2020高考数学专题复习-函数与方程专题
2020版新高考复习理科数学教学案：函数与方程思想含答案
A.3＋1B.2＋1 C ．3D ．4解析：∵2a sin C ＝3c .∴2sin A sin C ＝3sin C .∴sin A ＝32.∵△ABC 为锐角三角形.∴A ＝π3.由正弦定理.得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝23.∴b ＝23sin B .c ＝23sin C .∴△ABC 的周长为1＋23sin B ＋23sin C＝1＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝1＋23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∴当B ＝π3.即△ABC 为等边三角形时.周长取得最大值3.选C.答案：C 方法点睛构建“目标函数”就是把待求目标写成函数的形式.将所求问题转化为函数的最值或值域问题．(1)求最值或值域时.经常用到配方法、换元法、均值不等式法以及函数单调性法．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫154，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，＋∞ 解析：∵f (x )＝e x (x －m ).∴f ′(x )＝e x (x －m )＋e x ＝e x (x －m ＋1)．由题意知f (x )＋xf ′(x )>0⇔e x (x －m )＋x e x (x －m ＋1)>0⇔e x [x 2＋(2－m )x －m ]>0在(2,3)上恒成立.∴x 2＋(2－m )x －m >0在(2,3)上恒成立. ∴m <x2＋2xx ＋1在(2,3)上恒成立．令g (x )＝x2＋2x x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1在(2,3)上单调递增.∴g (x )>g (2)＝83.则m ≤83.选B.答案：B 方法点睛(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题.往往可以分离参数.然后再构造函数.把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决．(2)不等式有解、恒成立求参数的方法： g (a )>f (x )恒成立.则g (a )>f (x )max . g (a )<f (x )恒成立.则g (a )<f (x )min . g (a )>f (x )有解.则g (a )>f (x )min . g (a )<f (x )有解.则g (a )<f (x )max .(3)分离参数法是求参数范围的常用方法.恰当合理的参变分离有助于问题的解决.有时需要分类讨论．调研三 “构造函数”解不等式、求最值、比较大小 【例3】(1)[20xx·湖北恩施质检]设函数f (x )是定义在区间(0.＋∞)上的函数.f ′答案：D方法点睛常见的构造函数的方法有如下几种：1．利用和、差函数的求导法则构造函数(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地.对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0).构造函数F(x)＝f(x)－kx.2．利用积、商函数的求导法则构造函数(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)；上述(3)(4)都是利用积、商函数的求导法则构造函数的一般情况.但在考试中.g(x)往往是具体函数.所以还有如下列(5)～(16)常见构造函数类型．(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝xf(x)；(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x) x(x≠0)；(7)对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝x n f(x)；(8)对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x) x n(x≠0)；(9)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝e x f(x)；(10)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x) e x；切.与C 的左、右两支分别交于点A .B .若|AB |＝|BF 2|.则C 的离心率为( )A.5＋23B ．5＋23 C.3 D.5解析：如图.由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a .又|AB |＝|BF 2|.可得|AF 1|＝2a .则|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a .设AB 与圆x 2＋y 2＝a 2切于点T .连接OT .则OT ⊥AB .在Rt △OTF 1中.cos ∠OF 1T ＝|F1T||OF1|＝c2－a2c.连接AF 2.在△AF 1F 2中.由余弦定理得cos ∠AF 1F 2＝|AF1|2＋|F1F2|2－|AF2|22|AF1|·|F1F2|＝4a2＋4c2－16a22·2a ·2c ＝c2－3a22ac. 由∠OF 1T ＝∠AF 1F 2.得c2－a2c ＝c2－3a22ac.化简得13a 4＋c 4－10a 2c 2＝0.两边同除以a 4得e 4－10e 2＋13＝0.解得e 2＝5±23.又e >1.则e 2＝5＋23.e ＝5＋23.故选A.答案：A方法点睛方程思想的应用十分广泛.只要涉及含有等量关系的条件或结论时.都可考虑通过构建方程或方程组求解.其主要应用有以下几个方面：。
高考数学专题复习：函数的零点与方程的解
高考数学专题复习：函数的零点与方程的解一、单选题1．设函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．2 B ．5 C ．4 D ．52．“0a ≥”是“函数ln ,0()2,0x x x f x a x >⎧=⎨+≤⎩有且只有一个零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．设函数()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．已知函数()e 1x f x x -=-+，则它的零点在所在区间为（ ） A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．已知()21,,2,.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩若集合()(){}0,x x f x f x >=-恰有2个元素，则a 的取值范围是（ ） A ．,0B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,47．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃8．己知函数()()()1,1,ln ,1x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨>⎩，若()g x 存在两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．()1,0-C ．()0,1D ．(]0,19．已知关于x 的方程22xx aa -=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2B ．()2,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞10．己知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（ ） A ．10个B ．9个C ．8个D ．7个11．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ） A．[2-B．(,2-∞-C．(,2-∞+D．(0,2+12．已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()()12g x f f x =-的零点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．直线3y =与函数26y x x =-图象的交点个数为________.14．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，12,1()2ln ,01x x f x x x -⎧->⎪=⎨⎪<≤⎩，关于x 的方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则实数a 的范围是________.15．若直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点，则实数m 的取值范围是______．16．若32a =，2log 3b =，则函数2y x abx a =--的所有零点之和等于________.三、解答题17．已知二次函数23()28f x kx kx =+-，（1）若1是()f x 的一个零点，求实数k 的值；（2）若()0f x <对x R ∀∈恒成立，求实数k 的取值范围．18．已知函数()3xf x =，()2g x x a =+-（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数()()y f g x =是偶函数，求a ；（Ⅱ）若函数()()y g f x =存在两个零点，求a 的取值范围.19．已知函数()22()x x f x a a -=+⋅∈R ，且f （x ）的图像关于y 轴对称． （1）求证：f （x ）在区间[0,)+∞上是单调递增函数；（2）设函数()()2(2)h x f x f x m =+-，若()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围．20．已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，满足()()x f x g x a +=，0a >且1a ≠，且()()1112f g -=-．（1）求实数a 的值，及()f x 和()g x 的表达式；（2）若关于x 的方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，求常数λ的取值范围．21．已知函数()()22,0log ,0x mx f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩在()0,+∞上有最小值1．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程()()()22210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦恰好有4个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2()log 21()xf x kg x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.请在下面四个函数：①21()g x x = ②22()log g x x = ③3()g x x = ④4()2x g x =中选择一个函数作为()g x ，使得()f x 是偶函数.（1）请写出()g x 表达式，并求k 的值； （2）设函数211()log 2()22xh x a a x a R ⎛⎫=⋅-+∈ ⎪⎝⎭，若方程)(()f x h x =只有一个解，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】解方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，求出根即可得到结论. 【详解】令()1t f x =+，先解()0f t =，即100t t +=⎧⎨≤⎩或20log 0t t >⎧⎨=⎩，解得：t =-1或t =1.；当t =-1时，有120x x +=-⎧⎨≤⎩或20log 2x x >⎧⎨=-⎩，解得：3x =-或14x =；当t =1时，有100x x +=⎧⎨≤⎩或20log 0x x >⎧⎨=⎩，解得：1x =-或1x =；所以函数()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的零点有4个. 故选：C 【点睛】求函数零点类问题分为两大类： (1)零点直接解出来：方程可解；(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值. 2．A 【分析】求出()f x 有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】首先()ln (0)f x x x =>已经有一个零点1，因此()f x 只有一个零点，则()2(0)x f x a x =+≤无零点，即2x a =-（0x ≤）无解，0x ≤时，120x -≤-<，所以1a <-或0a ≥， 因此0a ≥是()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件． 故选：A ．3．B 【分析】因为()f x 为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可. 【详解】因为()2ln 0y x x =>、()20y x x =->为增函数， 所以()()2ln 20f x x x x =+->为增函数，且()1ln112120f +-=-<=，()2ln 2222ln 20f +-=2>=，()3ln3322ln310f =-2+=+>，()4ln 4422ln 420f =-2+=+>，根据零点存在性定理知()2ln 2f x x x =+-的零点在区间()1,2内. 故选：B 4．C 【分析】先求出分段函数在()1,1-上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果. 【详解】若01x <<，则110x -<-<，所以()()111f x f x =+-，故(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩， 其图象如图：函数()2y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有两个零点等价于函数()f x 的图象与直线2y t =在区间()1,1-内有且仅有两个公共点，于是120t -<<，102t -<<. 故选：C. 5．D 【分析】根据零点的存在性定理判断即可得答案. 【详解】解：因为2(2)e 30f -=+>，(1)e 20f -=+>，(0)1120f =+=>，1(1)0f e=>,21(2)10f e =-<, 所以根据零点的存在性定理可知它的零点在所在区间为(1,2) 故选：D 6．B 【分析】分0a <，0a =和0a >三种情况，写出(),()f x f x -，再由()()f x f x =-讨论方程解的情况，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：当0a <时， ()21,,2,.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，而2yx 本身具有偶数的性质，所以集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a =时，()21,02,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则()2x f x -=，由22x x = 得2x =或4x =，恰好有两个解，所以0a =符合，当0a >时，当0x a <≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0x a -<<，1()22xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由()()f x f x =-，得122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得0x =，不合题意，当x a >时，2()f x x =，0x a a -<-<<，则1()22xx f x -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由()()f x f x =-，得2122xx x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得2x =或4x =，因为集合()(){}0,x x f x f x >=-恰有2个元素，所以02a <<， 综上，02a ≤<，故选：B7．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，|43|1y =--+=-若01a <<时，要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=，解得故114a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 8．A 【分析】由题可得()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，数形结合即可求出. 【详解】由题，()g x 存在两个零点，等价于()f x 的图像与y a =-的图像有2个交点，画出()f x 的函数图象如下：由数形结合知01a <-≤，即10a -≤<. 故选：A. 9．D 【分析】先判断0a =时不符合题意，再将问题转化为()21,0f t t t t a=->与直线1y =有3个不同的交点，判断0a <时()21f t t t a=-单调不符合题意，最后画0a >时的图象进行数形结合，利用12a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭解得参数范围即可.【详解】 0a =时，22x x a a -=即20x=无解，显然不符合题意； 0a ≠时，令()20x t t =>，则原方程等价于at a t -=，即211t t a-=，令()21f t t t a =-， 则()21,0f t t t t a=->与直线1y =有3个不同的交点. 二次函数210y t t a=-=的根为a 和0， 若0a <时，显然0t >时，210y t t a =->，且单调递增，即()21f t t t a=-单调，不可能与直线1y =有3个不同的交点若0a >时，作出()f t 的草图如图所示，又221124a at t t a a ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭，则只需满足2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭14a>，得4a >. 故选：D ． 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的情况)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：分类讨论直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 10．A 【分析】根据函数周期性，结合区间[1,1]-的解析式，函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象，求得交点个数即可. 【详解】函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象如下：因为(9)(1)1lg9,(11)(1)1lg11f f f f ==>==< 数形结合可知，两函数的图象交点有10个. 故选：A. 11．B 【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围． 【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点 设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称 令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222x x --+≤-=-x =(,2m ∞∴∈--．故选：B ． 12．B 【分析】设()f x t =，即()12f t =，解得12t =-或t =()12f x =-和()f x 数即为答案. 分0x ≤和0x >分别解出方程即可. 【详解】函数()()()12g x f f x =-的零点，即方程()()12f f x =的根.设()f x t =，()12f t =当0t ≤时，()112f t t =+=，解得12t =-，即()12f x =-当0x ≤时，()112f x x =+=-，解得32x =-当0x >时，()21log 2f x x ==-，解得x当0t >时，()21log 2f t t ==，解得t ()f x =当0x ≤时，()1f x x =+10x > (舍)当0x >时，()2log f x x =x = 所以函数()()()12g x f f x =-有3个零点.故选：B 13．4【分析】作出直线3y =与函数26y x x =-图象，然后数形结合分析即可.【详解】做出直线3y =与函数26y x x =-图象，如图：数形结合可知，直线3y =与函数26y x x =-图象的交点个数为4个，故答案为：4.14．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，即可得出答案. 【详解】根据题意作出()f x 的图象，令()t f x =，则方程为220t at b +-=，若方程()()220f x af x b +-=有且仅有6个不同的实根，则方程220t at b +-=有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2222000102Δ40a b a a b ⎧+⨯-=⎪⎪-<-<⎨⎪⎪=-->⎩，解得102a <<，所以a 的取值范围10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.15．(,4)(1,)-∞-+∞ 【分析】画出()||1f x x =+的图像，由图像可知2331m m +->，从而可求出m 的取值范围 【详解】解：1,0()11,0x x f x x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩，图像如图所示因为直线233y m m =+-与函数()||1f x x =+的图像有两个不同交点， 所以2331m m +->，解得4m <-或1m ， 所以实数m 的取值范围是(,4)(1,)-∞-+∞， 故答案为：(,4)(1,)-∞-+∞ 16．1 【分析】先利用指对数互化得到3log 2a =，从而分析出2y x abx a =--由两个零点，利用根与系数的关系可得答案. 【详解】因为32a =，所以3log 2a =，所以23log og 31l 2ab =⨯=.函数2y x abx a =--即为23log 2y x x =--由两个零点，即为32log 2=0x x --的两根. 由根与系数的关系可得两根之和为1. 故答案为：117．（1）18；（2）(3,0)-.【分析】（1）把1直接代入即可求解；（2）根据()0f x <对x R ∀∈恒成立，列不等式组，求出实数k 的取值范围.【详解】（1）因为1是()f x 的一个零点， 所以3(1)208f k k =+-=，解得：18k =.（2）对于二次函数二次函数23()28f x kx kx =+-，因为()0f x <对x R ∀∈恒成立，只需满足2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：30k -<<，所以实数k 的取值范围是(3,0)-. 18．（Ⅰ）0 ；（Ⅱ）2a <-. 【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义列方程即可求解；（Ⅱ）()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，不符合题意；当0a <时，写成分段函数的形式，判断单调性，得出有两个零点的条件即可求解. 【详解】（Ⅰ）()()23x a y f g x +-==为偶函数，则()()()()23x a f g x f g x -+--==，即2233x a x a -+-+-=，可得x a x a +=-+，所以()()22x a x a +=-+ 可得20ax =对于x ∈R 恒成立，所以0a =，（Ⅱ）()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当0a <时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，所以()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a <-时，3x a a --<-，所以20a -->，可得2a <-， 19．（1）证明见解析；（2）(6,11]. 【分析】（1）由于f （x ）的图像关于y 轴对称，所以可得f （x ）为偶函数，再利用偶函数的定义列方程可求出a 的值，然后利用单调性的定义证明即可；（2）由（1）得()22()22222x x x x h x m --=+++-，令22x x t -=+，将函数转化为224y t t m =+--，构造函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+，由函数()h x 在区间[1,)-+∞上有两个零点，求出t 的范围，从而可求出m 的取值范围 【详解】（1）证明：∵f （x ）的图像关于y 轴对称，∴f （x ）为偶函数，()()0f x f x ∴--=，即()22220x x x x a a --+⋅-+⋅=，整理得()(1)220x x a ---=，上式对任意的x ∈R 均成立，故1－a ＝0， ∴1a =．任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()2211212222x x x x f x f x ---=+--121122122222222x x x x x x x x ++++--=()()12211221222x x x x x x ++--=．12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，12220x x ∴-<，()()1221210,x x f x f x +->∴>， 即证得f （x ）在[0,)+∞上单调增．（2）解：()22()22222x x x xh x m --=+++-，令22x x t -=+．则()2()222422x x x x h x m --=+-++- 224t t m =+--．由（1）可得当[1,)x ∈-+∞时，[2,)t ∈+∞ 引入函数2()24,[2,)F t t t m t ∞=+--∈+．易知F （t ）在[2,)+∞上单调递增，F （t ）最多有一个零点． 要使h （x ）在[1,)-+∞上有两个零点，则52,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2524,2,2m t t t ⎛⎤=+-∈ ⎥⎝⎦，可得(6,11]m ∈，故实数m 的取值范围为(6,11]．20．(1)2a =，2222(),(),22x x x xf xg x x R ---+==∈；(2)15(,)8+∞.【分析】(1)取x =-1结合已知条件求出a 值，再由奇偶函数定义列式解方程即得；(2)利用(1)的结论，通过换元，令22||2x x t --=，问题转化为方程2321t t λ=--在3(0,)4t ∈时有唯一实根即可作答. 【详解】(1)令x =-1得1(1)(1)f g a --+-=，而函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 则11(1)(1)2a f g -=-+=，解得2a =，此时()()2x f x g x +=，又()()2x f x g x --+-=，即()()2x f x g x --+=，于是得2222(),()22x x x xf xg x ---+==， 所以2a =，2222(),(),22x x x xf xg x x R ---+==∈； (2)由(1)知()()222222[2]3||()322x x x xf xg x λλ---+⋅+=⇔⋅+=，依题意方程222222||()322x x x xλ---+⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，显然0x ≠，令22||2x xt --=(0||1)x <<，它为偶函数，且在(0,1)内单调递增，则304t <<，222222222()24x x x x t ---+-==，于是得22222212x xt -+=+，原方程化为：223(21)321t t t tλλ++=⇔=--，所以方程()()[2]3f x g x λ⋅+=在区间()1,1-内恰有两个不等实数根，等价于方程2321t t λ=--在3(0,)4t ∈时有唯一实根，因函数23()21h t t t =--在3(0,)4单调递减，则3(0,)4t ∀∈，234315()()32()14348h t h >=⋅--=，从而有158λ>，且λ在15(,)8+∞内每一个值，有唯一3(0,)4t ∈与之对应， 所以常数λ的取值范围是15(,)8+∞. 21．（1）14m =；（2）()0,1. 【分析】（1）先研究0m ≤时，利用单调性判断不符合题意，再根据对勾函数性质得到最小值1，即解得参数；（2）先作出函数()f x 的图象，判断方程的根即()f x k =或()1f x k =+的根，再根据题意，结合直线y k =和1y k =+，进行数形结合得到111k k +>⎧⎨<⎩，即解得结果.【详解】解：（1）当0x >时，()2x m mf x x x x+==+， 若0m ≤，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，所以0m >，故由对勾函数性质可知，当x ()f x取到最小值1， 所以14m =； （2）依题意，()()214,0log ,0x x f x x x x ⎧⎪⎪+>=⎨⎪-<⎪⎩，作出函数()f x 的大致图象如下：方程()()()22210f x k f x k k ⎡⎤-+++=⎣⎦，即()()10f x k f x k ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦， 故()f x k =或()1f x k =+，恰好有4个不相等的实数根.作直线y k =和1y k =+，则两直线与函数有4个交点，结合图象可知111k k +>⎧⎨<⎩，解得01k <<，故实数k 的取值范围为()0,1.22．（1）()g x x =，12k =-；（2）0a >或10a =--【分析】(1)根据偶函数的定义依次分析判断四个选项，得到()g x 的表达式及k 的值； （2）将不等式化简得到()21(1)10222x x a a ⋅-+⋅-=，利用换元法得到方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=只有一个解，接着对a 的取值进行分类讨论求解即可；【详解】（1）因为函数()2()log 21()xf x kg x =++⋅（k 为常数，k ∈R ）.若选择①21()g x x =，则()22()log 21x f x k x =++⋅，x ∈R因为()()2222()log 21()log 21()x x f x k x k x x f x --=++⋅-=++⋅-≠，故()f x 不是偶函数； 若选择②22()log g x x =，则()22()log 21log xf x k x =++⋅，(0,)x ∈+∞，故()f x 不是偶函数； 若选择③3()g x x =，则()2()log 21xf x k x =++⋅，x ∈R因为()()()22()log 21()log 211xx f x k x k x --=++⋅-=+-+⋅，当12k =-时，()21()log 21()2xf x x f x -=+-⋅=，故()f x 是偶函数；若选择④4()2xg x =，则()2()log 212x xf x k =++⋅，x ∈R因为()()221()log 212log 21()2x x xxf x k k x f x ---=++⋅=++⋅-≠，故()f x 不是偶函数； 综上：()g x x =，12k =-；（2）若方程)(()f x h x =只有一个解，即()21log 212xx +-=211log 222x a a x ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭只有一个解，整理得：()21(1)10222x x a a ⋅-+⋅-=， 令2x t =得21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=，因为1(2)02xa ⨯->，所以a 与122x -同号，当0a >时，1202x->，则122x t =>，所以方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向上的，且(0)10m =-<，13()022m =-<，136()02m a a+=>，所以当0a >时方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(,)2+∞上只有一个解；当0a <时，2102x-<，则1(0,)22x t =∈， 所以方程21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12m t a t a t =⋅-+⋅-图像是开口向下的，且(0)10m =-<，13()022m =-<，则21=14021112022a a a a ⎧⎛⎫∆++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩所以当10a =--21(1)102a t a t ⋅-+⋅-=在区间1(0,)2上只有一个解；综上：当0a >或10a =--)(()f x h x =只有一个实根.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。
2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题五 函数与方程
专题五函数与方程一、填空题考向一零点个数问题1.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数为.2.(2017·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则实数a=.3.(2018·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)=则方程f(x)+1=log6(|x|+1)的实数解的个数为.考向二根据零点情况确定参数范围问题4.(2017·扬州上学期期中)已知函数f(x)=-kx无零点,则实数k的取值范围是.5.(2018·南通模拟)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.6.(2017·苏北四市一模)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有3个不同的公共点,则实数a的取值集合为.7.(2016·镇江期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.8.(2018·南通模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是.9.(2017·浙江二模改编)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)有6个零点,则实数a的取值范围是.考向三有关零点的综合问题10.(2018·启东中学月考)若方程2sin2x+sin x-m=0在[0,2π)上有且只有两解,则实数m的取值范围为.11.(2017·如皋一模)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围为.12.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)=(f'(x)为f(x)的导函数).若方程g(f(x))=0有四个不相等的实数根,则a的取值范围是.13.(2016·苏州期末)已知函数f(x)=|sin x|-kx(x≥0,k∈R)有且只有三个零点,若这三个零点中的最大值为x0,则=.14.(2017·江苏押题卷)对于实数a,b,定义运算“□”:a□b=设f(x)=(x-4)□,若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.二、解答题15.(2016·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n].16.(2016·北京卷改编)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.17.(2018·启东中学月考改编)已知函数f(x)=a(2-x)e x,g(x)=(x-1)2.(1)若曲线y=g(x)的一条切线经过点M(0,-3),求这条切线的方程.(2)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根x1,x2,求实数a的取值范围.18.(2018·苏州调研改编)已知函数f(x)=(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(-x)+f(x)=e x-3在区间(0,+∞)上有实数解,求实数a的取值范围.19.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f(x)=(x+k+1)·,g(x)=,其中k是实数.(1)若k=0,求不等式·f(x)≥·g(x)的解集;(2)若k≥0,求关于x的方程f(x)=x·g(x)的实数根的个数.20.(2017·海门中学第二学期调研)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知函数f(x)=ax3+3x ln x-a(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在x∈上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.专题五函数与方程1. 7【解析】作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示,则函数y=f(x)-1在[-2,4]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=1在[-2,4]上的交点的个数.由图象知,交点个数为7,即函数y=f(x)-1在[-2,4]上有7个零点.(第1题)2.【解析】因为f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)的图象的对称轴.由题意知f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,所以f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.3. 7【解析】根据题意,作出函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的部分图象如图所示,由图象知,函数y=f(x)+1与y=log6(|x|+1)的图象有7个不同的交点,所以原方程有7个不同的解.(第3题)(第4题)4.[-2,0)【解析】因为函数f(x)=-kx无零点,所以y=与y=kx没有交点,在同一平面直角坐标系中画出函数y=与y=kx的图象如图所示,由图象可知k∈[-2,0).5.【解析】易知函数f(x)在(-∞,0]上有一个零点,所以由题意得方程ax-ln x=0在(0,+∞)上恰有一解,即a=在(0,+∞)上恰有一解.令g(x)=,由g'(x)==0得x=e,当x∈(0,e)时,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g(x)单调递减,所以a=g(e)=.6.{-20,-16}【解析】直线y=x与正弦曲线y=sin x恰有一个公共点,即原点O.依题意,只要y=x 与y=f(x)(x≥1)的图象有两个不同的公共点.令g(x)=f(x)-x=x3-9x2+24x+a,由g'(x)=3x2-18x+24=0,得x=2或4,所以易知g(x)在区间[1,2]上单调递增,在区间[2,4]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,依题意,当g(2)=0时,a=-20,此时两个公共点是(2,0)和(5,0);当g(4)=0时,a=-16,此时两个公共点是(1,0)和(4,0).其余情况均不符合题意.所以实数a的取值集合是{-20,-16}.7.∪(1,+∞)【解析】作出函数f(x)和直线y=kx-k的图象如图所示,且直线y=kx-k过定点(1,0),当直线y=kx-k过点时,直线的斜率最小,即k=-.当直线y=kx-k与函数f(x)=x2-x(x>0)的图象相切时有且仅有一个交点,交点即为切点(1,0),k=y'=1,故函数f(x)与直线y=kx-k至少有两个不同的交点时,k的取值范围为∪(1,+∞),即关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围为∪(1,+∞).(第7题)8.(1,2]【解析】由题设知f(f(x))=作出函数f(f(x))的图象可知,当1<k≤2时,函数y=f(f(x))-k 有3个不同的零点.9.[-4,-1]【解析】由题可知,函数f(x)的图象如图所示,令f(x)-a=t,若要使y=f(f(x)-a)有6个零点,则由f(t)=0,解得t=0,1,5,所以有f(x)=a或f(x)=a+1或f(x)=a+5(a<a+1<a+5).对于上述方程,要满足条件,则其零点个数的可能性为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2,则有-5<a<a+1<a+5<0或-5<a<a+1<0,1≤a+5<4,解得-4≤a<-1;若零点个数分别为1,2,3,由图知,若a+5=4,则a=-1,所以a+1=0,满足条件,所以a=-1;若a<-5,-5<a+1<0,0≤a+5<1,无解;若零点个数分别为3,3,0,则有0≤a<a+1<1,a+5>4,无解.综上可知,满足条件的实数a的取值范围是[-4,-1].(第9题)10.(1,3)∪【解析】根据题意,令m=2t2+t=2-,t=sin x∈[-1,1],作出函数m=2-的图象如图所示.所以当m=-或m∈(1,3]时,直线y=m与曲线y=2t2+t只有一个交点.当m=3时,t=1,方程2sin2x+sin x-m=0只有一解,所以要使方程2sin2x+sin-m=0在[0,2π)上有且只有两解,实数m的取值范围(1,3)∪.(第10题)11.【解析】已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2,可得f'(x)=x(e x-2a),令x(e x-2a)=0,可得x=0或e x=2a,当a≤0时,函数f'(x)只有一个零点,并且x=0是函数f(x)的一个极小值点,并且f(0)=-1<0.若y=f(cos x)在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,也就是y=f(x)在x∈[-1,1]上有且仅有两个不同的零点,所以即可得a≤-.当a>0时,函数f(x)的两个极值点为x=0,x=ln2a,如果ln2a<0,因为f(0)<0,可知不满足题意;如果ln2a>0,则即解得a≤-,与a>0矛盾.综上,a≤-.12.(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】由题意知g(x)=①若a=0,则g(x)=方程g(t)=0只有唯一的根t=0,令f(x)=0,得x=0,此时不满足有四个根的条件;②若a<0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-a.分别令f(x)=0和f(x)=-a,解得x1=0,x2=-a和x3=,x4=,且x1≠x2≠x3≠x4,满足题意;③若a>0,方程g(t)=0存在两个根t1=0和t2=-.对于方程f(x)=t1=0,可解得存在两个根x1=0和x2=-a.欲使g(f(x))=0有四个根,则需方程f(x)=-有两个根,所以Δ=a2-4×=a2-2a>0,解得a>2,且此时x3≠x4≠x1≠x2,满足题意.综上可知,a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).13.【解析】令f(x)=0,得|sin x|=kx.当x≥0时,如图,作出函数y1=|sin x|和y2=kx的图象.若函数f(x)有且只有三个零点,则当x∈(π,2π)时,y2=kx与y1=-sin x相切,且x0为切点的横坐标,即(-sin x)'=,所以tan x0=x0,所以===.(第13题)(第14题)14.(-1,1)∪(2,4)【解析】由题意得f(x)=(x-4)□=画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有4个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有4个不同的交点,则或或得2<m<4或-1<m<1.15.(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象的对称轴方程是x=1,所以-=1,即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点,即ax2-(2a+1)x=0有两个相等的实数根,所以Δ=(2a+1)2=0,即a=-,b=1,所以f(x)=-+x.(2)①当m<n<1时,f(x)在[m,n]上单调递增,f(m)=3m,f(n)=3n,所以m,n是-+x=3x的两根,解得m=-4,n=0.②当m≤1≤n时,3n=,解得n=,不符合题意.③当1<m<n时,f(x)在[m,n]上单调递减,所以f(m)=3n,f(n)=3m,即-m2+m=3n,-n2+n=3m,两式相减得-(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n,所以-(m+n)+1=-3,所以m+n=8.将n=8-m代入-m2+m=3n,得-m2+m=3(8-m),此方程无解.所以m=-4,n=0时,f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n].16.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f'(x)=3x2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.当x变化时,f(x)与所以当c>0且c-<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.17.(1)方法一:设经过点M(0,-3)的切线与曲线y=g(x)相切于点Q(t,(t-1)2),由g(x)=(x-1)2得g'(x)=2(x-1),所以该切线方程为y-(t-1)2=2(t-1)(x-t).因为该切线经过M(0,-3),所以-3-(t-1)2=2(t-1)(-t),解得t=±2,所以切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0.方法二:由题意得曲线y=g(x)的切线的斜率一定存在,设所求的切线方程为y=kx-3,由得x2-(2+k)x+4=0,因为切线与抛物线相切,所以Δ=(2+k)2-16=0,解得k=2或k=-6,所以所求的切线方程为2x-y-3=0或6x+y+3=0. (2)由f(x)=g(x)得g(x)-f(x)=0.设h(x)=g(x)-f(x)=a(x-2)e x+(x-1)2,则h'(x)=a(x-1)e x+2(x-1)=(x-1)(a e x+2),由题意得函数h(x)恰好有两个零点.①当a=0,则h(x)=(x-1)2,h(x)只有一个零点1.②当a>0时,由h'(x)<0得x<1,由h'(x)>0得x>1,即h(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,而h(1)=-a e<0,h(2)=1,所以h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,且该零点在(1,2)上.取b<0,且b<ln,则h(b)>(b-2)+(b-1)2=b>0,所以h(x)在(-∞,1)上有唯一零点,且该零点在(b,1)上,所以a>0时,h(x)恰好有两个零点.③当a<0时,由h'(x)=0得x=1或x=ln,若a=-,h'(x)=-(x-1)(e x-e)≤0,所以h(x)在R上至多有一个零点,且在(1,+∞)上.若a<-,则ln<1,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上单调递减.又h(1)=-a e>0,所以h(x)在(1,+∞)上至多有一个零点.当x∈(-∞,1)时,h(x)在上单调递增,在上单调递减,又h=-2+=+1>0,所以h(x)在上无零点.若a>-,则ln>1,又当x≤1时,h(x)≥h(1)=-a e>0,所以h(x)在(-∞,1)上无零点.当x∈时,h'(x)>0;当x∈时,h'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.又h=-2+=+1>0.所以h(x)在上无零点,在上至多有一个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).18.(1)当a=2时,f(x)=当x<0时,f(x)=-x3+x2,则f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=(舍去),所以x<0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.当x≥0时,f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,当0<x<ln2时,f'(x)<0;当x>ln2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,且f(0)=1>0.综上,函数f(x)的减区间为(-∞,0)和(0,ln2),增区间为(ln2,+∞).(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)+f(x)=x3+x2+e x-ax,由题意知x3+x2+e x-ax=e x-3在(0,+∞)上有解,等价于a=x2+x+在(0,+∞)上有解.记g(x)=x2+x+(x>0),则g'(x)=2x+1-==.令g'(x)=0,因为x>0,所以2x2+3x+3>0,故解得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数g(x)在x=1处取得极小值也是最小值g(1)=5.要使方程a=g(x)在(0,+∞)上有解,当且仅当a≥g(x)min=g(1)=5.综上,满足题意的实数a的取值范围为[5,+∞).19.(1)当k=0时,f(x)=(x+1),g(x)=.由得x≥0.此时,原不等式为(x+1)x≥(x+3),即2x2+x-3≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集为[1,+∞).(2)由方程f(x)=x·g(x),得(x+k+1)=x.①由得x≥k,所以x≥0,x-k+1>0.方程①两边平方,整理得(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).②当k=时,由②得x=,所以原方程有唯一解.当k≠时,由②得判别式Δ=(k+1)2(3k-1)2,(i)当k=时,Δ=0,方程②有两个相等的实数根x=>,所以原方程有唯一的解.(ii)当0≤k<且k≠时,方程②整理为[(2k-1)x+k(k+1)]·(x-k-1)=0,解得x1=,x2=k+1.由于Δ>0,所以x1≠x2,其中x2=k+1>k,x1-k=≥0,即x1≥k.故原方程有两个解.(iii)当k>时,由(ii)知x1-k=<0,即x1<k,故x1不是原方程的解.又x2=k+1>k,故原方程有唯一解.综上所述,当k≥或k=时,原方程有唯一解;当0≤k<且k≠时,原方程有两个解.注:(ii)中,另解:故方程②的两个实数根均大于k,所以原方程有两个解.20.(1)当a=0时,f(x)=3x ln x,所以f'(x)=3(ln x+1).令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值f=-.(2)方法一:设g(x)=f'(x)=3(ax2+1+ln x),D=.由题意,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.①当a≥0时,g(x)在D上单调递增,且g(x)>g≥0,所以g(x)在D上无零点.②当a<0时,在(0,+∞)上考察g(x).g'(x)=,令g'(x)=0,得x1=.所以g(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减.(i)当g(e)·g<0,即(a e2+2)·<0,即-<a<0时,g(x)在D上有且只有一个零点x0,且在x0两侧异号.(ii)令g=0,得=0,不成立.(iii)令g(e)=0,得a=-,所以=∈D,g=g=3=3>0,又因为g=<0,所以g(x)在D上有且只有一个零点x0,且x0两侧g(x)异号.综上所述,实数a的取值范围是.方法二:令f'(x)=3(ax2+1+ln x)=0,得-a=.设h(x)=,由h'(x)=-,令h'(x)=0,得x0=∈,当x∈(x0,e)时,h'(x)<0,所以h(x)在(x0,e)上为减函数;当x∈时,h'(x)>0,所以h(x)在上为增函数,所以x0为h(x)的极大值点.又h=0,h(e)=,h(x0)=e,所以0<-a≤或-a=e,即-≤a<0或a=-e.当a=-e时,f'(x)=3.设m(x)=-e x2+1+ln x,则m'(x)=-e x+==,令m'(x)=0,得x=.当x∈时,m'(x)>0,所以m(x)在上为增函数;当x∈(,e)时,m'(x)<0,所以m(x)在(,e)上为减函数.所以m(x)≤m()=0,即f'(x)≤0在上恒成立,所以f(x)在上单调递减.所以当a=-e时,f(x)在上不存在极值点.所以实数a的取值范围是.。
2020届高考数学专题复习- 函数与方程、不等式之间的关系
2020届高考数学专题复习-函数与方程、不等式之间的关系一、选择题1．不等式2560x x +->的解集是（ ）A ．{}23x x x -或B ．{}23x x -<<C ．{}61x x x -或D ．{}61x x -<<2．已知函数f （x ）=3ax -1-2a 在区间（-1，1）上存在零点，则（ ）A ．或B ．C ．或D ．3．如果二次函数y =x 2-（k +1）x +k +4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )A ． 或B ． 或C ．D ．5．如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（）A ．(),1(3,)-∞-+∞B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(),1(3,)-∞+∞8．已知函数()1f x mx =+的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．()1,-+∞ D ．1(,1)(,)2-∞-⋃-+∞9．函数满足，则在（1,2）上的零点（ ）A ．至多有一个B ．有1个或2个C ．有且仅有一个D ．一个也没有10．不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知函数()(1)()f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为(1,3)-，那么不等式(2)0f x -<的解集为（ ）A ．31(,)(,)22-∞-+∞ B ．31(,)22- C ．13(,)(,)22-∞-+∞ D ．13(,)22- 12．对于实数a 和b 定义运算“*”：a•b=，设f （x ）=（2x-1）•（x-2），如果关于x 的方程f （x ）=m （m∈R）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值范是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．方程x 2+（m -3）x +m =0是一个根大于1，一个根小于1，则m 的取值范围______．14．关于的不等式的解集为，则________，________.15．二次函数y =ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应值如表，则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是______．16．已知函数，若关于x 的不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题17．已知函数．在所给坐标系中，画出函数的图象并写出的单调递增区间；若函数有4个零点，求a 的取值范围．18．已知函数()2f x x ax b =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值；（2）当4b =-时，对任意x R ∈，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19．已知函数2()223f x x mx m =+--.(1)若函数在区间(,0)-∞与(1,)+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式2()(2)(42)29f x m x m x m -++--….20. 已知函数22()33f x ax ax a =-+-．（Ⅰ）若不等式()0f x <的解集是{|}x l x b <<，求实数a 与b 的值； （Ⅱ）若0a <，且不等式()4<f x 对任意[3,3]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数（1）设、为的两根，且，，试求的取值范围 （2）当时，的最大值为2，试求22．已知二次函数对任意，有，函数的最小值为，且． （1）求函数的解析式； （2）若方程在区间上有两个不相等实数根，求k 的取值范围．。
2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1(含解析)
2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
(浙江专用)2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程练习(含解析)
第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。
函数与方程-高考数学复习课件
内无零点，在(1，e)内有零点.
2. (2024·山东滨州模拟)[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.5]＝3，[－
0.5]＝－1.已知 x 0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，则[ x 0]＝(
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
C )
设 f ( x )＝ln x ＋3 x －15，显然 f ( x )在定义域(0，＋∞)上单调递增，
上存在零点，则实数 a 的取值范围是(
B. (－e，＋∞)
D. (－∞，e)
D
)
由题意知，函数 y ＝e－ x 与 g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象在(0，＋∞)上有交点.
当 a ＞0时， g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象是由函数 y ＝ln x 的图象向左平移 a
个单位长度得到的，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2，
所以函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2]上的零点个数为3.
(2)设函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝e x ＋ x －3，
则 f ( x )的零点个数为( C )
A. 1
B. 2
－ x ＋1的零点所在的区间是(－2，－1).
4. 函数 f ( x )＝e x ＋3 x 零点的个数为(
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
B )
关键能力的区间
(1)(2024·陕西咸阳模拟)函数 f ＝log4 x －
C )
−
1
2
的零点所在的区间
过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼
2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.6函数与方程课件
t2 et
,易得h(t)为偶函数,
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,
所以a= 1 0 = 1 ,故选C.
22
4.(2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)=
x2 2ax a, x 0, x2 2ax 2a, x
4
x4
相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.
2.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=
e
x
,
x
0,
g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取
ln x, x 0,
值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
2.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=
2x
a,
x
1,
4(x a)(x 2a), x 1.
①若a=1,则f(x)的最小值为
;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是
.
答案
①-1
②
1 2
,1
9
,又
x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
5.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin
xsin x
2
-x2的零点个数为
.
答案 2
解析 易知f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象 的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:
新课标2020年高考数学复习专题2函数与导数专题能力训练6函数与方程及函数的应用理18
专题能力训练6 函数与方程及函数的应用能力突破训练1.f(x) = - +log2x的一个零点落在以下哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x) =4x +2x -2的零点为x2,假设|x1 -x2|>,那么f(x)可以是()A.f(x) =2x -B.f(x) = -x2 +x -C.f(x) =1 -10xD.f(x) =ln(8x -2)3.(2021山西三区八校二模)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,假设P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最|大面积为u,假设将这棵树围在矩形花圃内,那么函数u =f(a)(单位:m2)的图象大致是()4.(2021贵州贵阳模拟)M是函数f(x) =e -2|x -1| +2sin在区间[ -3,5]上的所有零点之和,那么M的值为()A.4B.65.(2021湖北武汉质检)函数f(x)是奇函数,且满足f(2 -x) =f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x) =ln x +2,那么函数y =f(x)在区间( -2,4]上的零点个数是()A.7B.86.e是自然对数的底数,函数f(x) =e x +x -2的零点为a,函数g(x) =ln x +x -2的零点为b,那么f(a),f(1),f(b)的大小关系为.7.函数f(x) =假设存在实数b,使函数g(x) =f(x) -b有两个零点,那么a的取值范围是.8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①假设一次性购物不超过200元,那么不给予优惠;②假设一次性购物超过200元但不超过500元,那么按标价给予9折优惠;③假设一次性购物超过500元,那么500元按第②条给予优惠,剩余局部给予7折优惠.甲单独购置A商品实际付款100元,乙单独购置B商品实际付款450元,假设丙一次性购置A,B 两件商品,那么应付款元.9.函数f(x) =2x,g(x) = +2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x) -g(x) =0的x的值.10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两局部:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v -c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d =100,面积S =时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最|少.思维提升训练11.如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,假设方程f(g(x)) =0,g(f(x)) =0的实根个数分别为m,n,那么m +n =()A.18B.1612.函数f(x) =函数g(x) =3 -f(2 -x),那么函数y =f(x) -g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.513.设函数f(x) =①假设a =1,那么f(x)的最|小值为;②假设f(x)恰有2个零点,那么实数a的取值范围是.14.一家公司生产某种品牌服装的年固定本钱为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最|大.(注:年利润 =年销售收入 -年总本钱)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x =2 000.假设乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最|大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最|大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最|大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?参考答案专题能力训练6函数与方程及函数的应用能力突破训练1.B解析由题意得f(x)单调递增,f(1) = -1<0,f(2) =>0,所以f(x) = - +log2x的零点落在区间(1,2)内.2.C解析依题意得g -2<0,g =1>0,那么x2假设f(x) =1 -10x,那么有x1 =0,此时|x1 -x2|>,因此选C.3.B解析设AD长为x cm,那么CD长为(16 -x)cm,又因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12,那么矩形ABCD的面积S =x(16 -x).当0<a≤8时,当且仅当x =8时,S =64,当8<a<12时,S =a(16 -a),即f(a) =画出分段函数图形可得其形状与B接近,应选B.4.C解析因为f(x) =e -2|x -1| +2sin =e -2|x -1| -2cosπx,所以f(x) =f(2 -x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x =1对称.当x∈[1,5]时,函数y =e -2(x -1)∈(0,1],且单调递减;函数y =2cosπx∈[ -2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y =e -2(x -1)与y =2cosπx有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2 =8,应选C.5.C解析由函数f(x)是奇函数且满足f(2 -x) =f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,且关于直线x =1 +2k(k∈Z)成轴对称,关于点(2k,0)(k∈Z)成中|心对称.当0<x≤1时,令f(x) =ln x+2=0,得x =,由此得y =f(x)在区间(-2,4]上的零点分别为 -2+,-,0,,2-,2,2+, - +4,4,共9个零点.应选C.6.f(a)<f(1)<f(b)解析由题意,知f'(x) =e x +1>0恒成立,那么函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0) =e0 +0 -2 = -1<0,f(1) =e1 +1 -2 =e -1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x) = +1>0,那么函数g(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g(1) =ln1 +1 -2 = -1<0,g(2) =ln2 +2 -2 =ln2>0,那么函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).7.( -∞,0)∪(1,+∞)解析要使函数g(x) =f(x) -b有两个零点,应使f(x)图象与直线y =b 有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y =b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在( -∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y =b有两个不同的交点.图①图②当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上递增,在区间(a,+∞)上递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y =b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.8.520解析设商品价格为x元,实际付款为y元,那么y =整理,得y =∵0.9×200 =180>100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500 =450,∴B商品的价格为500元.当x =100 +500 =600时,y =100 +0.7×600 =520,即假设丙一次性购置A,B两件商品,那么应付款520元.9.解(1)g(x) = +2 = +2,因为|x|≥0,所以0<1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x) -g(x) =0,得2x - -2 =0.当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x - -2 =0整理,得(2x)2 -2·2x -1 =0,(2x -1)2 =2,解得2x =1±因为2x>0,所以2x =1 +,即x =log2(1 +).10.解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v -c| +,故y =(3|v -c| +10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y =(3c -3v +10) = -15;当c<v≤10时,y =(3v-3c +10) = +15.故y =①当0<c时,y是关于v的减函数.故当v =10时,y min =20 -②当<c≤5时,在(0,c]内,y是关于v的减函数;在(c,10]内,y是关于v的增函数.故当v =c时,y min =思维提升训练11.A解析由题中图象知,f(x) =0有3个根0,a,b,且a∈( -2, -1),b∈(1,2);g(x) =0有3个根0,c,d,且c∈( -1,0),d∈(0,1).由f(g(x)) =0,得g(x) =0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m =9;由g(f(x)) =0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x) =0时对应有3个根,f(x)=d时有4个,f(x)=c时只有2个,加在一起也是9个,即n =9,∴m +n =9 +9 =18,应选A.12.A解析因为f(x) =所以f(2 -x) =f(2 -x) =f(x) +f(2 -x) =所以函数y =f(x) -g(x) =f(x) -3 +f(2 -x) =其图象如下图.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.① -1[2,+∞)解析①当a =1时,f(x) =当x<1时,2x -1∈( -1,1);当x≥1时,4(x -1)(x -2)∈[ -1,+∞).故f(x)的最|小值为 -1.②假设函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,那么a>0,并且当x =1时,f(1) =2 -a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x -a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以a<1.假设函数f(x) =2x -a的图象在x<1时与x轴没有交点,那么函数f(x) =4(x -a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x) =4(x -a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x -a)·(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a 都满足题意.综上,a的取值范围为[2,+∞).14.解(1)当0<x≤10时,W =xR(x) -(10 +2.7x) =8.1x - -10;当x>10时,W =xR(x) -(10 +2.7x) =98 - -2.7x.故W =(2)①当0<x≤10时,由W' =8.1 - =0,得x =9.当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0.所以当x =9时,W取得最|大值,即W max =8.1×9 -93 -10 =38.6.②当x>10时,W =98 -98 -2 =38,当且仅当 =2.7x,即x =时,W取得最|大值38.综合①②知:当x =9时,W取得最|大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最|大.15.解(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w =2000 -sq(q≥0).因为w =2000 -sq = -s,所以当q =时,w取得最|大值.所以乙方取得最|大利润的年产量q =t.(2)设甲方净收入为v元,那么v =sq -0.002q2,将q =代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v =又v' = -,令v' =0得s =20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s =20时,v取得最|大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最|大净收入.。
2020年高考浙江版高考理科数学 2.7 函数与方程
2.7 函数与方程挖命题【考情探究】分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题.2.预计函数与方程的有关问题可能在2020年的高考中出现,复习时应重视.破考点【考点集训】考点函数的零点与方程的根1.(2018浙江镇海中学5月模拟,9)已知函数f(x)=--则方程f(f(x))-2=0的实根个数为( )A.3B.4C.5D.6答案B2.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 33.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实--数解,则a的取值范围是.答案(4,8)炼技法【方法集训】方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数f(x)=ln x-x|x-e|的零点的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案C2.(2017浙江镇海中学模拟卷三,9)已知x1,x2为函数f(x)=(x2+ax+b)·e x+c的极值点(其中a,b,c为实常数).若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程f2(x)+(a+2)·f(x)+a+b=0的不同实根的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案C方法2 函数零点的应用(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是.答案过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点函数的零点与方程的根1.(2018课标全国Ⅰ理,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)2.(2017课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C. D.1答案C3.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)答案B4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=--函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A.∞ B.-∞C. D.答案D5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)6.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2cos--2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.教师专用题组考点函数的零点与方程的根1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案A2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=∈其中集合D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案83.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.答案 44.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)5.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)6.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2·=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo-.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0. 又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.评析本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共28分)1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数f(x)=ax2+bx-(a>0)有两个不同的零点x1,x2,则( )A.x1+x2<0,x1x2<0B.x1+x2>0,x1x2>0C.x1+x2<0,x1x2>0D.x1+x2>0,x1x2<0答案A-若两个函数的图象只有一个交2.(2019届浙江高考模拟试卷(四),7)已知函数f(x)=ax+1,g(x)=点,则实数a的取值范围为( )A. B.C.∪-D.-答案C3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),4)a=1是方程x2-cos x+|a|=0有唯一根的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),7)已知实数a∈(1,),则方程-+|x|=的不同解的个数为( )A.0B.2C.3D.4答案D设方程f(x)=t(t∈R)的四5.(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),9)已知函数f(x)=-个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是( )A.x1+x2+x3+x4=40B.x1x2=1C.x3x4=361D.x3x4-20(x3+x4)+399=0答案C6.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,8)已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( )A. B.1 C. D.2答案C7.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )A.都大于1B.都小于1C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共8分)8.(2019届浙江高考模拟试卷(四),17)函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在(0,2)上有两个零点x1,x2,且|x1-x2|≥1,则a2+a-3b的取值范围为.答案-9.(2018浙江诸暨高三5月适应性考试,17)已知a,b,c∈R+(a>c),关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不等实根,且函数f(x)=|x2-ax+b|+cx的最小值是c2,则= .答案 5。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（ ）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。
新高考总复习 数学 第二章 函数 第8节 函数与方程 习题
多维层次练14[A 级 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0C.12D ．0解析：当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案：D2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，所以x 0∈(2，3)，所以g (x 0)＝[x 0]＝2.答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案：C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：C5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：因为当x >0时，x ＝1是函数f (x )的一个零点， 所以当x ≤0时，要使f (x )＝－2x ＋a 没有零点， 则－2x ＋a <0或－2x ＋a >0恒成立， 即a <2x 或a >2x 恒成立，故a ≤0或a >1.所以函数f (x )有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a <0. 答案：A6．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.437 5C ．1.406 25D ．1.421 9解析：由零点存在定理，在(1.406 25，1.437 5)内有零点， 又1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.05，所以在区间[1.406 25，1.437 5]内任取一值可为零点近似解． 则B 、C 、D 均满足要求． 答案：BCD7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x |，x ≤1，x 2－3x ＋3，x >1，若关于x 的方程f (x )＝2a (a ∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.12<a <1 B ．a ＝12C.38<a ≤12或a >1 D ．a ∈R解析：作出函数f (x )的图象如图：因为关于x 的方程f (x )＝2a 恰好有两个不同实根， 所以y ＝2a 与函数y ＝f (x )的图象恰有两个交点， 所以2a >2或34<2a ≤1.解之得a >1或38<a ≤12.答案：C8．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( )A ．(5，6)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，10)解析：由于f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0， 又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， 所以实数a 所在的区间为(5，6)． 答案：A9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：310．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________，函数的零点是________(用a 表示)．解析：依题意，f (x )＝x 2＋ax ＋b 有不变号零点， 所以Δ＝a 2－4b ＝0，知a 2＝4b ， 从而函数的零点x 0＝－a2.答案：a 2＝4b －a211．(2020·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 与函数y ＝1x 的图象的交点A ，B 的横坐标．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.答案：112．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤1，log 3 x ，x >1.(1)若f (1)＝3，则实数a ＝________．(2)若函数y ＝f (x )－2有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)f (1)＝1－a ＝3，所以a ＝－2，(2)作出y ＝2与y ＝f (x )的图象(略)，y ＝f (x )－2有两个零点，则12－a <2，所以a >－1.答案：(1)－2 (2)(－1，＋∞)[B 级 能力提升]13．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 答案：C14．(2020·佛山调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]解析：令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )<0得e x (x ＋2)<0，即x <－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )>0得e x (x ＋2)>0，即－2<x <0，此时f (x )为增函数， 即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0<b ≤1，故选D.答案：D15．已知函数f (x )＝e x －e －x ＋4，若方程f (x )＝kx ＋4(k >0)有三个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________．解析：易知y ＝e x －e －x 为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y ＝f (x )的图象．所以y ＝f (x )的图象关于点(0，4)对称， 又y ＝kx ＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．所以方程f (x )＝kx ＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：0[C 级 素养升华]16．(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：(1)当λ＝2时，f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图(1)所示．由图知f (x )<0的解集为(1，4)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞) 素养培育直观想象——嵌套函数的零点问题(自主阅读)函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单函数，借助函数的图象、性质求解．1．嵌套函数的零点个数判断[典例1] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．答案：5[解题思路] 1.上述题目涉及嵌套函数零点个数的判断，求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点；(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )，求出x 的值域判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 2．嵌套函数零点中的参数[典例2] (2020·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝xe x ，若关于x的方程[f (x )]2＋mf (x )＋m －1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫1－1e ，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫1－1e ，1 D ．(1，e)解析：因为f ′(x )＝e x －x e x（e x ）2＝1－xe x ，所以f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上递减． 因此f (x )max ＝f (1)＝1e.又当x →－∞时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→0且f (x )>0. 从而作出t ＝f (x )的简图，如图所示． 令t ＝f (x )，g (t )＝t 2＋mt ＋m －1. 由g (t )＝0，得t ＝－1或t ＝1－m .当t ＝－1时，f (x )＝xe x ＝－1，方程有一解，要使原方程有3个不同的实数解，必须使t ＝1－m 与t ＝f (x )的图象有两个交点．故0<1－m <1e ，所以1－1e <m <1.答案：C[解题思路] 1.题目以函数的图象、性质为载体，考查函数零点(方程的根)中参数的求解，综合考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．2．涉及复合函数零点的步骤：①换元，令t ＝f (x )，y ＝g (t )，f (x )为“内函数”，g (t )为“外函数”；②作图，作“外函数”y ＝g (t )的图象与“内函数”t ＝f (x )的图象；③观察图象进行分析．[典例3] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x －1），x <－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：设t ＝f (x )，令f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图所示)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)且t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解．当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点． 答案：[－1，＋∞)[解题思路] 1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围．进而由t＝f(x)图象确定x取值．2．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．。
2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练（解析版）
2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练题型一函数的定义域、值域及解析式【题型要点解析】(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．(3)函数值和值域的求法：求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等，要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法．例1．已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，则f(x)的定义域为________．【解析】设t＝x2－3，则x2＝t＋3，则f(t)＝lgt＋3t＋3－4＝lgt＋3t－1，由t＋3t－1>0得t>1或t<－3，∵t ＝x 2－3≥－3，∴t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)， 故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)例2．设集合A ＝⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.⎥⎦⎤⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛21,41 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0【解析】因为x 0∈A ，即0≤x 0<12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12<1，即12≤f (x 0)<1，即f (x 0)∈B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0.因为f [f (x 0)]∈A ，所以0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12，所以14<x 0<12，故选C.【答案】 C题组训练一：函数的定义域、值域及解析式1．函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f (2x －1)lg (2－x )的定义域是________．【解析】 ∵函数f (x )的定义域是[0,3]，∴由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤32－x >0lg (2－x )≠0得：⎩⎨⎧12≤x ≤2x <2x ≠1，即12≤x <2且x ≠1，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x <2且x ≠1， 【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤2，且x ≠1 2．设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0，且a ≠1)，那么函数f (x )＝[g (x )－12]＋[g (－x )－12]的值域为( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1，－1}D ．{－1,0}【解析】∵g (x )＝a x a x ＋1，∴g (－x )＝1a x ＋1，∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，∴f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，∴f (x )＝－1.当g (x )＝12时，g (－x )＝12，∴f (x )＝0.综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D.【答案】 D3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (－92)＝( )A.12 B.2 C.22D ．1【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的周期为2，f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－92)＝f (－12)＝f (12)∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，∴f (12)＝2，故选B.【答案】 B题型二 函数的图象及其应用 【题型要点解析】(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)的图象大致是( )【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)，满足f (－x )＝f (x )，所以函数是偶函数，排除选项B ，D ；当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln x1＋x<0，排除A.故选C. 【答案】C2．函数y ＝2sin x 1＋1x2⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈43,00,43ππx 的图象大致是( )【解析】 函数满足f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，关于原点对称，f (x )＝2x 2sin x 1＋x 2，f ′(x )＝(4x sin x ＋2x 2cos x )(1＋x 2)－2x 2sin x ·2x (1＋x 2)2＝4x sin x ＋2x 2cos x ＋2x 4cos x (1＋x 2)2，f ′(π2)>0，并且f (π2)>0，满足条件的只有A ，故选A. 【答案】 A题组训练二：函数的图象及其应用1．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是( )【解析】因为函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x ，所以x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，函数在(1，＋∞)上递增，只有选项A 符合题意，故选A.【答案】 A2．函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )【解析】 因为f ′(x )＝(2x －2＋x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x ，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增；又x <－2时，x 2－2x >0，即f (x )>0.应选答案B.【答案】B题型三 函数的性质及其应用 【题型要点解析】解决与函数有关的综合问题的常见4个切入点(1)已知函数的单调性和周期性，常画出函数的图象求解；(2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性，常画出函数的图象求解；(3)求函数的最值或值域时，常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐标求解；(4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时，常借助函数性质求解． 例1．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛-31,31 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,∪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31【解析】 函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln (1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln (1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知，f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1＜0⇔13＜x ＜1.【答案】A例2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|的零点分别为x 1，x 2，…，x n ，则x 1＋x 2＋…＋x n ＝( )A ．nB ．－nC ．－2nD ．－3n【解析】函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，函数f (x ＋1)的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到的，所以函数f (x ＋1)的对称轴为直线x ＝－1，且函数g (x )＝|x 2＋2x －3|的对称轴也是直线x ＝－1，所以方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|零点关于直线x ＝－1对称，所以有x 1＋x 2＋…＋x n ＝－n ，故选B.【答案】 B题组训练三：函数的性质及其应用1．如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程式为y ＝f (x )(x ∈R )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．【解析】当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆；当－1≤x ≤1时，P的轨迹是以B 为圆心，2为半径的14圆；当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的14圆；当2≤x ≤3时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆，所以函数的周期为4，图象如图所示．根据其对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以①正确；因为最小正周期为4，所以②正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以③错误；根据定积分的几何意义可知f (x )d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以④正确，故正确答案为①②④.【答案】 ①②④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).(1)若f (x )＝a 有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )图象如下图．根据上图，若f(x)＝a只有1个实根，则a>1；若将函数f(x)的图象向左平移T＝2个单位时，如下图所得图象与f(x)的图象在(0,4]上重合，此时方程f(x＋T)＝f(x)有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图象，如下图观察可知2<T<4或－4<T<－2.【答案】(1)(1，＋∞)(2)(－4，－2)∪(2,4)【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝2－2x＋1log3x的定义域为()A．{x|x<1}B．{x|0<x<1} C．{x|0<x≤1} D．{x|x>1}【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x≥0log 3x ≠0，x >0即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠1x >0，得0<x <1，即函数的定义域为{x |0<x <1}，故选B.【答案】 B2．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．eC.1eD ．－1【解析】 解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e .解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.【答案】 B3．下列函数中，可以是奇函数的为( ) A ．f (x )＝(x －a )|x |，a ∈R B ．f (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R C ．f (x )＝log 2(ax －1)，a ∈RD ．f (x )＝ax ＋cos x ，a ∈R【解析】 对于A ，f (－x )＝(－x －a )|－x |＝(－x －a )|x |，若f (－x )＋f (x )＝(－2a )|x |＝0，则a ＝0，A 满足；对于B ，f (－x )＝(－x )2－ax ＋1，若f (－x )＋f (x )＝2x 2＋2＝0，则方程无解，B 不满足；对于C ，由ax －1>0，不管a 取何值，定义域均不关于原点对称，则C 不满足；对于D ，f (－x )＝－ax ＋cos(－x )＝－ax ＋cos x ，若f (－x )＋f (x )＝2cos x ＝0，则不满足x 为一切实数，D 不满足．故选A.【答案】A4．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}．令g (x )＝ln (x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1， 当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合．方法二 本题也可取特值，用排除法求解：f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎪⎭⎫⎝⎛-21＝1ln 12＋12＝1lne 2<0，排除C ，D ，故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x ，x <0log 2(x ＋1)＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )>4的解集为( )A ．(－ln 2,0)∪(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)【解析】 当x <0时，2e x >4，解得：x >ln 2，不合题意； 当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2>4，解得：x >3， 综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)． 【答案】C6．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同【解析】∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．即f(b x)≤f(c x)．【答案】 A7．函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为()【答案】 A8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1)．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0,1)∪(1,4)【解析】 由题意得y ＝log a x 与y ＝|x －3|,0<x ≤4有且仅有一个交点，当0<a <1时，有且仅有一个交点；当a >1时，需满足log a 4>4－3⇒1<a <4，因此a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)，选D.【答案】 D9．如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812【解析】 当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，则n －8<0⇒n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29m ＝－12m 2＋9m .而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，∴m ∈[2,0)时，g (m )<g (2)＝16，∴mn <16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值．当m >2时，f (x )的图象开口向上且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥2 2m ·n ，∴mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m >2.故(mn )max ＝18.故选B.【答案】 B10．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛641f f ＝________. 【答案】 1411．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】 因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+b a a b a 1994＝19⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 414≥19(5＋4)＝1，当且仅当b ＝2a 时取等号． 【答案】 112．．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 根据题意作出f (x )的简图：由图象可得当k ∈(0,1)时，函数f (x )－k 有四个不同零点．若方程2f 2(x )＋2bf (x )＋1＝0有8个不同实数解，令k ＝f (x )，则关于k 的方程2k 2＋2bk ＋1＝0有两个不同的实数根k 1、k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于1的实数，即有k 1＋k 2＝－b ，k 1k 2＝12.故：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>00<k 1＋k 2<2k 1k 2>0(k 1－1)(k 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >2或b <－20<－b <2b >－32，可得－32<b <－ 2.【答案】⎝⎛⎭⎫－32，－2。
函数与方程-2025高考数学复习
A.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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7．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数为( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋4)与y＝3x的
大致图象，如图．由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点，
故方程log2(x＋4)＝3x有两个根．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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题组二 走进教材 2．(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二 分法求图中的函数零点的是( C )
[解析] 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号 是相同的，故不能用二分法求解．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数与方程
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[13]
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知识梳理 · 双基自测
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知识梳理 知识点一 函数的零点 1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f_(x_)_＝__0__成立的实数x叫做函数y＝ f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y ＝f(x)与x轴的交点．
A．0.625
B．0.75
C．0.687 5
D．0.65
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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[解析] 根据|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，判断区间[0.687 5,0.75]内
的任何一个值都可作为方程的近似解．因为 f(0.625)<0，f(0.75)>0，计算 0.625＋0.75
高考数学复习考点知识与题型专题讲解11---函数的零点与方程的解
高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．(×)(2)连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )<0.(×)(3)函数y ＝f (x )为R 上的单调函数，则f (x )有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若b 2－4ac <0，则f (x )无零点．(√) 教材改编题1．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0C.14D ．0或－14答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0得x ＝－1，故f (x )只有一个零点为－1.当a ≠0时，则Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14. 综上有a ＝0或－14.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________． 答案－2，e解析⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案(3,6)解析设f (x )＝2x ＋x ，∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6，∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在的区间为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3>0，故f (x )在(2,3)上有唯一零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )() A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案D解析f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点． 又f (e)＝e 3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析设f (x )＝log 3x －3＋x ，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2，又∵f (2)＝log 32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18解析由函数y ＝f (x )的性质，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，再作出函数y ＝|lg x |的图象，由图可知，y ＝f (x )与y ＝|lg x |共有10个交点，故原函数有10个零点．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14.综上，f (x )有3个零点．题型三 函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln (－x )，x <0，x ＋2x，x >0，若关于x 的方程f (x )－m －1＝0恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，22]B ．(－∞，22－1)C ．(22－1，＋∞)D ．(22，＋∞)答案C解析恰有三个不同的实数解等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点． 作出f (x )的图象如图所示．由图可知，y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点时有m ＋1>22， 解得m >22－1，所以实数m 的取值范围为(22－1，＋∞)．命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋ax x .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 答案B解析由f (x )＝3x－1＋ax x ＝0， 可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x－1x >0， 所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________． 答案－1 解析由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－kx ， 函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0. 即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根． 显然k ≠0，即1k ＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k >－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k ＝－1，即k ＝－1时满足条件．当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 无交点，不满足条件．2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a ∈R )有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 4，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22，＋∞ 答案C解析令f (x )＝e x －ax 2＝0，显然x ≠0，∴a ＝e xx 2，令g (x )＝e x x 2(x ≠0)，则问题转化为“若y ＝a 的图象与y ＝g (x )的图象有三个交点，求a 的取值范围”．∵g ′(x )＝(x －2)e xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝2，∴当x <0或x >2时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当0<x <2时，g ′(x )<0，g (x )在(0,2)上单调递减，g (x )在x ＝2处取极小值g (2)＝e 24，作出y ＝g (x )的简图，由图可知，要使直线y ＝a 与曲线g (x )＝e x x 2有三个交点，则a >e 24，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞. (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧ m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0. 课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点所在的区间为() A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案B解析由题意知，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3 答案A解析取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1－1，x <2，log 3x 2－13，x ≥2，则f (x )的零点为()A ．1,2B ．1，－2C ．2，－2D ．1,2，－2答案A解析当x <2时，令f (x )＝e x －1－1＝0，即e x －1＝1，解得x ＝1，满足x <2；当x ≥2时，令f (x )＝log 3x 2－13＝0，则x 2－13＝1，即x 2＝4，得x ＝－2(舍)或x ＝2.因此，函数y ＝f (x )的零点为1,2.4．若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案C解析由条件可知f (1)·f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.5．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为() A ．[－3,0) B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案A解析因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．6．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案B解析f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数不可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案D解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．2B．3C．4D．多于4答案C解析f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.答案x 3－x (答案不唯一)解析f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案(1,2)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e 解析∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2， f (x )＝ln x (x >1)，f ′(x )＝1x ，设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e .则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e . 12．(2022·安徽名校联盟联考)已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1的零点分别为a ，b ，则a ＋b ＝________.答案－1解析由已知得y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x －1的交点横坐标分别为a ，b ， 又y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝－x －1与y ＝x 交点横坐标为－12，故a ＋b ＝－1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为()A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案B解析令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案12解析当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝1 2；当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是________．(填序号)①f(x)＝2x＋x；②g(x)＝x2－x－3；③f(x)＝12x＋1；④f(x)＝|log2x|－1.答案②③④解析对于①，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故①中函数不是“不动点”函数；对于②，若g(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故②中函数是“不动点”函数；对于③，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故③中函数是“不动点”函数；对于④，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故④中函数是“不动点”函数．16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e ，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。
2020年高考数学专题复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(2016·高考浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：选D.由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sin x 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2<π2，故选D.(2019·金华市东阳二中高三调研)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：选A.因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12. 只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度即得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．故选A.已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________． 解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换(1)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移2π9个单位B ．向左平移2π9个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.①求f (x )的解析式；②作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)． 【解】 (1)选C.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos[π2－(2x －π6)]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos[2(x －π3)]，将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度，可以得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，即y ＝sin(2x －π6)的图象，故选C.(2)①因为函数f (x )的最小正周期是π， 所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ②因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6，列表如下：描点、连线得图象：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法①五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．②图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． ③由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|.1．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选B.假设将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2ρ＋π3关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0中心对称，所以将x ＝－π12代入得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2ρ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2ρ＝0，所以π6＋2ρ＝k π，k ∈Z ，所以ρ＝－π12＋k π2，当k ＝0时，ρ＝－π12.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D.由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2019·温州市十校联合体期初)函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，则f (x )的表达式为________．【解析】 (1)由图象知A ＝1，因为T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2，所以函数的解析式是y ＝sin(2x ＋φ)， 因为函数的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 所以φ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝－2π3，所以函数的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，故选B. (2)由图象可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－（－1）2＝2，b ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1，将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.【答案】 (1)B (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1. (2019·宁波市高考模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选A.由图可得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，所以T ＝π，所以T ＝2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，所以5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π3. 2．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点，且|PQ |＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的最大值．解：(1)过P 作x 轴的垂线PM ，过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得|PM |＝2，|PQ |＝13，由勾股定理得|QM |＝3，所以T ＝6，又T ＝2πω，所以ω＝π3，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3.(2)将函数y ＝f (x )图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝sin π3x .函数h (x )＝f (x )·g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3sin π3x＝12sin 2π3x ＋32sin π3x cos π3x ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2π3x ＋34sin 2π3x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x －π6＋14. 当x ∈[0，2]时，2π3x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6，所以当2π3x －π6＝π2，即x ＝1时，h (x )max ＝34.三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)图象变换与函数性质； (2)恒等变换与函数性质； (3)三角函数图象与性质； (4)三角函数性质与平面向量；(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．角度一 图象变换与函数性质将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．函数F (x )是奇函数，最小值是－2B ．函数F (x )是偶函数，最小值是－2C ．函数F (x )是奇函数，最小值是－ 2D ．函数F (x )是偶函数，最小值是－ 2【解析】 f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将f (x )的图象向左平移π8个单位后得F (x )的图象，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，所以F (x )是奇函数，最小值为－ 2.故选C.【答案】 C角度二 恒等变换与函数性质设f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )＋2cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值集合．【解】 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋sin x ·cos x ＋2cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(1＋cos 2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期是2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .即使f (x )≥32成立的x 的取值集合是{x |k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z }．角度三 三角函数图象与性质已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin(π2＋π3)＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．【答案】 D函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．1．(2019·宁波市十校联考模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝23πB ．x ＝－112πC ．x ＝13πD ．x ＝512π解析：选A.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝k π＋π2，求得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，可得所得函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x ＝2π3，故选A.2．(2019·杭州市高三期末检测)设A ，B 是函数f (x )＝sin|ωx |与y ＝－1的图象的相邻两个交点，若|AB |min ＝2π，则正实数ω＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.函数f (x )＝sin|ωx |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ωx ，x ≥0－sin ωx ，x ＜0，ω为正数，所以f (x )的最小值是－1，如图所示：设A ，B 是函数f (x )＝sin|ωx |与y ＝－1的图象的相邻两个交点，且|AB |min ＝T ＝2πω＝2π，解得ω＝1.故选B.3．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ，则函数f (x )的最小正周期为______，振幅的最小值为________．解析：函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ，化简可得：f (x )＝a 2＋（a ＋1）2sin(2x ＋θ)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12sin(2x ＋θ)，其tan θ＝1＋aa.函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 振幅为2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12， 当a ＝－12时，可得振幅的最小值22.答案：π22三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解】 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温．三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，所以M (4，3)．又P (8，0)，所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.三角函数的三个常用性质(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的奇偶性和对称性是对应的，奇函数对应对称中心，偶函数对应对称轴．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调性的实质是复合函数的单调性．(3)形如y ＝a sin x ＋b (y ＝a cos x ＋b )的函数最值利用正(余)弦函数的最值求解；形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的函数最值转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值求解．三角函数最值问题的两种常见类型 类型1 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值可将y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at 2＋bt ＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c ，y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．类型2 y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值可利用降幂公式(sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x ·cos x ＝sin 2x 2)将y＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 整理转化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C 求最值．易错防范(1)平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； (2)解决三角函数性质的有关问题时，要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，但最大值、最小值与A 的符号有关．[基础达标]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：选B.令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π4，k∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B. 3．(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2－1解析：选B.函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin 2x ，沿y 轴向上平移1个单位，得到y ＝sin 2x ＋1，图象沿x 轴向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1.故选B.4．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2在x ＝2π3时取得最大值，且它的最小正周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的图象的一条对称轴是x ＝5π12解析：选C.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)在x ＝2π3时取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝±1，即2×2π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中A <0；对于选项A ，因为f (0)＝A sin π6＝A 2≠12，所以选项A 不正确；对于选项B ，因为函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间满足：π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是增函数，所以选项B 不正确；对于选项C ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，即选项正确；对于选项D ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0， 所以x ＝5π12不是f (x )的图象的一条对称轴，即选项D 错误．故选C.5．(2019·杭州中学高三月考)将函数y ＝2sin(ωx －π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4解析：选C.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω－14π， 向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ω＋14π. 因为所得的两个图象对称轴重合， 所以ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π①，或ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π＋k π，k ∈Z ②.解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k ，k ∈Z . 所以ω的最小值为2.故选C.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数y ＝f (x )＋ω图象的对称中心的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23k π＋π24，32(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫3k π－3π8，23(k∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋5π8，32(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k∈Z )解析：选D.由题图可知T 2＝15π8－3π8＝3π2，所以T ＝3π，又T ＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ，因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π4.由23x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝32k π－3π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )＋23图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )．7．(2019·金丽衢十二校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2π38．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个函数来近似描述收购价格y (元/斤)与相应月份x 之间的函数关系为________． 解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________．解析：因为图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，A ，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点A 到点B 经过半个周期，所以π3＝T 2＝πω，解得ω＝3.又因为图象经过点A (0，1)，f (x )＝2sin(ωx ＋φ)， 所以1＝2sin φ，即sin φ＝12，所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：311．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20.当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52， 即－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4≤22， 所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．12．已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.[能力提升]1．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 解析：选D.由T ＝2π2ω＝πω，又f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时函数f (x )单调递增，则f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.2．(2019·杭州市七校联考)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A ．3π4B ．4π3C ．5π3D ．3π2解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C.3．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx －π3＝－π6＋2kπ或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z .所以x ＝π6ω＋2k πω或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z .设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω.因为方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以x A <π≤x B ，即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω，计算得出72<ω≤256. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2564．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位， 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再向下平移2个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图象， 若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－17π12，－5π12，7π12，19π12， 当x 1＝19π12，x 2＝－17π12时，2x 1－x 2取最大值55π12，故答案为55π12.答案：55π125．(2019·温州中学高三模考)已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1)求函数f (x )图象对称中心的坐标；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为B ，求f (B )的取值范围． 解：(1)f (x )＝12sin 2x 3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＝0即2x 3＋π3＝k π(k ∈Z )得x ＝3k －12π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k －12π，0，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，所以12≤cos B <1，0<B≤π3，π3<2B 3＋π3≤5π9，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3－π2>⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π9－π2，所以sin π3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3≤1，所以3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3＋32≤1＋32，即f (B )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，－π2<φ<π2)相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得T 2＝πω＝π2，所以ω＝2，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1 ＝sin(2x ＋π6＋φ)＋b －1.再结合函数g (x )为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin 2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，所以f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1(n ∈Z )．(2)由(1)可得g (x )＝sin 2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]，令t ＝g (x )，则t ∈[0，1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，因为h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24＝0，0<－m6<1， 解得m <－5或m ＝－2 6.。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(十一)函数与方程 Word版含解析
课时跟踪练(十一)A 组 基础巩固1．已知函数f (x )＝则函数f (x )的零点为( ){2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，)A.，0 B ．－2，012C. D ．012解析：当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝，又因为x ＞1，所以此时方程无12解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案：D2．(2019·豫西南部分示范性高中联考)函数f (x )＝ln x －的零点2x 2所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：f (x )＝ln x －在定义域(0，＋∞)上是增函数，2x 2又f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－>0，12则f (1)·f (2)<0，故f (x )的零点在区间(1，2)内．答案：B3．函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点即3x |ln x |－1＝0的解，即|lnx |＝的解．(13)x作出函数g (x )＝|ln x |和函数h (x )＝的图象，由图象可知，两(13)x 函数图象有两个公共点，故函数f (x )＝3x |ln x |－1有2个零点．答案：B4．函数f (x )＝2x －－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的2x取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：因为函数f (x )＝2x －－a 在区间(1，2)上单调递增，又函2x数f (x )＝2x －－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所2x以(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，所以0＜a ＜3.答案：C5．(2019·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A. B. C ．－ D ．－14187838解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.78答案：C6．已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：令函数f (x )＝2x ＋x ＋1＝0，可知x <0，即a <0；令g (x )＝log 2x ＋x ＋1＝0，则0<x <1，即0<b <1；令h (x )＝log 2x －1＝0，可知x ＝2，即c ＝2.显然a <b <c .答案：A7．已知函数f (x )＝则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实{1，x ≤0，1x ，x >0，)数m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－1x∞，1]∪[2，＋∞)．答案：D8．(2019·安庆二模)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，{x 2＋2，x ∈[0，1），2－x 2，x ∈[－1，0），)则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x ＋2)＝f (x )，知y ＝f (x )的周期T ＝2.。
高考数学一轮复习第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有03零点.(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得06f(c)＝0，这个07c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点08(x0)，(x2,0)09(x1,0)无交点1,零点个数102111120有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由函数零点存在定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 12345 6y 124.433－7424.5－36.7－123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案 B解析∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 作出函数y ＝|x －2|与g (x )＝ln x 的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f (x )在定义域内有2个零点．故选C ．4．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点有________个． 答案 1解析 ∵f (x )＝e x ＋3x 在R 上单调递增，且f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝1>0，∴函数f (x )有1个零点．5．(2020·河南信阳调研)若函数f (x )＝3mx －4在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23解析 由已知得f (－2)·f (0)＝(－6m －4)·(－4)≤0，解得m ≤－23，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，则函数y ＝f (x )－1的零点是________.答案 0或2解析 要求函数y ＝f (x )－1的零点，则令y ＝f (x )－1＝0，即f (x )＝1，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，①当x ≤0时，f (x )＝e x ，由e x ＝1，解得x ＝0.②当x ＞0时，f (x )＝x 2－1，由x 2－1＝1，解得x ＝2(负值舍去)．综上可知，函数y ＝f (x )－1的零点是0或2.考向一 函数零点所在区间的判断例1 (1)(2020·济南模拟)已知f (x )＝x 3＋x －4，则函数f (x )的零点所在区间是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 由函数f (x )＝x 3＋x －4在定义域上单调递增，且f (1)＝1＋1－4＝－2＜0，f (2)＝8＋2－4＝6＞0，再根据函数零点存在定理可得零点所在区间是(1,2)，故选C ．(2)(2020·长春模拟)设函数f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ，g (x )＝log x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的零点分别是x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0＜x 1x 2＜1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2＞2 答案 B解析 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log x 的图象和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，如图所示：故有log x 2＞log 4x 1，故log 4x 1－log x 2＜0，∴log 4x 1＋log 4x 2＜0，∴log 4(x 1x 2)＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选B ．判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上必有零点．(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b∈N *，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．5D ．7答案 C解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上单调递增，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．考向二 函数零点个数的讨论例2 (1)(2020·青岛模拟)已知图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为( )A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020答案 B解析 因为图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，所以f (0)＝0，f (1)＝0，x ∈(0,1)时，函数有1个零点，所以x ∈(0，1]时，函数有2个零点，所以x ∈(0,2020]时，函数有4040个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为4041.故选B ．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＜0，x2＋12x ，x≥0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意，令f (f (x ))－1＝0，得f (f (x ))＝1，令f (x )＝t ，由f (t )＝1，得t ＝－1或t ＝－1＋174，作出函数f (x )的图象，如图所示，结合函数f (x )的图象可知，f (x )＝－1有1个解，f (x )＝－1＋174有2个解，故y ＝f (f (x ))－1的零点个数为3，故选B ．确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |，得f (－x )＝(－x )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)·f (1)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f (x )的零点个数为2，故选C ．4．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析 由2x |log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，作出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有两个零点．多角度探究突破考向三 函数零点的应用 角度1 利用零点比较大小例3 (1)已知a 是函数f (x )＝2x －log x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0 C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)与0的大小关系不确定 答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝log x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x 0<a 时，有2x 0<log x 0，即f (x 0)<0.(2)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 1<x 3B ．x 1<x 2<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1答案 B解析 令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1，因为函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1与y ＝－x 的图象的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1及y ＝－x 的图象如图，结合图象可得x 1<x 2<x 3，故选B ．在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A ．6．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示．由图象可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0.角度2 由函数零点存在情况或个数求参数范围 例4 (1)(2020·海南省新高考诊断性测试)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－4x ＋1，x≤0，2－2－x ，x>0，若关于x 的方程[f (x )－1]·[f (x )－m ]＝0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(2,5)答案 A解析 由[f (x )－1][f (x )－m ]＝0，得f (x )＝1或f (x )＝m ，作出y ＝f (x )的图象，如图所示．由图可知，方程f (x )＝1有2个实根，故方程f (x )＝m 有3个实根，故m 的取值范围为(1,2)．(2)(2020·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(0,22)C ．(－∞，0)∪(0,22)D ．(－∞，0)∪(22，＋∞)答案 D解析 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝错误!恰有3个实根即可，令h (x )＝错误!，即y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象有3个不同交点．因为h (x )＝错误!＝错误!当k ＝0时，y ＝2，如图1，y ＝2与h (x )＝错误!的图象有1个交点，不满足题意；当k ＜0时，如图2，y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k ＞0时，如图3，当y ＝kx －2与y ＝x 2的图象相切时，联立方程得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝0得k 2－8＝0，解得k ＝22(负值舍去)，所以k ＞22.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞)．故选D ．已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．7．当x ∈[1,2]时，若函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，要使两个函数图象有交点，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2. 8．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 －14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14，因为x ∈[－1,1]，所以2x∈12，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14∈－14，2.所以实数a 的取值范围是－14，2.一、单项选择题1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．故选C ．2．(2021·长郡中学高三月考)设函数f (x )＝x ＋log 2x －m ，则“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 函数f (x )＝x ＋log 2x －m 在区间(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－12－m ＜0，f (4)＝6－m ＞0，解得－12＜m ＜6，故“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的必要不充分条件．故选B ． 3．(2020·北京市大兴区一模)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝－log xD ．y ＝(x －1)2答案 C解析 函数y ＝e x ＞0恒成立，不存在零点，即A 不符合题意；函数y ＝x ＋1＞0恒成立，不存在零点，即B 不符合题意；函数y ＝－log x ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，且当x ＝1时，y ＝0，所以函数的零点为x ＝1，即C 正确；函数y ＝(x －1)2在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即D 不符合题意．故选C ．4．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点答案 B解析 当x ∈(0,1]时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x ＞0，sin x ＞0，所以f ′(x )＞0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1－cos1＞0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x ＞1时，f (x )＝x －cos x ＞0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故f (x )有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝x 的解，则x 0属于区间( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13答案 C解析令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，f (x )＝x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．f (x )＝3x －log 2(－x )的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x －log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．二、多项选择题9．(2020·山东德州高三模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D．当k≥1时，方程有实根答案ABD解析方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x 的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD．10．(2021·湖南郴州高三质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1＜1答案AC解析函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y ＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2,2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2＜4，所以x1＋x2＜2.11．(2020·海南中学高三月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．f (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2－1，x≤1，|2－x|，x ＞1D ．f (x )＝1x－x答案 BCD解析 根据定义可知，若f (x )有不动点，则f (x )＝x 有解．对于A ，令2x ＋x ＝x ，所以2x ＝0，此时无解，故f (x )不是“不动点”函数；对于B ，令x 2－x －3＝x ，所以x ＝3或x ＝－1，所以f (x )是“不动点”函数；对于C ，当x ≤1时，令2x 2－1＝x ，所以x ＝－12或x ＝1，所以f (x )是“不动点”函数；对于D ，令1x －x ＝x ，所以x ＝±22，所以f (x )是“不动点”函数．故选BCD ．12．(2020·山东临沂高三模拟)定义域和值域均为[－a ，a ]的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，其中a ＞c ＞b ＞0，给出下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程f (g (x ))＝0有且仅有三个解B ．方程g (f (x ))＝0有且仅有四个解C ．方程f (f (x ))＝0有且仅有八个解D ．方程g (g (x ))＝0有且仅有一个解 答案 AD解析 由图象可知对于函数y ＝f (x )，当－a ≤y ＜－c 时，方程有一解，当y ＝－c 时，方程有两解，当－c ＜y ＜c 时方程有三解，当y ＝c 时，方程有两解，当c ＜y ≤a时，方程有一解，对于函数y ＝g (x )，由图象可知，函数g (x )为单调递减函数，当－a ≤y ≤a 时，方程有唯一解．对于A ，设t ＝g (x )，则由f (g (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，即t ＝g (x )有三个不同的值，又由函数g (x )为单调递减函数且a >c >b >0，所以方程f (g (x ))＝0有三个不同的解，所以是正确的；对于B ，设t ＝f (x )，则由g (f (x ))＝0，即g (t )＝0，此时只有唯一的解t ＝b ，即方程b ＝f (x )，此时有三解，所以不正确；对于C ，设t ＝f (x )，则由f (f (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，当t ＝－b,0或b 时，方程t ＝f (x )均有三个不同的解，则f (f (x ))＝0有九个解，所以不正确；对于D ，设t ＝g (x )，则由g (g (x ))＝0，即g (t )＝0，此时t ＝b ，对于方程b ＝g (x )，只有唯一的解，所以是正确的．故选AD ．三、填空题13．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xln x ，x>0，x2－x －2，x≤0，则其零点为________.答案 －1,1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为－1,1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.16．(2020·聊城二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，0<x≤1，－1＋ln x ，x>1，若f (a )＝f (b )，则1a ＋1b的最小值为________.答案 1＋1e2解析 已知分段函数f (x )在两段区间内都是单调函数，若f (a )＝f (b )，则必然分属两段内，不妨设0<a ≤1，b >1，则f (a )＝1－ln a ，f (b )＝－1＋ln b ，即1－ln a ＝－1＋ln b ⇒ln a ＋ln b ＝ln (ab )＝2⇒ab ＝e 2.当1a ＋1b ＝be2＋1b ＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b 时，令g (b )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b ，b ∈(1，＋∞)，由双勾函数性质可知g (b )在区间(1，e)上单调递减，在区间(e ，＋∞)上单调递增，所以g (b )min ＝g (e)＝2e ，此时a ＝e(不符合题意)，当1a ＋1b ＝1a ＋ae2＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a 时，令h (a )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a ，a ∈(0,1]，由双勾函数性质可知h (a )在区间(0,1]上单调递减，所以h (a )min ＝h (1)＝1＋1e2，此时a ＝1，b ＝e 2.故1a ＋1b的最小值为1＋1e2.四、解答题17．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝错误!对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．解因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m<1－0－5－1，即－12≤m<－16.21 / 21。
高考数学专项复习专题二一元二次函数一元二次函数方程和不等式
专题二一元二次函数、方程和不等式06 等式性质与不等式性质题型一由不等式性质比较数（式）大小题型二作差法比较代数式大小题型三作商法比较代数式大小题型四由不等式性质证明不等式题型五利用不等式求值或取值范围07 基本不等式（1）题型一由基本不等式比较大小题型二由基本不等式证明不等关系题型三基本不等式求积的最大值题型四基本不等式求和的最小值题型五二次与二次（或一次）的商式的最值问题07 基本不等式（2）题型一条件等式求最值题型二基本不等式的恒成立问题题型三对勾函数求最值题型四基本不等式的应用08 二次函数与一元二次方程、不等式（1）题型一解含有参数的一元二次不等式题型二由一元二次不等式的解确定参数题型三一元二次方程根的分布问题题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系08 二次函数与一元二次方程、不等式（2）题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型二 一元二次不等式其他恒成立问题 题型三 一元二次不等式有解问题 题型四 一元二次不等式的应用一元二次函数、方程和不等式讲义§2.1等式性质与不等式性质 1.作差法比较大小0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=.2.不等式的基本性质（1）（对称性）a b b a >⇔> （2）（传递性）,a b b c a c >>⇒> （3）（可加性）a b a c b c >⇔+>+（4）（可乘性）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （5）（同向可加性）,a b c d a c b d >>⇒+>+ （6）（正数同向可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （7）（正数乘方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 §2.2基本不等式① 重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式： ()2222()()a b a b a b R +≥+∈，② 基本不等式：2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥； 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”. §2.3二次函数与一元二次方程.不等式b06 等式性质与不等式性质题型一 由不等式性质比较数（式）大小1．若a b <，d c <，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．d a c b <<< B ．a c b d <<< C ．a d b c <<< D ．a d c b <<<【答案】A【解析】因为()()0c a c b --<，a b <，所以a c b <<，因为()()0d a d b -->，a b <，所以d a <或d b >，而a c b <<，d c <，所以d a <． 所以d a c b <<<． 故选：A ．2．已知,,R a b c ∈，下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d >，则a d b c ->- C ．若a b >，c d >，则ac bd > D ．若22a b >，且0ab <则11a b< 【答案】B【解析】:A 若,0a b c >=则220ac bc ==，A 不正确；B ：因为a b >，c d >，则c d -<-，所以a d b c ->-，故B 正确；C ：当0b c ==时，可得不等式不成立，故C 不正确．D ：若3,2a b ==-，满足条件，但11a b>，所以D 不正确. 故选：B ．3．已知,,a b c ∈R ，若a b c >>，且230a b c ++=，则下列不等关系正确的是（ ） A ．ac bc < B ．a b c b >C ．c c a c b c>-- D ．()2a bc abc +>+【答案】ACD【解析】230a b c ++=，a b c >>，0c ∴<，0a >， 对于A ，a b >，0c <，ac bc ∴<，A 正确；对于B ，当0b =时，满足a b c >>，此时0a b c b ==，B 错误； 对于C ，a b c >>，0a c b c ∴->->，11a cbc ∴<--，又0c <，c c a c b c∴>--，C 正确； 对于D ，a b >，0a b ∴->，()()a a b c a b ∴->-，即2a ab ac bc ->-，整理可得：故选：ACD.4．已知g b 糖水中含有g a 糖(0b a >>)，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ） A ．a a m b b m+<+B ．22mm a m a b m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313ba -<- 【答案】ABD【解析】对于A ，由题意可知a a mb b m+<+，正确； 对于B ，因为2mm <，所以2222m mm ma m a m m ab m b m m b +++-+<=+++-+，正确； 对于C ，22a m a m m a mb m b m m b m ++++<=++++即()()()()22a m b m a m b m ++<++，错误； 对于D ，1122131131311333b b b b a --+<==<--+，正确. 故选：ABD5．已知1m n >>，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11+>+m n n mB ．->-m n m nC ．3322+>m n mnD ．3322+>m n m n【答案】ABC【解析】对于A 项，11111,,m n m n n m n m>>>∴+>+，故A 正确； 对于B 项，()()22222220m nm nmn n n n ---=->-=，结合0,0m n m n ->->可得->-m n m n ，故B 正确；对于C 项，()()323222222()()m mn n mn m m n n n m m n m mn n -+-=-+-=-+-，222220,0m mn n m n n m n +->+->->，即3322+>m n mn ，故C 正确；对于D 项，当3,2m n ==时，33227835236m n m n +=+=<=，故D 错误； 故选：ABC题型二 作差法比较代数式大小1．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2 C ．2211ab a b< D ．b a a b< 【答案】C【解析】对于A ，取3,2a b =-=-，则a b <，但22a b >，故A 错误.而2332b aa b=->-=，故D 错误. 对于C ，因为2222110a b ab a b a b --=<，故2211ab a b<，故C 正确. 故选：C.2．设2243P a a =-+，()()13Q a a =--，a ∈R ，则有（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q > C ．P Q < D ．P Q ≤【答案】A【解析】解：∵ ()()22214330P a a Q a a a -=-+---=≥,∵ P Q ≥. 故选：A.3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（ ） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B【答案】B 【解析】()2234A B a ab ab b-=+--22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥，A B ∴≥.故选：B4．已知a b c d ,,,均为实数，下列命题正确的有（ ） A ．若0ab >，0bc ad ->，则0c da b ->B ．若0ab >，0c da b ->，则0bc ad ->C ．若0bc ad ->，0c da b->，则0ab >D ．如果0a b >>，0c d >>，则bc bd > 【答案】ABCD【解析】对于A ，因为0ab >，0bc ad ->，所以0c d bc ada b ab --=>，故A 正确； 对于B ，因为0ab >，又0c d a b ->，即0bc adab ->，所以0bc ad ->，故B 正确； 对于C ，因为0bc ad ->，又0c d a b ->，即0bc adab->，所以0ab >，故C 正确； 对于D ，因为0a b >>，0c d >>，，所以bc bd >，故D 正确． 故选：ABCD5．已知221110,1,1,,a A a B a C D -<<=+=-==，则,,,A B C D 的大小关系是________．(用“>”连【答案】C A B D >>> 【解析】由题意不妨取14a =-，这时171544,,,161635A B C D ====. 由此猜测：C A B D >>>下面给出证明：()()2221324111111a a a a a C A a a a a⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-+==+++， 又21310,0,0,24a a a C A ⎛⎫+>->++>∴> ⎪⎝⎭222(1)(1)20A B a a a A B -=-=>∴>＋－，,()2221512411111a a a a a B D a a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=--==---. 又∵102a -<<，10a ∴->，又∵22151150,24224a B D ⎛⎫⎛⎫--<---<∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，C A B D >>>. 故答案为：C A B D >>>.6．现有A B C D 、、、四个长方体容器，A B 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；C D 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、 (其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 【答案】未能确定x 与y 大小的情况下，取,A D 必胜,有1种必胜的方案.【解析】由条件得3223,,,,A B C D V x V x y V xy V y ====,则()()()()()23223A B C D V V V V x x y xy y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时， A B C D V V V V +>+，当x y <时， A B C D V V V V +<+()()()()()322322A C B D V V V V x xy x y y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时， A C B D V V V V +>+，当x y <时， A C B D V V V V +<+()()()()()233220A D B C V V V V x y x y xy x y x y +-+=+-+=-+>所以未能确定x 与y 大小的情况下，取,A D 必胜,有1种必胜的方案. 题型三 作商法比较代数式大小（2）当0a >，0b >且ab 时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >. 【解析】（1）()()()2222312122110xx x x x x x -+-+-=-+=-+>，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a ba ba b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>； ∵当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>. 综上所述，当0a >，0b >且ab 时，a b b a a b a b >.2．已知0a >，0b >，试比较+a b 与a b b a+的大小； 【答案】a ba bb a++（当且仅当a b =时取等号） 【解析】方法一：由题意()()()a b a b a b a a b b a b b a a b ba ab ab--+--⎛⎫+-+==⎪⋅⎝⎭()()2a ba bab+-=，因为0a >，0b >，所以0a b +>，()20a b-≥，0ab >，所以()()20a ba bab+-≥，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba b b a+≤+（当且仅当a b =时取等号）. 方法二：由()()()()a b a b a b aba ab b a b ab ba ab ab ab a bab a b +++-++-===+++()2a babab-+==()211a b ab-+，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba bb a++（当且仅当a b =时取等号）. 3．设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【解析】依题意，,a b R +∈，当ab 时，a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >->，所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<-<，所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.4．（1）设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；（2）已知a ，b ，c ∵{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∵N ，n ＞2时比较c n 与a n ＋b n 的大小． 【答案】（1）(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )；（2）a n ＋b n ＜c n . 【解析】（1）(x 2＋y 2)(x －y )-(x 2－y 2)(x ＋y )()()()222x y x y x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦()()2x y xy =-⨯-因为0x y <<， 则0,20x y xy -<-<， 故()()20x y xy -⨯->， 即(x 2＋y 2)(x －y )-(x 2－y 2)(x ＋y )>0 (x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y ).（2）∵a ，b ，c ∵{正实数}，∵a n ，b n ，c n ＞0.而n n n a b c +＝n na b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵a 2＋b 2＝c 2，则22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1，∵0＜a c ＜1，0＜bc＜1. ∵n ∵N ，n ＞2，∵2na a c c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2nb bc c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵n n n a b c +＝n n a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1. ∵a n ＋b n ＜c n .1．设a ，b 为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ） A ．若221a b -=，则1a b -< B ．若111b a-=，则1a b -<C ．若1a b -=，则1a b -<D ．若1a ，1b ，则1a b ab --【答案】AD【解析】对于A 选项，由a ，b 为正实数，且221a b -=，可得1a b a b-=+，所以0a b ->， 所以0a b >>， 若1a b -≥，则11a b≥+，可得1a b +≤，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 中命题为真命题；对于B 选项，取5a =，56b =，则111b a -=，但5516a b -=->，所以B 中命题为假命题；对于C 选项，取4a =，1b =，则1a b -=，但31a b -=>，所以C 中命题为假命题；对于D 选项，由1,1a b ≤≤，则()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--，即()()221a b ab -≤-，可得1a b ab --，所以D 中命题为真命题.故选AD.2．已知三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中a b c d ,,,均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是______． 【答案】3【解析】若0,0ab bc ad >->成立，不等式0bc ab ->两边同除以ab 可得0c da b->,即0,0c dab bc ad a b>->⇒->； 若0,0c d ab a b >->成立，不等式0c da b ->两边同乘ab ，可得0bc ad ->,即0,00c dab bc ad a b>->⇒->；若0c d a b ->，0bc ad ->成立，则0c d bc ada b ab --=>，又0bc ad ->，则0ab >， 即0c da b->，00bc ad ab ->⇒>. 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个.故答案为：3．3．设n N ∈，1n >，1A n n =--，1B n n =+-，试比较A 与B 的大小． 【答案】A B >【解析】()()11111111n n n n n n A n n n n n n --+---=--===+-+-，同理可得11B n n=++，n N ∈，1n >，所以11n n n n +-<++，则1111n n n n>+-++，因此，A B >，故答案为A B >. 3．若0a b >>，0c d <<,||||b c > （1）求证：0b c +>； （2）求证：22()()b c a da cb d ++<--； （3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()bc a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---.【解析】（1）因为||||b c >，且0,0b c ><，所以b c >-，所以0b c +>.（2）因为0c d <<，所以0c d ->->．又因为 0a b >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->．所以22()()0a c b d ->->． 所以22110()()a c b d <<--，因为,a b d c >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+． 所以0a d b c +>+>，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--.（3）因为0b c +>，22110()()a c b d <<--， 所以22()()b c b ca cb d ++<--，因为0b c a d <+<+，210()b d >-，所以22()()b c a db d b d ++<--，所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---. 所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意.4．设绝对值小于1的全体实数构成集合S ，在S 中定义一种运算“*”，使得*1a ba b ab+=+，求证：如果a ，b S ∈，那么*a b S ∈. 【答案】证明见解析【解析】由题意，绝对值小于1的全体实数构成集合S ，因为a S ∈，b S ∈，所以1a <，1b <，可得21a <，21b <， 则210b ->，210a -<，所以()()22110ba--<，即222210a b a b +--<，所以2222212a b ab ab a b ++<++，即()()221a b ab +<+，所以()()2211a b ab +<+，即11a bab+<+，所以*a b S ∈. 5．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证xx a+＞y y b +. 【答案】见解析【解析】,,,a b x y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y ，,x y a b a b x y∴>∴<， 故11a b x y +<+，即0x a y b x y ++<<， x yx a y b∴>++. 题型五 利用不等式求值或取值范围1．实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，0xyz >，若111T x y z=++，则（ ） A ．0T > B ．0T < C ．0T =D ．0T ≥【答案】B【解析】因为0x y z ++=且0xyz >，所以不妨设0x >，则0y <，0z <， 则()2y x z xz xy yz xz y xzT xyz xyz xyz++++-+===. 因为0x >，0z <，所以0xz <，又20y -<， 所以20y xz -+<，又0xyz >，所以0T <. 故选：B.2．设实数,x y 满足01xy <<且01x y xy <+<+，那么,x y 的取值范围是 A ．1x >且1y > B ．01x <<且1y < C ．01x <<且01y << D ．1x >且01y << 【答案】C【解析】∵1x y xy +<+， ∵10,x xy y -+-< ∵()110,x y y -+-<∵()()110,x y --< ∵()()110,x y -->∵1x >，1y >或1x <，1y <.又∵01xy <<，0x y +>，∵01x <<，01y <<. 故选C.3．设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，求34x y的最大值． 【答案】27【解析】令()3224mn x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则3422m n n m x y x y -+-⋅=⋅，所以2324m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得2,1m n ==-，所以()232124x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，由题意得2249,38x xy y≤≤≤≤， 所以2221111681,83x y xy ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，所以()[]2321242,27x x xy y y -⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭.故34x y 的最大值为27. 故答案为：274．若108a b -<<<，求a b +的取值范围. 【答案】018a b <+<【解析】当0a ≥时有08a ≤<，08b <<，故016a b <+<，即0616a <+<； 当0a <时，100a -<<，故010a <-<，因为108b -<<所以1018a b -<-+< 又a b <，所以018a b <-+<，即018a b <+<. 综上018a b <+<.5．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 【答案】137x y ≤-≤【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤∵ 13x y ≤-≤, 22()6x y ∴≤-≤⋯∵∴∵+∵得137x y ≤-≤.07 基本不等式（1）题型一 由基本不等式比较大小 1．设b aM a b=+，其中a ，b 是正实数，且a b ，242N x x =-+-，则M 与N 的大小关系是（ ）.A ．M N ≥B ．M N >C ．M N <D ．M N ≤【答案】B【解析】∵a ，b 都是正实数，且a b ，∵22b a b a M a b a b=+>⋅=，即2M >， 又∵()2242442N x x x x =-+-=--++，()2222x =--+≤，即2N ≤，∵M N >， 故选B.2．已知0a >，0b >，2a b A +=，B ab =，2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（ ）. A ．A B C ≤≤ B ．A C B ≤≤ C ．B C A ≤≤ D ．C B A ≤≤【答案】D【解析】由于0a >，0b >，故2a b ab +≥，则2a bab +≥，即A B ≥， 结合02a b ab +<≤可得：12a bab ≥+，两边乘以ab 可得：2ab ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选D .3．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥C ．2216a b +≥D ．228a b +≥【答案】ABD【解析】A ．因为4a b +=，所以24ab ≤，所以4ab ≤，取等号时2a b ==，故正确； B ．因为1141a b a b ab ab++==≥，取等号时2a b ==，故正确； C ．因为22222228a b a b a b ++≥⋅==，取等号时2a b ==，故错误；D ．因为2222a b a b++≥，所以228a b +≥，取等号时2a b ==，故正确. 故选：ABD.4．设0a >，0b >，下列不等式恒成立的是（ ）. A ．21a a +>B ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．296a a +>E.若111a b+=，则4ab ≤【答案】ABC【解析】解：对于选项A ，由于22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴21a a +>，故A 恒成立；对于选项B ，由于12a a+≥，12b b +≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故B 恒成立；对于选项C ，由于2a b ab +≥，1112a b ab+≥，∴()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，故C 恒成立；对于选项D ，当3a =时，296a a +=，故D 不恒成立； 对于选项E ，111a b +=，∴111112a b a b=+≥⨯，∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立.故E 不恒成立，即不等式恒成立的是ABC ， 故选ABC.题型二 由基本不等式证明不等关系1．若0x >，0y >，4x y +≤，则下列不等式中成立的是（ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥C ．2xy ≥D ．11xy≥ 【答案】B【解析】对于A ，因为4x y +≤，所以114x y ≥+，所以A 不正确； 对于B ，若0,0x y >>，设,04x y a a +=<≤，得1x ya+=，所以11111114()2(22)1y x x y x y a x y a x y a a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x y ==时，等号成立，所以B 正确；对于C ，因为0,0x y >>，由4x y +≤，所以42x y xy ≥+≥，即2xy ≤，当且仅当2x y ==时，等号成立，所以C 不正确；对于D ，由上面可知2xy ≤，则4xy ≤，得114xy ≥，所以D 不正确； 故选：B2．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．【答案】证明见解析【解析】主要考查不等关系与基本不等式．证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()2)22)8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c b c a c b aa ab bc c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯⨯⨯⨯⨯=． 3．已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c ∵R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∵1a ＋1b ＋1c ＝a b c a b c a b c a b c++++++++ ， ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a a b ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a a c ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c b b c ，≥3＋2b a a b ⋅＋2⋅c aa c ＋2⋅cb b c＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以1a ＋1b ＋1c>9.4．已知0a >，0b >，1a b +=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析 【解析】()()()22222211254112541254a b a b ab a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++⇔++⇔+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2243380(41)(8)0a b ab ab ab ⇔-+⇔--1a b +=，2212a b ab ∴+=-.104ab<，410ab ∴-，80ab -<. ∵(41)(8)0ab ab --成立，故原不等式成立.5．已知0,0,0a b c >>>,求证:32c a b a b b c a c +++++. 【答案】见解析【解析】设,,a b x b c y c a z +=+=+=,则0,0,0x y z >>>, 且()()22x y z z x ya abc b c y +++-=++-+=-=. 同理,,22x y z y z xb c +-+-==. 所以原不等式的左边222y z x z x y x y zx y z+-+-+-=++ 1322y x zx z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133(222)222≥⨯++-=. 当且仅当,x y z x y x x z ==,且z yy z=,即,x y z a b c ====时,等号成立. 题型三 基本不等式求积的最大值1．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为（ ）（单位：cm 2）.A ．8B ．10C ．16D ．20【答案】C【解析】设BC =x ，连结OC ，得OB =216x -，所以AB ＝2216x -， 所以矩形ABCD 面积S ＝2216x x -，x ∵（0，4）， S ＝2()22222162161616x x x x x x -=-≤+-= ． 即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时max 16y =故选：C2．已知,a b 为正数，2247a b +=，则21a b +的最大值为（ ） A ．7B ．3C ．22D ．2【答案】D【解析】222211411212222a b a b a b ⎛⎫+++=⨯+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2241a b =+时，取得最大值.故选：D3．(1)已知x ,y R +∈,求x y x y++的最大值;(2)求满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值,并说明理由. 【答案】(1)2 (2)2.见解析【解析】(1)∵x ,y R +∈,∵22212x y x y xy xyx y x y x y ⎛⎫+++==+≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭, 当且仅当x y =时,对等号, ∵当x y =时,x y x y++的最大值为2.(2)∵a ,b R +∈,∵设0a m =>,0b n =>,2a m =,2b n =, ∵22222m n mn mn +≥=,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值, ∵222224242m n k m n k m n k mn +≥+≥=, ∵222k ≤,解得2k ≤,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值为2. 4．我们学习了二元基本不等式：设0a >,0b >,2a bab +≥,当且仅当a b =时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c 0,3a b ca b ≥ 当且仅当a b c ==时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设0,0,0,a b c >>>求证：2229a b ca b c abc(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设0,0,c 0,1,a b a b c 求111a b c 的最大值.【答案】（1）33a b cabc （2）证明见解析（3）827 【解析】（1）通过类比,可以得到当0a >,0b >,0c >时33a b c abc ,当且仅当a b c ==时,等号成立；（2）证明：0a >,0b >,0c >,由（1）可得22232223a b c a b c ++≥,∴22233222333333a b c a b c a b c abca b c abc()()2229a b c a b c abc ∴++++≥（3）解：由（1）可得,33a b c abc ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,由题,已知0a >,0b >,0c >,1a b c ++=,10a b c ∴-=+>,10b a c -=+>，10c a b -=+>,∴33322811133327b ca ca ba b c b c a c a ba b c ∴当且仅当b c a c a b +=+=+,即a b c ==时取等,即111a b c 的最大值为8275．设∵ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝3π，a ＋b ＝λ，若∵ABC 面积的最大值为93，求λ的值． 【答案】 12 【解析】S ∵ABC ＝12absin C ＝34ab ， 根据基本不等式2224a b ab λ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ , 当且仅当a=b 时，等号成立, ∵S ∵ABC ＝34ab≤34·223216a b λ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令2316λ＝93，解得λ＝12. 题型四 基本不等式求和的最小值1．设x ，y 均为正数，且xy +x -y -10=0，则x +y 的最小值是_______. 【答案】6【解析】由xy +x -y -10=0，得101y x y +=+=91,111y y ++>+， 故()99121611x y y y y y +=++≥⋅+=++，当且仅当911y y =++，即y =2时，等号成立． 故答案为：6.2．若0a b +≠，则2221()a b a b +++的最小值为________．【答案】2【解析】由于()222222222a b a b a b ab a b +++⎛⎫≤≤⇒+≥ ⎪⎝⎭， 所以()()222222211122()2()2()a b a b a b a b a b a b ++++≥+≥⋅=+++，当且仅当a b =且()2212()a b a b +=+时等号成立， 即()34144222a b a b a b a b a b -=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒==⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎩时等号成立. 所以2221()a b a b +++的最小值为2.故答案为：23．已知ab ＞0，则()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为_____.【答案】4.【解析】解：根据题意，ab ＞0，故22224244a b a b ab +≥⨯=，当且仅当a ＝2b 时等号成立，则原式()()()22222224245(4)245(41)4414141ab a b ab ab ab ab ab ab ++++++++=≥==+++44141ab ab +++，又由ab ＞0，则4ab +1＞1， 则有44141ab ab ++≥+()424141ab ab +⨯=+4，当且仅当4ab +1＝2，即4ab ＝1时等号成立，综合可得：()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为4，当且仅当a ＝2b 12=时等号成立 故答案为：4.4．设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为__________. 【答案】4【解析】因为0a b c >>>，所以()222221111210251025()a ac c a a ac c ab a a b ab a a b ++-+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦++-+-- ()()()()222222222211445 55204 2a a c a a c a a c a b a b a a b a b ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=++-≥++-=++-≥⋅+=-+-⎣⎦⎪⎝⎭，当且仅当252a b c === 时取等号，此时221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为4． 故答案为：4.题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值问题1．若41x -<<，则当22222x x x -+-取最大值时x 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】变形，可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----，41x -<<，510x ∴-<-<，原式()()()11111121221221221x x x x x x ⎡⎤---=+=-+≤-⋅=-⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当()11221x x -=-，即0x =时取等号，因此，22222x x x -+-取最大值时0x =. 故选：D.2．（1）若,0x y >，且280x y xy +-=，求x y +的最小值；（2）若41x -<<，求22222x x x -+-的最大值．【答案】（1）18；（2）-1.【解析】（1）由280x y xy +-=，得821x y+=，()828210y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭8210218y xx y ≥+⋅=，当且仅当212x y ==时取等号故当212x y ==，x y +取最小值18.（2）若41x -<<，则()2221112221x x x x x -+⎡⎤=--+⎢⎥--⎣⎦()1121x x-+≥-当且仅当0x =时取等号 ()111121x x ⎡⎤∴--+≤-⎢⎥-⎣⎦.即若41x -<<，22222x x x -+-的最大值为1-．3．（1）求当0x >时，2342x x y x ++=的最小值；（2）求当1x >时，221x y x +=-的最小值.【答案】（1）72；（2）232+.【解析】（1）当0x >时，234322372222222x x x x x x x ++=++≥⋅+=，当且仅当2x =时等号成立，所以当0x >时，函数2342x x y x++=的最小值为72；（2）()22112312111xxy x x x x -+⎡⎤+⎣⎦===-++---， 当1x >时，10x ->，所以()32122321y x x ≥-⋅+=+-， 当且仅当311x x -=-，即在13x =+时等号成立， 所以，当1x >时，221x y x +=-的最小值为232+.4．若,,x y z 均为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是_______．【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x z y z ++=+++++ 22222()2222xy yzxy yz xy yz x y y z ++≤==+⋅+⋅⋅, 当且仅当2222x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22x z y ==时等号成立．故答案为：22. 、专题7 基本不等式（2）题型一 条件等式求最值1．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是______．【答案】4243+【解析】已知01,01a b <<<<，由44430ab a b --+=得44441ab a b --+=，即1(1)(1)4a b --=， 令()()10,1,10,1,41x a y b xy =-∈=-∈=， 所以()10,14y x =∈，所以1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故12121218111114114x a b x y xx x x+=+=+=+------()()12421422224441141444134441x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++=++=++-+- ⎪⎣⎦------⎝⎭ ()()()()4412444412441242264434441344413x x x x x x x x ⎡⎤----=+++≥+⋅=+⎢⎥----⎣⎦， 当且仅当()()4412444441x x xx --=--即3224x -=时，取等号. 故答案为：4243+． 2．已知正实数x ，y 满足14xy <，且2441y y xy x ++=，则13x y x+-的最小值为______． 【答案】22【解析】解：正实数x ，y 满足14xy <，且2441y y xy x++= 所以21442y y xy x +--=，即()42y x y x y x +-+=，也即()142x y y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 则()1123422x y y x y x y x x x y+-=-++=++≥+ 当且仅当()2142x y x y x y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即2142x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则5234832348x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时取等号，此时1711164xy -=<，所以取得最小值22． 故答案为：22．3．已知0a >，0b >，1c >且1a b +=，则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为______． 【答案】422+【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以222221()22a a a b a b ab ab ab ab +++++==222222ab abab+≥=+，又1c >，则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭2221c c ≥+- ＝122(c 1)21c ⎡⎤-++≥⎢⎥-⎣⎦1222(1)24221c c ⎡⎤-⋅+=+⎢⎥-⎣⎦，其中等号成立的条件：当且仅当222112(1)1a b a b c c ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪-=-⎩，解得21a =-，22b =-，212c =+，所以21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值是422+. 故答案为：422+.4．若正实数a ，b 满足()2261a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为______.【答案】16【解析】()()()221621216a b ab a b a b ab +-=⇒+++-= ，即21216ab a b a b +-=++又()22236323224a b ab a b a b +⎛⎫=⋅⋅≤=+ ⎪⎝⎭，等号成立的条件为2a b = ，原式整理为()()()2223212244a b a b a b +≤++⇒+≤ ，即022a b <+≤ ，那么2121121666ab a b a b +--=≤=++，所以21ab a b ++ 的最大值是16.5．求下列函数的最值（1）求函数22(1)1x y x x +=>-的最小值.（2）若正数x ，y 满足35x y xy +=，求34x y +的最小值. 【答案】（1）223+；（2）5.【解析】（1）2(1)2(1)33(1)223211x x y x x x -+-+==-+++--，当且仅当2(1)3x -=即31x =+时等号成立，故函数y 的最小值为223+.（2）由35x y xy +=得13155y x+=， 则1331213133634(34)()2555555525x y x y x y y x y x +=++=+++=， 当且仅当12355y x x y =,即12y =，1x =时等号成立， 故34x y +的最小值为5.题型二 基本不等式的恒成立问题1．已知a ，b 为正实数，且23a b ab +=，若0a b c +-≥对于满足条件的a 、b 恒成立，则c 的取值范围为.（ ） A ．2213c c ⎧⎫⎪⎪≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．322c c ⎧⎫≤+⎨⎬⎩⎭C ．{}6c c ≤D ．{}322c c ≤+【答案】A【解析】将23a b ab +=变形为213a b+=，所以()()11121223322132333a b a a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b =时，即632,333a b =-=-时取等号.0a b c +-≥恒成立等价于c a b ≤+恒成立，即()min c a b ≤+，所以2213c ≤+故选：A .2．已知x 、y 都为正数，且4x y +=，若不等式14m x y +>恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】94m ∴< 【解析】x 、y 都为正数，且4x y +=，由基本不等式得()14144x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭445259y x y xx y x y=++≥⋅+=，即1494x y +≥，当且仅当2y x =时，等号成立，所以，14x y +的最小值为94，94m ∴<.3．已知正实数x ，y 满足2520x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）10；（2）9122m -≤≤.【解析】（1）2025225x y x y =+≥⋅，解得10xy ≤， 当且仅当5x =，2y =取等号， ∵xy 最大值为10． （2）101555592104421042101041x y y x y x x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=， 当且仅当203x =，43y =取等号， ∵2944m m +≤，解得9122m -≤≤． 4．设a b c >>，且11ma b b c a c+≥---恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】4m ∴≤ 【解析】由a b c >>知0a b ->，0b c ->，0a c ->. ∴原不等式等价于a c a cm a b b c--+≥--.要使原不等式恒成立，只需a c a ca b b c--+--的最小值不小于m 即可. ()()()()2224a b b c a b b c a c a c b c a b b c a ba b b c a b b c a b b c a b b c-+--+-------∴+=+=++≥+⋅=-------- 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b a c =+时，等号成立. 4m ∴≤5．已知16k >，若对任意正数x ，y ，不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵0x >，0y >，∵不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立等价于1322x y k ky x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立.又16k >，∵1132322x y k k k k y x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当132k x ky ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，等号成立），∵12322k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得13k -（舍去）或12k ，∵实数k 的取值范围为12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.题型三 对勾函数求最值1．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（ ）. A ．最大值174- B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值174【答案】D【解析】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由12a b ab +=≥得14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立.综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选D .2．已知52x ≥，则24524x x y x -+=-有（ ）A ．最大值52B．最小值54C ．最大值1D．最小值1【答案】D【解析】解：由522x≥>得，()()()2221451121242222xx xy xx x x-+-+⎡⎤===-+≥⎢⎥---⎣⎦，当且仅当122xx-=-，即3x=时，等号成立，故选：D.题型四基本不等式的应用1．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）A．2a bx+=B．2a bx+≤C．2a bx+>D．2a bx+≥【答案】B【解析】解：由题意得，2(1)(1)(1)A a b A x++=+，则2(1)(1)(1)a b x++=+，因为211(1)(1)2a ba b+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以21122a b a bx++++≤=+，所以2a bx+≤，当且仅当a b=时取等号，故选：B2．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC a=，BC b=，过点C作CD AB⊥交圆周于D，连接OD．作CE OD⊥交OD于E．由CD DE可以证明的不等式为()A．2(0,0)abab a ba b>>+B．(0,0)2a bab a b+>>C．22(0,0)22a b a ba b++>>D．222(0,0)a b ab a b+>>【答案】A【解析】解：由射影定理可知2CD DE OD=，即222DC ab abDEa bOD a b===++，由DC DE得2ababa b+，故选：A．。
高考数学函数专项复习押题密卷含参考解析 (7)
点
Q
x0
−t 2
+1 ,
y0
(t
R)
在函数
y
=
g
(
x)
的图像上移动，
（1）若点 P 的坐标为 (1, −1) ，点 Q 也在 y = f ( x) 图像上，求 t 的值．
（2）求函数 y = g ( x) 的解析式．
（3）当 t
0
，令
h(x)
=
log 1
2
1− x 2x +t
，求
当 y −1,0时， f '( y) 0 ，此时 f ( y) 单调递减，当 y (0,1时， f '( y) 0 ，
此时 f ( y) 单调递增，则 f (−1) = e−1 ， f (1) = e ， f ( y) 的最小值为 f (0) = 0 ，
因为对任意 x 1, e，总存在唯一的 y −1,1 ，使得 lnx + y2ey − a = 0 成立，
②若函数 f（x）＝ ，则
，都有
；
③若函数 f（x）＝loga|x| 2）>f（a＋1）；
在（0，＋∞）上单调递增，则 f（－
④若函数
(x∈ )，则函数 f(x)的最小值为-2.
其中真命题的序号是
三、解答题
15．已知动圆过定点 (0, 2) ，且在 x 轴上截得的弦长为 4 ，记动圆圆心的轨迹为
曲线 C . （1）求直线 x − 4 y + 2 = 0 与曲线 C 围成的区域面积；
F
(
x)
=
f
(
x)
+
g
(
x
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函数与方程专题一、高考大纲剖析：高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比：在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如究竟什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”. 中心思想是要求考生能够“在运算当中，寻找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用计算器解决解三角形的计算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有不少细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“掌握”，增加了“理解直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2” ，这一改变为命题者对试卷难度的控制提供了较大的空间.这里还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”，去掉了去年“以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度预计会有所提高.二、高考试题研究：纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.若函数)1的图象过两点abyx=a+,0()(log≠>a(-1，0)和(0，1)，则（A）a=2,b=2 （B）a= 2 ,b=2 （C）a=2,b=1（D ）a = 2 ,b= 2(2003年，江苏卷6)函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为（A ）),0(,11+∞∈+-=x e e y x x （B ）),0(,11+∞∈-+=x e e y x x （C ）)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x （D ）)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（A ）3 （B ）32 （C ）43（D ）65已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|= （A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________. 设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （A ）（－1，1）（B ）（－1，+∞） （C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数多个)如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(A)（Ⅰ）证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；（Ⅱ）证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；（Ⅲ）证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a（Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-n k k k k a a a121321)(； （Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-n k k k k a a a 121.31)(三、高考命题展望：由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”这一考试要求，故而与函数的奇偶性有关的函数性质综合题应予以足够的关注.例1.设))((R x x f ∈为奇函数，).2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f0)(A 1)(B 25)(C 5)(D 例2.已知定义域为),0()0,(+∞⋃-∞的函数)(x f 是偶函数，并且在)0,(-∞上是增函数，若0)3(=-f ，则0)(<x f x 的解集是 )3,0()0,3)((⋃-A )3,0()3,)((⋃--∞B),3()3,)((+∞⋃--∞C ),3()0,3)((+∞⋃-D例3.函数)(x f 的定义域为,R 且)1(+x f 为奇函数，当1<x 时，.12)(2+-=x x x f 则当1>x 时，)(x f 的单调减区间为),45)[(+∞A ]45,1)((B ),47)[(+∞C ]47,1)((D 例4. 已知函数)(x f 是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g例5.如果函数3)()(a x x f +=对任意实数t ，都有)1()1(t f t f --=+，则=-+)2()2(f f2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.例6.若1()3912x x f x +=+-，要使1()f a -有意义，实数a 的取值范围是()A 57[,)4-+∞ ()B 57[,12)4- ()C (6,)-+∞ ()D (12,)-+∞ 例7.若函数)(x f y =的图象可由函数)1lg(+=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则=)(x f ()A 110--x ()B 110-x ()C x --101 ()D x 101-例8.已知1()f x x +=，a 、b 为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是 (A)2()()2a b ab f f f a b +>>+ (B)2()()2a b ab f f f a b +>>+ (C)2())()ab f f f ab a b >>+2()2ab a b f a b +>+((()2a b f f f ab +>> (D)2()()2ab a b f f f a b +>>+ 例9.已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .例10.已知函数()f x x x bx c =++，有下列命题：①0,0b c =>时，()0f x =只有一个实数根②0c =时，()y f x =是奇函数③()y f x =的图象关于点(0,)c 对称④方程()0f x =至多有3个实数根，则正确的命题的序号为3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.例11.已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（A ）21x x + （B ）212x x +- （C ）212x x + （D ）21xx +- 例12. 若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 例13.给出四个函数，分别满足：①)()()(y f x f y x f +=+ ②)()()(y g x g y x g ⋅=+③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅ ④ )()()(y x y x ψψψ⋅=⋅又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是（A ）①-a ②-b③-c ④-d（B ）①-b②-c ③-a ④-d（C ）①-c ②-a ③-b ④-d（D ）①-d ②-a ③-b ④-c例14.已知()f x 的定义域为R ,若1()y f x a -=+与()y f x a =+互为反函数且()f a a = (a 为非零常数),则(2)f a =例15. 函数()y f x =的定义域为R ，对于任意实数α、β，有： ()()2()()22f f f f αβαβαβ+-+=且1(),()0322f f ππ== （1）求证：()()()f x f x f x π-==--（2）若02x π≤<，()0f x >，证明：()f x 在[]0,π递减4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。