数学建模之微分和差分方程建模

, t ≥ 0,
1 16 代入条件，求得c=42 ， , 最后得 k = − ln 3 21 1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
1 16 ln × 10 结果 ：T(10)=18+42 3 21 =25.870， e
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系. 例 人口增长模型 对某地区时刻 t 的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响.
微分方程求解—解析解
（二）一阶线性微分方程
q ( x) = 0 q ( x) ≠ 0
dx = − ay , (a > 0) dt dy = − bx , (b > 0) dt
三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.
（三）微元法
应用微元法建立微分方程时，将自变量的变化范围限制 在小区间 [ x, x + dx] 内，并以常量代替变量，通过对函数增 量 dy 的分析，建立微分方程。
例 一容器内贮有 1000 毫升的盐水，含盐量为 100 克。 由于不断地搅拌，盐在溶液中始终是均匀分布的。如果以每 分钟 10 毫升的速度注入浓度为 0.001 克/毫升的盐水，同时， 以相同的速度放出盐水。求 （1）在时刻 t 溶液内的含盐量 x(t ) ； （2）20 分钟后，溶液中的含盐量； （3）几分钟后，溶液中的含盐量为 75 克。
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
dx = f (t , x ) （1） 一阶微分方程： dt x(t 0 ) = x0 其中 f (t , x ) 是 t 和 x 的已知函数， x (t 0 ) = x 0 为初始条件。
一阶的微分方程组：
dxi = fi (t, x1, x2 ,L, xn ) (i = 1,2,L, n) dt x (t ) = x(0) (i = 1,2,L, n) i i 0
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
直接求 很困难
建立变量能满足 的微分方程
哪一类问题
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” , 常涉及到导数. 常 用建 微立 分方 方法 程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分 析法
6 2012年11月6日 Tuesday
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题 微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实 际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽 略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。 干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持 续地起作用。 问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰 因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也 只引起对应解的微小变化？
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 即有 同理 令Δt
Δx =－ayΔt, Δy =－bxΔt,
0, 得到微分方程组：
平衡式
应用分离变量法求得通解： x(t ) = 1 − Ce 根据初始条件： t = 0 时 x = 100 ，求得
−0.01t
C = −99
−0.01t x ( t ) = 1 + 99 e （1）在时刻 t 溶液内的含盐量 x(t ) ：
（2）20 分钟后，溶液中的含盐量
x(20) = 1 + 99e −0.01×20 ≈ 82.05
*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售 速度的增高而降低； *3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：
0 < t < τ; A, A(t ) = t >τ. 0, 建模 记 S(t) — t 时刻商品的销售速度；
M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度.
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T − m 成正比 dt
数学语言
建立微分方程
dT = − k (T − m ), dt T ( 0 ) = 60 .
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T = m + ce
− kt
b x0 = φ(t0 ) ，此处 h = min a, , M = max f (t, x) 。 (t , x)∈R M
5 2012年11月6日 Tuesday
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
定 理 2 如果函数 f (t, x) 在 R: t −t0 ≤ a, x − x0 ≤ b 上连续，且满足 Lipschitz 条件:存在 L 使得
（3）几分钟后，溶液中的含盐量为 75 克
75 = 1 + 99e −0.01t ⇒ t ≈ 29.1
四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例 (独家广告模型)广告是调整商品销 售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？ 分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大, 当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是： {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} 更般 一化 基本模型
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程. 输入量 含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量 含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立 例 战斗模型 两方军队交战, 希望为这场 战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的：
直接建立微分方程 dS S (t ) = pA ( t )(1 − ) − λS (t ) dt M 称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力. 模型分析：是否与前三条假设相符？ 改写模型
dS A( t ) = p ( M − S ( t )) − λS ( t ) dt M
dS A( t ) = p ( M − S ( t )) − λS ( t ) dt M
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
判断平衡点的稳定性有两种方法：
间接方法：首先求出方程的解 x = ψ (t ) ，然后 利用定义 limψ (t ) = x0 来判断。
t →∞
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
9
2012年11月6日 Tuesday
wenku.baidu.com
历年题目
• 2003年A题 SARS的传播 • 2005年A题 长江水质的评价与预测 • 2007年A题 中国人口增长的预测 • 2011年A题 城市表层土壤重金属污染分析
2. 微分方程解的存在唯一性 问题：正规方程组（2）的解在 什么条件下存在，且唯一呢？
定理 1（Cauchy-Peano）
dx = f (t , x ) dt x (t0 ) = x0
如果函数 f (t, x) 在区域 R : t − t0 ≤ a, x − x0 ≤ b 上连续， 则 方 程 组 （ 2 ） 在 t − t0 ≤ h 上 有 解 x = φ(t) 满 足 初 值 条 件
f (t, x(1) ) − f (t, x(2) ) ≤ L x(1) − x(2) ，
其 中 (t, x ),(t, x ) ∈R , 则 方 程 组 （ 2 ） 满 足 初 值 条 件
(1) (2)
x0 =φ(t0 ) 的解是唯一的。
dx = f (t , x ) dt x (t0 ) = x0
方程组（2）又称为一阶正规方程组。
3
(2)
2012年11月6日 Tuesday
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
如果引入向量
T
dxn dx dx 1 dx 2 x = (x1, x2,L, xn ) , f = ( f1, f2,L, fn ) , = , ,L, dt dt dt dt
7
2012年11月6日 Tuesday
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解 x = ψ (t ) 都满足
limψ (t ) = x 0
t →∞
则称平衡点 x0 是稳定的；否则是不稳定的。
问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？
8
2012年11月6日 Tuesday
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍 例 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似. 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少 士兵才能赢得这场战斗？ 模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加 战斗， x(t)与y(t)都是连续变量.
假设1* 市场“余 额” 假设2*
销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.
微分方程求解—解析解
（一）可分离变量的微分方程
1 dy 1 ⇒ dy = f ( x ) dx = f ( x) g ( y ) ⇒∫ dy = ∫ f ( x)dx g ( y) g ( y) dx
y dy du dy y = f ( x, y ) = ϕ ( ) 令 u = ⇒ y = ux ⇒ =u+x dx x x dx dx du du 1 ∴u + x = ϕ (u ) ⇒ ∫ = ∫ dx = ln x + C dx ϕ (u ) − u x y 再变量代回 u = x
微分和差分 方程建模
西南交通大学数学建模
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对的 现认 实识 对来 象源 *与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识. *通过对数据和现象的分析对事 物内在规律做出的猜想(模型假设).
模型特点：有明确的物理或现实意义
在时间区间 [t , t + dt ] 内， 含盐量的增量可分解为注 解： 入的盐量和流出的盐量。
注入的盐量为：0.001× 10 × dt = 0.01dt
x ×10 × dt = 0.01xdt 流出 的盐量为： 1000
所以含盐量的增量为：
dx = 0.01dt − 0.01xdt = 0.01(1 − x)dt dx = 0.01(1 − x) dt
T T
则方程（2）可以写为简单的形式：
dx = f (t, x) dt x(t0 ) = x0 即与（1）的形式相同，当 n =1 时为（1） 。
4
dx = f (t , x) dt x(t 0 ) = x0
2012年11月6日 Tuesday
一、微分方程的一般理论