
探究（二）：度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多 少度？以弧度为单位度量是多少弧度？ 由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
360 2rad
180 rad
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧
度？1rad等于多少度？
1 rad 0.01745rad
180
1rad (180) 57.30
思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊 角对应的弧度数分别是多少？
角
度 0
弧
度0
30 45
64
60 90 120 135 150 180 270 360